變質(zhì)心噴砂除銹移動平臺自適應(yīng)全局魯棒超螺旋滑?？刂?/h1>
2023-01-08 14:09:26王永尚高國琴方志明
軟件導(dǎo)刊 2022年10期
王永尚，高國琴，方志明
（江蘇大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江 212013）
0 引言
鋼箱梁作為大跨徑橋梁的常用結(jié)構(gòu)，進(jìn)行噴砂除銹可延長大橋使用壽命［1-2］。由于工業(yè)噴砂除銹機器人體積龐大、機構(gòu)復(fù)雜，需要圍繞施工單位構(gòu)建大型廠房，無法滿足鋼箱梁隨橋梁建設(shè)流動施工的要求，難以勝任鋼箱梁除銹作業(yè)。
為此，本文基于Stewart 并聯(lián)機構(gòu)自主研發(fā)一種鋼箱梁噴砂除銹并聯(lián)機器人。該機器人主要由并聯(lián)機構(gòu)、升降機構(gòu)、移動平臺等構(gòu)成，具有剛度高、承載能力強、可移動性等優(yōu)點，能任意移動、自由升降、六自由度位姿精確運動。噴砂除銹并聯(lián)機器人實物圖如圖1 所示，1 為末端噴槍，2為并聯(lián)機構(gòu)，3 為噴砂軟管，4 為移動平臺，5 為升降機構(gòu)，6為電氣控制柜，7 為上位機。移動平臺作為噴砂除銹并聯(lián)機器人的載體，采用阿克曼前輪轉(zhuǎn)向結(jié)構(gòu)，通過電動缸控制移動平臺轉(zhuǎn)向輪，使其在噴砂作業(yè)過程中與鋼箱梁保持平行。
Fig.1 Parallel robot for sand blasting and rust removal圖1 噴砂除銹并聯(lián)機器人
由于鋼箱梁體積龐大，需要升降機構(gòu)配合并聯(lián)操作機構(gòu)與末端噴槍對不同高度鋼箱梁面進(jìn)行噴砂除銹。在實際操作過程中，升降機構(gòu)運動會導(dǎo)致移動平臺質(zhì)心位置發(fā)生變化，從而引起動力學(xué)模型慣性矩陣參數(shù)發(fā)生改變，進(jìn)而影響控制器輸出力矩，降低移動平臺軌跡跟蹤控制性能。因此，需要研究質(zhì)心變化情況下，移動平臺高性能軌跡跟蹤控制問題。
1 相關(guān)研究
建立考慮質(zhì)心變化的移動平臺數(shù)學(xué)模型是設(shè)計高性能軌跡跟蹤控制器的基礎(chǔ)，目前已有學(xué)者針對移動機器人質(zhì)心偏移與質(zhì)心不確定問題進(jìn)行相關(guān)研究，并建立考慮質(zhì)心位置未知的移動平臺模型。例如，F(xiàn)ilho 等［3］從運動學(xué)模型角度推導(dǎo)分析移動機器人質(zhì)心位置對其軌跡跟蹤誤差的影響。耿新等［4-5］在移動機器人質(zhì)心與幾何中心不重合的情形下，建立移動平臺質(zhì)心偏移的運動學(xué)模型，并將該模型中移動機器人質(zhì)心與幾何中心之間的距離d視為常量。但在生產(chǎn)實踐中，由于硬件形變、碰撞磨損、測量誤差等原因，實際距離通常無法精確測量。孫忠廷等［6］認(rèn)為質(zhì)心僅在移動平臺兩后輪中軸線上變化。Huang 等［7］針對全向移動機器人質(zhì)心偏移問題，采用極坐標(biāo)表示質(zhì)心位置，然而該方法更適用于構(gòu)建全向移動機器人的動力學(xué)模型。
為此，本文根據(jù)移動平臺質(zhì)心坐標(biāo)與其軌跡跟蹤參考點坐標(biāo)在全局坐標(biāo)系下的幾何位置關(guān)系方程，推導(dǎo)質(zhì)心速度與軌跡跟蹤參考點速度的代數(shù)方程，由此建立考慮質(zhì)心變化的移動平臺動力學(xué)模型。該模型考慮移動平臺質(zhì)心側(cè)偏變化的情況，為動力學(xué)控制器設(shè)計奠定基礎(chǔ)。
移動平臺是一類具有非完整約束的多輸入、多輸出、非線性系統(tǒng)［8-9］。在質(zhì)心變化情況下，系統(tǒng)的不確定性問題更為突出［10］，將影響移動平臺軌跡跟蹤精度。因此，針對移動機器人系統(tǒng)存在的不確定性問題，設(shè)計滑?？刂破魈岣呦到y(tǒng)魯棒性［11］。孫忠廷等［6］針對移動機器人質(zhì)心位置變化引起的運動學(xué)參數(shù)不確定性問題，設(shè)計關(guān)于質(zhì)心偏移距離d的自適應(yīng)律，對系統(tǒng)運動學(xué)模型參數(shù)變化進(jìn)行自適應(yīng)控制，然而該方法僅適用于質(zhì)心沿兩后輪中軸線變化情況，難以應(yīng)用于質(zhì)心側(cè)偏變化的動力學(xué)控制。Peng等［12］針對移動機器人軌跡跟蹤控制中出現(xiàn)的參數(shù)不確定性與外部干擾問題，提出自適應(yīng)模糊輸出反饋控制算法克服系統(tǒng)不確定性和外部干擾，并削弱滑模控制抖振，但需要預(yù)先知道不確定性上界信息。
此外，傳統(tǒng)一階滑?？刂拼嬖谮吔A段魯棒性較差，存在控制抖振問題，系統(tǒng)收斂速度較慢等問題。為此，本文提出一種自適應(yīng)全局魯棒超螺旋滑模軌跡跟蹤控制算法，既保證系統(tǒng)的全局魯棒性［13］，又解決傳統(tǒng)滑?？刂埔蛳到y(tǒng)不確定性引起的增益過量問題，同時在一定程度上提高系統(tǒng)收斂速度［14］。
該方法的創(chuàng)新點包括：建立考慮質(zhì)心變化的移動平臺動力學(xué)模型，解決現(xiàn)有動力學(xué)模型建模不準(zhǔn)確的問題，彌補由質(zhì)心變化引起的誤差；設(shè)計一種自適應(yīng)全局魯棒超螺旋滑模軌跡跟蹤控制算法，保證移動平臺在質(zhì)心變化的情況下仍然能夠進(jìn)行高性能軌跡跟蹤控制。
2 問題描述
2.1 噴砂除銹并聯(lián)機器人移動平臺運動學(xué)模型
本文以車式移動平臺（Car-Like Mobile Platform，CLMP）為研究對象［15-16］，質(zhì)心變化情況下的移動平臺結(jié)構(gòu)示意圖如圖2 所示。其中，OXY 是以地面為參考系的全局坐標(biāo)系，OrXrYr則是以機器人自身為參考系的局部坐標(biāo)系。
Fig.2 Vehicle type mobile platform structure圖2 車式移動平臺結(jié)構(gòu)
選取移動平臺兩后輪中心點作為移動平臺軌跡跟蹤參考點，該點為移動平臺局部坐標(biāo)系坐標(biāo)原點，在全局坐標(biāo)系中坐標(biāo)為(x，y)。定義移動平臺的位姿為q=[x y θ δ φ]T，其中θ為移動平臺運動方向與x軸方向的夾角，δ為前輪轉(zhuǎn)向角，φ為前輪角速度，r為CLMP 的車輪半徑，b為CLMP 兩后輪間距的1/2，l為CLMP 的前后輪軸間距，G為CLMP 實際質(zhì)心的位置，在局部坐標(biāo)系中坐標(biāo)為(f1，f2)。
假設(shè)移動平臺在移動過程中，滿足純滾動無滑動即移動平臺運動方向始終垂直于車軸，可滿足非完整約束方程：
簡化后可用矩陣進(jìn)行重寫為：
根據(jù)式（1），車式移動平臺的運動學(xué)模型為：
式中，為滿秩的速度轉(zhuǎn)換矩陣，為速度向量V=[v w]T，v表示車式移動機器人的線速度，w為前輪轉(zhuǎn)向角速度。
定義軌跡曲率σ為：
因此，車式移動平臺的運動學(xué)方程可以表示為：
根據(jù)式（4），對時間求導(dǎo)可得：
1.2 質(zhì)心變化噴砂除銹并聯(lián)機器人移動平臺動力學(xué)模型
移動平臺質(zhì)心局部坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(f1，f2)，全局坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(xG，yG)，全局坐標(biāo)系下建立移動平臺質(zhì)心位置坐標(biāo)(xG，yG)與軌跡跟蹤參考點坐標(biāo)(x，y)幾何位置關(guān)系方程：
求導(dǎo)得：
由于移動平臺在水平地面上行駛，其勢能近似為零（即U=0），由拉格朗日函數(shù)法建立質(zhì)心偏移噴砂除銹并聯(lián)機器人移動平臺的動力學(xué)模型，如式（10）所示：
式中，E(q)為輸入轉(zhuǎn)換矩陣，τ為力矩輸入向量，AT(q)為非完整約束矩陣，λ為拉格朗日乘子。移動平臺的總動能K可表示為：
式中，Kp表示質(zhì)心偏移噴砂除銹并聯(lián)機器人移動平臺車體的動能，Kw表示移動平臺驅(qū)動與轉(zhuǎn)向輪的動能，如式（12）、式（13）所示：
式中，mp表示移動平臺車體的質(zhì)量，mw表示車輪的質(zhì)量，Ip表示車體的轉(zhuǎn)動慣量，Iw表示車輪的轉(zhuǎn)動慣量。
將式（9）、式（12）、式（13）帶入式（10）得移動平臺動力學(xué)模型的矩陣形式為：
式中，M(q)為系統(tǒng)慣性矩陣，為與速度和位置相關(guān)的離心力和哥氏力項，τ1、τ2分別為驅(qū)動電機輸出力矩與轉(zhuǎn)向電機輸出力矩。
對式（14）左乘JT(q)消除動力學(xué)模型非完整約束項ATλ，并將式（5）代入式（14）得到變換后的動力學(xué)方程：
最終，移動平臺的動力學(xué)模型可表示為：
式中，d(t)為鋼砂地面地形阻力等外部干擾。
3 質(zhì)心變化的移動平臺高性能軌跡跟蹤控制器設(shè)計
首先，從運動學(xué)與動力學(xué)模型的角度出發(fā)，依據(jù)運動學(xué)模型的位姿誤差方程，選擇合適的Lyapunov 函數(shù)。然后，引入雙曲函數(shù)趨近律，設(shè)計運動學(xué)反演滑?？刂破鳌Ｗ詈螅ㄟ^控制器的輸出線速度vc和軌跡曲率為動力學(xué)控制器虛擬速度輸入量。移動平臺軌跡跟蹤控制流程如圖3所示。
Fig.3 Controller flow圖3 控制器流程
3.1 運動學(xué)控制器設(shè)計
定義移動平臺的參考軌跡位姿qd=[xd yd θd]T，其實際軌跡位姿q=[x y θ]T，可得期望軌跡與實際軌跡的位姿跟蹤誤差qe：
對式（16）關(guān)于時間t求導(dǎo)得：
引理1對于任意x∈R并且|x|＜∞，有?(x)=xsin(arctan(x)) ≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立。當(dāng)xe=0時，考察Lyapunov 函數(shù)［17］可得：
求導(dǎo)可得：
當(dāng)xe=0 時，，根據(jù)引理1 可知θe=-arctan(vdye)，則：
其中，當(dāng)且僅當(dāng)yevd=0時等式成立。
因此，只要xe收斂至0 且θe收斂至-arctan(yevd)時，系統(tǒng)狀態(tài)ye收斂為0。根據(jù)上述結(jié)論設(shè)計切換函數(shù)：
令ξ=arctan(yevd)，對滑模變量求導(dǎo)得：
將式（19）代入式（24）可得：
整理式（25）可得控制律：
為使滑模變量遠(yuǎn)離平衡點時快速趨近滑模面，提高系統(tǒng)到達(dá)階段的收斂速度，進(jìn)一步抑制滑?？刂贫墩?，引入一種新型的雙曲函數(shù)趨近律［18］：
式中，s為滑模變量，k1、k2、a、b均為大于0 的可調(diào)參數(shù)，q為正奇數(shù)冪次項為雙曲正切函數(shù)，為反雙曲正弦函數(shù)。當(dāng)滑模變量s遠(yuǎn)離滑模面，滑模變量導(dǎo)數(shù)主要由式（27）的第二項-k2asinh(bsq)決定；當(dāng)滑模變量s趨近零時的主要由式（27）的第一項-k1tanh(as)決定。
滑模變量的收斂速度隨著滑模變量s變化而變化，當(dāng)滑模變量遠(yuǎn)離滑模面時，反雙曲正弦函數(shù)可加速滑模變量趨近滑模面；當(dāng)滑模變量趨近于零時，雙曲正切函數(shù)可保證滑模變量無限趨近于零而不會繞過零。最終達(dá)到加快滑模變量到達(dá)階段的收斂速度的目的，并以雙曲正切函數(shù)tanh(as)代替符號函數(shù)消除滑?？刂贫墩?。
根據(jù)式（28）可知，當(dāng)s=0 時當(dāng)s＞0 時，tanh(as) ＞0 且asinh(bsq) ＞0，因此；當(dāng)s＜0 時，tanh(as) ＜0 且asin(bsq) ＜0，因此。綜上，當(dāng)且僅當(dāng)s=0時成立。
3.2 全局魯棒超螺旋滑?？刂破髟O(shè)計
為保證移動平臺的實際速度收斂至運動學(xué)控制器所產(chǎn)生的控制速度，本文使用全局魯棒超螺旋滑?？刂品椒ㄔO(shè)計動力學(xué)控制器。引入虛擬速度量跟蹤誤差及其導(dǎo)數(shù)為：
設(shè)計全局滑模面如下：
式中，滑模變量S(t)=[s1s2]T，移動平臺速度跟蹤誤差分別為移動平臺期望速度向量和實際速度向量，且Vc=分別表示移動平臺期望線速度與和實際線速度分別表示移動平臺期望轉(zhuǎn)向曲率的導(dǎo)數(shù)與實際轉(zhuǎn)向曲率的導(dǎo)數(shù)，βv＞0，βσ＞0，λ=diag(λ1，λ2)，λ1、λ2為可調(diào)正的實數(shù)，?(0) 為?(t) 的初始值。
由此可見，當(dāng)t=0 時滑模變量S=0，滑?？刂铺幱跓o趨近階段，從而能夠保證控制系統(tǒng)具有較強的全局魯棒性。
對S(t)求導(dǎo)可得：
在不考慮系統(tǒng)的不確定項的情況下，結(jié)合移動平臺動力學(xué)模型式（16）可得：
選取如下超螺旋滑模控制律為：
其中，α=diag(α1，α2)，ω=diag(ω1，ω2)為可調(diào)正定對角矩陣。結(jié)合式（28）、式（29）可得移動平臺全局魯棒超螺旋滑?？刂破鳎?/p>
基于考慮質(zhì)心變化的移動平臺動力學(xué)模型，將式（16）中的外部干擾項轉(zhuǎn)移至超螺旋滑?？刂坡芍?，結(jié)合式（16）、式（37）可得：
3.3 增益自適應(yīng)律切換
本文自適應(yīng)律［14］如下：
式中，βi、γi、μi、ηi、εi為任意正數(shù)，αmi為任意小的正常數(shù)。
該自適應(yīng)律基于滑模變量si自適應(yīng)切換超螺旋滑?？刂圃鲆姒羒、ωi，且無需獲取有界不確定性上界的信息。
3.4 有限時間漸進(jìn)穩(wěn)定性證明
引理2對于一個連續(xù)的系統(tǒng)x∈Rn，假設(shè)存在一個連續(xù)可微的正定函數(shù)V(x)：U→R，并存在正實數(shù)a、b和m∈(0，1) 及包含原點的開鄰域U0?U［20］，使得下式成立：
則系統(tǒng)能夠在有限時間內(nèi)穩(wěn)定，若U=U0=Rn則系統(tǒng)全局有限時間穩(wěn)定，收斂時間t滿足：
選擇如下Lyapunov 函數(shù)：
4 實驗結(jié)果與分析
為驗證本文算法的魯棒性及收斂速度，將考慮質(zhì)心變化的自適應(yīng)全局魯棒超螺旋滑?？刂疲–entroid-Variation Mode based Adaptive Global Super-twisting Sliding Mode Control，CVM_AGSTSMC）算法與未考慮質(zhì)心變化的自適應(yīng)全局魯棒超螺旋滑?？刂疲ˋGSTSMC）算法，考慮質(zhì)心變化的自適應(yīng)超螺旋滑?？刂疲–VM_ASTSMC）算法，考慮質(zhì)心變化的全局魯棒超螺旋滑模控制（CVM_GSTSMC）算法進(jìn)行比較。由于移動平臺運動軌跡為重復(fù)直線運動，故選取其中一段往返運動軌跡進(jìn)行仿真實驗。
定義移動平臺位于鋼箱梁一側(cè)的初始位置為坐標(biāo)原點，平行于鋼箱梁的方向為X 軸方向，初始運動方向為X軸正方向，垂直于鋼箱梁的方向為Y 軸方向，由此設(shè)計移動平臺的期望運動軌跡為：
實際工程中通常選擇先噴下后噴上的噴砂方式，以避免噴砂堆積物堆積影響鋼箱梁底部噴砂除銹的質(zhì)量。為避免漏噴的情況下提高噴砂除銹效率，升降機構(gòu)在移動平臺沿X 軸正方向運動的加速階段與沿X 軸負(fù)方向的加速運動階段進(jìn)行升降運動。根據(jù)移動平臺尺寸確定由升降機構(gòu)引起的移動平臺質(zhì)心變化軌跡：
噴砂除銹并聯(lián)機器人移動平臺機構(gòu)參數(shù)如表1所示。
噴砂除銹并聯(lián)機器人移動平臺軌跡跟蹤仿真參數(shù)如表2所示。
Table 1 Mechanism parameters表1 機構(gòu)參數(shù)
Table 2 Simulink simulation parameters表2 Simulink仿真參數(shù)
考慮到移動平臺軌跡跟蹤存在初始誤差，同時為仿真驗證移動平臺軌跡跟蹤轉(zhuǎn)向性能，設(shè)置移動平臺的初始位姿為
由圖4 可見（彩圖掃OSID 碼可見，下同），CVM_AGSTSMC 控制算法可保證移動平臺沿X 方向軌跡跟蹤誤差在2s 內(nèi)收斂，相較于CVM_GSTSMC、CVM_ASTSMC 及AGSTSMC 算法，在移動平臺X 方向軌跡跟蹤誤差的收斂速度更快。由式（61）知，移動平臺在14～15s 沿X 正方向減速行駛，在16～17s沿X 軸負(fù)方向加速行駛。
由于移動平臺先正向減速，再反向加速，且移動平臺質(zhì)心在16～17s 內(nèi)發(fā)生變化，導(dǎo)致移動平臺X 方向軌跡跟蹤誤差在14～18s內(nèi)增大。
由14～18s 內(nèi)X 方向軌跡跟蹤誤差曲線局部放大圖可知，考慮質(zhì)心變化模型的超螺旋滑?？刂扑惴ㄏ噍^于AGSTSMC，軌跡跟蹤誤差更小。
由圖5、圖6 可見，CVM_AGSTSMC、AGSTSMC 相較于CVM_GSTSMC、CVM_ASTSMC，收斂速度更快，控制精度更高。
Fig.4 Displacement tracking error curve in X direction圖4 X方向位移跟蹤誤差曲線
Fig.5 Displacement tracking error curve in Y direction圖5 Y方向位移跟蹤誤差曲線
Fig.6 Heading angle tracking error curve圖6 航向角跟蹤誤差曲線
由式（9）可知，移動平臺質(zhì)心位置會影響軌跡跟蹤線速度。結(jié)合式（65）與圖7 可知，在17s 時移動平臺質(zhì)心縱坐標(biāo)偏移到最大位置，線速度軌跡跟蹤誤差變大，相較于未考慮質(zhì)心變化模型的自適應(yīng)全局魯棒超螺旋滑模控制算法，考慮質(zhì)心變化模型的超螺旋滑模控制算法可提高移動平臺線速度控制精度。
由圖8、圖9 可見，所使用的自適應(yīng)律可有效抑制驅(qū)動輪驅(qū)動力矩抖振，CVM_AGSTSMC、CVM_GSTSMC、CVM_ASTSMC 相較于AGSTSMC，當(dāng)移動平臺航向角穩(wěn)態(tài)輸出為0rad 時（即移動平臺沿X 方向期望軌跡直線行駛，轉(zhuǎn)向輪不進(jìn)行轉(zhuǎn)向），轉(zhuǎn)向輪輸出力矩輸出更小，趨近于0N，更符合實際控制情形。
Fig.7 Linear velocity tracking curve圖7 線速度跟蹤曲線
Fig.8 Driving torque of driving wheel圖8 驅(qū)動輪驅(qū)動力矩
Fig.9 Steering torque of steering wheel圖9 轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)向力矩
4 結(jié)語
本文針對噴砂除銹并聯(lián)機器人移動平臺質(zhì)心變化影響其軌跡跟蹤控制精度的問題，提出一種基于考慮質(zhì)心變化模型的自適應(yīng)全局魯棒超螺旋滑模軌跡跟蹤控制算法，并通過仿真驗證該算法的有效性。
然而，僅采用離線估計的方法獲取移動平臺質(zhì)心變化軌跡，會使得系統(tǒng)具有一定的局限性。下一步，將結(jié)合智能控制算法實時獲取移動平臺質(zhì)心，以提高算法的實用性和普適性。
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王永尚，高國琴，方志明
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由于鋼箱梁體積龐大，需要升降機構(gòu)配合并聯(lián)操作機構(gòu)與末端噴槍對不同高度鋼箱梁面進(jìn)行噴砂除銹。在實際操作過程中，升降機構(gòu)運動會導(dǎo)致移動平臺質(zhì)心位置發(fā)生變化，從而引起動力學(xué)模型慣性矩陣參數(shù)發(fā)生改變，進(jìn)而影響控制器輸出力矩，降低移動平臺軌跡跟蹤控制性能。因此，需要研究質(zhì)心變化情況下，移動平臺高性能軌跡跟蹤控制問題。
1 相關(guān)研究
建立考慮質(zhì)心變化的移動平臺數(shù)學(xué)模型是設(shè)計高性能軌跡跟蹤控制器的基礎(chǔ)，目前已有學(xué)者針對移動機器人質(zhì)心偏移與質(zhì)心不確定問題進(jìn)行相關(guān)研究，并建立考慮質(zhì)心位置未知的移動平臺模型。例如，F(xiàn)ilho 等［3］從運動學(xué)模型角度推導(dǎo)分析移動機器人質(zhì)心位置對其軌跡跟蹤誤差的影響。耿新等［4-5］在移動機器人質(zhì)心與幾何中心不重合的情形下，建立移動平臺質(zhì)心偏移的運動學(xué)模型，并將該模型中移動機器人質(zhì)心與幾何中心之間的距離d視為常量。但在生產(chǎn)實踐中，由于硬件形變、碰撞磨損、測量誤差等原因，實際距離通常無法精確測量。孫忠廷等［6］認(rèn)為質(zhì)心僅在移動平臺兩后輪中軸線上變化。Huang 等［7］針對全向移動機器人質(zhì)心偏移問題，采用極坐標(biāo)表示質(zhì)心位置，然而該方法更適用于構(gòu)建全向移動機器人的動力學(xué)模型。
為此，本文根據(jù)移動平臺質(zhì)心坐標(biāo)與其軌跡跟蹤參考點坐標(biāo)在全局坐標(biāo)系下的幾何位置關(guān)系方程，推導(dǎo)質(zhì)心速度與軌跡跟蹤參考點速度的代數(shù)方程，由此建立考慮質(zhì)心變化的移動平臺動力學(xué)模型。該模型考慮移動平臺質(zhì)心側(cè)偏變化的情況，為動力學(xué)控制器設(shè)計奠定基礎(chǔ)。
移動平臺是一類具有非完整約束的多輸入、多輸出、非線性系統(tǒng)［8-9］。在質(zhì)心變化情況下，系統(tǒng)的不確定性問題更為突出［10］，將影響移動平臺軌跡跟蹤精度。因此，針對移動機器人系統(tǒng)存在的不確定性問題，設(shè)計滑?？刂破魈岣呦到y(tǒng)魯棒性［11］。孫忠廷等［6］針對移動機器人質(zhì)心位置變化引起的運動學(xué)參數(shù)不確定性問題，設(shè)計關(guān)于質(zhì)心偏移距離d的自適應(yīng)律，對系統(tǒng)運動學(xué)模型參數(shù)變化進(jìn)行自適應(yīng)控制，然而該方法僅適用于質(zhì)心沿兩后輪中軸線變化情況，難以應(yīng)用于質(zhì)心側(cè)偏變化的動力學(xué)控制。Peng等［12］針對移動機器人軌跡跟蹤控制中出現(xiàn)的參數(shù)不確定性與外部干擾問題，提出自適應(yīng)模糊輸出反饋控制算法克服系統(tǒng)不確定性和外部干擾，并削弱滑模控制抖振，但需要預(yù)先知道不確定性上界信息。
此外，傳統(tǒng)一階滑?？刂拼嬖谮吔A段魯棒性較差，存在控制抖振問題，系統(tǒng)收斂速度較慢等問題。為此，本文提出一種自適應(yīng)全局魯棒超螺旋滑模軌跡跟蹤控制算法，既保證系統(tǒng)的全局魯棒性［13］，又解決傳統(tǒng)滑?？刂埔蛳到y(tǒng)不確定性引起的增益過量問題，同時在一定程度上提高系統(tǒng)收斂速度［14］。
該方法的創(chuàng)新點包括：建立考慮質(zhì)心變化的移動平臺動力學(xué)模型，解決現(xiàn)有動力學(xué)模型建模不準(zhǔn)確的問題，彌補由質(zhì)心變化引起的誤差；設(shè)計一種自適應(yīng)全局魯棒超螺旋滑模軌跡跟蹤控制算法，保證移動平臺在質(zhì)心變化的情況下仍然能夠進(jìn)行高性能軌跡跟蹤控制。
2 問題描述
2.1 噴砂除銹并聯(lián)機器人移動平臺運動學(xué)模型
本文以車式移動平臺（Car-Like Mobile Platform，CLMP）為研究對象［15-16］，質(zhì)心變化情況下的移動平臺結(jié)構(gòu)示意圖如圖2 所示。其中，OXY 是以地面為參考系的全局坐標(biāo)系，OrXrYr則是以機器人自身為參考系的局部坐標(biāo)系。
Fig.2 Vehicle type mobile platform structure圖2 車式移動平臺結(jié)構(gòu)
選取移動平臺兩后輪中心點作為移動平臺軌跡跟蹤參考點，該點為移動平臺局部坐標(biāo)系坐標(biāo)原點，在全局坐標(biāo)系中坐標(biāo)為(x，y)。定義移動平臺的位姿為q=[x y θ δ φ]T，其中θ為移動平臺運動方向與x軸方向的夾角，δ為前輪轉(zhuǎn)向角，φ為前輪角速度，r為CLMP 的車輪半徑，b為CLMP 兩后輪間距的1/2，l為CLMP 的前后輪軸間距，G為CLMP 實際質(zhì)心的位置，在局部坐標(biāo)系中坐標(biāo)為(f1，f2)。
假設(shè)移動平臺在移動過程中，滿足純滾動無滑動即移動平臺運動方向始終垂直于車軸，可滿足非完整約束方程：
簡化后可用矩陣進(jìn)行重寫為：
根據(jù)式（1），車式移動平臺的運動學(xué)模型為：
式中，為滿秩的速度轉(zhuǎn)換矩陣，為速度向量V=[v w]T，v表示車式移動機器人的線速度，w為前輪轉(zhuǎn)向角速度。
定義軌跡曲率σ為：
因此，車式移動平臺的運動學(xué)方程可以表示為：
根據(jù)式（4），對時間求導(dǎo)可得：
1.2 質(zhì)心變化噴砂除銹并聯(lián)機器人移動平臺動力學(xué)模型
移動平臺質(zhì)心局部坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(f1，f2)，全局坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(xG，yG)，全局坐標(biāo)系下建立移動平臺質(zhì)心位置坐標(biāo)(xG，yG)與軌跡跟蹤參考點坐標(biāo)(x，y)幾何位置關(guān)系方程：
求導(dǎo)得：
由于移動平臺在水平地面上行駛，其勢能近似為零（即U=0），由拉格朗日函數(shù)法建立質(zhì)心偏移噴砂除銹并聯(lián)機器人移動平臺的動力學(xué)模型，如式（10）所示：
式中，E(q)為輸入轉(zhuǎn)換矩陣，τ為力矩輸入向量，AT(q)為非完整約束矩陣，λ為拉格朗日乘子。移動平臺的總動能K可表示為：
式中，Kp表示質(zhì)心偏移噴砂除銹并聯(lián)機器人移動平臺車體的動能，Kw表示移動平臺驅(qū)動與轉(zhuǎn)向輪的動能，如式（12）、式（13）所示：
式中，mp表示移動平臺車體的質(zhì)量，mw表示車輪的質(zhì)量，Ip表示車體的轉(zhuǎn)動慣量，Iw表示車輪的轉(zhuǎn)動慣量。
將式（9）、式（12）、式（13）帶入式（10）得移動平臺動力學(xué)模型的矩陣形式為：
式中，M(q)為系統(tǒng)慣性矩陣，為與速度和位置相關(guān)的離心力和哥氏力項，τ1、τ2分別為驅(qū)動電機輸出力矩與轉(zhuǎn)向電機輸出力矩。
對式（14）左乘JT(q)消除動力學(xué)模型非完整約束項ATλ，并將式（5）代入式（14）得到變換后的動力學(xué)方程：
最終，移動平臺的動力學(xué)模型可表示為：
式中，d(t)為鋼砂地面地形阻力等外部干擾。
3 質(zhì)心變化的移動平臺高性能軌跡跟蹤控制器設(shè)計
首先，從運動學(xué)與動力學(xué)模型的角度出發(fā)，依據(jù)運動學(xué)模型的位姿誤差方程，選擇合適的Lyapunov 函數(shù)。然后，引入雙曲函數(shù)趨近律，設(shè)計運動學(xué)反演滑?？刂破鳌Ｗ詈螅ㄟ^控制器的輸出線速度vc和軌跡曲率為動力學(xué)控制器虛擬速度輸入量。移動平臺軌跡跟蹤控制流程如圖3所示。
Fig.3 Controller flow圖3 控制器流程
3.1 運動學(xué)控制器設(shè)計
定義移動平臺的參考軌跡位姿qd=[xd yd θd]T，其實際軌跡位姿q=[x y θ]T，可得期望軌跡與實際軌跡的位姿跟蹤誤差qe：
對式（16）關(guān)于時間t求導(dǎo)得：
引理1對于任意x∈R并且|x|＜∞，有?(x)=xsin(arctan(x)) ≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立。當(dāng)xe=0時，考察Lyapunov 函數(shù)［17］可得：
求導(dǎo)可得：
當(dāng)xe=0 時，，根據(jù)引理1 可知θe=-arctan(vdye)，則：
其中，當(dāng)且僅當(dāng)yevd=0時等式成立。
因此，只要xe收斂至0 且θe收斂至-arctan(yevd)時，系統(tǒng)狀態(tài)ye收斂為0。根據(jù)上述結(jié)論設(shè)計切換函數(shù)：
令ξ=arctan(yevd)，對滑模變量求導(dǎo)得：
將式（19）代入式（24）可得：
整理式（25）可得控制律：
為使滑模變量遠(yuǎn)離平衡點時快速趨近滑模面，提高系統(tǒng)到達(dá)階段的收斂速度，進(jìn)一步抑制滑?？刂贫墩?，引入一種新型的雙曲函數(shù)趨近律［18］：
式中，s為滑模變量，k1、k2、a、b均為大于0 的可調(diào)參數(shù)，q為正奇數(shù)冪次項為雙曲正切函數(shù)，為反雙曲正弦函數(shù)。當(dāng)滑模變量s遠(yuǎn)離滑模面，滑模變量導(dǎo)數(shù)主要由式（27）的第二項-k2asinh(bsq)決定；當(dāng)滑模變量s趨近零時的主要由式（27）的第一項-k1tanh(as)決定。
滑模變量的收斂速度隨著滑模變量s變化而變化，當(dāng)滑模變量遠(yuǎn)離滑模面時，反雙曲正弦函數(shù)可加速滑模變量趨近滑模面；當(dāng)滑模變量趨近于零時，雙曲正切函數(shù)可保證滑模變量無限趨近于零而不會繞過零。最終達(dá)到加快滑模變量到達(dá)階段的收斂速度的目的，并以雙曲正切函數(shù)tanh(as)代替符號函數(shù)消除滑?？刂贫墩?。
根據(jù)式（28）可知，當(dāng)s=0 時當(dāng)s＞0 時，tanh(as) ＞0 且asinh(bsq) ＞0，因此；當(dāng)s＜0 時，tanh(as) ＜0 且asin(bsq) ＜0，因此。綜上，當(dāng)且僅當(dāng)s=0時成立。
3.2 全局魯棒超螺旋滑?？刂破髟O(shè)計
為保證移動平臺的實際速度收斂至運動學(xué)控制器所產(chǎn)生的控制速度，本文使用全局魯棒超螺旋滑?？刂品椒ㄔO(shè)計動力學(xué)控制器。引入虛擬速度量跟蹤誤差及其導(dǎo)數(shù)為：
設(shè)計全局滑模面如下：
式中，滑模變量S(t)=[s1s2]T，移動平臺速度跟蹤誤差分別為移動平臺期望速度向量和實際速度向量，且Vc=分別表示移動平臺期望線速度與和實際線速度分別表示移動平臺期望轉(zhuǎn)向曲率的導(dǎo)數(shù)與實際轉(zhuǎn)向曲率的導(dǎo)數(shù)，βv＞0，βσ＞0，λ=diag(λ1，λ2)，λ1、λ2為可調(diào)正的實數(shù)，?(0) 為?(t) 的初始值。
由此可見，當(dāng)t=0 時滑模變量S=0，滑?？刂铺幱跓o趨近階段，從而能夠保證控制系統(tǒng)具有較強的全局魯棒性。
對S(t)求導(dǎo)可得：
在不考慮系統(tǒng)的不確定項的情況下，結(jié)合移動平臺動力學(xué)模型式（16）可得：
選取如下超螺旋滑模控制律為：
其中，α=diag(α1，α2)，ω=diag(ω1，ω2)為可調(diào)正定對角矩陣。結(jié)合式（28）、式（29）可得移動平臺全局魯棒超螺旋滑?？刂破鳎?/p>
基于考慮質(zhì)心變化的移動平臺動力學(xué)模型，將式（16）中的外部干擾項轉(zhuǎn)移至超螺旋滑?？刂坡芍?，結(jié)合式（16）、式（37）可得：
3.3 增益自適應(yīng)律切換
本文自適應(yīng)律［14］如下：
式中，βi、γi、μi、ηi、εi為任意正數(shù)，αmi為任意小的正常數(shù)。
該自適應(yīng)律基于滑模變量si自適應(yīng)切換超螺旋滑?？刂圃鲆姒羒、ωi，且無需獲取有界不確定性上界的信息。
3.4 有限時間漸進(jìn)穩(wěn)定性證明
引理2對于一個連續(xù)的系統(tǒng)x∈Rn，假設(shè)存在一個連續(xù)可微的正定函數(shù)V(x)：U→R，并存在正實數(shù)a、b和m∈(0，1) 及包含原點的開鄰域U0?U［20］，使得下式成立：
則系統(tǒng)能夠在有限時間內(nèi)穩(wěn)定，若U=U0=Rn則系統(tǒng)全局有限時間穩(wěn)定，收斂時間t滿足：
選擇如下Lyapunov 函數(shù)：
4 實驗結(jié)果與分析
為驗證本文算法的魯棒性及收斂速度，將考慮質(zhì)心變化的自適應(yīng)全局魯棒超螺旋滑?？刂疲–entroid-Variation Mode based Adaptive Global Super-twisting Sliding Mode Control，CVM_AGSTSMC）算法與未考慮質(zhì)心變化的自適應(yīng)全局魯棒超螺旋滑?？刂疲ˋGSTSMC）算法，考慮質(zhì)心變化的自適應(yīng)超螺旋滑?？刂疲–VM_ASTSMC）算法，考慮質(zhì)心變化的全局魯棒超螺旋滑模控制（CVM_GSTSMC）算法進(jìn)行比較。由于移動平臺運動軌跡為重復(fù)直線運動，故選取其中一段往返運動軌跡進(jìn)行仿真實驗。
定義移動平臺位于鋼箱梁一側(cè)的初始位置為坐標(biāo)原點，平行于鋼箱梁的方向為X 軸方向，初始運動方向為X軸正方向，垂直于鋼箱梁的方向為Y 軸方向，由此設(shè)計移動平臺的期望運動軌跡為：
實際工程中通常選擇先噴下后噴上的噴砂方式，以避免噴砂堆積物堆積影響鋼箱梁底部噴砂除銹的質(zhì)量。為避免漏噴的情況下提高噴砂除銹效率，升降機構(gòu)在移動平臺沿X 軸正方向運動的加速階段與沿X 軸負(fù)方向的加速運動階段進(jìn)行升降運動。根據(jù)移動平臺尺寸確定由升降機構(gòu)引起的移動平臺質(zhì)心變化軌跡：
噴砂除銹并聯(lián)機器人移動平臺機構(gòu)參數(shù)如表1所示。
噴砂除銹并聯(lián)機器人移動平臺軌跡跟蹤仿真參數(shù)如表2所示。
Table 1 Mechanism parameters表1 機構(gòu)參數(shù)
Table 2 Simulink simulation parameters表2 Simulink仿真參數(shù)
考慮到移動平臺軌跡跟蹤存在初始誤差，同時為仿真驗證移動平臺軌跡跟蹤轉(zhuǎn)向性能，設(shè)置移動平臺的初始位姿為
由圖4 可見（彩圖掃OSID 碼可見，下同），CVM_AGSTSMC 控制算法可保證移動平臺沿X 方向軌跡跟蹤誤差在2s 內(nèi)收斂，相較于CVM_GSTSMC、CVM_ASTSMC 及AGSTSMC 算法，在移動平臺X 方向軌跡跟蹤誤差的收斂速度更快。由式（61）知，移動平臺在14～15s 沿X 正方向減速行駛，在16～17s沿X 軸負(fù)方向加速行駛。
由于移動平臺先正向減速，再反向加速，且移動平臺質(zhì)心在16～17s 內(nèi)發(fā)生變化，導(dǎo)致移動平臺X 方向軌跡跟蹤誤差在14～18s內(nèi)增大。
由14～18s 內(nèi)X 方向軌跡跟蹤誤差曲線局部放大圖可知，考慮質(zhì)心變化模型的超螺旋滑?？刂扑惴ㄏ噍^于AGSTSMC，軌跡跟蹤誤差更小。
由圖5、圖6 可見，CVM_AGSTSMC、AGSTSMC 相較于CVM_GSTSMC、CVM_ASTSMC，收斂速度更快，控制精度更高。
Fig.4 Displacement tracking error curve in X direction圖4 X方向位移跟蹤誤差曲線
Fig.5 Displacement tracking error curve in Y direction圖5 Y方向位移跟蹤誤差曲線
Fig.6 Heading angle tracking error curve圖6 航向角跟蹤誤差曲線
由式（9）可知，移動平臺質(zhì)心位置會影響軌跡跟蹤線速度。結(jié)合式（65）與圖7 可知，在17s 時移動平臺質(zhì)心縱坐標(biāo)偏移到最大位置，線速度軌跡跟蹤誤差變大，相較于未考慮質(zhì)心變化模型的自適應(yīng)全局魯棒超螺旋滑模控制算法，考慮質(zhì)心變化模型的超螺旋滑模控制算法可提高移動平臺線速度控制精度。
由圖8、圖9 可見，所使用的自適應(yīng)律可有效抑制驅(qū)動輪驅(qū)動力矩抖振，CVM_AGSTSMC、CVM_GSTSMC、CVM_ASTSMC 相較于AGSTSMC，當(dāng)移動平臺航向角穩(wěn)態(tài)輸出為0rad 時（即移動平臺沿X 方向期望軌跡直線行駛，轉(zhuǎn)向輪不進(jìn)行轉(zhuǎn)向），轉(zhuǎn)向輪輸出力矩輸出更小，趨近于0N，更符合實際控制情形。
Fig.7 Linear velocity tracking curve圖7 線速度跟蹤曲線
Fig.8 Driving torque of driving wheel圖8 驅(qū)動輪驅(qū)動力矩
Fig.9 Steering torque of steering wheel圖9 轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)向力矩
4 結(jié)語
本文針對噴砂除銹并聯(lián)機器人移動平臺質(zhì)心變化影響其軌跡跟蹤控制精度的問題，提出一種基于考慮質(zhì)心變化模型的自適應(yīng)全局魯棒超螺旋滑模軌跡跟蹤控制算法，并通過仿真驗證該算法的有效性。
然而，僅采用離線估計的方法獲取移動平臺質(zhì)心變化軌跡，會使得系統(tǒng)具有一定的局限性。下一步，將結(jié)合智能控制算法實時獲取移動平臺質(zhì)心，以提高算法的實用性和普適性。
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