程智恒

（南京航空航天大學(xué)航空學(xué)院，江蘇 南京 210016）

直升機(jī)的振動(dòng)特性對(duì)機(jī)體的安全影響十分大，其中槳葉上的振動(dòng)最為關(guān)鍵和復(fù)雜，準(zhǔn)確識(shí)別出槳葉的振動(dòng)模態(tài)不僅影響著對(duì)振動(dòng)的控制，也對(duì)機(jī)體的安全具有重要意義。

模態(tài)分析分為有限元分析法、試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析法和運(yùn)行模態(tài)分析法[1]。有限元法由于條件的限制，無(wú)法達(dá)到較高精度；試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析法則由于試驗(yàn)和真實(shí)環(huán)境的差異以及施加激勵(lì)的難度，限制了其適用范圍；運(yùn)行模態(tài)分析則只需要采集響應(yīng)信號(hào)即可識(shí)別模態(tài)參數(shù)。

從時(shí)域、頻域、時(shí)頻域進(jìn)行運(yùn)行模態(tài)分析也存在不同特點(diǎn)[2]。時(shí)域法（如Ibrahim時(shí)域法、最小二乘復(fù)指數(shù)法、隨機(jī)子空間法等）不用將測(cè)得的響應(yīng)和激勵(lì)信號(hào)變換到頻域中進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，但難以測(cè)得載荷，且噪聲易引起虛假模態(tài)和模型難定階。頻域法（如峰值拾取法、頻域分解法、最小二乘復(fù)頻域法等）技術(shù)發(fā)展較為成熟，對(duì)噪聲的處理也較好，模態(tài)分布直觀，但只適用于低阻尼結(jié)構(gòu)并且對(duì)阻尼識(shí)別效果較差。時(shí)頻法（如小波變換、短時(shí)傅里葉變換等）不具有時(shí)域法的噪聲、定階問(wèn)題和頻域法只適用于低阻尼結(jié)構(gòu)、阻尼識(shí)別效果差的問(wèn)題，卻受限于基于時(shí)域和頻域的信息的繁雜計(jì)算過(guò)程。

何緒飛等[3]利用小波域的AR模型實(shí)現(xiàn)了對(duì)直升機(jī)機(jī)體的模態(tài)參數(shù)識(shí)別。胡嘉苗等[4]利用Periodic PO-MOESS算法成功識(shí)別風(fēng)塔機(jī)受到周期激勵(lì)的結(jié)構(gòu)模態(tài)。杭曉晨等[5]利用AR模型譜估計(jì)對(duì)頻域分解法進(jìn)行了改進(jìn)，驗(yàn)證了這種方法對(duì)識(shí)別固定翼機(jī)翼振動(dòng)模態(tài)的有效性，其試驗(yàn)表明，這種改進(jìn)提高了阻尼識(shí)別精度和模態(tài)分布的可視性。

鑒于頻域法的直觀和計(jì)算的簡(jiǎn)單，并且噪聲易處理，本文采取基于AR模型的頻域分解法對(duì)直升機(jī)槳葉模態(tài)應(yīng)用的有效性進(jìn)行了分析，驗(yàn)證了這種方法能夠有效識(shí)別旋轉(zhuǎn)槳葉固有頻率。

1 頻域分解法的基本理論

頻域分解法是在峰值拾取法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一種頻域模態(tài)參數(shù)的識(shí)別辦法[6]。其基本原理是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)峰值可以代表自身的震蕩頻率，自身固有頻率可以作為特征頻率的良好估計(jì)結(jié)果。頻域分解法是將結(jié)構(gòu)響應(yīng)的功率譜密度函數(shù)在峰值處進(jìn)行奇異值分解，得到對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)多模態(tài)的單自由度系統(tǒng)功率譜密度函數(shù)。輸出響應(yīng)的功率譜密度Gyy（m×m的矩陣）可由下式求得[7]：

式（1）中：H（jω）是結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)矩陣；Gxx（jω）為激勵(lì)的功率譜密度矩陣，為r×r階的矩陣，結(jié)構(gòu)外部激勵(lì)為u（t），結(jié)構(gòu)響應(yīng)為y（t）。

利用頻域分解法識(shí)別固有頻率，橫縱坐標(biāo)分別為頻率和輸出響應(yīng)的功率譜奇異值。利用奇異值分解，可以使奇異值曲線在分解過(guò)程中從大到小重新排列，奇異值曲線中占主導(dǎo)地位的是第一條奇異值分解曲線[8]。第一條奇異值曲線功率譜圖中峰值對(duì)應(yīng)的頻率即結(jié)構(gòu)固有頻率，峰值處奇異值對(duì)應(yīng)的奇異值向量為結(jié)構(gòu)振型。

2 AR模型求功率譜

AR模型是一種線性預(yù)測(cè)[7]，原理是由已知的N個(gè)數(shù)據(jù)，根據(jù)模型來(lái)推出N點(diǎn)前后的數(shù)據(jù)。不同于差值法由兩點(diǎn)或者少數(shù)幾點(diǎn)去推導(dǎo)多點(diǎn)，AR模型由N點(diǎn)去進(jìn)行遞推，比差值增加了有效數(shù)據(jù)，因此預(yù)測(cè)效果比插值方法好。

為解決經(jīng)典功率譜估計(jì)方法的平均周期圖法的方差性較差、分辨率較低的問(wèn)題，并且相對(duì)于自相關(guān)算法，Burg算法計(jì)算簡(jiǎn)單且分辨率較高，因此本文采取基于AR模型的Burg法進(jìn)行譜估計(jì)，并進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證其譜估計(jì)效果。

AR參數(shù)模型如下：

式（2）中：u（n）為白噪聲信號(hào)。

方差σ2的白噪聲序列作為輸入信號(hào)，其中AR模型階數(shù)p則是未知的，需要通過(guò)定階準(zhǔn)則來(lái)對(duì)模型定階。本文采用FPE準(zhǔn)則來(lái)完成定階。最終預(yù)報(bào)誤差（FPE）準(zhǔn)則，其判斷依據(jù)就是最終預(yù)報(bào)誤差最小情況來(lái)確定AR模型階數(shù)p。最終預(yù)報(bào)誤差可由下式表示：

對(duì)AR模型表達(dá)式求z變換，得到系統(tǒng)函數(shù)：

根據(jù)功率譜和傅里葉變換的關(guān)系因此可求功率譜密度為：

因此，整個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為估計(jì)模型的參數(shù)ak進(jìn)而求出信號(hào)的功率譜。

Burg算法是首先令前后項(xiàng)預(yù)測(cè)誤差功率之和為最小估計(jì)出反射系數(shù)，再迭代計(jì)算估計(jì)出AR模型參數(shù)，反射系數(shù)計(jì)算如下：

其中：

3 算例研究

3.1 模擬信號(hào)仿真

功率譜估計(jì)主要研究信號(hào)在頻域中的各種特征，目的是根據(jù)有限數(shù)據(jù)在頻域內(nèi)提取被淹沒(méi)在噪聲中的有用信號(hào)[9]。本節(jié)選取2個(gè)頻率，分別為50 Hz和200 Hz的正弦信號(hào)的疊加信號(hào)，再疊加高斯白噪聲作為仿真信號(hào)，采樣周期為0.001 s，采樣點(diǎn)數(shù)量為1 000。采用頻域分解法常用譜估計(jì)方法中的周期圖法、Welch法和基于AR模型的自相關(guān)法與基于AR模型的Burg算法進(jìn)行對(duì)比，分析AR功率譜估計(jì)效果及影響AR譜估計(jì)的因素[8]，如圖1—圖5所示。

圖1 仿真信號(hào)

圖2 基于周期圖法的功率譜估計(jì)

圖5 基于Burg法的功率譜估計(jì)

圖3 基于自相關(guān)函數(shù)的功率譜估計(jì)

圖4 基于Welch法的功率譜估計(jì)

仿真結(jié)果顯示，周期圖法估計(jì)結(jié)果與自相關(guān)函數(shù)法都有高分辨率的峰值，但是功率譜曲線毛刺較多，而Welch法對(duì)曲線毛刺突出有所壓制，但卻降低了峰值的分辨率，使得峰值不夠尖銳突出?；贐urg法的AR模型的功率譜不僅僅在峰指處尖銳分辨率高，曲線也光滑沒(méi)有毛刺干擾，顯示效果理想。

但是在仿真過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，不同階次的AR模型譜估計(jì)結(jié)果差異較大，下面對(duì)不同階次的模型譜估計(jì)進(jìn)行仿真并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。

各階AR模型功率譜效果圖如圖6所示。從圖6中可以得到，當(dāng)模型階數(shù)從低逐漸升高時(shí)，曲線的顯示效果也從平滑不明顯到峰值突出曲線平滑，再變成峰值突出曲線出現(xiàn)毛刺，直至最后毛刺明顯產(chǎn)生虛假峰。因此在AR模型譜估計(jì)中，需要選擇合適的模型階數(shù)，過(guò)低會(huì)導(dǎo)致峰值不明顯，過(guò)高則會(huì)導(dǎo)致圖譜曲線出現(xiàn)毛刺和假峰。結(jié)果表明模型定階的必要性，合適的模型階數(shù)能夠提高功率譜圖峰值分辨率，得到清晰的譜峰和較小的估計(jì)方差。

圖6 各階AR模型功率譜效果圖

3.2 多自由度的密集模態(tài)識(shí)別仿真

下面將基于AR模型的頻域分解法對(duì)多自由度結(jié)構(gòu)的密集模態(tài)進(jìn)行識(shí)別和分析，確保應(yīng)用時(shí)不會(huì)產(chǎn)生模態(tài)遺漏。

自由度分別為2、4、6、8的結(jié)構(gòu)的功率譜圖如圖7—圖10所示，并且根據(jù)識(shí)別出的結(jié)構(gòu)固有頻率與結(jié)構(gòu)實(shí)際固有頻率的比較，得到估計(jì)的誤差結(jié)果，如表1所示。其中仿真輸入信號(hào)如下：

式（4）中：n為結(jié)構(gòu)自由度數(shù)；fk為輸入頻率；m為采樣點(diǎn)數(shù)。

從圖7—圖10中可得出，多自由的結(jié)構(gòu)的AR功率譜圖的峰值明顯易區(qū)分。表1中的數(shù)據(jù)顯示，固有頻率的估計(jì)結(jié)果與實(shí)際固有頻率的數(shù)值的誤差最大不超過(guò)2%，識(shí)別結(jié)果顯示理想，因此AR模型的譜估計(jì)對(duì)密集模態(tài)也適用。

圖7 2自由度系統(tǒng)功率譜圖

圖8 4自由度系統(tǒng)功率譜圖

圖9 6自由度系統(tǒng)功率譜圖

圖10 8自由度系統(tǒng)功率譜圖

表1 多自由度結(jié)構(gòu)固有頻率識(shí)別

3.3 旋轉(zhuǎn)槳葉運(yùn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別

前面研究了在仿真信號(hào)輸入的情況下的識(shí)別效果，并得到了理想的結(jié)果。下面將根據(jù)基于AR模型譜估計(jì)的頻域分解法，通過(guò)MATLAB進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別的編程，對(duì)槳葉真實(shí)工作情況下的振動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和識(shí)別，證明對(duì)槳葉模態(tài)識(shí)別的有效性。

為了通過(guò)有限元求得理想數(shù)值，且沒(méi)有變距的運(yùn)動(dòng)槳葉與旋轉(zhuǎn)梁的工作情況相似，下面試驗(yàn)將對(duì)搭建的旋翼試驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)梁試驗(yàn)，模擬旋轉(zhuǎn)槳葉的運(yùn)動(dòng)，對(duì)槳葉固有頻率進(jìn)行識(shí)別，與有限元方法得到的理論結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，分析與理論數(shù)值的誤差。

其中梁的測(cè)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)梁試驗(yàn)臺(tái)分別如圖11和圖12所示，計(jì)算結(jié)果如表2所示。

圖11 梁的測(cè)點(diǎn)貼片

圖12 旋轉(zhuǎn)梁試驗(yàn)臺(tái)

表2 梁模型固有模態(tài)頻率

從表2中的數(shù)據(jù)可知，將經(jīng)典頻域分解法和基于AR模型譜估計(jì)的頻域分解法得到的固有頻率與有限元法計(jì)算得到的理論結(jié)果進(jìn)行比較，2種方法的最大誤差均在可以接受的范圍之內(nèi)，即經(jīng)典頻域分解法與基于AR模型譜估計(jì)的頻域分解法用于剛性旋轉(zhuǎn)槳葉模態(tài)參數(shù)的識(shí)別中是可行的，但基于AR模型譜估計(jì)的頻域分解法更接近理論值，誤差更小。

4 結(jié)論

基于AR模型譜估計(jì)的結(jié)果直觀、譜峰明顯易拾取且分辨率較高的優(yōu)點(diǎn)，本文對(duì)基于AR模型譜估計(jì)的頻域分解法進(jìn)行了密集模態(tài)識(shí)別驗(yàn)證，分析了影響其模態(tài)分析效果的因素，并對(duì)其應(yīng)用在直升機(jī)槳葉上的有效性進(jìn)行旋轉(zhuǎn)梁試驗(yàn)驗(yàn)證。結(jié)果表明基于AR模型譜估計(jì)的頻域分解法相較于經(jīng)典頻域分解法，其功率譜圖的峰值更突出易拾取，并能夠?qū)γ芗B(tài)精確識(shí)別，且模態(tài)識(shí)別精度更高，雖然譜估計(jì)效果在很大程度上取決于模型的階數(shù)取值，利用定階準(zhǔn)則就能夠解決這一問(wèn)題，結(jié)果表明此方法適用于直升機(jī)槳葉的模態(tài)識(shí)別。