吳文娟 張 輝(特級教師)

(北京市陳經(jīng)綸中學(xué))

立體幾何中的動點(diǎn)問題是一類常見問題,解決此類問題通常有兩種方法:一是幾何法,主要是通過作圖,利用定理進(jìn)行推斷、證明和計(jì)算,常常會用到反證法,借助極端位置、特殊位置加以分析;二是空間向量法,建立空間直角坐標(biāo)系、設(shè)點(diǎn),通過坐標(biāo)運(yùn)算得出結(jié)論.如果問題不需要定量計(jì)算,首選幾何法.如果需要計(jì)算,可以先考慮運(yùn)用幾何法分析出幾何性質(zhì),然后計(jì)算;如果比較容易建立空間直角坐標(biāo)系或變量較多、不易直接找出所需要的位置關(guān)系,可以首先考慮向量法.下面通過具體例題加以說明.

例1如圖1 所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB＝AD＝2,AA1＝1,O是AC的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段A1C1上.若直線OP與平面ACD1所成的角為θ,則cosθ的取值范圍是( ).

圖1

解析方法1本題是一道選擇題,需要運(yùn)算求解cosθ,因此可以采用幾何法分析圖形的幾何性質(zhì),通過極端位置分析求解.

圖2

方法2此題可以建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求出sinθ,進(jìn)而求出cosθ.以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖3),則A(2,0,0),C(0,2,0),O(1,1,0),D1(0,0,1).

圖3

點(diǎn)評解選擇題可以先研究特殊位置,再研究一般位置,歸納位置關(guān)系后直接利用極端位置加以分析.如果想避免復(fù)雜的分析與推理,或不能準(zhǔn)確判斷空間位置關(guān)系,就可以直接運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算.由于涉及范圍,所以最終都要用到函數(shù)求最值的方法.方法2采用了二次函數(shù)求最值的方法,求解時(shí)需要注意自變量的取值范圍,此題選用特殊位置的方法求解會比較快捷.

例2如圖4所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若BC＝2AB＝2,AA1＝AC＝,M是B1C1的中點(diǎn),過AM作這個(gè)三棱柱的截面,當(dāng)截面與平面ABC夾角最小時(shí),這個(gè)截面的面積為( ).

圖4

解析方法1本題主要考查無棱二面角的最值問題,解題的關(guān)鍵在于尋找截面ANME(如圖5).過點(diǎn)M作底面ABC的垂線,垂足為BC的中點(diǎn)D,根據(jù)定義作出二面角的平面角.要想使二面角最小,只需使垂足D到過點(diǎn)A的棱的距離最大.二面角的棱為底面ABC內(nèi)過點(diǎn)A的直線,顯然最大距離為AD,即過點(diǎn)A作AD的垂線,該垂線為二面角的棱時(shí),二面角最小.通過找到截面與棱的交點(diǎn)的位置,來確定截面圖形,進(jìn)而求出截面面積.具體做法如下.

圖5

取BC的中點(diǎn)為D,連接MD,因?yàn)镸為B1C1的中點(diǎn),所以B1M∥BD且B1M＝BD,所以B1B∥MD.因?yàn)锽1B⊥平面ABC,所以MD⊥平面ABC.過點(diǎn)D作AD的垂線交AC于點(diǎn)F(如圖6),因?yàn)樵谥比庵鵄BC-A1B1C1中,BC＝2AB＝2,AA1＝AC＝,M是B1C1中點(diǎn),易得FD＝FC＝,故點(diǎn)F為AC上距C較近的三等分點(diǎn).取A1C1上距C1較近的三等分點(diǎn)為點(diǎn)E,在平面A1B1C1內(nèi),延長EM交A1B1的延長線于點(diǎn)G(如圖7),得B1G＝A1B1,即B1為線段A1G的中點(diǎn),連接AG交B1B于點(diǎn)N,易知N為B1B的中點(diǎn),故截面與平面ABC夾角最小時(shí)的截面即為四邊形ANME.

圖6

圖7

方法2建立空間直角坐標(biāo)系,采用向量法將截面與平面ABC的夾角θ滿足的余弦函數(shù)關(guān)系用坐標(biāo)表示出來,從函數(shù)角度尋找函數(shù)值取得最大值時(shí)自變量的取值,所以需要把截面與直線BB1和A1C1的交點(diǎn)坐標(biāo)求出來,再根據(jù)四邊形的面積求解即可.

圖8

點(diǎn)評本題考查無棱二面角最值問題,對于空間想象力要求較高.采用幾何法需要作出二面角的平面角,將空間問題平面化進(jìn)行運(yùn)算求解,找到二面角后,用平面幾何的方法就能比較容易得出答案.采用向量法入手容易,難點(diǎn)是對cosθ＝|cos〈m,n〉|＝進(jìn)行處理,即采用整體換元的方法將“三元”合理轉(zhuǎn)化為“一元”求解,但是能想到這一步確實(shí)存在一定的難度,需要明確代數(shù)式子的變形方法及方向.

例3如圖9 所示,等腰直角△ABC中,AC＝BC＝2,點(diǎn)P為平面ABC外一動點(diǎn),滿足PB＝AB,∠PBA＝,給出下列四個(gè)結(jié)論:

圖9

①存在點(diǎn)P,使得平面PAC⊥平面PBC;

②存在點(diǎn)P,使得平面PAC⊥平面PAB;

③設(shè)△PAC的面積為S,則S的取值范圍是(0,4];

④設(shè)平面APB與平面PBC夾角的大小為θ,則θ的取值范圍是其中正確的結(jié)論是( ).

A.①③B.①④ C.②③D.②④

解析方法1此題①②兩個(gè)結(jié)論是位置關(guān)系的判定,③④兩個(gè)結(jié)論是幾何量取值范圍的求解.可以先采用幾何法,依據(jù)定理判斷①②是“存在”問題,所以可以考慮極端位置和特殊位置,也可以用反證法處理.

對于①,如圖10 所示,當(dāng)PB⊥BC時(shí),因?yàn)镻B⊥AB,BC∩AB＝B,所以PB⊥平面ABC,則PB⊥AC.又AC⊥BC,PB∩BC＝B,所以AC⊥平面PBC,又AC?平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBC,故①正確.

圖10

對于②,取AP的中點(diǎn)M,連接BM,CM,因?yàn)镻B＝AB,所以MB⊥AP.假設(shè)平面PAC⊥平面PAB,則MB⊥平面PAC,MB⊥CM,而BM＝BC＝2,所以∠BMC＝∠BCM＝90°,與三角形內(nèi)角和定理矛盾,不成立,故②錯(cuò)誤.

對 于③,因 為AP＝4,AC＝2,所 以S△PAC＝AP·AC·sin∠PAC＝4sin∠PAC.由點(diǎn)P在平面ABC上的極限位置判斷可知,當(dāng)點(diǎn)P在平面ABC內(nèi),且C,P在A,B的異側(cè),則∠PAC＝90°;當(dāng)C,P在A,B的同側(cè)時(shí),A,C,P共線,則∠PAC＝0°,因?yàn)辄c(diǎn)P在平面ABC外,則S的取值范圍是(0,4),故③錯(cuò)誤.

對于④,因?yàn)椤螦BC＝45°,當(dāng)點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)時(shí),θ＝0,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí),點(diǎn)P是繞AB軸旋轉(zhuǎn),因此可以找極限位置求解.設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h,因?yàn)镻B⊥AB,所以sinθ＝,所以,當(dāng)且僅當(dāng)PB⊥平面ABC時(shí),等號成立,所以θ的取值范圍是,故④正確.

綜上,選B.

方法2分別以CA,CB所在直線為x軸、y軸,以過點(diǎn)C且與平面ABC垂直的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖11).

圖11

點(diǎn)評這道題采用幾何方法更易判斷,反證法可以證明不存在,極端位置可以將變量的范圍加以限定.采用向量法判斷③④時(shí)與例1和例2類似,最后得出函數(shù)關(guān)系式,轉(zhuǎn)化為已知變量范圍求函數(shù)的值域問題,求解時(shí)經(jīng)常會用到消元、換元等方法.

例4在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1(如圖12)中,M,N分別為BD1,B1C1的中點(diǎn),點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動,且滿足MP⊥CN,則下列說法正確的是( ).

圖12

A.點(diǎn)P可以是棱BB1的中點(diǎn)

B.線段MP的最大值為

C.點(diǎn)P的軌跡是正方形

D.點(diǎn)P軌跡的長度為

解析方法1用幾何法先定性分析,再定量計(jì)算,從特殊到一般進(jìn)行解題.

過M作MQ∥AB交平面BCC1B1于點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q為正方形BCC1B1的中心,在平面BCC1B1內(nèi)過點(diǎn)Q作FG⊥CN分別交BB1,CC1于F,G兩點(diǎn),再過F作FE∥AB交AA1于點(diǎn)E,作GH∥CD交DD1于點(diǎn)H.連接點(diǎn)E,H,易知E,F,G,H共面且該平面過點(diǎn)M(如圖13).由AB⊥平面BCC1B1可證CN⊥平面EFGH,則P的軌跡為四邊形EFGH的邊界.顯然四邊形EFGH是矩形,且EF＝1,FG＝,周長為2＋,M為矩形EFGH對角線的交點(diǎn),線段MP的最大值為,故選D.

圖13

方法2在正方體ABCD-A1B1C1D1中,以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖14).因?yàn)樵撜襟w的棱長為1,M,N分別為BD1,B1C1的中點(diǎn),所以1),C(0,1,0),故.設(shè)P(x,y,z),則

圖14

解析方法1 通過分析特殊位置得出CN⊥平面EFGH,進(jìn)而得到動點(diǎn)P的軌跡.方法2 則采用坐標(biāo)法,通過運(yùn)算得出相關(guān)點(diǎn)的位置,避免了對幾何體中復(fù)雜位置關(guān)系的判斷,是一種能較快判斷位置關(guān)系的方法.

例5已知正方體ABCD-A1B1C1D1(如圖15)的棱長為2,E,F分別是棱BC,CC1的中點(diǎn),動點(diǎn)P在正方形BCC1B1(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動,若PA1∥平面AEF,則線段PA1的長度范圍是( ).

圖15

解析方法1根據(jù)題意,連接D1F,AD1,取BB1的中點(diǎn)G,B1C1的中點(diǎn)H,連接A1H,A1G,GH,找到過A1與平面AEF平行的平面,從而得到A1P所在的平面(如圖16),進(jìn)而借助面面平行探求線面平行.

圖16

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1G∥D1F,A1H∥AE,EF∥AD1,所以A,E,F,D1共面.因?yàn)锳1G?平 面AEFD1,D1F?平面AEFD1,所 以A1G∥平面AEFD1.同理可得A1H∥平面AEFD1.

圖17

點(diǎn)評尋找動點(diǎn)的軌跡可以通過幾何體表面的輪廓線作出平行平面,找到平面與平面的交線,從而找到動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡;也可以選擇用向量法進(jìn)行“以算代想”,找到動點(diǎn)運(yùn)動的軌跡.

總之,運(yùn)用幾何法解題,需要具有一定的空間想象能力,能夠在幾何體中找出基本元素之間的關(guān)系,進(jìn)而在解決問題的過程中抓住特殊位置進(jìn)行分析,其中尋找運(yùn)動過程中的不變量往往是解決問題的關(guān)鍵.運(yùn)用向量法解決動點(diǎn)問題可以避免較為復(fù)雜的作圖和推理,將動點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在給定范圍內(nèi)的值域或是方程是否有解等問題,很好地體現(xiàn)了形與數(shù)的結(jié)合,以及運(yùn)用代數(shù)法解決幾何問題的優(yōu)勢.兩種方法各有所長,幾何法多是“少算多想”,向量法則多是“少想多算”,將兩種方法較好地融合,可以更好地促進(jìn)空間想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的提升.

(完)