孫經(jīng)國

(山東省棗莊市第一中學(xué))

在高中數(shù)學(xué)中,解不等式主要以一元二次不等式和簡單的分式不等式為主,但有時也會遇到特殊的不等式,如高次不等式、含有絕對值符號的不等式、與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式等,本文對如何求解這些不等式進(jìn)行探究.

1 高次不等式的解法

所謂高次不等式,就是指未知數(shù)的次數(shù)大于2的整式不等式,一般采用“數(shù)軸穿根法”求解,其步驟如下.令關(guān)于x的表達(dá)式為f(x),所求不等式為f(x)＞0或f(x)＜0,求解時,先求出f(x)＝0的根x1,x2,x3,…,在數(shù)軸上依次標(biāo)出根,再從數(shù)軸的右上方開始,從右向左畫,如同穿針引線穿過每一個根,最后先仔細(xì)觀察圖像,通過f(x)＞0尋找圖像在x軸上方的自變量的取值范圍,通過f(x)＜0 尋找圖像在x軸下方的自變量的取值范圍.當(dāng)高次不等式因式分解后出現(xiàn)偶次項的因式時,可以依據(jù)它的非負(fù)性直接除去.但是需要注意的是要驗證這個偶次項的根是否滿足不等式.

例1解下列高次不等式:

(1)(x－1)(x－2)(x－3)＞0;

(2)(x＋1)(x－2)2(x－3)＜0.

解析(1)令f(x)＝(x－

1)(x－2)(x－3),則f(x)＝0 的根為x1＝1,x2＝2,x3＝3.結(jié)合圖1 可得1＜x＜2 或x＞3,所以不等式的解集為(1,2)∪(3,＋∞).

圖1

(2)因為(x－2)2≥0,所以原不等式等價于解得－1＜x＜3且x≠2,所以不等式的解集為(－1,2)∪(2,3).

點評在解高次不等式時,穿根前可考慮先將恒正恒負(fù)的項去掉,在穿根前可先將不等式的最高次的系數(shù)化為正數(shù),則位于橫軸上方圖像對應(yīng)的自變量的取值范圍是f(x)＞0 的解集,位于橫軸下方的圖像對應(yīng)的自變量的取值范圍是f(x)＜0的解集.

2 含有絕對值的不等式

對含有絕對值符號的不等式,求解的關(guān)鍵是去掉絕對值符號,將其轉(zhuǎn)化為一般的不等式.去掉絕對值符號的方法主要有兩種:一是定義法(分類討論),二是兩邊平方法.

例2解下列不等式:

解析(1)所解不等式可轉(zhuǎn)化為－3x≤x2＋x≤3x,即解得0≤x≤2.

(2)根據(jù)實數(shù)的性質(zhì)“當(dāng)一個數(shù)的絕對值大于它自身時,這個數(shù)是負(fù)數(shù)”得＜0,解得0＜x＜2,所以這個不等式的解集為(0,2).

(3)本題含有兩個絕對值符號,一般采用零點討論法,即對絕對值的零點分三種情況討論.

當(dāng)x＞1時,不等式可轉(zhuǎn)化為x－1＋x＋2＜5,解得x＜2,所以1＜x＜2.

當(dāng)－2＜x≤1 時,不等式可轉(zhuǎn)化為1－x＋x＋2＜5,即3＜5,所以－2＜x≤1.

當(dāng)x≤－2時,不等式可轉(zhuǎn)化為1－x－x－2＜5,解得x＞－3,所以－3＜x≤－2.

綜上,不等式的解集為(－3,2).

點評絕對值不等式千變?nèi)f化,一定要注意它的特點,然后選擇合理的解法.當(dāng)含有兩個絕對值符號時,一般采用零點討論法,有時也可依據(jù)絕對值的幾何意義從數(shù)軸上直接找到解集.

3 指數(shù)不等式與對數(shù)不等式

指數(shù)不等式一般指指數(shù)中含有未知數(shù)的不等式,而對數(shù)不等式一般指對數(shù)的真數(shù)部分含有未知數(shù).無論是指數(shù)不等式還是對數(shù)不等式,解答的原則是脫離底數(shù)的束縛,轉(zhuǎn)化為一般的不等式,轉(zhuǎn)化時需用到指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性.對于對數(shù)不等式,還需特別考慮真數(shù)為正數(shù),這一點往往是學(xué)生的易錯點.例3解下列不等式:

點評本例中的兩個不等式,由于底數(shù)不確定,導(dǎo)致所對應(yīng)的指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性不確定,所以必須對底數(shù)分類討論,進(jìn)而將原不等式轉(zhuǎn)化為不等式組來解.

4 與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的不等式

這類不等式一般不可以直接求解,需要先從題目的實際出發(fā)構(gòu)造函數(shù),并證明該函數(shù)的單調(diào)性,再利用函數(shù)的單調(diào)性將原不等式轉(zhuǎn)化為一般的不等式,由于這類問題條件分散,還涉及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,所以難度較大,主要考查學(xué)生的觀察能力、聯(lián)想能力與解決問題的能力.

點評這類問題的共同特點是依據(jù)題中的不等式和所要解的不等式構(gòu)造函數(shù).難點在于找到題中的不等式和所要解的不等式之間的聯(lián)系,而這個聯(lián)系就是所構(gòu)造的這個函數(shù)以及它的單調(diào)性.

不等式其實是由方程演變而來的,而方程與函數(shù)是可以相互轉(zhuǎn)化的,所以無論是哪種非常規(guī)的不等式,最終研究的落腳點是方程的根或函數(shù)的性質(zhì).

(完)