方 鳳

(廣東省鶴山市第一中學)

在立體幾何中,截面是指用一個平面去截一個幾何體得到的平面圖形.空間圖形截面問題是高考的熱點和難點,主要考查判斷截面的形狀和計算相關(guān)問題.要想順利地解決這些問題,首先要掌握如何作空間圖形的截面.

1 空間圖形截面作圖的主要原理

1)如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi);

2)如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們相交于過此點的一條直線;

3)如果一條直線平行于一個平面,經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交,那么這條直線就和交線平行;

4)如果兩個平面平行,第三個平面和它們相交,那么兩條交線平行.

2 空間圖形截面作圖主要方法

作空間圖形的截面,需要較強的空間想象能力和邏輯推理能力,對學生來說是一個難點.要想找到空間圖形截面的形狀,就要弄清這個平面與空間幾何體的各個面交線的位置和形狀.掌握作截面圖的方法,深入理解直線和平面的有關(guān)性質(zhì),能夠有效地突破與截面相關(guān)的問題.

例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為BB1的中點,畫出過點A1,D1,P的截面.

解析連接共面的兩點A1,P,由于A1,D1,P在一個平面內(nèi),且平面A1ADD1和BCC1B1平行,只要過P作A1D1的平行線即可.設(shè)CC1的中點為Q,連接PQ和D1Q,于是得到截面A1D1QP,如圖1所示.

圖1

例2如圖2所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別在AB,BC,DD1上,畫出過點E,F,G的截面.

圖2

解析在底面ABCD內(nèi),過E,F作直線EF,分別與DA,DC的延長線交于L,M;在側(cè)面A1ADD1內(nèi),連接LG交AA1于K;在側(cè)面D1DCC1內(nèi),連接GM交CC1于H;連接KE,FH,則五邊形EFHGK即為所求的截面,如圖3所示.

圖3

例3如圖4 所示,已知長方體ABCDA1B1C1D1中,E為平面A1B1C1D1內(nèi)一點,K為底面ABCD內(nèi)一點,F為側(cè)面AA1B1B內(nèi)一點,畫出過點E,F,K的截面.

圖4

解析過F作OF∥BB1,交AB于O,交A1B1于S;連接OK并延長交BC于U,作UT∥BB1,交B1C1于T;再連接TS,KF,并延長相交于X,交TU的延長線于V;再連接XE交A1D1于P,并延長交D1C1于N,交B1C1的延長線于Y;再連接YV,交CC1于M,交BC于H;再連接HK并延長交AB于G;再連接GF并延長交AA1于Q,再連接PQ,MN,就得到所求截面PQGHMN,如圖5所示.

圖5

3 空間幾何體截面的有關(guān)計算

空間幾何體的計算要掌握好“定位”“定形”“定量”這三個重要的環(huán)節(jié).首先,確定出關(guān)鍵點;其次,由關(guān)鍵點確定截面與空間幾何體的交線;再次,根據(jù)題中已知條件以及空間點、線、面的位置關(guān)系確定截面的基本特征和形狀;最后運用平面幾何的有關(guān)知識解決問題.

例4如圖6 所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別為AA1,AB的中點,M是正方形ABB1A1內(nèi)的動點,若C1M與平面CD1E平行,則點M的軌跡長度為________.

圖6

解析如圖7所示,設(shè)A1B1的中點H,BB1的中點G,連接GH,C1H,C1G,EG,HF,可得四邊形EGC1D1是平行四邊形,所以C1G∥D1E,又C1G?平面CD1E,D1E?平面CD1E,所以C1G∥平面CD1E.同理可得C1H∥CF,C1H∥平面CD1E,又C1H∩C1G＝C1,所以平面C1GH∥平面CD1E.

圖7

因為點M是正方形ABB1A1內(nèi)的動點,C1M∥平面CD1E,所以點M在線段GH上,故點M的軌跡長度為GH＝

例5在三棱錐P-ABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,PA＝3,PB＝4,PC＝5,點E為線段PC的中點,過點E作該三棱錐外接球的截面,則所得截面圓的面積不可能為( ).

A.6π B.8π C.10π D.12π

(完)