李俊青

(濟(jì)南市章丘區(qū)第五中學(xué))

點(diǎn)線面之間的關(guān)系是高中數(shù)學(xué)立體幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)知識(shí).為加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解,提高學(xué)生的解題能力,教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)進(jìn)度,做好例題講解,通過(guò)解題過(guò)程的展示,給學(xué)生帶來(lái)解題啟發(fā),使其更好地掌握解題方法,進(jìn)一步提升解題能力.

1 直線與直線的位置關(guān)系

不重合的直線與直線的位置關(guān)系包括共面和異面,其中共面直線進(jìn)一步細(xì)分為相交直線和平行直線兩種類(lèi)型.

例1若點(diǎn)E為正方形ABCD的中心,M為平面ABCD外一點(diǎn),△MAB為等腰直角三角形,且∠MAB＝90°,若線段MB的中點(diǎn)為F,則( ).

A.ME≠DF,直線ME,DF為相交直線

B.ME＝DF,直線ME,DF為相交直線

C.ME≠DF,直線ME,DF為異面直線

D.ME＝DF,直線ME,DF為異面直線

解析由ABCD為正方形,可知AB⊥AD,由∠MAB＝90°且△MAB為等腰直角三角形,可得BM＝BD,如圖1 所示,點(diǎn)E,F分別為BD和BM的中點(diǎn),則FE∥MD,且FE＝DE,即四邊形FMDE為等腰梯形,ME＝DF,直線ME,DF為相交直線,故選B.

圖1

例2如圖2所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)相等,∠BAA1＝∠CAA1＝60°,則異面直線AB1和BC1所成角的余弦值為( ).

圖2

圖3

2 直線與平面位置關(guān)系

直線與平面的位置關(guān)系主要包括直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行.應(yīng)注重列舉實(shí)例加深學(xué)生對(duì)這三種位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)與理解.

例3如圖4所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的棱長(zhǎng)為2,其中E為B1C1的中點(diǎn),過(guò)AE的截面和棱BB1,A1C1分別交于點(diǎn)F,G.若四棱錐A1-AGEF的體積為,求直線AG和平面ABB1A1所成角的余弦值.

圖4

圖5

例4在邊長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB,BC,CC1的中點(diǎn)分別為E,F,G,P為底面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),若直線D1P和平面EFG沒(méi)有公共點(diǎn),則△PBB1面積的最小值為( ).

解析如圖6 所示,點(diǎn)H,Q,R分別為C1D1,A1D1,AA1的中點(diǎn),則平面FEGHQR∥平面D1AC,即點(diǎn)P在平面D1AC內(nèi). 要 想△PBB1的面積最小,即點(diǎn)P到BB1的距離最短,易得當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)O重合時(shí),距離最短,則BO＝,則

圖6

故選D.

3 平面與平面位置關(guān)系

不重合的平面與平面的位置關(guān)系主要有兩類(lèi):平行和相交.解題時(shí)需靈活運(yùn)用幾何圖形性質(zhì),構(gòu)建線段之間的空間關(guān)系.

例5如圖7所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,DD1和CC1的中點(diǎn)分別為點(diǎn)E,F.證明:平面AEC1∥平面BDF.

圖7

解析由于DD1和CC1

的中點(diǎn)分別為點(diǎn)E,F,故EDFC1,則四邊形EDFC1為平行四邊形,EC1∥DF.又EFDC,而ABCD,則EFAB,四邊形ABFE為平行四邊形,故AE∥BF,AE∩EC1＝E,DF∩BF＝F,即平面AEC1∥平面BDF.

例6如圖8所示,矩形A1B1BA和矩形A1ADD1所在平面和梯形ABCD所在平面分別交于直線AB,AD,其中AB∥CD,AB＝BC＝BB1＝＝1,∠ABC＝60°,求幾何體A1B1D1-ABCD的體積.

圖8

解析因?yàn)锳A1⊥AB,AA1⊥AD,AB∩AD＝A,所以AA1⊥平面ABCD,則兩個(gè)矩形均和平面ABCD垂直.因?yàn)锳B＝BC,∠ABC＝60°,所以△ABC為等邊三角形,取點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),連接CE,則CE⊥AB,而B(niǎo)B1⊥平面ABCD,故BB1⊥CE,CE⊥平面A1B1BA,由AB＝BC＝AC＝1,易得;而∠ACD＝120°－60°＝60°,由余弦定理可求得AD＝,則由勾股定理的逆定理知∠CAD＝90°,AC⊥AD.又 由AC⊥AA1,所以AC⊥平面A1ADD1,結(jié)合∠B1A1D1＝∠BAD＝150°,則

(完)