屈冰雁，王雷

（合肥工業(yè)大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

1 引 言

3d過渡金屬（TM,Transition metal）離子的3d軌道對(duì)晶格環(huán)境非常敏感，這一特性為新型發(fā)光材料的設(shè)計(jì)提供了巨大空間。近年來，3d-TM離子如Mn2+、Fe3+以及Cr4+等，在激光[1]、LEDs[2]以及長余輝[3-4]等多種功能材料中均展示了廣闊的應(yīng)用前景。3d-TM離子激活發(fā)光材料摻雜時(shí)，其在化合物中的能級(jí)位置影響著材料的發(fā)光性質(zhì)，對(duì)設(shè)計(jì)相關(guān)發(fā)光材料而言，關(guān)鍵點(diǎn)在于3d-TM離子基態(tài)在帶隙中位置的確定[5]。如圖1（a）所示，在寬帶隙化合物中，若3d-TM離子的基態(tài)在帶隙中的位置已確定，則激發(fā)態(tài)位置可通過Tanabe-Sugano圖進(jìn)行預(yù)測；若激發(fā)態(tài)進(jìn)入導(dǎo)帶，則會(huì)發(fā)生猝滅。類似地，如基態(tài)進(jìn)入價(jià)帶，其發(fā)光也會(huì)發(fā)生猝滅[6]。如存在能級(jí)位置合適的載流子陷阱中心，則會(huì)形成余輝現(xiàn)象。上述過程的示意圖如圖1（b）所示[3,7]。因此，預(yù)先評(píng)估離子在化合物中的基態(tài)和激發(fā)態(tài)位置，對(duì)相關(guān)材料的發(fā)光性質(zhì)設(shè)計(jì)以及調(diào)控具有重要意義。

圖1 （a）3d5構(gòu)型過渡金屬離子（如Fe3+或Mn2+）在寬禁帶化合物中的電子結(jié)構(gòu)示意圖［8］，其中右側(cè)為該構(gòu)型的Tanabe-Sugano圖；（b）過渡金屬離子在化合物中可能的猝滅或者余輝（PerL）機(jī)理示意圖。G表示基態(tài)，E表示激發(fā)態(tài)。Fig.1（a）Schematic electronic structure of transition metal ions with 3d5 configuration（e.g.Fe3+or Mn2+）in wide band compounds［8］with the corresponding Tanabe-Sugano（T-S）diagram.（b）Possible quenching and afterglow mechanisms.G denotes ground state and E denotes excited states.

首先，回顧3d-TM離子基態(tài)位置的物理描述方式。通常存在兩種描述3d-TM離子在材料中能級(jí)的方式。其一為晶體場理論[9]，即Tanabe-Sugano圖[10]，可成功揭示3d-TM離子的吸收、激發(fā)等組態(tài)內(nèi)躍遷性質(zhì)。另一種描述是分子軌道理論，側(cè)重于描述3d軌道與配體軌道之間的雜化作用?？紤]到晶體的價(jià)帶是由配體軌道相互作用形成，若以配體軌道為橋梁，理論上可以給出雜化作用后的3d軌道能級(jí)在晶體能帶中的相對(duì)位置，這是晶體場理論所不能提供的。該位置信息可用于解釋因3d-TM離子摻雜而產(chǎn)生的電學(xué)、光電導(dǎo)和離化等特性。晶體場理論側(cè)重描述電子在離子軌道的局域特性，后者可描述有關(guān)電荷與非局域相關(guān)的屬性，如熱/光離化、電荷俘獲等變價(jià)特性。

與此對(duì)應(yīng)，鑭系離子（Ln2+、Ln3+）與TM離子也存在上述兩種物理描述，4f-4f以及4f-5d的躍遷可用晶體場理論描述。對(duì)于4f軌道的離化或者5d軌道的離化、4f軌道的俘獲（從價(jià)帶至三價(jià)Ln3+）等變價(jià)行為則可用分子軌道理論描述。在鑭系離子激活的發(fā)光材料中，根據(jù)4f軌道對(duì)晶體場不敏感的特性，以及鑭系離子的離化（離化能）、俘獲（電荷遷移帶）等變價(jià)特性，Dorenbos對(duì)鑭系離子能級(jí)給出了化學(xué)勢模型，指出其在一般化合物中折線趨勢的變化規(guī)律（圖2）[11-12]。這與蘇鏘院士給出的鑭系離子價(jià)態(tài)變化趨勢[13-14]（圖3）基本一致。該趨勢反映鑭系離子的變價(jià)行為，本質(zhì)上源自不同離子間的光學(xué)電負(fù)性差異[13-15]，而光學(xué)電負(fù)性可以描述離子的電荷遷移屬性[16-17]。在大量化合物中，鑭系離子的價(jià)態(tài)變化趨勢波動(dòng)幅度很小?？衫描|系離子摻雜引入不同深度的電子陷阱，為設(shè)計(jì)相關(guān)載流子俘獲-釋放過程的發(fā)光材料提供了理論依據(jù)。

圖2 鑭系離子在YPO4中的能級(jí)圖［18］。紅色折線為Ln2+/3+的價(jià)態(tài)轉(zhuǎn)變能級(jí)（2+價(jià)轉(zhuǎn)3+價(jià)）；藍(lán)色折線（4f）為Ln3+/4+的價(jià)態(tài)轉(zhuǎn)變能級(jí)（3+價(jià)轉(zhuǎn)4+價(jià)）。其中的短橫線為離子的激發(fā)態(tài)，嫁接自Dieke Diagram。Fig.2 Energy levels of lanthanide ions in YPO4［18］.The red zig-zag like curve presents Ln2+/3+charge transition levels（from 3+to 2+）.The blue curve（4f）presents the Ln3+/4+charge transition levels（from 3+to 4+）.The short bars represent excited state levels of Ln ions derived from the Dieke-Diagram.

圖3 鑭系離子變價(jià)趨勢圖［13-14］Fig.3 The charge transition tendency of lanthanide ions［13-14］

值得注意的是，Dorenbos認(rèn)為圖2中紅色或藍(lán)色折線可以視為鑭系離子2+或3+價(jià)的基態(tài)位置[19]，并將Ln3+的能級(jí)結(jié)構(gòu)圖（Dieke Diagram）[20]嫁接在鑭系離子的基態(tài)位置上[21]，用于估算4f和5d軌道的激發(fā)態(tài)能級(jí)[18]。這種把晶體場和晶體能帶結(jié)構(gòu)結(jié)合起來的做法為預(yù)測鑭系離子的發(fā)光性能提供了理論支撐[21]。

那么，對(duì)于3d-TM激活發(fā)光材料是否存在類似的趨勢？為回答該問題，我們從近70年文獻(xiàn)的大量光譜數(shù)據(jù)中整理了相關(guān)TM離子的信息，并結(jié)合第一性原理計(jì)算研究了3d-TM離子在化合物中的能級(jí)規(guī)律[5,8]。在這里，所涉及的大量文獻(xiàn)不再一一列出，僅提供部分關(guān)鍵文獻(xiàn)供參考。

2 3d-TM離子基態(tài)測算的物理依據(jù)和方法

在激發(fā)光譜中，與3d-TMn+離子相關(guān)的激發(fā)峰主要有兩類，一類是電荷遷移帶（Charge transfer band，CT），是指配體軌道上的電子激發(fā)到TMn+的未占據(jù)軌道。另一類為3d電子組態(tài)內(nèi)躍遷，可給出TMn+的基態(tài)和各激發(fā)態(tài)之間的能量差，即Tanabe-Sugano圖。通常，材料的價(jià)帶主要由陰離子軌道形成，因此，CT能量即為TMn+最低激發(fā)態(tài)能級(jí)與價(jià)帶之間的能量差，可反映TM（n-1）+（激發(fā)后，TM變?yōu)椋╪-1）+價(jià)）束縛電子能力的大小。所以，可稱之為“相對(duì)于價(jià)帶的電子束縛能HRBE（Host referred binding energy）”，即以價(jià)帶為能量參考零點(diǎn)時(shí)的電子束縛能。通常，將HRBE（TMn+/（n-1）+）視為TM（n-1）+基態(tài)能級(jí)位置，這與Dorenbos在處理鑭系離子時(shí)的做法一致。于是，HRBE、CT和TM基態(tài)能量滿足如下關(guān)系：

為便于比較不同基質(zhì)中3d-TM離子的電子束縛能，需選擇一個(gè)共同的能量參考零點(diǎn)。真空能級(jí)是一個(gè)很好的選擇，對(duì)應(yīng)的能級(jí)稱為真空電子束縛能VRBE（Vacuum referred binding energy）。HRBE和VRBE滿足方程：

其中，EVRBE（VB）為以真空能級(jí)為能量參考零點(diǎn)時(shí)價(jià)帶的能量。

在理論計(jì)算方面，3d-TM離子的光學(xué)轉(zhuǎn)變能級(jí)（Optical transition level,OTL）表示價(jià)帶頂（Valence bands maximum，VBM）的電子躍遷到3d-TM離子最低未占據(jù)缺陷能級(jí)所需的能量，這與CT過程在物理上幾乎一致，僅有的不同點(diǎn)是：在OTL中，電子是從價(jià)帶頂躍遷到3d-TM離子的最低未占據(jù)能級(jí)；而在CT中，電子是從價(jià)帶開始躍遷的。因此，OTL低估CT，但是OTL有可能準(zhǔn)確提供同一個(gè)化合物中不同3d-TM離子的CT變化趨勢。從TMn+轉(zhuǎn)變到TM（n-1）+的OTL定義為：

其中，E（TMn+）和EVBM分別為TMn+摻雜時(shí)系統(tǒng)的能量和基質(zhì)價(jià)帶頂?shù)哪芰?。所有這些能量都是采用基于密度泛函理論的VASP軟件包計(jì)算獲得。電子波函數(shù)采用截?cái)嗄転?00 eV的平面波基組描述，交換關(guān)聯(lián)勢采用廣義梯度近似（GGA）下的PBE泛函。原子受力的收斂條件為0.1 eV/nm。

3 3d-TM離子在四面體和八面體晶體場中的基態(tài)能級(jí)位置

3d軌道處于3d-TM離子的最外層，對(duì)晶體場較為敏感，可根據(jù)晶體場類型將3d-TM離子在發(fā)光材料中的占位情況進(jìn)行分類以評(píng)估3d-TM離子對(duì)電子的束縛規(guī)律。本文主要介紹四配位四面體晶體場和六配位八面體晶體場。在八面體環(huán)境下，OTLεf（TM3+/2+）、εf（TM4+/3+）和3d-TM離子的CT的規(guī)律如圖4所示。從總體來看，采用GGA-PBE計(jì)算的εf（TM3+/2+）可以再現(xiàn)ECT（TM3+/2+）的變化趨勢，表明當(dāng)已知一個(gè)離子在某一化合物中的CT值時(shí)，可以通過理論計(jì)算估計(jì)其他9個(gè)相同價(jià)態(tài)離子的CT能量。前面提到，CT值決定了3d-TM離子在化合物中的基態(tài)位置，采用該方法也可估計(jì)3d-TM離子的基態(tài)相對(duì)價(jià)帶位置。采用類似的辦法可以獲得OTLεf（TM4+/3+）的變化趨勢。該趨勢與OTLεf（TM3+/2+）非常相似，這是由于它們有著相同的電子組態(tài)。連接這些OTL或CT數(shù)據(jù)點(diǎn)，可以得到兩條OTL折線。根據(jù)公式（1）和（2），可以得到這些離子的VRBE折線，如圖4右邊縱坐標(biāo)所示。

隨著原子序數(shù)的增大，3d原子的軌道能級(jí)總體呈降低趨勢[22-23]。3d-TM離子在基質(zhì)中引入的缺陷能級(jí)也存在類似趨勢（如圖4所示），僅有εf（Cr3+/2+）比εf（V3+/2+）高了約1.2 eV。這是因?yàn)椋?Al2O3中，V3+為d2電子構(gòu)型，在CT過程中來自價(jià)帶的電子應(yīng)躍遷到自旋向上的三重態(tài)上。Cr3+為d3電子構(gòu)型，而Cr3+在帶隙中引入的自旋向上的三重態(tài)是滿占據(jù)的，CT過程中來自價(jià)帶的電子只能占據(jù)能量更高的自旋向上二重態(tài)或者自旋向下的三重態(tài)。很明顯，這需要付出更多的能量（晶體場劈裂能或成對(duì)能，Pairing energy），所以，εf（Cr3+/2+）比εf（V3+/2+）要高。

圖4 3d-TM離子在α-Al2O3中（八面體環(huán)境）的電荷遷移帶（CT）和平移后的光學(xué)轉(zhuǎn)變能級(jí)（OTL）［5］。其中，OTLεf（TM3+/2+）和εf（TM4+/3+）分別采用符號(hào)“●”和“■”表示，實(shí)驗(yàn)CT能量ECT（TM3+/2+）和ECT（TM4+/3+）采用符號(hào)“+”和“×”表示，“▲”表示低自旋態(tài)時(shí)的εf（Co3+/2+），箭頭表示CT過程。Fig.4 The charge transfer bands（CT）and the shifted optical transition levels（OTL）of 3d transition metal ions inα-Al2O3（in octahedral sites）［5］.Here，OTLεf（TM3+/2+）andεf（TM4+/3+）are presented with“●”and“■”while the CT data of ECT（TM3+/2+）and ECT（TM4+/3+）are denoted with“+”and“×”respectively.The low spin state ofεf（Co3+/2+）is denoted as“▲”.The arrows present the CT processes.

除了八面體晶體場環(huán)境，3d-TM離子在四面體晶體場中的OTL變化趨勢如圖5所示，所涵蓋的化合物包括鋁酸鹽、硅酸鹽、氮化物和氯化物等。從圖5可以看出，3d-TM離子在上述化合物中的OTL變化趨勢幾乎一致，意味著它們的基態(tài)在四面體環(huán)境下遵循著一個(gè)共同的規(guī)律，即從Sc至Zn，離子之間基態(tài)的相對(duì)位置在四面體環(huán)境下幾乎不會(huì)發(fā)生顯著變化。

圖5 四面體環(huán)境中3d-TM離子的OTL趨勢圖。實(shí)線和點(diǎn)劃線分別表示εf（TM3+/2+）和εf（TM4+/3+）的OTL［8］；實(shí)心點(diǎn)和空心點(diǎn)分別表示精確數(shù)據(jù)和低估的數(shù)據(jù)。其中YAG表示Y3Al5O12。Fig.5 The trends of OTL of 3d-TM ions in tetrahedral crystal field［8］.The solid symbols present the accurate data and the open symbols present the underestimated data.YAG is Y3Al5O12.

為了便于評(píng)估四面體環(huán)境下離子在化合物中的基態(tài)位置，我們從圖5提取出3d-TM離子的OTL變化趨勢，也即是VRBE變化趨勢，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，展示在圖6（a）中。將八面體和四面體中3d-TM離子的VRBE結(jié)果對(duì)比顯示于圖6（b）。二者有著較大的不同，這表明3d軌道在這兩種晶體場中截然不同的劈裂方式不但導(dǎo)致激發(fā)態(tài)不同，而且其基態(tài)位置也會(huì)受到影響。

圖6 （a）3d-TM離子在四面體化合物中的VRBE趨勢［5，8］，其中符號(hào)“●”和“■”分別表示計(jì)算值，符號(hào)“+”和“×”表示實(shí)驗(yàn)值；（b）3d-TM離子在四面體和八面體環(huán)境下的VRBE，或3d-TM離子的變價(jià)趨勢圖。Fig.6（a）The VRBE trend of 3d-TM ions in tetrahedral sites of inorganic compounds［8］.“●”and“■”represent the calculated results，while“+”and“×”denote the experimental ones.（b）The comparison of the VRBE for 3d ions in tetrahedral sites and octahedral sites，or the charge transition tendency of TM ions in both sites.

4 討 論

4.1 3d-TM離子在化合物中的缺陷本質(zhì)

圖7為Fe4+摻雜的Y3Al5O12電子結(jié)構(gòu)及態(tài)密度。從圖7中可以看出，帶隙中出現(xiàn)了一些缺陷能級(jí)，這些能級(jí)的電荷密度圖表明它們是由Fe的3d軌道和與Fe配位的O離子軌道形成的反鍵態(tài)。其中Fe的3d軌道貢獻(xiàn)較大，表明這些軌道主要體現(xiàn)3d軌道的性質(zhì)。因此，在特定晶體場類型下，3d軌道的缺陷能級(jí)相對(duì)固定，這一點(diǎn)與鑭系離子類似。其他3d-TM離子的計(jì)算結(jié)果也支持這一結(jié)論。

圖7 Fe4+摻雜的YAG電子結(jié)構(gòu)及態(tài)密度［8］，右圖為兩個(gè)缺陷能級(jí)的電荷密度等值面，其中Fe和O離子分別由大球和小球表示。費(fèi)米能級(jí)為0 eV。Fig.7 Computed electronic band dispersion and DOS of Fe4+doped YAG［8］.The iso-surfaces of the charge density of two defect levels are shown on the right hand.The Fe and O ions are represented by the large and small balls.The Fermi level is set to 0 eV.

同時(shí)，缺陷能級(jí)既然為3d-TM離子的反鍵軌道構(gòu)成，其位置也應(yīng)受到配體軌道影響，因此化合物的陰離子軌道也會(huì)影響這些能級(jí)位置。為印證上述論斷，基質(zhì)的價(jià)帶VRBE與Cr3+/2+、Fe3+/2+以及Mn4+/3+在對(duì)應(yīng)材料中的VRBE進(jìn)行對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)兩者之間近乎呈線性關(guān)系，且不同離子擬合獲得的斜率不同（圖8（a））。這是因?yàn)榛衔锏膬r(jià)帶主要是由配體軌道構(gòu)成，而配體軌道也在3d軌道引入的缺陷能級(jí)中有少量貢獻(xiàn)。當(dāng)配體軌道能量上升時(shí)，價(jià)帶和3d缺陷能級(jí)都隨之升高，因此，3d-TM離子的基態(tài)VRBE隨著價(jià)帶升高。同理，在四面體中，也可以觀察到相同的規(guī)律（EVRBE（Fe3+/2+））（圖8（b））。采用該量化關(guān)系，可以從3d-TM離子的VRBE計(jì)算出化合物的價(jià)帶能量，反之，也可從價(jià)帶能量計(jì)算出3d-TM離子的VRBE，其計(jì)算精度為±0.23 eV。結(jié)果表明，采用本方法可以非常精確地估計(jì)TM離子的基態(tài)位置。根據(jù)這個(gè)關(guān)系，可以在不經(jīng)過繁瑣計(jì)算的情況下估計(jì)3d-TM離子的基態(tài)能級(jí)，結(jié)合Tanabe-Sugano圖，可以預(yù)測3d-TM離子在化合物中的發(fā)光性質(zhì)、電學(xué)性質(zhì)、載流子俘獲特性等，也可以結(jié)合基質(zhì)本身的性質(zhì)對(duì)離子的價(jià)態(tài)進(jìn)行調(diào)控。

圖8 （a）八面體環(huán)境下Cr3+/2+、Fe3+/2+以及Mn4+/3+的VRBE與基質(zhì)價(jià)帶關(guān)系［5，8］；（b）四面體環(huán)境下Fe3+/2+的VRBE與基質(zhì)價(jià)帶關(guān)系［8］。Fig.8（a）The VRBE of Cr3+/2+，F(xiàn)e3+/2+and Mn4+/3+as a function of valence band for octahedral sites［5］.（b）The VRBE of Fe3+/2+as a function of valence band for tetrahedral sites［8］.

4.2 用分子軌道理論評(píng)估3d-TM離子能級(jí)的近似方法

既然3d-TM離子在化合物中的基態(tài)可以預(yù)測，在材料晶體場強(qiáng)度不清楚的情況下，是否可以采用分子軌道理論評(píng)估3d-TM離子能級(jí)？為闡述該問題，圖9給出了Mn4+在YAG的電子結(jié)構(gòu)。當(dāng)3d-TM離子摻入材料后，將會(huì)在材料的帶隙中形成一些缺陷能級(jí)，3d電子在這些缺陷能級(jí)上的不同占據(jù)方式就構(gòu)成了3d-TM離子不同的電子組態(tài)，其中能量最低的占據(jù)方式（電子組態(tài)）對(duì)應(yīng)的能級(jí)就是基態(tài)，其余的能級(jí)為激發(fā)態(tài)。電子在這些能級(jí)上的不同占據(jù)方式也會(huì)造成這些缺陷能級(jí)位置的變化，雖然第一性原理計(jì)算得到的是基態(tài)的缺陷能級(jí)，但可以在此基礎(chǔ)上定性地討論電子的激發(fā)和發(fā)射過程。如圖9所示，根據(jù)晶體場理論，具有3d3電子構(gòu)型的Mn4+離子受到八面體環(huán)境（YAG）中陰離子的庫侖作用后，分裂成三重態(tài)t*和雙重態(tài)e*兩種能級(jí)位置[6]。激發(fā)前，電子滿占據(jù)自旋向上的三重態(tài)，對(duì)應(yīng)著基態(tài)4A2，當(dāng)激發(fā)時(shí)，電子從該能級(jí)激發(fā)到自旋向上的雙重態(tài)，對(duì)應(yīng)著4T2或4T1（這兩個(gè)狀態(tài)取決于3d電子在上述軌道上的占據(jù)方式）；在弛豫和發(fā)射時(shí)，由于自旋向下的三重態(tài)能量比自旋向上的雙重態(tài)低，所以自旋向上的三重態(tài)將能量弛豫到自旋向下的三重態(tài)上，即自旋發(fā)生反轉(zhuǎn)，該過程對(duì)應(yīng)著4T2或4T1到2Eg的轉(zhuǎn)變。最后，電子從自旋向下的三重態(tài)躍遷回自旋向上的三重態(tài)，即自旋再次翻轉(zhuǎn)，并伴隨著光發(fā)射。

圖9 Mn4+的激發(fā)發(fā)射過程在能帶結(jié)構(gòu)（Y3Al5O12）中的描述［6］。（左）3d軌道在八面體晶體中劈裂為能量較高的兩重簡并態(tài)（Doublet）和能量較低的三重簡并態(tài)（Triplet），Spinup和Spindown表示不同的自旋；（右）Y3Al5O12∶Mn4+的能帶和態(tài)密度。Fig.9 The schematic graphic of the excitation-emission process of Mn4+in Y3Al5O12.The left panel shows the 3d orbitals in an octahedral crystal field split into the doublet states and the triplet states of both spin states.The right panel is the electronic structure and density of states of Mn4+doped Y3Al5O12.

5 結(jié)論與展望

本文介紹了3d-TM離子（從Sc至Zn）作為激活劑離子在一般無機(jī)化合物中的缺陷能級(jí)的起源及其在不同化合物中的演化規(guī)律。在特定構(gòu)型下，3d-TM離子的基態(tài)能級(jí)位置會(huì)隨著價(jià)帶能量呈線性增加。根據(jù)這種線性關(guān)系，可以將3d-TM離子在化合物中缺陷能級(jí)位置的預(yù)測精度提升到±0.23 eV。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合Tanabe-Sugano圖，可精確預(yù)測離子的猝滅行為、光譜形狀、由摻雜形成的陷阱能級(jí)等。根據(jù)3d-TM離子的基態(tài)位置演化規(guī)律以及上述預(yù)測方法，可為3d-TM離子激活發(fā)光材料的智能設(shè)計(jì)提供更多評(píng)估手段。

值得注意的是，本文給出的3d-TM離子基態(tài)的演化趨勢也可描述3d-TM離子在化合物中的變價(jià)趨勢，且同一種價(jià)態(tài)離子趨勢圖在同一種對(duì)稱格位下幾乎不發(fā)生很大變化。因此，由2+或者3+價(jià)態(tài)的任一TM離子的基態(tài)能級(jí)位置可獲得其他九種對(duì)應(yīng)價(jià)態(tài)離子的基態(tài)位置。在電荷遷移帶光譜的歸屬上，同樣具有重要參考價(jià)值。同時(shí)，由3d-TM離子的變價(jià)趨勢圖，通過調(diào)節(jié)化合物基質(zhì)的費(fèi)米能級(jí)，可智能調(diào)節(jié)過渡金屬離子的價(jià)態(tài)等[24]。隨著實(shí)驗(yàn)光譜數(shù)據(jù)的增加，有理由相信，上述設(shè)計(jì)方法的精度會(huì)進(jìn)一步提高，可為新型發(fā)光材料的設(shè)計(jì)提供更加有力的支撐。

感謝荷蘭代爾夫特理工大學(xué)Dorenbos教授和羅宏德博士、合肥工業(yè)大學(xué)陳雷教授、周如龍教授和蔣陽教授、中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)潘必才教授和夏上達(dá)教授、蘭州大學(xué)王育華教授的有益討論和支持等。

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