(廣州南洋理工職業(yè)學(xué)院 信息工程學(xué)院，廣東廣州市，510900)黃勇超 鄧發(fā)云

在經(jīng)典的自動控制理論中，一階系統(tǒng)的過渡過程沒有超調(diào)部分，只有一個基于時間常數(shù)T的性能指標(biāo)即調(diào)節(jié)時間，取5%誤差帶時的調(diào)節(jié)時間ts=3T。調(diào)節(jié)時間與時間常數(shù)的3倍關(guān)系，可用Matlab和Multisim仿真來分析。

MATLAB軟件由開發(fā)環(huán)境、數(shù)學(xué)函數(shù)庫、編程語言、圖形處理系統(tǒng)和應(yīng)用程序接口等部分構(gòu)成，內(nèi)含圖形化用戶界面、大量的計(jì)算算法以及調(diào)用C、Fortran程序。MATLAB軟件具有強(qiáng)大的數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真功能。Matlab編程及其內(nèi)含的Simulink仿真可以讓學(xué)生直觀認(rèn)識一階系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間與時間常數(shù)的關(guān)系。

一階系統(tǒng)通常由一階RC電路實(shí)現(xiàn)，因此，一階系統(tǒng)的過渡過程也可用Multisim仿真來分析。

Multisim軟件有豐富的數(shù)據(jù)元件、強(qiáng)大測試儀器、完備的電路分析手段[1]，可以解決理論教學(xué)與實(shí)際動手的脫節(jié)[2]，其中的實(shí)際元器件使設(shè)計(jì)仿真與實(shí)際情況有良好的對應(yīng)性，可以直接導(dǎo)出到Ultiboard中進(jìn)行PCB的設(shè)計(jì)，其中的虛擬元器件只能用于仿真，可以根據(jù)需要改變的參數(shù)值[3]。Multisim仿真搭建一階RC電路，可以逼真再現(xiàn)實(shí)驗(yàn)環(huán)境，直接分析電路的內(nèi)部和外部特性[4]，同樣可以驗(yàn)證一階系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間與時間常數(shù)的關(guān)系。

下面以一階RC電路為例分析一階系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間與時間常數(shù)的關(guān)系。

1 一階RC電路的理論調(diào)節(jié)時間

圖1所示的一階RC電路中，輸入電壓Ur時電流立即對電容C充電，最后電壓Uc=Ur進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，結(jié)束充電的過渡過程。

圖1 一階RC電路

該一階RC電路微分方程可推導(dǎo)求得：

圖1中，設(shè)一階RC電路的R=100KΩ，C=1uF，初始條件為y(0)=0以及y′(0)=0，則電路的時間常數(shù)T=RC=0.1s。

將(1)式進(jìn)行拉氏變換，可得一階RC電路的傳遞函數(shù)為：

令輸入電壓Ur=10V，在零初始狀態(tài)下，一階RC電路的階躍響應(yīng)為：對(3)式進(jìn)行拉氏反變換，可以得到：

在(4)式中，uc對時間t單調(diào)遞增。按5%的誤差計(jì)算一階RC電路的調(diào)節(jié)時間，令Uc(t)=9.5，可得t=0.3，即電路的理論調(diào)節(jié)時間ts=3T=0.3s。

2 一階RC電路的Matlab仿真

在Matlab軟件中，一階RC電路的調(diào)節(jié)時間可以通過結(jié)合5%的誤差帶求解(1)式求得。在Matlab開發(fā)環(huán)境中輸入以下的程序段解微分方程，可以計(jì)算一階RC電路在5%的誤差帶下的調(diào)節(jié)時間ts。

plot(t，uc，t，uc1)%以t為橫坐標(biāo)，繪制輸出電壓Uc及其下限值uc1曲線

運(yùn)行以上程序，可得一階RC電路的調(diào)節(jié)時間ts=0.3s，與理論調(diào)節(jié)時間相同。

運(yùn)行以上程序還可得到如圖2所示的一階RC電路的響應(yīng)曲線，游標(biāo)顯示出95%的輸出電壓與響應(yīng)曲線交點(diǎn)(0.3，9.5)，即運(yùn)行時間大于0.3s時，一階RC電路的輸出電壓進(jìn)入5%的誤差帶。

圖2 一階RC電路響應(yīng)曲線

3 一階RC電路的Simulink仿真

根據(jù)一階RC電路的傳遞函數(shù)(3)式，在Matlab軟件中搭建如圖3所示的一階RC電路的Simulink仿真系統(tǒng)，輸入電壓為Ur=10V可用單位階躍信號增益k=10代替。圖3中，仿真系統(tǒng)含有一階RC電路仿真和95%階躍輸入信號兩個前向通道，虛擬示波器scope模塊顯示兩個通道的響應(yīng)曲線。

圖3 電路的SIMULINK仿真系統(tǒng)

運(yùn)行SIMULINK仿真系統(tǒng)，輸出scope模塊以后，在命令窗口輸入如下函數(shù)：

兩個set函數(shù)調(diào)出Scope模塊的編輯欄，通過編輯欄對scope圖形的標(biāo)題欄、橫軸、縱軸、兩個通道的交點(diǎn)進(jìn)行編輯，得到一階RC電路的Simulink仿真結(jié)果及5%的誤差帶如圖4所示。

從圖4中的游標(biāo)可以看出，95%階躍信號與響應(yīng)曲線的交點(diǎn)對應(yīng)的調(diào)節(jié)時間為0.3s左右，與Matlab編程得到的結(jié)果一致。

圖4 一階RC電路的Simulink仿真結(jié)果及5%的誤差帶

4 一階RC電路的Multisim仿真

根據(jù)圖1所示的一階RC電路圖，在Multisim中搭建如圖5所示的一階硬件電路模擬電路，并用虛擬示波器XSC觀察輸出電壓Uc的變化。

圖5 一階硬件電路模擬電路

對圖5所示的一階RC電路進(jìn)行Multisim仿真。點(diǎn)擊虛擬示波器XSC彈出示波器圖形界面，然后合上電路開關(guān)，隨著時間變化，實(shí)時得到一階RC電路的Multisim響應(yīng)曲線如圖6所示。圖6中反映出時間從0時刻開始的電容C上得到的充電電壓與充電時間的關(guān)系，再現(xiàn)了電容C真實(shí)的充電過程。

圖6 一階RC電路的Multisim響應(yīng)曲線

在虛擬示波器XSC的圖形界面中，移動1號游標(biāo)到響應(yīng)曲線的起點(diǎn)(0V)找到運(yùn)行時間T1，移動2號游標(biāo)到響應(yīng)曲線上的9.5V(5%誤差帶的輸出電壓Uc下限值)找到運(yùn)行時間T2，于是可以得到一階RC電路的調(diào)節(jié)時間ts=T2-T1=0.3s。

圖6可以看出，Multisim仿真得到的調(diào)節(jié)時間和理論調(diào)節(jié)時間是相同的，也和Matlab編程及Simulink仿真得到的結(jié)果一致。通過Multisim仿真，一階RC電路的調(diào)節(jié)時間不僅可用Multisim的虛擬示波器XSC得到，還能看到完整的充電過程，而Matlab編程及Simulink仿真只能看到結(jié)果，這是Multisim的優(yōu)勢。

5 結(jié)論

本文一階系統(tǒng)具體化為一階RC電路，得到一階RC電路系統(tǒng)。然后用10v階躍電壓作輸入信號，簡單推導(dǎo)了一階RC電路的調(diào)節(jié)時間。采用Matlab微分方程編程、simulink傳遞函數(shù)仿真以及Multisim硬件模擬電路分析，對電路調(diào)節(jié)時間進(jìn)行了圖形分析，實(shí)時繪制出了響應(yīng)曲線，調(diào)節(jié)時間都與理論值相同。

Matlab微分方程編程和simulink傳遞函數(shù)仿真得到的是仿真結(jié)果，Multisim電路仿真不僅能看到仿真結(jié)果，更主要地是能夠看到電路工作過程。Multisim軟件很方便地把電路工作過程真實(shí)地再現(xiàn)出來，在教學(xué)過程中做到變被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)，可用虛擬儀器技術(shù)開發(fā)，深得學(xué)生歡迎。