尹宗軍，蘇 蓉，丁 堅(jiān)，張子豪，李 勇

(安徽信息工程學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241100)

1 引言

液滴在固體表面上的潤(rùn)濕應(yīng)用于許多領(lǐng)域，如超疏水表面、印刷、自清潔表面和集水器[1-3]。對(duì)于超疏水表面和自清潔表面來說，使用表面微結(jié)構(gòu)和化學(xué)表面處理壁面，可使得液滴撞擊后能夠發(fā)生彈跳，有利于微納米電子元器件的散熱以及防霧防冰；對(duì)于印刷來說，油墨噴射紙面時(shí)若發(fā)生反彈或飛濺將不利于字跡的清晰度；對(duì)于集水器來說，在海風(fēng)多頻且缺少淡水的地區(qū)，若微小液滴能在壁面凝結(jié)形成水珠而后收集則有助于解決淡水資源缺乏問題?？梢?，理解液滴撞擊動(dòng)力學(xué)及其在相關(guān)參數(shù)范圍內(nèi)液滴的碰撞結(jié)果對(duì)現(xiàn)有工程應(yīng)用具有重要研究意義。

近幾年，國(guó)內(nèi)許多學(xué)者致力于液滴撞擊動(dòng)力學(xué)的研究。伊貴娜[4]采用多體耗散粒子動(dòng)力學(xué)方法研究壁面上單液滴和多液滴的撞擊及聚并行為。周鑫等[5]考慮液滴物性參數(shù)隨溫度的變化，模擬了液滴撞擊流動(dòng)行為，研究表明固液傳熱作用會(huì)影響液滴鋪展直徑，但不改變運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。彭啟[6]主要研究了層級(jí)微槽超疏水表面液滴合并彈跳行為，以及微槽疏水與層級(jí)微槽超疏水表面蒸汽冷凝換熱特性。王欣[7]通過改變撞擊We數(shù)、親水表面的親水性、疏水條紋的疏水性和疏水條紋的寬度，研究了液滴撞擊親水性表面上疏水條紋的分裂特性。于凡斐[8]提出了一種雙組分液滴撞擊超雙疏非潤(rùn)濕表面的新型動(dòng)態(tài)行為，該表面能夠促進(jìn)撞擊誘發(fā)飛濺的提前發(fā)生。彭啟等[9]制備了CuO納米結(jié)構(gòu)和矩形微槽相結(jié)合的層級(jí)微槽超疏水表面，研究了三種表面張力的單個(gè)液滴在微槽內(nèi)的受限生長(zhǎng)特征以及槽內(nèi)變形液滴與槽外正常液滴的合并彈跳行為。韓立寶[10]開展了環(huán)槽超疏水表面的液滴碰撞實(shí)驗(yàn)，探究了環(huán)槽結(jié)構(gòu)對(duì)于液滴橫向運(yùn)輸?shù)挠绊懸?guī)律。王昊[11]開展了液滴撞擊不同傾角的超疏水溝槽表面的鋪展和接觸時(shí)間動(dòng)力學(xué)特性的研究，并根據(jù)溝槽方向與斜面方向所成角度將實(shí)驗(yàn)分為橫向撞擊和縱向撞擊。楊延杰[12]研究了液滴撞擊親疏水表面的鋪展和遷移規(guī)律，主要工作包括液滴撞擊光滑表面的模態(tài)判斷，液滴撞擊潤(rùn)濕性梯度表面的動(dòng)態(tài)過程，液滴撞擊楔形親疏水表面鋪展研究。韓丁丁[13]揭示了粘彈性抑制液滴在疏水壁面上反彈的機(jī)理，實(shí)現(xiàn)了高分子溶液撞擊超疏水壁面的不同模態(tài)。姚一娜等[14]研究了液滴的碰撞角度和We數(shù)對(duì)碰撞過程中液滴前后沿點(diǎn)位移、最大鋪展直徑、滑移距離等的影響。張春雨[15]研究了剪切流中復(fù)合液滴運(yùn)動(dòng)和平板上復(fù)合液滴構(gòu)型之間的轉(zhuǎn)化。閆哲[16]探究了不同的表面潤(rùn)濕性、撞擊速度及表面微尺度結(jié)構(gòu)對(duì)液滴動(dòng)態(tài)特性的影響。高明謙[17]認(rèn)為超疏水表面具有較大接觸角和較小滾動(dòng)角，液滴撞擊其上會(huì)產(chǎn)生彈跳現(xiàn)象，并通過改變柱狀陣列的傾角間接改變最小柱間距值從而實(shí)現(xiàn)對(duì)液滴的彈跳狀態(tài)、彈跳方向及彈跳時(shí)間的控制。張博[18]考察了液滴潤(rùn)濕行為與表面納微結(jié)構(gòu)關(guān)系。李大樹[19]對(duì)傳熱、液固潤(rùn)濕、Marangoni應(yīng)力和接觸角滯后現(xiàn)象進(jìn)行了數(shù)值求解。梁超等[20]模擬了液滴以相同速度撞擊到接觸角分別為63°、90°、118°和160°的固體壁面，結(jié)果表明固壁的親憎水性對(duì)液滴撞擊表面后的形態(tài)演化有較大影響。

考慮液滴與壁面的相互作用對(duì)液滴撞擊后的形態(tài)演化以及液滴因粘性耗散而產(chǎn)生的振蕩行為具有重要的影響，結(jié)合液滴對(duì)撞擊不同潤(rùn)濕壁面的普遍性，本文將以毫米尺寸水滴撞擊不同固體壁面作為研究載體，著重分析液滴在撞擊不同潤(rùn)濕表面的振蕩行為和振蕩特性，為理解壁面作用對(duì)液滴振蕩行為的影響提供模擬應(yīng)用依據(jù)。

2 控制方程與參數(shù)設(shè)置

2.1 基于VOF相界面追蹤的流體控制方程

在本研究中，液滴因撞擊而在內(nèi)部產(chǎn)生激波的傳播時(shí)間尺度很短(約D0/V0×10-4)，因此可以忽略液滴撞擊固體表面引起的液體可壓縮性的影響。此外，氣體的可壓縮效應(yīng)也被忽略，因?yàn)闅庀嗟鸟R赫數(shù)Ma=V0/c0為O(10-3)(c0表示空氣中的聲速)。因此，假設(shè)液體和氣體這兩種流體都是不可壓縮的牛頓流體，并指定為層流流體，且考慮這兩種流體之間的表面張力γLV和重力。此外，使用ρV和μV分別表示空氣的密度和粘度，ρL和μL用于表示液滴的物理特性。

在VOF計(jì)算中，可以將固體表面上鋪展的不互溶液氣兩相流假設(shè)為一種有效流體。由于每個(gè)單相流的物理性質(zhì)(例如密度和粘度)被認(rèn)為是恒定的，因此體積分?jǐn)?shù)變量c可以用來跟蹤該有效流體的相分?jǐn)?shù)(相分?jǐn)?shù)c=0表示氣相，c=1表示液相，c介于0和1之間時(shí)代表兩相界面區(qū)域)、密度ρ和粘度μ。更具體地說，密度ρ可以用體積分?jǐn)?shù)變量c表示為ρ=cρL+(1-c)ρV，粘度定義為ρ=cμL+(1-c)μV。就此而言，該有效流體流動(dòng)的控制方程包括連續(xù)性方程，帶表面張力項(xiàng)的Navier-Stokes方程和相分?jǐn)?shù)的擴(kuò)散方程[21]，如下所示：

(1)

(2)

(3)

式中，u≡(u，v)表示為速度矢量，p表示壓強(qiáng)，D定義為Dij≡(?iuj+?jui)/2，g重力加速度，δ為迪拉克算子，κ表示界面的平均曲率，n表示從液相流出的界面的單位法線。

上述控制方程的離散格式可參考文獻(xiàn)[22]，如下所示：

(4)

(5)

(6)

其中，下標(biāo)n和n+1/2分別表示相應(yīng)的時(shí)間節(jié)點(diǎn)，u*表示輔助速度場(chǎng)。所有VOF數(shù)值模擬均使用GERRIS程序(一個(gè)用于求解描述流體流動(dòng)的偏微分方程的開源軟件程序)進(jìn)行。

2.2 建模與參數(shù)設(shè)置

液滴撞擊壁面模型可簡(jiǎn)化為二維模型LX×LY=2L×L，其中L等于8 mm，如圖1(a)所示。初始，壓強(qiáng)p設(shè)置為0，氣體內(nèi)部u和v(x、y方向上的速度分量)設(shè)置為0。模擬區(qū)域的大小選擇應(yīng)保證直徑為D0的液滴能夠自由擴(kuò)散。對(duì)于底部壁面，采用滑移邊界條件(u=u0+λ?u/?y)來描述固體表面與液滴之間的相互作用，λ為滑移長(zhǎng)度，u0為壁面的移動(dòng)速度。液滴與固體表面之間的初始距離h選擇為h=D0。如果h的參數(shù)值太大，撞擊速度V0的控制精度較低，計(jì)算量會(huì)增加。相反，氣相流動(dòng)的影響可能會(huì)被忽略，固體-液滴界面的計(jì)算誤差較大，這意味著初始距離h不應(yīng)太小。

(a)計(jì)算模型 (b)局部自適應(yīng)笛卡爾網(wǎng)格

為了在不增加大量計(jì)算量的情況下保證液氣界面的計(jì)算精度，對(duì)液滴周圍區(qū)域進(jìn)行動(dòng)態(tài)自適應(yīng)局部笛卡爾網(wǎng)格細(xì)化。如圖1(a)所示，由高分辨率網(wǎng)格包圍的紅色區(qū)域表示液滴，其中VOF體積變量c的值為1。網(wǎng)格細(xì)化的最大和最小級(jí)別分別為10和6，相應(yīng)的計(jì)算單元尺寸分別為L(zhǎng)/210和L/26(即7.8125×10-3mm和1.25×10-1mm)。根據(jù)液滴運(yùn)動(dòng)和形狀變形，網(wǎng)格分辨率沿液滴-氣體界面變化，局部網(wǎng)格中自適應(yīng)細(xì)化的判據(jù)可以表示為：

‖c‖Δx/max‖u‖>δ

(7)

式中，‖c‖是VOF體積分?jǐn)?shù)變量c的值，Δx為子網(wǎng)格的尺寸，max‖u‖為流體穿過局部單元的最高速度，δ為閾值參量。只有當(dāng)每個(gè)時(shí)間步的‖c‖Δx/max|u|小于δ/4時(shí)，GERRIS軟件中網(wǎng)格才會(huì)粗化。液滴-氣體界面的急劇變化對(duì)應(yīng)于高網(wǎng)格分辨率，因此閾值δ指定為0.01。如圖1(b)展示了液滴動(dòng)力學(xué)包括撞擊、鋪展、回縮和反彈行為所對(duì)應(yīng)的局部笛卡爾網(wǎng)格。

2.3 驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證VOF模擬算法的準(zhǔn)確性，將水滴(D0=2.0mm，V0=0.31m/s)與固體超疏水表面(靜態(tài)接觸角θE=157°)的VOF模擬與文獻(xiàn)[23]中的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行比較，如圖2(a)-(b)所示。在計(jì)算中，水和空氣的密度和粘度分別設(shè)定為ρL=9.98×102kg·m-3/ρV=1.2kg·m-3，L=1.003×10-3N·s·m-3/μv=1.8×10-5N·s·m-3，表面張力設(shè)置為γLV=7.5×10-2N·m-1。經(jīng)歷擴(kuò)展和后退過程后，液滴在特征時(shí)間t=11.2ms時(shí)完全脫離固體表面。如圖2(c)所示，最大潤(rùn)濕直徑及其相應(yīng)時(shí)間分別約為1.85mm和3.6ms，模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。該數(shù)值策略可以準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)液滴的變形，并很好地解決了網(wǎng)格無關(guān)性問題。

(a)液滴反彈的實(shí)驗(yàn)[23]；(b)液滴反彈的VOF模擬 (c)當(dāng)前模擬與文獻(xiàn)[23]實(shí)驗(yàn)對(duì)比

3 液滴撞擊壁面的振蕩行為仿真模擬

3.1 不同速度下液滴撞擊壁面的運(yùn)動(dòng)演化

液滴撞擊固體表面后，會(huì)導(dǎo)致彈跳、飛濺或粘附，這在很大程度上取決于撞擊速度[24]。這個(gè)撞擊速度不能太大，否則液滴可能會(huì)在固體表面上反彈或發(fā)生飛濺。因此，液滴的撞擊速度V0設(shè)定為0.1m/s、0.2m/s、0.3m/s、0.4m/s和0.5m/s，以便研究液滴撞擊壁面后的振蕩行為。此外，水滴的直徑指定為D0=1.6mm，壁面靜態(tài)接觸角為θE=90°。

圖3顯示了不同撞擊速度下液滴撞擊光滑固體表面的運(yùn)動(dòng)演化圖以及部分速度矢量場(chǎng)。圖4顯示了鋪展因子β的時(shí)間變化曲線(定義為β=L/D0，L為當(dāng)前潤(rùn)濕長(zhǎng)度)。時(shí)間節(jié)點(diǎn)t=0.0定義為水滴剛接觸到固體表面時(shí)刻，此時(shí)β=0。對(duì)于較低的速度V0=0.1m/s(見圖3(a))，可以看到液滴經(jīng)歷了鋪展和回縮階段。碰撞開始時(shí)，由于固體表面的阻擋，液滴的法向動(dòng)量發(fā)生變化。隨著高度的降低，液滴的下部形成向外的徑向流動(dòng)(見t=2.0ms)。直到t=6.2ms，該徑向流動(dòng)達(dá)到最大潤(rùn)濕面積，此時(shí)液滴運(yùn)動(dòng)的驅(qū)動(dòng)力變?yōu)槊?xì)力。相應(yīng)地，擴(kuò)展因子β增加到最大，即βmax=2.43，如圖4(a)所示。之后，液滴向內(nèi)收縮，從中心升起。液滴的內(nèi)聚力迫使?jié)竦蚊娣e減小，β值開始減小。在表面張力和慣性力的綜合影響下，液滴達(dá)到一定高度而不反彈。在t=13.8ms時(shí)，β減小到最小值0.74。在隨后的運(yùn)動(dòng)中，重力產(chǎn)生向下的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，使水滴落下。當(dāng)t=19.8ms時(shí)，液滴再一次達(dá)到當(dāng)前最大潤(rùn)濕面積。隨后，因粘性耗散不斷鋪展/回縮，直到水滴處于平衡狀態(tài)，平衡時(shí)間甚至超過400.0ms。在V0=0.2m/s、0.3m/s和0.4m/s的情況(見圖3(b)-(d))，上述三種情況下的βmax值約為2.58/6.4ms，2.77/6.6ms和3.14/7.6ms(如圖4(a)所示)。對(duì)于V0=0.5m/s(見圖3(e))，液滴中心出現(xiàn)一個(gè)孔，這是由于彎曲界面的夾斷。在時(shí)間t=8.2ms時(shí)，它的最大鋪展因子βmax等于3.48。

(a)0.1m/s (b)0.2m/s (c)0.3m/s (d)0.5m/s (e)0.5m/s

(a)第一個(gè)振蕩周期 (b)100ms內(nèi)的振蕩曲線

為了定量描述振蕩液滴變形特征，如圖4(b)所示為100.0ms內(nèi)鋪展因子β的時(shí)間變化曲線圖。鋪展因子因子β在100ms內(nèi)的變化足以讓我們確定振蕩特性的關(guān)鍵特征(即平均振幅比χ和平均振蕩周期τ)。很明顯，液滴振蕩的振幅隨著V0的增大而增大。V0的大小在0.1m/s到0.5m/s之間變化時(shí)，χ值為依次為1.045、1.052、1.058、1.064和1.076，τ的對(duì)應(yīng)值分別為13.32ms、13.62ms、14.64ms、15.66ms和17.12ms，因此，平均振幅比χ和平均振蕩周期τ均隨撞擊速度的增大而增大。可見，撞擊速度的增加并不利于削弱液滴振蕩。

3.2 液滴撞擊不同潤(rùn)濕壁面的振蕩特性

除撞擊速度外，壁面潤(rùn)濕性在液滴碰撞動(dòng)力學(xué)行為中也起著重要作用。液體/氣體界面的接觸角通常被用來描述液滴潤(rùn)濕固體表面的能力。若液滴靜止在理想的固體表面上，這個(gè)接觸角稱為靜態(tài)接觸角θE。對(duì)于較低的θE(例如θE<90°)，此時(shí)壁面附著力較強(qiáng)，液滴傾向于粘附在壁面上。如果θE較高(如θE>150°)，由于壁面阻力較小，液滴撞擊后容易破碎或反彈。因此，接觸角小于90°的表面為稱為親水表面，而大于90°的則為疏水表面。然而，界面動(dòng)力學(xué)揭示了液滴存在接觸角遲滯效應(yīng)，接觸角在液滴鋪展/回縮過程中是動(dòng)態(tài)變化的。這種接觸角被稱為動(dòng)態(tài)接觸角θD，其與接觸線的速度有關(guān)。但本文假設(shè)液滴在光滑表面上移動(dòng)的接觸角等于靜態(tài)接觸角θE，通過數(shù)值模擬壁面的靜態(tài)接觸角范圍為θE=70°至110°(包括從部分濕潤(rùn)到非濕潤(rùn))對(duì)液滴振蕩行為的影響。這里主要研究D0=1.6mm的液滴低速(V0=0.2m/s)撞擊不同潤(rùn)濕表面的振蕩特性。

圖5顯示了不同時(shí)間下的液滴撞擊在不同潤(rùn)濕表面上的運(yùn)動(dòng)演化圖。在液滴鋪展過程中，部分速度矢量場(chǎng)也在圖中顯示。所有這些圖像都呈現(xiàn)出液滴鋪展/回縮的行為。很明顯，隨著θE值增大，最大潤(rùn)濕長(zhǎng)度減小。對(duì)于較小的θE值(見圖5(a)-(c)，即θE=70°、80°和90°)，可以觀察到液滴中心彎曲界面的形成。當(dāng)θE=110°時(shí)，液滴中心不形成彎曲界面，原因是壁面與液滴間粘附力小于液滴自身的內(nèi)聚力，如圖5(d)中所示。對(duì)于液滴形狀處于平衡狀態(tài)時(shí)，θE值較小的情況(例如θE=70°)具有較大的靜態(tài)潤(rùn)濕面積。

(a)70° (b)80° (c)90° (d)100° (e)110°

圖6(a)給出了鋪展因子β的第一個(gè)振蕩周期。對(duì)于考慮的所有液滴碰撞，β值起始都會(huì)增加，然后隨著時(shí)間的推移而減少。βmax值在θE的第一個(gè)循環(huán)期間得到，可以看出當(dāng)接觸角從70°變化至110°時(shí)，βmax值及其對(duì)應(yīng)的時(shí)間節(jié)點(diǎn)分別為3.66/9.2ms、3.06/7.8ms、2.55/6.8ms、2.21/6.5ms和1.87/6.1ms。因此，對(duì)于較小θE值(例如θE=70°)，βmax值較大，對(duì)應(yīng)達(dá)到βmax時(shí)的時(shí)間節(jié)點(diǎn)也較長(zhǎng)。這是因?yàn)檩^小θE值對(duì)應(yīng)于較強(qiáng)的壁面粘附，這會(huì)促進(jìn)液滴潤(rùn)濕并導(dǎo)致βmax增大。圖6(b)顯示了相應(yīng)的鋪展因子β在100ms內(nèi)的時(shí)間變化曲線?？梢郧宄赜^察到幾個(gè)液滴鋪展/回縮的振蕩周期，平均振幅比χ和平均振蕩周期τ分別為1.051/17.1ms、1.050/15.2ms、1.049/13.7ms、1.041/12.7ms和1.028/12.6ms。表明隨著θE值的增加，χ和τ的值均減少。θE的減小可以有助于抑制液滴的振蕩幅度，并延遲平均振蕩周期，但潤(rùn)濕面積較大。

(a)第一個(gè)振蕩周期 (b)100ms內(nèi)的振蕩曲線

4 結(jié)論

固體表面潤(rùn)濕性對(duì)液滴在壁面上的振蕩行為重要影響，通過引入描述壁面潤(rùn)濕特性的壁面接觸角，利用VOF相界面追蹤法對(duì)液滴撞擊不同壁面的振蕩特性進(jìn)行了仿真模擬，分析了液滴速度和壁面潤(rùn)濕性因素對(duì)液滴振蕩特性的影響。仿真結(jié)果表明壁面接觸角減小有助于抑制液滴的振蕩幅度，并增大平均振蕩周期，但潤(rùn)濕面積較大。在海風(fēng)多頻而缺少淡水地區(qū)，使用較小壁面接觸角的表面收集液滴時(shí)，在液滴動(dòng)態(tài)振動(dòng)過程中液滴與表面接觸面積較大、振幅衰減較快有利于液滴附著表面，可有效避免液滴在海風(fēng)影響下反彈出表面。