何振輝

(中山大學(xué) 物理與天文學(xué)院，廣東 珠海 519082)

在物理專(zhuān)業(yè)課程中，對(duì)應(yīng)于統(tǒng)計(jì)物理的實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容很少. 然而，作為連接微觀運(yùn)動(dòng)與宏觀現(xiàn)象和規(guī)律的物理量，玻耳茲曼常量在知識(shí)結(jié)構(gòu)中有著十分重要的地位，它不僅已被用于定義國(guó)際溫標(biāo)(開(kāi)爾文)，對(duì)熵的定義甚至超出物理知識(shí)含義.通過(guò)PN結(jié)電流特性測(cè)量[1,2]，玻耳茲曼常量測(cè)量的本科實(shí)驗(yàn)教學(xué)已開(kāi)展多年. 相比之下，通過(guò)鎖相放大器測(cè)量電阻熱噪聲的方法獲得玻耳茲曼常量則更為直接,物理上也更容易理解，但測(cè)量精度和測(cè)量技術(shù)要求也更高. 受制于鎖相放大器的普及和環(huán)境噪聲的屏蔽技術(shù)，后者在教學(xué)實(shí)驗(yàn)中尚未見(jiàn)有實(shí)踐報(bào)道.

隨著實(shí)驗(yàn)物理對(duì)精密控制與測(cè)量的需求不斷增長(zhǎng)以及鎖相放大技術(shù)及其應(yīng)用的發(fā)展，鎖相放大器實(shí)驗(yàn)教學(xué)被越來(lái)越多的高校納入到近代物理實(shí)驗(yàn)課程中. 特別是將數(shù)字鎖相放大器應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)教學(xué)[3]，其工作原理的數(shù)學(xué)描述[4]便于那些即使未修過(guò)電子技術(shù)課程的學(xué)生理解；鎖相放大器處理(低信噪比)弱信號(hào)的能力[5]讓學(xué)生印象深刻，直接測(cè)量電阻熱噪聲的應(yīng)用[6]使基于Johnson噪聲測(cè)量玻耳茲曼常量成為可能. 為配合精密測(cè)量物理教學(xué)，筆者在實(shí)驗(yàn)教學(xué)課程中開(kāi)設(shè)了鎖相放大器實(shí)驗(yàn)及熱噪聲測(cè)量?jī)?nèi)容，并探索將電阻器溫度下降至液氮溫區(qū)，以更好理解熱噪聲與溫度的關(guān)系. 在教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，有些好學(xué)的學(xué)生不滿足僅僅按講義或文獻(xiàn)提供的公式、參數(shù)、甚至測(cè)量步驟完成實(shí)驗(yàn)；另一方面，因?qū)υ肼暅y(cè)量原理缺乏深入透徹的理解，學(xué)生在選擇儀器參數(shù)時(shí)仍時(shí)有不知其所以然，而盲從講義的指引，這不符合物理專(zhuān)業(yè)的思維方式. 一些勇于探索的學(xué)生想通過(guò)試錯(cuò)方式來(lái)學(xué)習(xí)，但因時(shí)間不足，不合理的儀器參數(shù)設(shè)置造成測(cè)量精度不合理的偏離.

為了彌補(bǔ)上述教學(xué)不足，本文擬在OE1022數(shù)字鎖相放大器教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上做以下補(bǔ)充：1) 基于物理圖像的導(dǎo)體電阻熱噪聲公式推導(dǎo)；2) 鎖相放大器測(cè)量噪聲的工作原理及等效噪聲帶寬的推導(dǎo)；3) 電阻熱噪聲測(cè)量及玻耳茲曼常量測(cè)量的誤差分析；4) 基于所述誤差分析的實(shí)驗(yàn)教學(xué)設(shè)計(jì)改革.

1 電阻熱噪聲

對(duì)一個(gè)經(jīng)典的系統(tǒng)，微觀粒子都在做無(wú)規(guī)熱運(yùn)動(dòng)，其系統(tǒng)宏觀性質(zhì)由微觀粒子的統(tǒng)計(jì)結(jié)果決定. 微觀運(yùn)動(dòng)的漲落(熱漲落)服從高斯分布. 帶電的微觀粒子(如金屬中的電子)熱漲落產(chǎn)生噪聲電流，噪聲電流通過(guò)電阻則產(chǎn)生噪聲電壓，這一現(xiàn)象被Johnson觀察到[7]，因而被稱(chēng)為Johnson噪聲或電阻熱噪聲. 為此，無(wú)論是否加電，電子器件都會(huì)對(duì)外呈現(xiàn)出熱噪聲特性. 下面從物理圖像對(duì)該熱噪聲的特性做非嚴(yán)格的推導(dǎo).

電阻器與環(huán)境不斷交換能量，當(dāng)達(dá)到熱平衡時(shí)，它從環(huán)境接收的能量等于向環(huán)境發(fā)射的能量.設(shè)能量交換以熱輻射方式進(jìn)行，則在長(zhǎng)波極限下(?ω<

(1)

式(1)中，kB=1.38×10-23J/K，為玻耳茲曼常量.實(shí)驗(yàn)室環(huán)境溫度(～300 K)和測(cè)量頻段(102～106Hz)滿足此極限條件. 同理，電阻器從溫度為T(mén)e的環(huán)境吸收的輻射為kBTe，兩者都與電磁波的頻率無(wú)關(guān)，熱平衡時(shí)T=Te.

將此電磁輻射能量交換的圖像簡(jiǎn)化為一維的電磁波的發(fā)射和接收，以?xún)蓚€(gè)相互串聯(lián)的電阻作等效描述(如圖1所示)，R為研究對(duì)象電阻，Re為環(huán)境的等效電阻，則電阻器向環(huán)境輻射的平均功率等于從R輸出并損耗在Re上的電功率，表示為

(2)

其中，IN(R)為等效噪聲電流，vN(R)為電阻器R的噪聲電壓(隨機(jī)信號(hào)).注意環(huán)境的噪聲電壓vN(Re)與vN(R)是獨(dú)立的，不能疊加.同理從環(huán)境吸收的輻射平均功率為

(3)

圖1 電阻器與環(huán)境熱變交換等效 電路圖；熱平衡時(shí)，Re=R

即帶寬Δf內(nèi)噪聲電壓的時(shí)間方均值為

(4)

它占據(jù)(理想矩形)帶寬Δf，定義與帶寬無(wú)關(guān)的噪聲功率譜密度為

(5)

可見(jiàn)，噪聲功率譜密度均與頻率無(wú)關(guān).

2 測(cè)量原理

2.1 噪聲測(cè)量

(6)

(7)

即對(duì)m種類(lèi)型或來(lái)源的噪聲，如果不同噪聲之間存在相關(guān)性，式(7)中nfk(ti)nfj(ti)≠0(k≠j)，分離不同種類(lèi)的噪聲是困難的，除非在輸入端作物理隔離.例如，要測(cè)量熱噪聲，需要通過(guò)屏蔽環(huán)境噪聲，使之在參考頻率段遠(yuǎn)低于熱噪聲.對(duì)不相干的噪聲源nfk(ti)，式(7)寫(xiě)為

(8)

式(8)給出了不同類(lèi)型非相干噪聲的疊加原理，是扣除隨機(jī)本底噪聲的算法依據(jù).對(duì)隨機(jī)噪聲，X與Y獨(dú)立等價(jià)，從式(2)得熱噪聲的平均功率為

(9)

2.2 本底噪聲

與所有電子儀器一樣，鎖相放大器具有自身本底噪聲(nB)，主要來(lái)自于熱噪聲、溫漂噪聲、模數(shù)轉(zhuǎn)換噪聲等非相干噪聲.而實(shí)際測(cè)量的噪聲值(nm)是待測(cè)熱噪聲(nT)與本底噪聲的疊加.根據(jù)隨機(jī)噪聲疊加原理式(8)得

(10)

可扣除儀器的本底噪聲，前提是測(cè)量本底噪聲時(shí)與測(cè)量噪聲時(shí)的條件以及所選的鎖相放大器參數(shù)相同.

2.3 等效噪聲帶寬

(11)

(12)

(13)

表1 等效噪聲帶寬與陡降和時(shí)間常數(shù)τ的對(duì)應(yīng)關(guān)系

將隨機(jī)變化的噪聲視為幅值隨機(jī)的階躍輸入信號(hào)，則窄帶濾波器使輸出信號(hào)延遲. 定義輸出信號(hào)達(dá)到階躍值的99%視為反映輸入噪聲幅值，其延遲等待時(shí)間也列于表1中. 也就是說(shuō)，噪聲測(cè)量時(shí)輸出的時(shí)間間隔，應(yīng)不小于表1給出的測(cè)量等待時(shí)間.

根據(jù)式(12)算出的儀器帶寬ΔfLPF取代式(4)中的帶寬Δf，得噪聲電壓強(qiáng)度表達(dá)式為

(14)

(15)

(16)

單位為伏·秒1/2(V·s1/2).

3 測(cè)量誤差分析

梳理影響電阻噪聲測(cè)量的因素：1)電阻器熱平衡；2)樣本量與統(tǒng)計(jì)不確定度；3)環(huán)境噪聲影響；4)鎖相放大器的輸入帶寬.

3.1 電阻器熱平衡

從式(2)推導(dǎo)假設(shè)知，電阻熱噪聲的表述要求電阻處理熱平衡，即電阻向環(huán)境發(fā)出的能量等于它從外界吸收的能量.這意味著如果測(cè)量時(shí)電阻器未達(dá)到熱平衡會(huì)帶來(lái)測(cè)量誤差.1)測(cè)量時(shí)溫度足夠穩(wěn)定，即電阻與環(huán)境溫度相同；2)電阻器的熱容量足夠小而熱導(dǎo)足夠大，則即使電阻溫度存在波動(dòng)，由之造成的對(duì)與外界能量交換的影響也足夠小.另一方面，電阻器與環(huán)境未達(dá)到熱平衡亦會(huì)帶來(lái)溫度測(cè)量讀數(shù)與電阻器實(shí)際溫度的偏差.

3.2 樣本量與系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)不確定度

由于測(cè)量對(duì)象(噪聲)本身具有隨機(jī)性，系統(tǒng)不確定度也具有統(tǒng)計(jì)的特性，式(8)表明，X分量的噪聲電壓強(qiáng)度即為X分量測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差.實(shí)際測(cè)量時(shí)，鎖相放大器樣本量M(測(cè)量次數(shù))不可能無(wú)限大，尤其對(duì)于教學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)間有限，則該噪聲測(cè)量值僅為最佳估計(jì)值.簡(jiǎn)單起見(jiàn)，先假定環(huán)境噪聲為零，易得噪聲電壓測(cè)量值的比值不確定度[8]為

(17)

(18)

3.3 基于隨機(jī)誤差的熱噪聲測(cè)量不確定度

熱噪聲測(cè)量需用式(10)扣除本底，假設(shè)本底測(cè)量與信號(hào)測(cè)量樣本量同為M，通過(guò)式(18)和誤差傳遞可得

(19)

熱噪聲測(cè)量的比值不確定度為

(20)

3.4 環(huán)境噪聲影響

3.5 鎖相放大器輸入帶寬

從式(14)和式(19)可知，要降低噪聲測(cè)量誤差，電阻器的阻值應(yīng)盡量大.然而，過(guò)大的電阻會(huì)降低鎖相放大器的輸入帶寬.

電阻Rs通過(guò)同軸電纜接入鎖相放大器的信號(hào)輸入端. 實(shí)際電纜長(zhǎng)約1 m，遠(yuǎn)小于鎖相放大器最高測(cè)量頻率(100 kHz)所對(duì)應(yīng)的電磁波波長(zhǎng)，則電纜自帶的電容、電感所構(gòu)成的直流耦合等效電路如圖2所示，Rin為鎖相放大器的輸入電阻，Cain為輸入電容，Cb和Lb分別為電纜的電容和電感.

圖2 電阻熱噪聲輸入簡(jiǎn)化等效電話(直流耦合)

估算單位長(zhǎng)度同軸電纜的電感和電容值分別為：Lb=3.78×10-7H/m，和Cb=4.52×10-11F/m，對(duì)OE1022鎖相放大器，Cain=25 pF，Rin=10 MΩ，即使在最高頻率100 kHz，感抗約為0.24 Ω，選擇Rs約為103～105Ω，ωLb<

式中ω0=1/RC為鎖相放大器的輸入帶寬.這里有兩處修正：1)鎖相放大器測(cè)量的是總電阻R產(chǎn)生的熱噪聲，當(dāng)Rs≤105Ω時(shí)，與阻值R的誤差小于1%；2) 當(dāng)Rsf>109ΩHz時(shí)，噪聲功率誤差大于5%，需對(duì)輸入帶寬的影響做修正，即

(21)

3.6 玻耳茲曼常量測(cè)量的不確定度估算

通過(guò)式(5)計(jì)算玻耳茲曼常量kB，假設(shè)鎖相放大器的數(shù)值低通濾波器的相對(duì)誤差可忽略不計(jì)，電阻R、溫度T獨(dú)立測(cè)量，其誤差主要取決于測(cè)量?jī)x器的系統(tǒng)誤差.將式(20)代入誤差傳遞可得kB的比值不確定度為

(22)

3.7 儀器不確定度

標(biāo)定過(guò)的熱電偶的誤差主要來(lái)自于測(cè)溫儀的冷端補(bǔ)償?shù)恼`差，δT≈0.5 K，相對(duì)誤差δT/T低于1%水平；采用數(shù)字萬(wàn)用表測(cè)量電阻的相對(duì)誤差δR/R也低于1%水平；對(duì)于數(shù)字鎖相放大器，儀器不確定度主要來(lái)自前置放大器的漂移和模數(shù)轉(zhuǎn)換噪聲.前者可以通過(guò)在儀器工作穩(wěn)定后，用標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)校正增益消減；后者通過(guò)恰當(dāng)選擇動(dòng)態(tài)儲(chǔ)備和增益壓減，并歸到儀器本底噪聲中，不在此展開(kāi)討論.

4 教學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

4.1 知識(shí)點(diǎn)安排

用鎖相放大器測(cè)量電阻熱噪聲實(shí)驗(yàn)安排在大學(xué)三年級(jí)的近代物理實(shí)驗(yàn)課程中，要求學(xué)生已修“大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)”“誤差分析導(dǎo)論”“熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理”或相近課程，修過(guò)“電子技術(shù)”課的會(huì)更好.

4.1.1 隨機(jī)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性

通過(guò)測(cè)量噪聲電壓的X分量和Y分量，用測(cè)量結(jié)果討論：1) 測(cè)量值是否服從正則分布？2)X值和Y值是否獨(dú)立無(wú)關(guān)？3)X值、Y值是否等價(jià)？4) 分析熱噪聲的測(cè)量誤差.

4.1.2 電阻熱噪聲特性

通過(guò)測(cè)量數(shù)據(jù)：1) 討論所測(cè)導(dǎo)體噪聲是否服從正則分布？2) 從電阻熱噪聲的時(shí)域分布和頻域分布，認(rèn)識(shí)是否與頻率無(wú)關(guān)？3) 認(rèn)識(shí)熱噪聲分別與電阻值和溫度的關(guān)系.

4.1.3 玻耳茲曼常量測(cè)量

高精度的玻耳茲曼常量測(cè)量要求對(duì)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性有透徹的理解，更涉及一些其他實(shí)驗(yàn)不常遇到的誤差分析知識(shí)點(diǎn)，如隨機(jī)測(cè)量的誤差傳遞以及標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差或方差的標(biāo)準(zhǔn)差；此外，該實(shí)驗(yàn)可配合統(tǒng)計(jì)物理理論課教學(xué)開(kāi)展.

4.2 減少誤差的設(shè)計(jì)

4.2.1 電阻器選取

首先電阻器應(yīng)該質(zhì)量小(從而熱容量小)，容易與環(huán)境達(dá)到熱平衡，例如采用貼片電阻[6]；其次，電阻器取值范圍(103～105Ω)使式(20)描述的比值標(biāo)準(zhǔn)差較小.

4.2.2 減少環(huán)境噪聲造成的誤差

為方便測(cè)量熱噪聲與溫度的關(guān)系，將電阻器安裝在可置于液氮溫區(qū)環(huán)境、外徑為10 mm的不銹鋼管(測(cè)試桿)內(nèi)，管殼與同軸電纜外層接地連接.由于電阻熱噪聲在10-9～10-8V數(shù)量級(jí)，該屏蔽措施難以達(dá)到或低于這一水平.

在教學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)電磁干擾屏蔽能力有限的條件下，為減少環(huán)境噪聲的影響，可將實(shí)驗(yàn)安排在下班后，采取遠(yuǎn)程測(cè)量方式進(jìn)行，要求實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)無(wú)人，且除電腦和鎖相放大器外的其他電器設(shè)備關(guān)閉. 在本教學(xué)實(shí)驗(yàn)室的實(shí)驗(yàn)表明，環(huán)境噪聲的影響能下降到熱噪聲或更低的水平.

4.2.3 最少非相關(guān)樣本量

在達(dá)到熱平衡后，玻耳茲曼常量kB測(cè)量的誤差主要來(lái)自于式(21)右邊第一項(xiàng)的噪聲測(cè)量，它約為熱噪聲測(cè)量比值標(biāo)準(zhǔn)差的一半，因此樣本量的要求為5千至1萬(wàn)個(gè)非相干樣本.數(shù)字鎖相放大器的輸出信號(hào)頻率受制于模數(shù)轉(zhuǎn)換速度和濾波器帶寬.以O(shè)E1022數(shù)字鎖相為例，盡管通道快輸出(CH1+fast)可達(dá)到312.5kHz的數(shù)據(jù)率，但只有當(dāng)輸出數(shù)據(jù)時(shí)間間隔大于濾波器時(shí)間常數(shù)的5～10倍時(shí)(見(jiàn)表1)，輸出數(shù)據(jù)才能達(dá)到輸入變化的99%，可近似認(rèn)為兩次電壓采樣之間是獨(dú)立的.考慮到實(shí)驗(yàn)教學(xué)課時(shí)的限制，以1s為采樣時(shí)間間隔，包括設(shè)置參數(shù)和等待儀器穩(wěn)定在內(nèi)的理想狀態(tài)下，完成一次測(cè)量時(shí)間約在20分鐘、可采集樣本約1千個(gè)，測(cè)量綜合誤差約10%.計(jì)及學(xué)生操作熟練程度和參數(shù)選擇正確性等其他不確定度因素的影響，一般課堂實(shí)驗(yàn)的測(cè)量誤差在50%以?xún)?nèi)的預(yù)期是較為恰當(dāng)和可以接受的.

5 教學(xué)實(shí)踐與問(wèn)題改進(jìn)

在近代物理實(shí)驗(yàn)課原有不同溫度下測(cè)量電阻熱噪聲的基礎(chǔ)上，依據(jù)上述實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)對(duì)2019級(jí)中實(shí)驗(yàn)教學(xué)作了改進(jìn)，實(shí)驗(yàn)講義增加了基于能量均分定理的電阻熱噪聲推導(dǎo)(本文簡(jiǎn)化了推導(dǎo))和測(cè)量原理介紹，作為設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)首次要求通過(guò)遠(yuǎn)程桌面控制測(cè)量玻耳茲曼常量，但講義沒(méi)有提供第3節(jié)測(cè)量誤差分析的內(nèi)容，期望學(xué)生通過(guò)誤差分析優(yōu)化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)；講義提供了包括參數(shù)選取在內(nèi)的操作例子，但仍鼓勵(lì)學(xué)生自己在更寬的范圍內(nèi)探索.此外，由于時(shí)間的限制，沒(méi)有要求學(xué)生做熱噪聲統(tǒng)計(jì)特性的內(nèi)容.

有20組40位學(xué)生選做了該實(shí)驗(yàn).約有一半的實(shí)驗(yàn)組在玻耳茲曼常量測(cè)量上取得預(yù)期效果，測(cè)量偏差大的主要原因是獨(dú)立樣本量偏低、采樣時(shí)間間隔不合理(影響到樣本的獨(dú)立性)和部分操作不當(dāng)(如測(cè)量時(shí)電阻器與環(huán)境尚未達(dá)到熱平衡)，也可歸因于實(shí)驗(yàn)時(shí)間不足和學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)的理解仍不充分.與預(yù)期偏離較大的是，在缺少引導(dǎo)的情況下，很少學(xué)生的誤差分析能對(duì)其實(shí)驗(yàn)方案設(shè)計(jì)有指導(dǎo)意義；最后，近代物理教學(xué)實(shí)驗(yàn)室的空調(diào)和風(fēng)機(jī)每天24小時(shí)不間斷運(yùn)行，但學(xué)生沒(méi)有測(cè)量環(huán)境噪聲頻譜，因而尚不能排除實(shí)驗(yàn)時(shí)他們?nèi)∵x的參考頻率與環(huán)境噪聲頻率相近的可能性.為此提出了下一年級(jí)的教學(xué)改進(jìn)：1) 在實(shí)驗(yàn)講義附錄中增加測(cè)量誤差分析的指引；2) 增加具體的實(shí)驗(yàn)指引，縮小學(xué)生摸索參數(shù)的范圍；3) 先測(cè)量環(huán)境噪聲頻譜提供給學(xué)生在選頻時(shí)參考；4) 進(jìn)一步改進(jìn)測(cè)試桿，降低環(huán)境噪聲干擾.限于篇幅，更多的教學(xué)實(shí)踐探索情況將另文介紹.

致謝：

作者衷心感謝與李佳明老師就有關(guān)鎖相放大器噪聲測(cè)量的輸入帶寬、與鄺志健工程師就有關(guān)鎖相放大器測(cè)量等待時(shí)間等方面進(jìn)行的有益討論.