翟國棟 劉龍宇 蔡晨光 劉志華 梁 鋒

(1.中國礦業(yè)大學(北京)機電與信息工程學院，北京 100083；2.煤炭資源與安全開采國家重點實驗室，北京 100083；3.中國計量科學研究院，北京 100029；4.沈陽飛機工業(yè)(集團)有限公司，沈陽 110850)

0 引言

六自由度并聯(lián)機構控制平臺具有運動控制精度高、運動累積誤差小、末端平臺運動慣性小等特點，廣泛應用于運動模擬、慣性單元校準、振動校準、醫(yī)療器械、航空航天等高精度領域[1-4]?，F(xiàn)有六自由度并聯(lián)機構大多數(shù)采用伺服電動缸，雖然具有較高的運動控制精度和較長的使用壽命，但沖擊載荷影響電動缸絲杠或軸承的傳動[5]。與伺服電動缸相比，直線電機位置精度高、機械傳動過程中摩擦、噪聲小，直接驅動負載可有效消除傳動部件的柔性影響，可以實現(xiàn)寬頻帶運動控制，常用于高精度、高速運動控制領域[6-8]。但直線電機在寬頻帶運動時，不可避免會引入擾動和噪聲，造成穩(wěn)定邊界模糊，而且隨著頻率的增加，幅值和相位逐漸衰減。且現(xiàn)有六自由度并聯(lián)機構的控制方法大多為運動學控制，沒有考慮各運動支鏈間的驅動力耦合關系，而且較大的跟隨誤差導致機構運動軌跡誤差增加[9-11]，無法滿足直線電機驅動的六自由度并聯(lián)機構的運動精度要求，因此研究直線電機的控制方法對于改善整個機構動態(tài)性能具有重要意義。

近年來，國內外學者針對六自由度并聯(lián)機構的驅動方式、動力學特性分析以及控制方法等方面展開大量研究[12-13]。在六自由度并聯(lián)機構的動力學研究方面，一般是利用動力學模型實時控制機構理想運動軌跡的驅動力和力矩，以改善并聯(lián)機構的非線性問題和耦合問題[14-18]。傳統(tǒng)基于運動學三閉環(huán)控制方法雖可滿足在低頻小幅值條件下較好的運動精度要求，但由于對較高頻率或大幅值條件下沒有考慮機構重力、離心力等非線性因素以及并聯(lián)機構各運動支鏈間的動力學耦合因素，所以機構的控制精度較低，響應速度較慢[19-21]。鄭軼雄等[22]針對3-PRS-XY混合并聯(lián)機構提出了一種計算力矩控制方法，即基于拉格朗日法建立機構的動力學模型，通過疊加機構不同位姿下的靜力反解，得出力位并行所需的驅動力前饋模型。倪濤等[23]基于Stewart平臺在離線狀態(tài)下估算出電動缸的摩擦力，基于機構的動力學模型補償動平臺的重力和摩擦力，提出了一種動力學前饋柔順控制方法，可以使裝置在不借助傳感器的狀態(tài)下，保證平臺的柔順運動，減少機構運行過程的剛性碰撞，延長了增加裝置的使用壽命。YANG等[24]考慮并聯(lián)機器人的動態(tài)耦合以及非線性問題，基于并聯(lián)機構的模態(tài)矩陣以及質量矩陣的正交性，提出了解耦動力學方程的模態(tài)空間力學控制的方法，利用PID控制實驗驗證了該方法可以有效改善現(xiàn)有工作空間以及提高裝置的控制精度。

在直線電機驅動的六自由度并聯(lián)機構的動力學相關研究方面，當前國內外學者在直線電機驅動、六自由度并聯(lián)機構結構設計、機構動力學特性分析以及前饋控制方法等方面進行了深入研究，但對于直線電機驅動的六自由度并聯(lián)機構的研究僅僅對六自由度并聯(lián)機構的結構、運動學、動力學分析等領域進行研究，較少學者考慮直線電機驅動時寬頻帶下幅值衰減問題，現(xiàn)有很多學者針對伺服電動缸驅動或液壓驅動的并聯(lián)機構動力學前饋的控制提出了很多先進算法，為基于直線電機驅動的并聯(lián)機構動力學前饋方法提供了理論依據(jù)和思路。

為了解決直線電機驅動的六自由度并聯(lián)機構的運動軌跡誤差隨頻率增加而增大的問題，本文首先對機構的運動學進行分析，確定各部件速度、加速度矢量關系，選取牛頓-歐拉法建立機構動力學模型，搭建實驗裝置驗證動力學模型的準確性；利用傳統(tǒng)運動學閉環(huán)控制系統(tǒng)，分析裝置的幅值衰減誤差；考慮裝置的驅動力、重力以及力矩等變量，增加動力學前饋控制指令，基于傳統(tǒng)運動學控制方法，進一步提高裝置運動控制精度和降低寬頻帶運動下的幅值衰減，最后驗證本文動力學前饋控制方法的有效性。

1 動力學建模

1.1 運動學分析

直線電機驅動的六自由度并聯(lián)機構主要由動平臺、運動支鏈、滑塊、直線電機組成，其結構如圖1所示，其中，直線電機與滑塊組成的驅動機構為并聯(lián)機構的靜平臺，動平臺連接運動支鏈，運動支鏈通過球鉸與靜平臺上的滑塊相連。在工作過程中，直線電機驅動滑塊沿靜平臺導軌方向做直線往復運動，滑塊通過球鉸帶動運動支鏈運動。進而帶動動平臺運動。通過直線電機驅動滑塊運動，可以實現(xiàn)6個運動支鏈不同運動，進而完成動平臺在指定軌跡下的運動。直線電機驅動的六自由度并聯(lián)機構可有效消除間接傳動部件的柔性影響以及滑塊、運動支鏈和動平臺之間的干涉，機構靈活性高，可以實現(xiàn)動平臺復雜的空間位姿。

圖1 直線電機驅動的六自由度并聯(lián)機構

以靜平臺的圓心為坐標原點，建立靜平臺固定坐標系Oxyz，靜平臺與運動支鏈間的鉸點坐標為pi(i=1,2，…，6)。以動平臺運動支鏈鉸點構成的六邊形外接圓圓心為坐標原點O′，建立動平臺坐標系O′x′y′z′，動平臺與運動支鏈間的鉸點坐標為Si(i=1,2，…，6)，動平臺坐標系原點O′坐標可表達為T=(x,y,z)，(φ,θ,ψ)為動平臺坐標系原點O′的空間姿態(tài)，基于歐拉角描述六自由度機構旋轉矩陣為R=R(z,φ)R(y,θ)R(x,ψ)。定義滑塊運動方向與運動支鏈方向的單位向量分別為ei和ni。根據(jù)靜平臺固定坐標系和動平臺坐標系以及動、靜平臺的鉸點坐標，建立直線電機驅動的六自由度并聯(lián)機構結構簡圖，如圖2所示。

圖2 直線電機驅動的六自由度并聯(lián)機構結構簡圖

各個構件質心矢量速度與加速度是六自由度并聯(lián)機構進行動力學分析的基礎，因此需根據(jù)該并聯(lián)機構滑塊、運動支鏈、動平臺位置矢量關系計算各構件速度以及加速度矢量方程。

直線電機驅動六自由度并聯(lián)機構運動支鏈位置矢量表達式為

bi+piei+Lini=T+RSi

(1)

式中Li——運動支鏈定桿長度

bi——直線電機導軌位置矢量

通過求解運動支鏈位置矢量方程，可得到機構滑塊位移為

(2)

其中

η=T+RSi-bi

對式(1)兩邊同時微分得運動支鏈速度矢量為

(3)

式中ω——動平臺角速度矢量

(4)

運動支鏈質心位置矢量為

BrLi=T+RSi+TirLi

(5)

式中rLi——運動支鏈質心到滑塊連接點的距離

Ti——運動支鏈質心單位向量

對式(5)兩邊同時微分得支鏈質心速度矢量為

(6)

動平臺質心位置矢量表達式為

BrP=T+RrP

(7)

式中rP——動平臺質心在靜平臺坐標系下位置矢量

對式(7)兩邊同時微分得到給定動平臺質心速度矢量為

(8)

對式(4)計算求導得到滑塊加速度矢量為

(9)

ε——動平臺角加速度矢量

對式(6)求導得到支鏈質心加速度矢量為

ω×(ω×RSi)+W×(W×TirLi)

(10)

其中

對式(8)求導得到給定動平臺質心加速度矢量為

(11)

1.2 動力學分析

根據(jù)機構主要部分的運動速度和加速度方程，可以建立機構主要部分的力學方程，進而基于牛頓-歐拉法構建六自由度并聯(lián)機構的動力學方程，消除各個構件間的內力，進一步分析驅動力、自身重力、動平臺負載以及慣性力等對機構的影響規(guī)律以及消除各個構件間的內力。機構單個運動支鏈、動平臺以及滑塊的受力分析如圖3所示。為簡化運算，在計算過程中忽略各關節(jié)摩擦力的影響。

圖3 機構受力分析

動平臺和滑塊受力主要分為2項，第1項為零件自身重力，第2項為零件的慣性力和作用力矢量之和。

動平臺合力矩計算公式為

(12)

式中mP——動平臺質量

g——重力加速度O3——零矩陣

IP——與自身質心的慣量矩陣

滑塊合力矩計算公式為

(13)

式中mS——滑塊質量

ISi——滑塊慣量矩陣

ωSi——滑塊角速度矢量

運動支鏈的主要受力為自身重力、動平臺與運動支鏈之間的作用力以及運動支鏈慣性力和作用力矢量之和，運動支鏈的合力矩計算公式為

(14)

其中

式中mL——運動支鏈質量

JLi——動平臺與運動支鏈速度映射矩陣

ILi——運動支鏈慣量矩陣

建立該并聯(lián)機構的動平臺、運動支鏈及滑塊的合力矩計算式后，根據(jù)牛頓-歐拉方程，建立該機構動力學方程為

(15)

式中T——滑塊驅動力

JP——動平臺質心與動平臺速度映射矩陣

JSi——滑塊與動平臺速度映射矩陣

對式(15)進行規(guī)范方程簡化得到滑塊驅動力為

(16)

其中

2 動力學前饋控制

目前大部分六自由并聯(lián)機構選用運動學控制系統(tǒng)，在忽略并聯(lián)機構動態(tài)特性的情況下，上位機輸入位姿指令，控制器接受上位機指令進行逆運動學解算，計算得各滑塊位置命令，位置環(huán)PD控制器根據(jù)位置命令與光柵反饋之間的誤差，生成電流環(huán)控制命令；伺服驅動器實施電流環(huán)PI控制，驅動滑塊完成特定的軌跡運動，在滑塊作用下，動平臺完成規(guī)劃位姿運動。

運動學控制系統(tǒng)以傳統(tǒng)PID控制算法或者基于PID控制算法衍生出的近似控制算法調節(jié)，這種控制方式針對運動精度要求不高或小負載的并聯(lián)機構是有效的，但對于運動精度要求高的并聯(lián)機構局限性較大。傳統(tǒng)PID控制進行運動支鏈單獨控制。當裝置進行寬頻帶運動時，并聯(lián)機構各運動支鏈驅動力變化范圍大速度快，PID控制反饋增益常量導致無法快速精準地響應驅動力的變化，控制系統(tǒng)執(zhí)行運動軌跡時存在滯后性、不可避免的振蕩以及幅值衰減等問題，嚴重影響控制穩(wěn)定性以及機構運動精度。

針對傳統(tǒng)PID控制算法存在的問題，可以通過并聯(lián)機構動力學前饋控制[25-27]來減少機構的幅值衰減，提升機構運動精度。動力學前饋控制是改善并聯(lián)機構控制精度的常用方法之一，動力學前饋框圖如圖4所示。在傳統(tǒng)伺服驅動器的三閉環(huán)控制基礎上增加動力學前饋控制，即根據(jù)運動指令完成驅動器三閉環(huán)控制，在驅動并聯(lián)機構各滑塊運動的同時，利用直線電機驅動的六自由度并聯(lián)機構動力學模型，解算出各滑塊所需的驅動力，進一步求解出滑塊所需的加速度，通過比例關系將指令加速度轉換為前饋電流，疊加到控制系統(tǒng)電流環(huán)的輸入端，進而完成對并聯(lián)機構的動力學前饋。由于直線電機的驅動力可以克服由傳統(tǒng)三閉環(huán)運動控制帶來的寬頻帶幅值衰減問題，同時動力學模型也考慮到機構自身重力、慣性力以及動平臺負載等因素對機構的影響，因此動力學前饋可有效提升裝置動平臺動態(tài)運動精度，提高滑塊響應速度，從而改善機構的動態(tài)性能。

圖4 動力學前饋控制框圖

3 動力學及控制實驗

3.1 實驗方案設計

根據(jù)直線電機驅動的六自由度并聯(lián)機構動力學模型和動力學前饋控制方法準確性，搭建直線電機驅動的六自由度并聯(lián)機構實驗平臺如圖5所示。

圖5 六自由度并聯(lián)機構實驗系統(tǒng)

基于伺服三閉環(huán)控制系統(tǒng)，對直線電機驅動的六自由度并聯(lián)機構的6個滑塊進行單獨運動控制，測量系統(tǒng)將直線光柵傳感器的實時位移信息反饋到驅動器完成電機的換向，控制器通過驅動器獲取光柵傳感器的位置反饋。將24位高精度分布式數(shù)據(jù)采集儀(INV3062C)與驅動器X8模擬輸出端口相連接，從而對驅動器的模擬輸出電流進行實時采集。

滑塊驅動力計算式為

Fi=KtiIi(i=1,2，…,6)

(17)

式中Fi——第i個滑塊驅動力

Kti——電機力矩常數(shù)

Ii——第i個滑塊模擬輸出電流

實驗1：首先基于Matlab對前文建立的動力學模型進行數(shù)值仿真分析。其次在并聯(lián)機構實驗平臺上，上位機將規(guī)劃的正弦運動軌跡傳遞給控制卡，基于運動控制系統(tǒng)進行實驗數(shù)據(jù)采集，由式(17)將模擬輸出信號轉換為滑塊驅動力。再者將并聯(lián)機構實驗系統(tǒng)得到的滑塊驅動力實驗數(shù)據(jù)與Matlab數(shù)值仿真所得驅動力進行對比分析，進一步完善動力學模型和實驗系統(tǒng)。最后結合裝置實際運動情況，對實驗裝置結構參數(shù)進行優(yōu)化設計，實驗裝置性能參數(shù)如表1所示。

表1 實驗裝置性能參數(shù)

實驗2：在傳統(tǒng)運動學控制基礎上增加動力學前饋控制，首先分析應用傳統(tǒng)運動學控制時，實驗裝置的運動誤差。然后分析增加動力學控制后裝置的運動誤差，最后對傳統(tǒng)運動學控制和增加動力學前饋控制后的運動誤差進行對比分析，驗證動力學前饋控制對于提高裝置運動精度的有效性。

3.2 動力學仿真實驗與裝置實驗對比

規(guī)劃直線電機驅動六自由度并聯(lián)機構在動平臺坐標系O′下的運動軌跡。設該機構進行Z軸單自由度正弦運動，運動方程為

z=12sin(8πt)

(18)

根據(jù)規(guī)劃運動軌跡，基于Matlab仿真分析得到滑塊驅動力曲線，即滑塊驅動力理論值曲線，基于直線電機驅動的六自由度并聯(lián)機構實驗平臺數(shù)據(jù)采集處理后得到滑塊驅動力，繪制成滑塊驅動力實驗值曲線，將理論值與實驗值進行對比，如圖6所示。

在進行Z軸正弦運動時，6個滑塊的驅動力大小及運動方向均相同，這與裝置的運動規(guī)律相吻合。由圖6可知，由數(shù)值仿真分析所得的驅動力曲線與實驗平臺運動所采集的實驗數(shù)據(jù)處理后所得曲線基本吻合。

圖6 并聯(lián)機構滑塊的驅動力曲線

在實驗過程中發(fā)現(xiàn)，實驗平臺進行單自由度正弦運動時所采集的驅動力與由Matlab仿真所得數(shù)據(jù)存在一定的偏差，因此對其進行對比分析。圖7為裝置頻率基于三分之一倍頻程設計為1～5 Hz，幅值設計為5～15 mm的X、Y、Z軸單自由度正弦運動下，6個滑塊數(shù)值仿真所得驅動力與實驗平臺運動采集的驅動力最大偏差的對比。

圖7 單自由度驅動力偏差

由圖7a可知，裝置動平臺進行X軸運動時，在幅值相同情況下，隨著頻率增加，驅動力偏差越來越大；在頻率相同情況下，隨著幅值增加，驅動力偏差越來越大，驅動力偏差最大為3.42 N；由圖7b所示，裝置動平臺進行Y軸運動時，在幅值相同情況下，隨著頻率增加，驅動力偏差先逐漸增大，3.15 Hz驅動力偏差達到最大，然后隨著頻率的繼續(xù)增加，驅動力偏差逐漸減小；在相同頻率下，幅值逐漸增大，驅動力偏差逐漸增大，驅動力偏差最大為1.96 N；由圖7c所示，裝置動平臺進行Z軸運動時，在幅值相同情況下，隨著頻率的增加，驅動力偏差呈下降趨勢；在頻率相同情況下，驅動力偏差逐漸增大，偏差最大為1.55 N。

利用實驗平臺采集的驅動力與仿真值存在誤差原因：①實驗平臺樣機存在機械零部件制造誤差、整機裝配誤差、傳動機構誤差等幾何誤差，后續(xù)將通過運動學參數(shù)辨識提升機構的精度。②實驗平臺樣機的慣量參數(shù)，例如動平臺和運動支鏈的質心位置、質量和慣量矩陣等存在誤差，后續(xù)將通過動力學參數(shù)辨識修正實驗平臺慣性參數(shù)。

3.3 控制實驗

驗證動力學模型的準確性后，對裝置的前饋控制進行實驗分析，規(guī)劃并聯(lián)機構在動平臺坐標系O′下的運動軌跡，設該機構進行Z軸單自由度正弦運動，z=12sin(8πt)。首先通過實驗分析運動學控制，控制卡利用給定運動軌跡進行運動學逆解計算，計算出各滑塊運動軌跡，驅動器根據(jù)計算出的軌跡依次進行位置環(huán)、速度環(huán)和電流環(huán)的控制，最終控制直線電機實現(xiàn)滑塊運動。利用實驗裝置采集到的各滑塊位移反饋值，計算直線電機驅動下各滑塊給定命令值與反饋值的位移誤差。然后，基于已經(jīng)建立的動力學模型，在經(jīng)典運動學控制中增加動力學前饋控制,設計動平臺進行X、Y、Z軸單自由度正弦運動實驗，對比實驗平臺基于三分之一倍頻程 1～5 Hz 的頻率點以及幅值5～15 mm位移點下的運動衰減誤差。

3.3.1運動學控制實驗

根據(jù)給定實驗平臺的正弦運動軌跡，控制器利用運動逆解計算出的各滑塊運動軌跡的命令值，同時控制器利用實驗裝置測量系統(tǒng)實時采集滑塊位移反饋值，圖8為規(guī)劃運動軌跡下，各滑塊運動時命令值與反饋值對比。

圖8 滑塊命令值與反饋值對比

由圖8可以看出，滑塊能夠較好地完成運動控制下的軌跡。但直線電機驅動隨頻率升高存在幅值衰減問題，且裝置的運動控制系統(tǒng)只基于運動學逆解求得各滑塊的運動軌跡，利用驅動器完成對裝置的控制，沒有考慮裝置的動力學問題，使得裝置存在一定的運動軌跡誤差。

為進一步尋找裝置的誤差規(guī)律，將裝置運動軌跡設計為X、Y、Z軸單自由度幅值為5～15 mm，基于三分之一倍頻程選擇頻率點1～5 Hz的正弦運動，通過分析各滑塊命令值與反饋值差值，基于運動學正解，可以得到傳統(tǒng)運動學控制的機構動平臺的幅值衰減規(guī)律，如圖9所示。

圖9 運動學控制的機構運動幅值衰減規(guī)律

由圖9可以看出，X、Y、Z軸運動在相同頻率下，動平臺運動時的運動軌跡誤差隨著運動幅值的增加而增大；在相同幅值下，運動軌跡誤差隨著頻率的增加而增大。由圖9a可知，X軸在幅值為15 mm頻率為5 Hz時誤差最大，最大運動軌跡誤差為2.069 mm，運動誤差占運動軌跡比例高達13.8%；由圖9b可知，Y軸最大運動軌跡誤差為2.089 mm，運動誤差比例高達13.9%；由圖9c可知，Z軸最大運動軌跡誤差為1.869 mm，運動誤差比例高達12.5%。

3.3.2動力學前饋控制實驗

根據(jù)測量每個直線電機光柵位移，運用運動學正解計算出實驗平臺運動軌跡，與運動命令值進行比較得到運動軌跡誤差。通過動力學前饋補償后運動軌跡誤差變化如圖10所示，實驗平臺的幅值衰減變化趨勢與未進行前饋補償前相同，但運動軌跡誤差減小。

圖10 動力學前饋控制補償后運動誤差變化曲線

補償增益X軸前饋補償后誤差變化如圖10a所示，X軸最大軌跡誤差為0.92 mm,誤差占運動指令的6.1%，對比傳統(tǒng)運動學控制方法，誤差減少55.5%；補償增益Y軸前饋補償后誤差變化如 圖10b 所示，Y軸最大軌跡誤差為0.94 mm,誤差占運動指令的6.3%，對比傳統(tǒng)運動學控制方法，誤差減少54.2%；補償增益Z軸前饋補償后誤差變化如 圖10c 所示，Z軸最大軌跡誤差為0.75 mm,誤差占運動指令的5%，對比傳統(tǒng)運動學控制方法，誤差減小59.8%。

4 結論

(1)根據(jù)直線電機驅動的六自由度并聯(lián)機構特點，利用牛頓-歐拉法建立機構的動力學模型，通過數(shù)值分析得到驅動力仿真曲線，搭建實驗平臺，獲得裝置驅動力實驗曲線。實驗平臺采集的驅動力與仿真值存在偏差，后續(xù)將通過運動學和動力學參數(shù)辨識修正。

(2)基于傳統(tǒng)運動學控制系統(tǒng)，結合動力學模型，設計了一種動力學前饋控制方法。實驗結果表明，與傳統(tǒng)運動學控制相比，機構進行X、Y、Z軸單自由度正弦運動時，運動誤差分別下降55.5%、54.2%、59.8%，驗證了動力學前饋控制方法可有效提高機構的運動精度。