喻陳波，楊 鵬

（遼寧科技大學 理學院，遼寧 鞍山 114051）

1356年，印度數學家Narayana在他的名著《Ganita Kaumudi》中提出牛群問題：“小牛在其出生后的第4年每年生產一只小牛，問20年后總計有多少只牛？”［1］這是一個類似Fibonacci兔子的問題，容易算出前幾年牛群中的牛數為：1，1，1，2，3，4，6，9，13，19，…。人們常稱這個數列為奶牛數或Narayana奶牛數，而Narayana數則是另一個數列。和Fibonacci數列不同的是，奶牛數是一個三階遞歸數列，滿足遞歸關系

其初始項為N0=0，N1=N2=1。

純位數是十進制展開中的每一位都是同一個數的正整數。因此，小于10的正整數都是純位數。除此之外，11、22、33、44、…等也都是純位數。對于大于10的純位數，Luca［2］于2000年首次證明Fibonacci數和Lucas數中僅有11和55是純位數。之后，與數列中的純位數相關的研究大量涌現。Faye等［3］證明Pell數均不是純位數。2018年，Rayaguru等［4］證明除數位中出現6的情形，Balancing數均不是純位數。2020年，Bravo等［5］證明奶牛數中僅55是純位數，并得到更一般的結果：沒有位數超過6的純位數是兩個奶牛數的和。2022年，Ji等［6］證明最大的可表為多個連續(xù)奶牛數乘積的純位數為88。

本文主要尋找所有可表為兩個奶牛數之差的純位數。由于純位數可表示為的形式，當n＞max{10,m}時，有

因此，問題等價于求解丟番圖方程

其中n≥m，l≥2。不同于Fibonacci數，作為三階遞歸數列，奶牛數沒有二階遞歸數列那樣較好的性質。本文主要通過代數數的對數線性型的下界及Baker-Davenport縮減方法，結合Mathematica計算丟番圖方程（1）的所有解。

1 奶牛數的基本性質

奶牛數{Nn}n≥0的特征方程是

該方程有一個實根和兩個共軛復根，它們分別是

引理1［5］設{Nn}n≥0為奶牛數，則有：

（1）對任意的n≥1，αn-2≤Nn≤αn-1；

（2）對任意的n≥0，奶牛數滿足Binet公式

其中

（3）若記en=cβ βn+2+cγγn+2，則對任意的n≥1有

為了求解丟番圖方程（1），需要引入一些超越方法。設γ是數域Q上的d次代數數，其在Z上的最小多項式為的絕對對數高

引理2對數高h的性質：

（1）h(η±γ)≤h(η)+h(γ)+log 2；

（2）h(ηγ±1)≤h(η)+h(γ)；

（3）h(ηs)=|s|h(η),s∈Z。

Matveev定理［7］可以給出丟番圖方程（1）一個較大的上界。

引理3［7］設K為有理數域Q上的D次擴域，γ1,…,γt為K上的正實數，b1,…,bt為有理整數。令

及

若Λ≠0，則有

采用Bravo等［8］給出的上界縮減方法，給出一個實際可計算的上界。這個方法是Dujella等［9］給出的Baker-Davenport定理推廣的變形。

引理4［8］設A,B,γ?,μ?為正實數，M為正整數，p/q為無理數γ?的收斂子，且滿足q＞6M。記若?＞0，則在

及

的條件下，不等式

對(u,v,w)無整數解。

引理5［10］設整數m≥1，實數x,T滿足T＞(2m)2m，x＜Tlogmx，則x＜2mTlogmT。

2 丟番圖方程（1）的一個較大上界

引理6若n≥11時丟番圖方程（1）有解，則

證明若n=m，則方程（1）有解l=0。但這不滿足方程（1）對l的要求。因此不妨設n＞m且n≥11。若方程（1）有解，則

及

由式（2）和式（3）得

又

所以由式（4）可得

定理1若丟番圖方程（1）有解，則n＜5.2×1031。

證明若方程（1）有解，則由引理1得

等式（5）兩邊同除以cααn+2并取絕對值，得到

由于γ1,γ2,γ3∈K=Q(α)，因此取D=［K：Q］=3。由對數高的定義式得

及

故取A1=logα，A2=3 log 10。又cα在Z上的最小多項式為31x3-31x2+10x-1，由引理2得

于是取A3=12 log 3。由引理6可知max{n+2,l,1}=n+2，故取B=n+2。

為了利用引理3給出方程（1）的一個較大的上界，還需驗證Λ1≠0。假設Λ1=0，則有

設G為α的最小多項式在Q上的分裂域的Galois群，σ∈G為滿足σ(α)=β的自同構，將σ作用在式（7）上，得到

若取n≥5，則有1+log(n+2)≤2 logn。由不等式（6）和式（8）得到

為了給出n的獨立于m的上界，還需再應用一次引理3。方程（1）還可以寫成

因為n＞m，所以αn+2-αm+2≠0。式（10）兩邊同除以cααn+2(1+αm-n)，取絕對值得

若Λ2=0，則有

類似的，將σ作用在式（13）上，得到

但

而當l≥2時，a10l/9＞10，矛盾。故有Λ1≠0。又由引理2得

因此，由式（9）得

故可取A3=7.7×1013logn。于是，由引理3得到的第2個界

結合式(12)得

因此

從而由引理5得到n＜5.2×1031。

3 丟番圖方程（1）的一個可計算上界

定理1已經給出丟番圖方程的解的上界，但用這個界來尋找方程（1）的解所需要搜索數組(n,m,a,l)的個數超過了可觀測宇宙中的所有原子總數1082。因此，還需要將這個界大幅地縮小。幸運的是，方程（1）可以利用無理數的逼近性質，即引理4來處理這個問題。

定理2若丟番圖方程（1）有解，則n-m≤222。

證明取

因為eΓ1-1=Λ1≠0，所以Γ1≠0。若Γ1＞0，則有

若Γ1＜0，則當n-m≥2時，由式（2）和式（5）及引理1有

于是e-Γ1＜2。從而

總之，在任何情況下，都有

兩邊同除以logα得到

滿足q65＞6M且?a＞0.034 212＞0，a=1,2,…,9。這時，對每個a有

因此由引理4得n-m≤222。證畢。

為了給出獨立于m的上界，還需要再應用一次引理4。

定理3若丟番圖方程（1）有解，則n≤244。

證明類似定理2的證明過程。取

因為eΓ2-1=Λ2≠0，所以Γ2≠0。若Γ2＞0，則有

若Γ2＜0，則當n≥15時，由式（2）和式（10）及引理1有

于是e-Γ2＜2。從而

總之，在任何情況下，都有

兩邊同除以logα得到

滿 足q70＞6M且 對n-m≤222有?a,n-m＞0.000 195 552＞0，a=1,2,…,9。這時，對每個a有

因此由引理4得n≤244。證畢。

4 丟番圖方程（1）的所有解

由定理3可知，若方程（1）有解，則m＜n≤244。再由引理6得l≤41。利用Mathematica軟件經簡單的搜索得到方程（1）的所有解，計算耗時僅0.171 875 s。

定理4丟番圖方程

的所有解為

5 結論

利用對數線性型及縮減方法，研究可表為兩個奶牛數之差的純位數。在可計算的解的上界中搜索，給出所有可表為兩個奶牛數之差的純位數，其中最大的形如兩個奶牛數之差的純位數是88。文中所使用的方法可以進一步應用在尋找可表為給定遞歸數列的線性組合的純位數等與遞歸數列及純位數有關的問題中。