王家偉，沈炳聲，羅榮

(西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 611756)

0 引言

多輸入多輸出(MIMO)雷達(dá)具有多個(gè)發(fā)射和接收天線，各發(fā)射天線發(fā)射不同信號(hào)，從而具有波形分集能力.與傳統(tǒng)雷達(dá)相比，MIMO雷達(dá)系統(tǒng)具有更高的發(fā)射自由度，這提升了MIMO雷達(dá)系統(tǒng)在目標(biāo)檢測(cè)、高分辨率、參數(shù)估計(jì)等方面的性能.針對(duì)不同的工作場(chǎng)景和環(huán)境信息需要設(shè)計(jì)不同的發(fā)射波形，MIMO雷達(dá)波形設(shè)計(jì)是一個(gè)重要的研究領(lǐng)域[1-2].

相位編碼技術(shù)以其冗余度高的特點(diǎn)被大多數(shù)學(xué)者作為波形設(shè)計(jì)的研究對(duì)象[3].該方法應(yīng)用序列對(duì)長(zhǎng)脈沖進(jìn)行相位編碼，利用匹配濾波后的相關(guān)函數(shù)作為波形設(shè)計(jì)的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn).基于Heimiller多相序列[4]、Frank碼[5]、Chu多相碼[6]、Barker序列[7]以及Golomb和Scholtz構(gòu)造的廣義Barker序列[8]，可以得到良好的周期自相關(guān)函數(shù).然而，在雷達(dá)中通?？紤]非周期相關(guān)函數(shù).因此，在相位編碼波形的設(shè)計(jì)中，幺模互補(bǔ)序列集被廣泛應(yīng)用.例如Marcel Golay[9]提出的Golay互補(bǔ)序列(GCP)，Tseng和Liu[10]提出的互補(bǔ)序列集，Sivaswamy[11]和Frank[12]提出的多相互補(bǔ)序列集.這些序列集的共同點(diǎn)在于非周期自相關(guān)之和在零時(shí)延以外處處為零.但是，互補(bǔ)集相位編碼生成的波形在經(jīng)過匹配濾波器后僅在零多普勒軸上沒有距離旁瓣，在零多普勒軸以外會(huì)有相當(dāng)大的距離旁瓣，這對(duì)移動(dòng)的目標(biāo)檢測(cè)會(huì)產(chǎn)生較大的干擾.因此，通過相位編碼設(shè)計(jì)靈活抗多普勒的互補(bǔ)波形十分有意義.

針對(duì)上述問題，文獻(xiàn)[13]中提出基于Golay互補(bǔ)序列編碼的雷達(dá)波形設(shè)計(jì)，其通過PTM序列控制Golay互補(bǔ)波形的發(fā)送順序，從而消除了模糊函數(shù)在零多普勒軸附近的距離旁瓣.在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[14]中基于SDAMM算法搜索準(zhǔn)正交Z-互補(bǔ)對(duì)(QOZCP)，并且提出基于QOZCP的全極化雷達(dá)波形，該波形經(jīng)過匹配濾波后的互模糊函數(shù)優(yōu)于Golay互補(bǔ)序列編碼的全極化雷達(dá)波形，但是其優(yōu)化算法的復(fù)雜度較大，計(jì)算儲(chǔ)存量較大.文獻(xiàn)[15]中在Golay互補(bǔ)序列與PTM序列的基礎(chǔ)上提出基于完備互補(bǔ)碼(CCC)和GPTM序列的MIMO雷達(dá)波形，利用CCC相關(guān)特性消除不同波形互相關(guān)的干擾并且自相關(guān)具有極低的距離旁瓣.但以上方法僅適用于微小的多普勒失配，無(wú)法實(shí)現(xiàn)MIMO雷達(dá)系統(tǒng)中更廣泛移動(dòng)目標(biāo)的探測(cè).此外，文獻(xiàn)[16]中利用過采樣PTM序列控制Golay互補(bǔ)序列的發(fā)送順序，能使模糊函數(shù)在特定頻率附近有效降低距離旁瓣，實(shí)現(xiàn)了單天線以及全極化天線下靈活對(duì)抗多普勒頻移.

本研究在文獻(xiàn)[16]的基礎(chǔ)上，基于完備互補(bǔ)碼，構(gòu)造出MIMO雷達(dá)適用的靈活多普勒容忍波形.根據(jù)MIMO雷達(dá)系統(tǒng)的發(fā)射天線數(shù)目可以靈活選擇完備互補(bǔ)碼波形的矩陣大小，有效降低各發(fā)射波形之間的時(shí)域互相關(guān).最后，仿真驗(yàn)證表明所提出的MIMO雷達(dá)波形模糊函數(shù)在特定多普勒頻率附近具有極低的距離旁瓣.該方案的靈活性是已有波形設(shè)計(jì)方案無(wú)法比擬的.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1復(fù)值序列a=(a0,a1,…,aL-1)和b=(b0,b1,…,bL-1)的非周期互相關(guān)函數(shù)(aperiodic cross correlation function,ACCF)定義為：

(1)

特別地，當(dāng)a=b時(shí)，稱Ra,a(k)為非周期自相關(guān)函數(shù)(AACF)，簡(jiǎn)記為Ra(k)，其中上標(biāo)*表示復(fù)共軛.

定義2設(shè)序列集C={c0,c1,…,cN-1}，其中ci表示長(zhǎng)度為L(zhǎng)的序列，若

(2)

則稱c為互補(bǔ)序列集.當(dāng)N=2時(shí)，稱c為格雷互補(bǔ)序列對(duì)(golay complementary pair,GCP).

定義3假設(shè)序列族X={c1,c2,…,cM}，其中cm={cm,0,cm,1,…,cm,N-1}是一個(gè)大小為N的互補(bǔ)序列集，包含N條長(zhǎng)度為L(zhǎng)的序列.若

(3)

則稱X為正交互補(bǔ)序列集(mutually orthogonal complementary sequence Set,MOCSS)，記為(M,N,L)-MOCSS.

引理1[17]對(duì)于一個(gè)正交互補(bǔ)序列集，其族的上界滿足：

M≤N.

特別地，當(dāng)M=N時(shí)，MOCSS被稱作完備互補(bǔ)碼(CCC)，記為(N,L)-CCC.

定義4p元GPTM序列(vp(n))n≥0:

1)vp(0)=0;

2)vp(n)=mod(tp(n),p).

其中，tp(n)等于整數(shù)n的p進(jìn)制表示時(shí)各位數(shù)字之和，mod表示求余函數(shù).

關(guān)于p元GPTM序列，存在如下引理，該引理將用于本文中的MIMO雷達(dá)波形設(shè)計(jì).

引理2[18]對(duì)于L=pM+1，其中p,M是兩個(gè)正整數(shù)，定義序列S(L)=(0,1,…,L-1).定義{S0,S1,…,Sp-1}是S(L)的由GPTM序列得到的p塊分區(qū)，其中Si={n∈S(L)|vp(n)=i}，則對(duì)于u=0,1,…,M，有：

(4)

2 信號(hào)模型

2.1 相位編碼與模糊函數(shù)相位編碼信號(hào)由于其大時(shí)寬帶寬積而被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)發(fā)射信號(hào)中，通過在不同脈沖重復(fù)間隔(PRI)進(jìn)行離散相位編碼，可以提高雷達(dá)距離分辨力和多普勒分辨力.本研究通過脈沖串的模糊函數(shù)圖像來(lái)判定波形的優(yōu)劣,模糊函數(shù)的定義請(qǐng)參考文獻(xiàn)[16].

對(duì)于序列a=(a0,a1,…,aL-1)，在一個(gè)脈沖中通過相位編碼后的基帶波形表達(dá)式為

(5)

其中，Ω(t)是持續(xù)時(shí)間Tc的單位能量脈沖形狀函數(shù)，Tc是碼片長(zhǎng)度.sa(t)的模糊函數(shù)χsa(τ,v)表示為

(6)

在發(fā)射天線上需要通過多個(gè)PRI構(gòu)成發(fā)射波形，假設(shè)一個(gè)PRI的長(zhǎng)度為T，由于持續(xù)時(shí)間Tc相對(duì)T非常小，所以脈內(nèi)多普勒效應(yīng)可以忽略[16].假定目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度恒定，則相鄰PRI 的多普勒相移為常數(shù).若在單天線上選擇發(fā)射序列集C=(c0,c1,…,cN-1)，發(fā)射信號(hào)的表達(dá)式為

sC(t)=sc0(t)+sc1(t-T)+…+scN-1[t-(N-1)T]

(7)

由于是單天線，所以只考慮自模糊函數(shù)，其表達(dá)式為

(8)

在考慮模糊函數(shù)時(shí)忽略不同PRI回波之間的混疊效應(yīng)，利用相鄰PRI之間恒定的相位差代表目標(biāo)恒定的速度，忽略Ω(t)的影響并且將時(shí)延離散化[16]后，其自模糊函數(shù)表示為

(9)

其中，k表示時(shí)延，θ表示多普勒頻移.

在考慮多天線時(shí)，不僅需要考慮自模糊函數(shù)，還需要考慮互模糊函數(shù)，假設(shè)其中第i根與第j根天線分別發(fā)送序列集Ci=(ci,0,ci,1,…,ci,N-1)和Cj=(cj,0,cj,1,…,cj,N-1)，其互模糊函數(shù)表示為

(10)

圖1 MIMO雷達(dá)信號(hào)模型

3 基于完備互補(bǔ)碼編碼的MIMO雷達(dá)波形設(shè)計(jì)

在MIMO雷達(dá)系統(tǒng)中，我們不僅要考慮降低波形自相關(guān)旁瓣，也要考慮消除波形間的互相關(guān)影響.已有工作中的方法只適用于零多普勒軸附近降低距離旁瓣，本研究不僅在零多普勒頻率附近有效地降低距離旁瓣，并且實(shí)現(xiàn)了在特定的多普勒頻率附近顯著降低距離旁瓣.

對(duì)于p根天線的MIMO雷達(dá)系統(tǒng)，文獻(xiàn)[15]中選擇的完備互補(bǔ)碼(p,L)-CCC由p個(gè)互補(bǔ)集構(gòu)成，每個(gè)互補(bǔ)集中包含p條序列.每根天線分配一個(gè)互補(bǔ)集，其中第i根天線發(fā)射的波形由互補(bǔ)集Ci={ci,0,ci,1,…,ci,p-1}組成，每根天線上序列的發(fā)送順序都由同一個(gè)p元的GPTM序列控制.

以p=4為例，第i根天線發(fā)射的序列取自Ci={ci,0,ci,1,…,ci,3}.而4元GPTM序列表示為：

(0,1,2,3,1,2,3,0,…).

在4元GPTM序列的控制下，第i根天線發(fā)射的序列順序?yàn)椋?/p>

(ci,0,ci,1,ci,2,ci,3,ci,1,ci,2,ci,3,ci,0,…).

通過長(zhǎng)度4M+1的4元GPTM序列控制互補(bǔ)集中序列的發(fā)送順序，只能實(shí)現(xiàn)和文獻(xiàn)[15]中同樣的效果，使得在接收端得到的組合模糊函數(shù)在θ=0處的泰勒展開式的前M項(xiàng)被消除，從而在零多普勒附近實(shí)現(xiàn)極低的距離旁瓣.

現(xiàn)在我們可以設(shè)計(jì)一種在多普勒頻率θ0=2πl(wèi)/m附近有效抗多普勒的MIMO雷達(dá)波形，其中l(wèi)和m是兩個(gè)互質(zhì)的整數(shù)，l≠0且m≠1，步驟如下：

步驟1當(dāng)一個(gè)MIMO雷達(dá)具有p個(gè)發(fā)射天線時(shí)，選擇(p,L′)-CCC中的序列作為編碼對(duì)象，(p,L′)-CCC={C1,C2,…,Cp}，通過矩陣表示如下：

其中第i行表示互補(bǔ)集Ci中的p條序列，1≤i≤p.

步驟2第i個(gè)發(fā)射天線的編碼序列取自Ci={ci,0,ci,1,…,ci,p-1}.這里先定義一種(pM+1,m)-GPTM序列，該序列表示的是將長(zhǎng)度為pM+1的GPTM序列每個(gè)元素重復(fù)m次.通過(pM+1,m)-GPTM序列中的元素協(xié)調(diào)相位編碼波形中每個(gè)PRI中編碼的序列，第i個(gè)發(fā)射天線上序列的編碼順序Ti為

這些序列通過相位編碼后構(gòu)成發(fā)射信號(hào).一共p個(gè)發(fā)射天線，每個(gè)天線上的發(fā)射信號(hào)包含pM+1×m個(gè)編碼序列.利用矩陣表示為：

其中，不同的行代表不同的天線，不同的列代表不同的PRI.

基于以上的波形構(gòu)造方法，提出以下兩個(gè)分別關(guān)于自模糊函數(shù)和互模糊函數(shù)的定理，進(jìn)而證明波形具有靈活抗多普勒的性質(zhì).

定理1(c0,c1,…,cp-1)是一個(gè)大小為p的互補(bǔ)序列集，考慮使用一個(gè)(pM+1,m)-GPTM序列控制互補(bǔ)集生成脈沖串，即

則自模糊函數(shù)χT(k,θ)在θ0=2πl(wèi)/m處有M階零點(diǎn).

定理1的證明首先考慮m=1時(shí)，每個(gè)PRI上的采用的波形由L=pM+1的p元GPTM序列控制：

T=(cvp(0),cvp(1),…,cvp(L-1)),

則PRI中對(duì)應(yīng)的編碼序列的非周期相關(guān)函數(shù)可以表示為Rn(k)=Rvp(n)(k).當(dāng)時(shí)延k固定時(shí)，Rn(k)一共有p種取值.對(duì)于非負(fù)整數(shù)i∈[0,2p-1-1]，其二進(jìn)制表示為

(11)

(12)

(13)

當(dāng)u=0,1,…,M時(shí)，結(jié)合引理2，有

(14)

其中，R0+R1+…+RP-1=B0.在式(14)的基礎(chǔ)上，結(jié)合互補(bǔ)序列集的性質(zhì)，有

(15)

當(dāng)m≠1時(shí)，波形的自模糊函數(shù)為

(16)

令

(17)

由于B0=R0(k)+R1(k)+…+Rp-1(k)，根據(jù)互補(bǔ)序列集的性質(zhì)，χT(k,θ)的距離旁瓣只由hp(θ)決定.如果能將hp(θ)在θ0處的泰勒展開式前M項(xiàng)消除，則能證明自模糊函數(shù)θ0處具有M階零點(diǎn).將hp(θ)在θ0處進(jìn)行泰勒展開：

(18)

所以只需要證明設(shè)計(jì)的T滿足當(dāng)t=0,1,…,M時(shí)，有

(19)

由式(17)求導(dǎo)得

(20)

對(duì)(nm+z)t進(jìn)行二項(xiàng)式展開，有

(21)

(22)

結(jié)合定義2，當(dāng)(c0,c1,…,cp-1)是一個(gè)大小為p的互補(bǔ)序列集時(shí)，有

(23)

所以當(dāng)t=0,1,…,M時(shí)，式(19)成立，從而證明出χT(k,θ)在θ0處具有M階零點(diǎn).

基于上述定理，自模糊函數(shù)χT(k,θ)在所有的多普勒頻點(diǎn)θ0=2πl(wèi)/m有M階零點(diǎn)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)距離旁瓣的抑制. 接下來(lái)考慮兩根天線上互模糊函數(shù)的影響.

定理2對(duì)于兩個(gè)大小為p的互補(bǔ)集(ci,0,ci,1,…,ci,p-1),(cj,0,cj,1,…,cj,p-1)，考慮使用一個(gè)(pM+1,m)-GPTM序列控制互補(bǔ)集生成脈沖串，即

則Ti和Tj的互模糊函數(shù)χTi,Tj(k,θ)在θ0=2πl(wèi)/m處有M階零點(diǎn).

根據(jù)CCC的性質(zhì)，可以得到和自模糊函數(shù)相似的結(jié)論，互模糊函數(shù)在θ0處有高階零點(diǎn)，在一定的頻率范圍內(nèi)顯著壓縮了距離旁瓣.

在上述兩個(gè)定理中，當(dāng)取l=0,m=1時(shí)，對(duì)應(yīng)于文獻(xiàn)[15]中基于CCC和GPTM序列的MIMO雷達(dá)波形，該波形僅在零多普勒附近有效降低距離旁瓣.本研究任意選取兩個(gè)互質(zhì)的l和m，在過采樣GPTM序列的作用下，所得到的MIMO波形可以在特定的多普勒頻率附近實(shí)現(xiàn)低的距離旁瓣，進(jìn)而達(dá)到靈活抗多普勒效果.

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本研究仿真采用收發(fā)同置、發(fā)射陣元和接收陣元均為4的集中式MIMO雷達(dá)系統(tǒng).為分析本文中波形的性能，主要以模糊函數(shù)中期望頻點(diǎn)附近的旁瓣高低為考察標(biāo)準(zhǔn).

設(shè)定l=1,m=2，即θ0=π.仿真選取(4,32)-CCC，在4根發(fā)射天線上各分配一個(gè)大小為4的互補(bǔ)集，利用(44,2)-GPTM序列控制互補(bǔ)序列的發(fā)送順序，發(fā)射信號(hào)的波形矩陣表示為：

其中，不同的行代表不同的天線，不同的列代表不同的PRI，共512個(gè)PRI.

為了研究本文中波形在多普勒頻率π附近的性能，與文獻(xiàn)[15]中所設(shè)計(jì)的波形、交替發(fā)送的波形進(jìn)行比較.對(duì)于交替發(fā)送的波形，第i根天線上的波形由(ci,0,ci,1,ci,2,ci,3)重復(fù)128次構(gòu)成，共512個(gè)PRI.由于文獻(xiàn)[15]中要求每個(gè)發(fā)射天線上PRI數(shù)目須為4的正整數(shù)冪，無(wú)法選取512個(gè)PRI方案，故選擇長(zhǎng)度為45的GPTM序列控制互補(bǔ)序列的發(fā)送順序，共1 024個(gè)PRI.

圖2 不同波形在多普勒頻率θ0=π附近自模糊函數(shù)

從圖2(c)中可以看出，與交替發(fā)送的方案對(duì)比，自模糊函數(shù)的旁瓣被抑制到-60 dB以下；與文獻(xiàn)[15]中的方案對(duì)比，本研究方案只消耗一半的時(shí)間資源，波形自模糊函數(shù)距離旁瓣在多普勒頻率范圍[π-0.05,π+0.05]內(nèi)被抑制到-50 dB以下.

圖3 不同波形在多普勒頻率θ0=π附近互模糊函數(shù)

從圖3(c)中可以看出，與交替發(fā)送的方案對(duì)比，互模糊函數(shù)的旁瓣被抑制到-60 dB以下；與文獻(xiàn)[15]中的方案對(duì)比，本文中方案只消耗一半的時(shí)間資源，波形自模糊函數(shù)距離旁瓣在多普勒頻率范圍[π-0.05,π+0.05]內(nèi)被抑制到-50 dB以下.

此外，本文中所構(gòu)造波形不僅可以在多普勒頻率θ0=π處有效對(duì)抗多普勒，還能在零多普勒軸附近顯著抑制距離旁瓣.從圖4可以看出，本文中波形的自模糊函數(shù)和互模糊函數(shù)的距離旁瓣在多普勒頻率范圍[-0.05,0.05]內(nèi)被抑制到-60 dB以下，這與文獻(xiàn)[15]中的結(jié)論是相同的.

圖4 中波形在多普勒頻率θ0=π附近模糊函數(shù)的仿真

圖4是本文中波形在多普勒頻率θ0=π附近模糊函數(shù)基于以上的仿真，本研究所提MIMO雷達(dá)波形與文獻(xiàn)[15]中的波形、交替發(fā)送的波形相比，在特定的多普勒頻率下，有更好的自模糊函數(shù)與互模糊函數(shù).此外，由于m與l的任意性，本文中波形可以在任意多普勒頻率θ0=2πl(wèi)/m處抑制距離旁瓣.綜上，本文中波形不僅可以在零多普勒軸附近有效對(duì)抗多普勒，并且實(shí)現(xiàn)了在任意的多普勒頻率附近顯著壓縮距離旁瓣.

5 結(jié)論

基于過采樣GPTM序列和完備互補(bǔ)碼提出一類靈活抗多普勒的MIMO雷達(dá)波形，該波形利用完備互補(bǔ)碼和過采樣GPTM序列的性質(zhì)在任意的多普勒頻率附近明顯降低了雷達(dá)回波的距離旁瓣.仿真結(jié)果表明利用本文中構(gòu)造的波形后，能夠賦予波形靈活抗多普勒的性質(zhì)，更有利于實(shí)際場(chǎng)景中的應(yīng)用.