張盼盼，秦 昆，郭培煌

（1. 北京華為數(shù)字技術(shù)有限公司，北京100095；2. 武漢大學(xué)遙感信息工程學(xué)院，湖北 武漢430072；3. 北京地平線信息技術(shù)有限公司，北京100094）

云模型實(shí)際上是一種概率模型，通過生成符合一定分布的云滴，對事物的隨機(jī)性進(jìn)行描述。簡而言之，每一個(gè)云滴都是定性概念的一次隨機(jī)估值及該估值對定性概念的隸屬度的組合。通過建立事物的云模型，實(shí)現(xiàn)了隨機(jī)性與模糊性的統(tǒng)一描述。將這種模型和分形相結(jié)合，形成云分形思想，可以將復(fù)雜事物自相似性中的隨機(jī)性，通過云模型來表征，體現(xiàn)出不確定性的多樣性，而擴(kuò)展云中的期望值則反映出不確定性現(xiàn)象中所蘊(yùn)含的規(guī)律性。

1 分形算法

分形模擬的方法主要有遞歸算法、LS 法、IFS法、分形插值方法、DLA 模型法、BSP 模型、L-系統(tǒng)等[1]。

之前在對植物進(jìn)化和形態(tài)的相關(guān)研究中提出過L-系統(tǒng)的分形算法，它在植物拓?fù)鋵用娴哪M上相對有效。該算法在樹木拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)模擬上具有簡明、高結(jié)構(gòu)化和易實(shí)現(xiàn)等特性，因此成為了主流的樹木個(gè)體拓?fù)淠M方法[2]。

L-系統(tǒng)是一類獨(dú)特的迭代過程，其核心概念是重寫，即用一個(gè)重寫規(guī)則迭代地置換初始對象的各個(gè)部分來確定一個(gè)復(fù)雜的對象。

以樹的例子來說明，常用的符號包含：“ L ” ,“+”,“-”,“ [”,“ ]”這5 種符號，分別表示的意義如下：

1）L：在當(dāng)前所處位置朝向上前進(jìn)一步，并畫線；

2）+：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度；

3）-：順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度；

4）[：將當(dāng)前信息壓棧，即進(jìn)入到某一個(gè)分支；

5）]：將“[”時(shí)刻的信息出棧，即退回到主線上。

L-系統(tǒng)算法在實(shí)現(xiàn)上分成兩個(gè)過程，分別是：

1）根據(jù)規(guī)則生成用于模擬樹木的完整字符串。①定義并設(shè)置公理（即初始字符）和產(chǎn)生規(guī)則（即字符替換規(guī)則）；②定義并設(shè)置生成樹木的起始點(diǎn)、初始角度、迭代步長和迭代上限等控制參數(shù)；③根據(jù)產(chǎn)生規(guī)則用替換字符串替換當(dāng)前完整的字符串，不斷循環(huán)迭代，直至得到最大的迭代次數(shù)為止。

2）在生成完整字符串之后，開始讀取逐個(gè)字符并依據(jù)規(guī)則畫圖。①讀取完整字符串中的每個(gè)字符；②根據(jù)讀取到的字符（“L”,“+”,“-”,“[”,“ ]”）采取相應(yīng)動作。

上述方法在繪制分形樹時(shí)，符號“L”代表樹干和旁枝，符號“+”和“-”代表樹枝的生長方向，符號“[”代表繪制時(shí)需要分枝，將當(dāng)前已經(jīng)繪制的樹枝狀態(tài)緩存下來，開始繪制分支方向，并將符號后面的字符在分支方向開始繪制，直到遇見符號“]”，符號“]”代表退出當(dāng)前分支方向的繪制，回到符號“[”開始的主方向上，如圖1所示。

圖1 LS分形樹

L-系統(tǒng)反映的是植物結(jié)構(gòu)當(dāng)中“單平面”的形態(tài)，是一個(gè)二維圖形，不能體現(xiàn)植物形態(tài)的豐富層次，更無法在具體實(shí)現(xiàn)中對植物中每一個(gè)器官及每一個(gè)層面的特征進(jìn)行細(xì)節(jié)約束和繪制。BSP 是一種新型的空間剖分技術(shù)，于1980年首次由Fuchs提出并在平面對空間的剖分中得到應(yīng)用，建立起空間二叉樹結(jié)構(gòu)，如圖2 所示。BSP 空間剖分技術(shù)是以遞歸方法為基礎(chǔ)，將平面空間分割成兩個(gè)半空間，依次進(jìn)行不斷的細(xì)分，直到不可再分割為止。這樣就可以對每一個(gè)空間中的對象進(jìn)行更加細(xì)致的描述，從而更多關(guān)注對象的結(jié)構(gòu)和行為。因此在大自然樹木模擬過程中，需要充分發(fā)揮空間剖分技術(shù)所帶來的優(yōu)勢，使得植物形態(tài)結(jié)構(gòu)特征的模擬更加出色和逼真。

圖2 BSP形成的空間二叉樹

在具體植物模擬過程中，為了更好地對植物的枝干和樹葉進(jìn)行更為細(xì)節(jié)的描述，在L-系統(tǒng)的基礎(chǔ)上引入BSP方法，遞歸方式剖分空間平面，可以控制植物主干上左子樹、右子樹的繪制順序，控制分枝的長短和分枝在結(jié)點(diǎn)上的旋轉(zhuǎn)角度，同時(shí)也能控制樹葉的偏轉(zhuǎn)方向。結(jié)合各個(gè)細(xì)節(jié)方面的控制，以此來逼近植物的真實(shí)形態(tài)，并爭取能夠模擬植物在特殊情況下的形態(tài)，使得模擬出來的植物形態(tài)更加生動、逼真。

下面以樹木模擬過程來描述BSP方法的運(yùn)用。通常情況，遞歸深度、偏轉(zhuǎn)角和步長是影響樹木生長形態(tài)的主要參數(shù)。具體數(shù)目繪制過程如下：

1）遞歸深度（iter）：反映樹木的整體形態(tài)，比如樹木的高低、粗細(xì)等外觀特征，這是最主要的參數(shù)，樹木的枝干會隨著遞歸深度的遞減而逐漸變細(xì)。

2）偏轉(zhuǎn)角（angle）：反映分枝的樹木茂盛和集中程度，偏轉(zhuǎn)角過大或過小則剪枝。在實(shí)際的植物模擬過程中，偏轉(zhuǎn)角不能一成不變，它需要有一定的隨機(jī)幅度。當(dāng)遞歸深度較大時(shí)，意味著當(dāng)前處于較為底層的繪制狀態(tài)，即分支和樹葉的繪制層級，可適當(dāng)減小分枝偏轉(zhuǎn)角的隨機(jī)幅度，使樹木看起來長勢更為集中。同時(shí)考慮到樹木生長過程中的頂端優(yōu)勢，當(dāng)分枝和最初主干之間的夾角較小時(shí)，需要在分枝上繪制兩個(gè)子樹，使分枝看起來更長。

3）步長（step）：反映葉子的長度。根據(jù)實(shí)際情況，需要控制葉子的長度。

4）根結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)：反映植物生長的具體位置。

迭代函數(shù)系統(tǒng)（iterated function system，IFS），1981 年由Hutchcison 首次提出用壓縮映射方法來產(chǎn)生分形，1985 年由美國佐治亞理工學(xué)院數(shù)學(xué)教授Barns?ley M 發(fā)明了迭代函數(shù)系統(tǒng)，后來Stephen[4]等人進(jìn)行了公式化，引入到圖像合成領(lǐng)域中，其理論方法是分形自然景物和分形圖像壓縮理論的基礎(chǔ)。

IFS 的優(yōu)勢性在許多物體的建模問題中得到體現(xiàn)，尤其是對自然物的計(jì)算機(jī)模擬的優(yōu)勢更為明顯。例如：IFS 可以用來產(chǎn)生各種形態(tài)的植物、叢林、山川、云煙等[3]。用IFS可以很容易地對這些自然景物進(jìn)行描述，關(guān)鍵是仿射變換參數(shù)的選取。

在上述思想的牽引下，IFS 被證明集合對象的全貌和其局部特征在仿射變換下具有自相似性[5]，如果通過定義全局對象集合以及若干個(gè)仿射變換參數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)將整體形態(tài)變換到其局部形態(tài)上，并且通過反復(fù)迭代，可以產(chǎn)生滿意圖形。

通過相似變換可以實(shí)現(xiàn)物體對象的自相似，通過仿射變換也可以實(shí)現(xiàn)自仿射。實(shí)際上，物體對象的自仿射性也是自相似特性的一種擴(kuò)展方式。相似變換被看作是從局部到整體的等比例變換，而仿射變換則是局部到整體的不等比例變換[4]。

IFS 生成的迭代算法有兩種：一種是確定性迭代算法，另一種是隨機(jī)迭代算法。通常IFS 生成采用的是后者。

根據(jù)仿射變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

式中，ω為仿射變換；x和y為變換前的圖形坐標(biāo)值；x′ 和y′ 為變換后的圖形坐標(biāo)值；a，b，c，d，e，f為仿射變換系數(shù)。

對于一個(gè)復(fù)雜的圖形，需要多個(gè)不同的仿射變換來實(shí)現(xiàn)。在隨機(jī)迭代算法中由帶有概率的IFS 仿射變換集{W1，W1，W1，…，WN}和一個(gè)概率集{P1，P2，P3，…，PN}組成，可表示為：

式中，a、b、c、d，e、f、P這7 個(gè)參數(shù)被稱為IFS碼，仿射變換集控制著圖形的結(jié)構(gòu)和形狀，每個(gè)仿射變換對應(yīng)一個(gè)調(diào)用概率P。通常情況下，IFS 碼的組數(shù)決定了分形圖形的復(fù)雜程度；各組IFS 碼的取值決定了圖形的細(xì)節(jié)問題。

IFS算法步驟如下：

1）系統(tǒng)生成隨機(jī)數(shù)R，使R落在0～1之間。

2）給仿射變換組分配概率空間，判斷隨機(jī)數(shù)落入的概率空間范圍。

3）系統(tǒng)調(diào)用相應(yīng)空間的IFS碼，獲取仿射變換參數(shù)。

4）由仿射變換計(jì)算新的x，y。

5）在（x，y）處畫一個(gè)點(diǎn)。

6）將上一次的x，y作為下一次的初始x，y重復(fù)步驟（1～5），直到滿足條件為止。

2 云模型優(yōu)化分形算法

云模型是用自然語言值表示的某個(gè)定性概念與其定量表示之間的不確定性轉(zhuǎn)換模型，采用云的3 個(gè)數(shù)字特征（Ex，En，He）表示定性概念，體現(xiàn)了模糊性、隨機(jī)性以及二者之間的關(guān)聯(lián)性。自然科學(xué)和社會科學(xué)中大量的隨機(jī)現(xiàn)象基本上都是服從正態(tài)分布的，在后續(xù)的研究過程中，李德毅院士等人構(gòu)造了正態(tài)云模型，證明了正態(tài)云模型具有的普適性。目前，云模型已經(jīng)成為處理定性概念與定量描述的不確定轉(zhuǎn)換模型，從提出開始，已成功地應(yīng)用到自然語言處理、數(shù)據(jù)挖掘、決策分析、智能控制和圖像處理等諸多領(lǐng)域。

云模型是通過期望Ex、熵En、超熵He3 個(gè)數(shù)字特征來表現(xiàn)的，如圖3 所示。這3 個(gè)數(shù)字特征反映定性概念的整體特征，表示概念的不確定性。通過特定的云發(fā)生器算法來實(shí)現(xiàn)定性概念和定量表示的不確定轉(zhuǎn)換，同時(shí)揭示了模糊性和隨機(jī)性之間的關(guān)聯(lián)性。

圖3 云模型的數(shù)字特征示意圖

期望Ex：云滴在論域空間分布的期望，是最能夠代表定性概念的點(diǎn)，是這個(gè)概念量化的最典型樣本，反映了這個(gè)概念的云滴群的云重心。

熵En：定性概念的可度量力粒度，熵越大，通常概念越宏觀，也是定性概念不確定性的度量，由概念的隨機(jī)性和模糊性共同決定。這種不確定性主要表現(xiàn)在以下三點(diǎn)[6]：

1）熵是定性概念隨機(jī)性的度量，反映了能夠代表這個(gè)定性概念的云滴的離散程度。

2）熵又是定性概念亦此亦彼性的度量，反映了論域空間中可被概念接受的云滴的取值范圍。用同一個(gè)數(shù)字特征來反映隨機(jī)性和模糊性，也必然反映它們之間的關(guān)聯(lián)性。

超熵He：熵的不確定性的度量，即熵的熵，由熵的隨機(jī)性和模糊性共同決定。反映了每個(gè)數(shù)值隸屬于這個(gè)語言值程度的凝聚性。超熵的大小間接地表示了云的離散程度和厚度[7]。超熵越大，云滴的離散度越大，隸屬度的隨機(jī)性越大，云的厚度也越大。

云模型不再強(qiáng)調(diào)精確的函數(shù)表示，而是利用3個(gè)數(shù)字特征來表示反映概念的整體特征，僅用3 個(gè)參數(shù)就能勾畫出由成千上萬的云滴構(gòu)成的整個(gè)云來，把定性概念中包含的模糊性和隨機(jī)性完全集成到一起。

正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象、社會現(xiàn)象、科學(xué)技術(shù)以及生產(chǎn)活動中，在實(shí)際中遇到許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或者近似服從正態(tài)分布，而中心極限定理也從理論上闡述了正態(tài)分布的普適性[8]。

正態(tài)云模型是最基本的云模型，是表征語言原子的有力工具之一?？紤]到許多隨機(jī)現(xiàn)象并不能用正態(tài)分布來描述，李德毅等將正態(tài)分布擴(kuò)展為泛正態(tài)分布，為正態(tài)云提供了一個(gè)弱化形成正態(tài)分布條件的獨(dú)立參數(shù)（超熵），來衡量偏離正態(tài)分布的程度。

通過給定云的3 個(gè)數(shù)字特征，可以運(yùn)用計(jì)算機(jī)來計(jì)算生成一系列的云滴，這些云滴共同組成的一個(gè)云模型的3個(gè)數(shù)字特征就是事先給定的值。

設(shè)U是一個(gè)用精確數(shù)值表示的定量論域，C是U上的定性概念，若定量值x?U，且x是定性概念C的一次隨機(jī)實(shí)現(xiàn)，若x滿足x～N(Ex,En′2) ，其中，En′～N(Ex,He2)，且x對C的確定度滿足

則x在論域U上的分布稱為正態(tài)云。正向正態(tài)云發(fā)生器如圖4所示。

圖4 正向正態(tài)云發(fā)生器

正向正態(tài)云發(fā)生器輸入的是云的3 個(gè)數(shù)字特征（Ex，En，He）和需要生成的云滴的個(gè)數(shù)（n）[12]；輸出的是要求的n個(gè)云滴x及其確定度u。

云分形的思想是通過云發(fā)生器，結(jié)合函數(shù)迭代，將分形算法與云模型理論結(jié)合起來，形成云分形的算法。云模型與分形相結(jié)合，可以更好地模擬出千姿百態(tài)的自然景物，同時(shí)發(fā)揮兩者的長處。更重要的是，可以把自然景物自相似性中包含的隨機(jī)性，通過云模型進(jìn)一步顯示出來，可以體現(xiàn)不確定的多樣性，同時(shí)又能用云模型的期望值來反映不確定現(xiàn)象中蘊(yùn)含的規(guī)律性。

3 實(shí)驗(yàn)方法及結(jié)果分析

3.1 BSP+L系統(tǒng)+云模型的云分形方法在植物模擬中的研究

本文以樹木為模擬對象來研究BSP 和L 系統(tǒng)方法結(jié)合的運(yùn)用。一般情況下，影響樹木生長形態(tài)的主要參數(shù)，及其畫樹過程中的細(xì)節(jié)如下：

1）遞歸深度（iter）：遞歸深度決定樹木的高矮、粗細(xì)等整體形態(tài)。樹木的枝干會隨著iter 的遞減而逐漸變細(xì)。本實(shí)驗(yàn)在遞歸過程畫分枝時(shí)，采用云模型隨機(jī)的選擇植物枝干上左子樹、右子樹的繪制順序，當(dāng)iter小于1時(shí)，畫葉子。

2）偏轉(zhuǎn)角（angle）：為了讓植物模擬更逼真，分枝的偏轉(zhuǎn)角需要有一定的隨機(jī)幅度，用于決定樹木茂盛和集中程度。本實(shí)驗(yàn)采用云模型來控制偏轉(zhuǎn)角，輸入不同的期望值Ex 來控制偏轉(zhuǎn)角以達(dá)到不同的效果。

3）步長（step）：控制葉子的長度。根據(jù)實(shí)際情況，要控制葉子的長度。

4）根結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)：給出植物繪制的初始位置。

如圖5所示的樹木模擬，首先采用BSP+L系統(tǒng)這種方式來模擬樹木生成效果，同時(shí)引入云模型的云分形方法在初始化參數(shù)下模擬樹木生成，圖中是一次隨機(jī)實(shí)現(xiàn)對照圖。其中，層數(shù)（遞歸深度）為6，步長為250，隨機(jī)決定分枝方向的云模型參數(shù)為（0.5，0.166 667，0.01），側(cè)枝偏轉(zhuǎn)角的云模型為（0，5，0.1）。

圖5 云分形優(yōu)化前后效果圖

需要說明的是，遞歸深度反映的是樹木的高矮粗細(xì)，步長反映的是葉子長度，本文考慮到執(zhí)行效率和美觀程度，設(shè)定層數(shù)為6，步長為250，而決定分支方向設(shè)為0.5 是考慮到生成左側(cè)和右側(cè)分支的公平性，在0～1 之間選擇折中數(shù)值，側(cè)枝偏轉(zhuǎn)角的設(shè)定不宜過大，在10°范圍內(nèi)波動，更好的展現(xiàn)出樹木的真實(shí)性，以上參數(shù)設(shè)定為其他數(shù)值不影響本文的結(jié)論。保持這些參數(shù)不變，進(jìn)行更多次實(shí)現(xiàn)，可以產(chǎn)生更多形態(tài)各異的分形樹，如圖6所示。

圖6 相同參數(shù)下云分形方法模擬的樹木效果

上述實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，云模型的引入，在控制樹木的高矮粗細(xì)和茂密程度方案不僅表現(xiàn)出巨大的優(yōu)勢，同時(shí)在樹木模擬多樣性方面，也相當(dāng)出眾，能很好的體現(xiàn)出大自然的多樣化。

3.2 改進(jìn)的IFS云分形方法在植物模擬中的研究

傳統(tǒng)IFS 方法的要點(diǎn)是如何根據(jù)概率集來確定每一次迭代時(shí)所選取的仿射變換，即如何使仿射變換參數(shù)的被選中率與概率集相同。選擇云模型來產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，其作用不僅僅是像rand函數(shù)那樣產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)便作罷，另外一個(gè)更重要的作用是在一幅待產(chǎn)生的圖像中，針對其中不同的拼貼對象，可通過調(diào)整云模型的期望值，使得產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)更大概率地落入我們期望的范圍，這樣便能夠有針對性的來選擇某一組或幾組仿射變換，這樣選擇的效果便使該拼貼對象部分產(chǎn)生的圖像包含點(diǎn)數(shù)更多，圖像內(nèi)容更豐富飽滿。

本次實(shí)驗(yàn)采用正態(tài)云發(fā)生器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，對比分析傳統(tǒng)的rand 隨機(jī)數(shù)方法。實(shí)驗(yàn)選定的IFS 碼如表1所示。

表1 生成IFS樹的IFS碼

用正態(tài)云發(fā)生器產(chǎn)生的云滴作為隨機(jī)數(shù)，為了更進(jìn)一步突出樹梢末端的茂密程度，需要將產(chǎn)生的IFS碼控制在表1 所示的i=2～5，即概率分布在0.2～0.8之間，因此本文設(shè)定云滴期望為0.5，墑為0.3，參數(shù)也可以存在一些微小的調(diào)整，如圖7為引入云模型優(yōu)化IFS算法的前后對照圖。

圖7 IFS樹及云IFS樹

上述實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，采用正態(tài)云發(fā)生器來取代傳統(tǒng)的隨機(jī)函數(shù)Rand，可以更好地控制樹木生成的局部特征，使得系統(tǒng)可以按照期望的方式來繪制樹木。更為直觀的是，云IFS 樹的生成讓植模擬更加生動飽滿。

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

在模擬樹木時(shí)，傳統(tǒng)的傳統(tǒng)遞歸算法和確定性L-系統(tǒng)算法中，其樹枝長度和旋轉(zhuǎn)角度在每次迭代時(shí)都不會發(fā)生變化。本文在編程設(shè)計(jì)繪圖函數(shù)時(shí)用由云模型中的正態(tài)云發(fā)生器產(chǎn)生的云滴作為隨機(jī)因子，使樹枝長和旋轉(zhuǎn)角度都乘以一個(gè)范圍可控的隨機(jī)數(shù)，這樣使得在迭代過程中的樹枝長度略有差異，且畫線時(shí)旋轉(zhuǎn)的角度有一定的隨機(jī)幅度，模擬出來的樹木不會僵硬死板。同時(shí)，可根據(jù)不同情況適當(dāng)修改云模型的參數(shù)（期望、熵、超熵），以此來模擬同一類植物的不同形態(tài)，使模擬的植物形態(tài)更加自然逼真。

針對傳統(tǒng)的IFS（迭代函數(shù)系統(tǒng)），對由自然景物圖形提取分形幾何對象信息的原理進(jìn)行了深入的探討和研究。一方面采用交互式傳統(tǒng)方法提取和輸入IFS碼，另一方面，在待產(chǎn)生的圖像中，針對其中不同的拼貼對象，通過調(diào)整云模型的期望值，使云發(fā)生器隨機(jī)數(shù)更大概率地落入我們期望的范圍，使我們能夠有針對性的選擇某一組或幾組仿射變換，這樣選擇的效果便使該拼貼對象部分產(chǎn)生的圖像包含點(diǎn)數(shù)更多，圖像內(nèi)容更加豐富飽滿。

4 總結(jié)與討論

分形理論被廣泛應(yīng)用于模擬自然景物的表達(dá)，存在各種各樣的算法，但由于自然界的物體又不是嚴(yán)格自相似的，它們的自相似性只在統(tǒng)計(jì)上成立，且自相似的“層次”結(jié)構(gòu)是有限的。本文主要利用云模型理論來優(yōu)化傳統(tǒng)的分形算法，研究云分形在自然景物模擬表達(dá)上的逼真度和可行性。

雖然云模型的引入，在自然景物的模擬方面開展了一定的工作，但仍然需要持續(xù)對云分形方法進(jìn)行探討和應(yīng)用，在本文的基礎(chǔ)上，今后可以從以下兩個(gè)大方面重點(diǎn)展開研究：

1）在自然景物模擬方面：①在三維環(huán)境中進(jìn)行多種自然景物的模擬，使模擬的自然景物更具有立體的真實(shí)感；②對自然景物的細(xì)節(jié)進(jìn)行描繪，如樹干的紋理，植物的果實(shí)、花朵等；③對植物在不同環(huán)境條件的生長進(jìn)行定性定量的研究，確定其生長比例系數(shù)，實(shí)現(xiàn)接近真實(shí)植物生長的動態(tài)模擬控制。如：不同土壤環(huán)境生長下的樹、不同氣候環(huán)境下生長的樹等。

2）在云分形的不確定性分析方面：目前云分形方法已經(jīng)在分形模擬、拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)模擬等方面有了成功的應(yīng)用。擴(kuò)展云的期望在不同的應(yīng)用背景下，具有不同的意義，反映了不確定現(xiàn)象中蘊(yùn)含的規(guī)律性。如何將云分形方法用于更多的領(lǐng)域，如種群變異、地貌變遷等，還需要進(jìn)一步研究。