朱劍兵，高照奇，田亞軍，梁興城

(1.中國石油化工股份有限公司 勝利油田分公司物探研究院，山東 東營 257022；2.西安交通大學 信息與通信工程學院，陜西 西安 710049)

0 引言

地震反演在油氣藏勘探領域中具有重要作用，該方法能夠基于地震以及其他地球物理數(shù)據(jù)估計地下介質參數(shù)[1-3]。地震反演往往是通過最小化描述觀測地震數(shù)據(jù)與合成地震數(shù)據(jù)誤差的目標函數(shù)來實現(xiàn)的。地震波阻抗反演是一類地震反演問題，其特點是：①模型的非唯一性；②模型和數(shù)據(jù)的非線性關系，目標函數(shù)存在多個局部極小值。

地震波阻抗反演問題的常用求解方法是局部優(yōu)化算法。這類方法從某一預設的初始模型出發(fā)，利用目標函數(shù)的梯度信息更新模型參數(shù)，如共軛梯度法[4]，最速下降法[5]等。局部優(yōu)化方法的不足是優(yōu)化過程中可能陷入目標函數(shù)的局部極小值。與局部優(yōu)化算法不同，全局優(yōu)化算法不依賴于目標函數(shù)的梯度信息，具有跳出目標函數(shù)局部極值的能力，因此此類方法越來越多地被應用于求解非線性地震反演問題。在地球物理學中，應用最廣泛的全局優(yōu)化類算法有模擬退火算法及其變體[6-7]，粒子群優(yōu)化算法[8-9]，遺傳算法[10-12]，差分進化算法(differential evolution,DE)[13-15]等。

近年來，DE已經成功地應用于求解地震反問題[16]。但是，維數(shù)災難問題阻礙了DE在高維模型空間反問題中的應用。為了解決這個問題，Potter等[17]提出了協(xié)同進化的策略將高維問題分解為多個低維問題進行求解。隨后，Wang等[18]提出了協(xié)同變異差分進化算法(cooperative coevolutionary DE,CCDE)，其將一個高維模型分解為多個低維子成分，并用“局部適應度函數(shù)”來評價每個子成分的質量，用來指導后續(xù)變異方向。盡管CCDE在求解高維反問題上比傳統(tǒng)DE具有明顯的優(yōu)勢，但其對搜索空間的范圍敏感。Gao等[19]提出了結合DE/rand/1變異策略和CCDE變異策略的多組變異差分進化算法(multi-mutation DE,MMDE)。該方法對搜索空間的范圍不敏感，具有更快的收斂速度。

盡管上述全局優(yōu)化方法在地震波阻抗反演問題上表現(xiàn)出了優(yōu)越的性能，但這類方法均采用了逐道反演策略，未考慮模型的空間相關性，導致反演結果的橫向連續(xù)性差?？紤]到地下介質參數(shù)是連續(xù)變化的，兩條相鄰地震道之間存在一定的聯(lián)系。因此，在反演過程中，應考慮當前地震道和相鄰地震道之間的相似性。為了解決這一問題，研究者們提出了一些多道反演策略來保證地下結構的橫向連續(xù)性。Gholami[20]提出了帶有TV正則化的多道地震波阻抗反演方法，Zhang等[21]提出了一種基于各向異性全變差(ATV)正則化的多道反演方法。盡管這些假設先驗信息的正則化方法可以提高反演模型的橫向連續(xù)性，但當先驗信息與實際情況不符時，這種方法可能會失效。最近，Cheng等[22]提出了一種受兩種范數(shù)約束的多道反演方法。此外，還針對橫向連續(xù)性問題引入了卡爾曼濾波器。然而，上述解決橫向連續(xù)性問題的方法與全局優(yōu)化算法結合存在難度。

本文提出了一種帶有橫向約束的多組變異差分進化地震波阻抗反演方法。通過將旁道最優(yōu)解信息融入到當前地震道的搜索空間中，有效地約束了當前道波阻抗反演的搜索空間范圍，實現(xiàn)了逐道反演搜索空間的精確初始化。通過將本文所提出方法與傳統(tǒng)多組變異差分進化算法進行對比，實驗結果表明，本文所提出方法不僅收斂速度更快，而且反演得到的波阻抗剖面橫向連續(xù)性更優(yōu)。此外，本文所提出方法被應用于勝利油田某區(qū)塊波阻抗反演中，反演結果和測井資料具有很好的一致性，有效地刻畫了儲層砂巖厚度。

1 帶有橫向約束的多組變異差分進化算法

1.1 多組變異差分進化算法

多組變異差分進化算法(MMDE)是一種全局優(yōu)化算法，其算法流程如圖 1所示。MMDE主要包含初始化、變異、交叉和選擇4個部分，下面將詳細介紹這幾部分內容。

圖1 MMDE算法流程

1.1.1 初始化

假設MMDE擬求取一個目標函數(shù)f(x)的全局極小值，其中x是一個D維的參數(shù)向量x={x1,x2,…,xD}。MMDE首先隨機初始化一個種群，種群中有N個個體(候選解)，每一個初始種群中的個體可以表示為：

在搜索空間內均勻隨機初始化得到的。假定搜索空間的下限為xmin={x1,min,x2,min,…,xD,min}，上限為xmax={x1,max,x2,max,…,xD,max}，則初始群體中第i個個體的第j維可以表示為：

(2)

其中，randi,j(0,1)是均勻分布于0和1之間的隨機數(shù)。

1.1.2 變異

在群體進化中，變異操作用于提高候選解的質量。在MMDE中，種群中的每個個體都通過結合DE/rand/1和CCDE[18]的多組變異策略進行更新。具體過程如下：

,

(3)

,

(5)

1.1.3 交叉

交叉操作用于實現(xiàn)種群中個體的基因交換從而提高種群的多樣性。具體來說，交叉操作通過將當前候選解與其對應的變異向量混合，以構成一個試探向量。對于當前種群中的第i個候選解，試探向量的第j個分量可以表示為：

(6)

1.1.4 選擇

選擇操作用于確定候選解還是其對應的試探向量將被保留進入下一次迭代，這一操作是通過比較兩者的目標函數(shù)值而實現(xiàn)的：

(7)

經過多次迭代，最終群體中目標函數(shù)值最小的個體即為優(yōu)化問題的解。

1.2 帶有橫向約束的模型搜索空間設定方法

如圖 2a所示，傳統(tǒng)MMDE求解地震波阻抗反演問題時，每一道阻抗反演的搜索空間是通過在該道低頻阻抗的基礎上加減一個常數(shù)而設定的，可用如下公式表達：

,

(8)

考慮到地下介質具有橫向連續(xù)性，相鄰兩道波阻抗之間應具有很強的空間相關性。為充分利用這一先驗信息，我們提出一種新的帶有橫向約束的模型搜索空間設定方法。如圖 2b所示，這一新方法利用旁道波阻抗反演結果約束本道波阻抗反演的搜索空間范圍，具體可表示如下：

a—傳統(tǒng)MMDE進行地震波阻抗反演時采用的模型搜索空間； b—本文所提出的帶有橫向約束的模型搜索空間

(9)

1.3 基于帶有橫向約束的全局優(yōu)化地震波阻抗反演

地震波阻抗反演問題中，地震道d和波阻抗模型z可通過正演算子G(·)聯(lián)系起來，如下式所示：

d=G(z)

,

(10)

具體來說，地震道d可以表示為地震子波與反射系數(shù)序列的褶積：

d=w?r

,

(11)

其中符號“?”表示褶積運算。反射系數(shù)序列與波阻抗的關系可以表示為：

(12)

其中，ri、zi、ρi和vi分別表示反射系數(shù)、阻抗、密度和縱波速度的第i個分量。

基于上述正演模型，地震波阻抗反演可描述為一個D維優(yōu)化問題，該問題的目標函數(shù)可表示為：

,

(13)

其中，dobs和G(z)分別表示觀測地震數(shù)據(jù)與合成地震數(shù)據(jù)。本文采用上述所提出的帶有橫向約束的多組變異差分進化算法優(yōu)化式(13)所示的目標函數(shù)。

地震波阻抗反演中低頻信息的引入對得到絕對波阻抗參數(shù)至關重要。在本文所提出方法中，每一個地震道的低頻阻抗信息是在設定算法搜索空間范圍時引入的。如式(9)所示，每一道的搜索空間范圍除與旁道最優(yōu)解相關外，還和本道的低頻阻抗相關。在搜索空間范圍內，算法通過迭代最小化式(13)所示的目標函數(shù)逐漸恢復波阻抗的中高頻信息。

2 基于Marmousi II模型的算例分析

本節(jié)將所提出的理論方法應用于基于Marmousi II模型的實驗算例并與傳統(tǒng)方法進行對比。實驗中使用的阻抗模型如圖3a所示，該模型是通過對原始深度域Marmousi II模型進行深時轉換及重采樣得到的。該模型橫向共有1 134道，每道長度為200 ms，采樣間隔為2 ms。通過對真實阻抗模型每一道使用巴特沃茲低通濾波器提取其低頻分量，構建了如圖3b所示的低頻阻抗模型作為反演的初始模型。實驗中，我們采用主頻為40 Hz的雷克子波生成地震數(shù)據(jù)，反演時假設子波已知。實驗中分別采用所提出新方法與傳統(tǒng)多組變異差分進化算法反演該模型的波阻抗，為保證對比的公平性，實驗中兩種對比方法除模型搜索空間初始化方式不同外，其它反演參數(shù)保持一致。實驗結果如圖 4、圖5和表 1所示。

a—真實阻抗模型；b—反演使用的初始阻抗模型

圖4 對比所提出新方法與傳統(tǒng)多組變異差分進化算法的收斂曲線

a—所提出新方法反演的阻抗模型；b—多組變異差分進化算法反演的阻抗模型；c、d—分別是a和b在CDP100～300處的阻抗模型放大對比

表1 定量化對比不同反演方法得到阻抗模型的質量

圖4所示為兩種反演方法的收斂曲線對比。在全部1134道數(shù)據(jù)中，我們選擇第100道數(shù)據(jù)的反演過程進行對比。如圖 4中藍色曲線所示，傳統(tǒng)多組變異差分進化算法在經過100次迭代后目標函數(shù)值從7.3936下降到0.4822，這說明多組變異差分進化算法可以在這一反演問題中收斂。與多組變異差分進化算法相比，本文所提出的理論方法的收斂速度更快，該方法經過100次迭代后目標函數(shù)值從6.6910下降到5.7949 e-5。此外，該方法僅需要12次迭代目標函數(shù)值就可以下降到0.4177，這一數(shù)值比多組變異差分進化算法100次迭代后的目標函數(shù)值還低?；谏鲜鰧嶒灲Y果，可以看出所提出新方法具有顯著優(yōu)于傳統(tǒng)多組變異差分進化算法的收斂速度，可在相同迭代次數(shù)的前提下得到更優(yōu)的反演結果。

圖5所示為兩種反演方法構建的波阻抗模型。圖5a所示為所提出新方法反演得到的波阻抗模型，該模型相對于真實模型的信噪比(signal-to-noise ratio，SNR)為36.0658 dB、結構相似性指數(shù)為0.9332。這些數(shù)據(jù)說明了該反演阻抗模型在阻抗結構以及數(shù)值上均和真實模型有很好的一致性。此外，圖5c所示為所提出方法反演的波阻抗模型在CDP100～300處的放大圖。從圖中可見，反演阻抗模型具有良好的橫向連續(xù)性。與所提出理論方法不同，圖5b所示的傳統(tǒng)多組變異差分進化算法反演的波阻抗模型精度不足。該模型相對于真實模型的信噪比SNR為33.2153 dB、結構相似性指數(shù)為0.8682，均顯著低于所提出新方法的反演結果。此外，如圖5d所示的反演結果表明傳統(tǒng)多組變異差分進化算法的反演結果橫向連續(xù)性差。具體來說，該反演阻抗模型充滿噪聲，真實模型中橫向連續(xù)的地質結構在該模型中呈不連續(xù)狀態(tài)。

綜上所述，基于Marmousi II模型的實驗算例驗證了所提出理論方法的有效性，并驗證了其相比于傳統(tǒng)方法在效率和反演精度上的優(yōu)勢。

3 實際資料應用

本節(jié)將上述理論方法應用于勝利油田某工區(qū)實際三維地震資料。實驗中采用整個三維工區(qū)的部分數(shù)據(jù)，這部分數(shù)據(jù)的范圍是Inline 7080～7600，Crossline 3180～3450，時間方向1400～2450 ms。該數(shù)據(jù)的時間采樣間隔為2 ms。目的層位于三角洲前緣，發(fā)育大量濁積巖砂體，具有良好的油氣顯示。圖6a 所示為目標區(qū)連井地震剖面。目的層的主力儲層砂體發(fā)育在T1、T2和T3層位之間，為典型的薄互層結構，砂層厚度薄單層在2～10 m，組合厚度4～20 m之間。此外，目的層砂體橫向相變快，僅憑地震反射數(shù)據(jù)難以落實砂體展布邊界。從地震波形上看(圖6a)，由于薄互層干涉效應導致內部同相軸能量弱，橫向連續(xù)性差，難以追蹤。

采用本文提出的阻抗反演方法對該工區(qū)三維地震數(shù)據(jù)進行處理。這里，反演使用的子波是通過統(tǒng)計的方法從地震數(shù)據(jù)中提取。圖6b為采用本文所提出方法計算的波阻抗連井剖面。根據(jù)測井解釋成果，我們知道目標層段砂巖表現(xiàn)為阻抗高值，泥巖表現(xiàn)為阻抗低值。井點位置黑色曲線展示的是利用測井數(shù)據(jù)計算的波阻抗曲線。我們也將測井巖性解釋結果覆蓋到井點處。從巖性解釋結果中不難看出，T1～T2層段發(fā)育厚度非常薄的砂體，在地震剖面上表現(xiàn)為不連續(xù)的同相軸(圖6a)，難以分辨薄砂體的組合關系與橫向分布范圍。利用本文所提出方法計算的波阻抗結果雖然無法刻畫T1～T2層段之間5 m以下的薄層砂體(圖6b中紅色箭頭指示)，但對于厚度較大的砂體則能清晰地展示砂體橫向展布范圍，并且與井數(shù)據(jù)計算的波阻抗有良好的匹配關系(圖6b中藍色箭頭指示)。T2～T3層段內部發(fā)育組合厚度較厚的砂體，采用本文方法計算的波阻抗能夠很好地表征其內部的砂體展布規(guī)律，且在井點處能很好地匹配測井計算結果。圖7為本文方法計算結果的三維展示。為了更好的對比效果，我們沿圖6b所示的T2_1層位做沿層切片，得到圖8a所示的沿層阻抗。進一步與同層位井插值得到的砂地比(圖8b)進行對比，不難看出高阻抗區(qū)域對應高砂地比，低阻抗區(qū)域對應低砂地比。這進一步驗證了本文方法的有效性。

a—地震剖面；b—波阻抗剖面；井點位置處黑色曲線為利用測井數(shù)據(jù)計算的波阻抗

a—勝利油田某工區(qū)三維疊后地震資料；b—所提出理論方法反演的波阻抗數(shù)據(jù)體

a—反演波阻抗模型沿T2_1層位的切片；b—井插值砂地比剖面

4 結論及討論

1) 帶有橫向約束的模型搜索空間設定方法在本文的全局優(yōu)化波阻抗反演中起到了保證反演結果橫向連續(xù)性和提升反演效率的效果。

2) 帶有橫向約束的全局優(yōu)化波阻抗反演方法進行了實際應用，反演的波阻抗能夠很好地表征儲層內部的砂體展布規(guī)律，且在井點處與測井結果匹配度高。驗證了本研究的實用性。

3) 進一步提升全局優(yōu)化波阻抗反演方法的效率，是下一步研究的方向。