劉 冬， 蘇智偉,2， 鄭智偉， 楊 詠， 張嘯涵， 李 楊， 黃修長(zhǎng),

(1. 上海交通大學(xué) 先進(jìn)技術(shù)與裝備研究院 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240； 2. 五邑大學(xué) 智能制造學(xué)部，廣東 江門 529020; 3. 船海特裝和動(dòng)力系統(tǒng)國家工程中心，上海 200240)

將負(fù)剛度單元引入系統(tǒng)并經(jīng)合理匹配設(shè)計(jì)后，振動(dòng)系統(tǒng)能具有固有頻率低、隔振帶寬寬、隔振效果好等優(yōu)點(diǎn)。接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振技術(shù)是其中之一。接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振最早由Antoniadis等[1-2]于2015年提出，即在常規(guī)吸振器的吸振子與地基之間引入一個(gè)負(fù)剛度單元。相比于常規(guī)動(dòng)力吸振，接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振經(jīng)合理的參數(shù)優(yōu)化匹配后，可在不需要較大吸振質(zhì)量的前提下，在特定頻段內(nèi)實(shí)現(xiàn)無諧振峰寬頻帶振動(dòng)控制，有效解決常規(guī)動(dòng)力吸振的振動(dòng)控制效果與吸振質(zhì)量間的矛盾。

國內(nèi)外學(xué)者對(duì)接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振的最優(yōu)參數(shù)開展了相關(guān)研究。Shen等[3-4]提出了多種接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振形式，采用數(shù)值方法或解析法獲得了最優(yōu)阻尼比和最優(yōu)頻率比等參數(shù)。研究結(jié)果表明，相比于常規(guī)動(dòng)力吸振器，接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振器在簡(jiǎn)諧激勵(lì)和隨機(jī)激勵(lì)下對(duì)主系統(tǒng)位移傳遞率的控制效果均表現(xiàn)得更加良好。Zhou等[5]針對(duì)兩種構(gòu)型的接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振，利用不動(dòng)點(diǎn)法和穩(wěn)定性最大準(zhǔn)則分別推導(dǎo)了系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)，并結(jié)合穩(wěn)定性條件給出了負(fù)剛度值的取值范圍。Li等[6]將負(fù)剛度動(dòng)力吸振與慣容單元相結(jié)合，提出了新形式的動(dòng)力吸振模型，并推導(dǎo)了模型的封閉解，結(jié)果表明慣容單元和負(fù)剛度單元在系統(tǒng)中均發(fā)揮了放大質(zhì)量效應(yīng)。為進(jìn)一步降低低頻段內(nèi)共振峰的幅值，代晗等[7]將時(shí)滯反饋控制引入接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振，并進(jìn)行了等峰參數(shù)優(yōu)化。陳杰等[8]利用慣容負(fù)剛度動(dòng)力吸振器抑制梁的橫向振動(dòng)，推導(dǎo)了最優(yōu)系統(tǒng)參數(shù)，并討論了質(zhì)量比對(duì)系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)的影響。

國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)工程實(shí)際中的接地負(fù)剛度開展了動(dòng)力學(xué)建模。Zhou等[9]將接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振應(yīng)用于浮置板軌道減振，建立了浮置板軌道的有限元模型，利用接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振對(duì)浮置板的一階彎曲模態(tài)進(jìn)行控制。Liu等[10]采用接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振來降低壓載軌道的振動(dòng)與聲輻射，計(jì)算結(jié)果表明相比于常規(guī)動(dòng)力吸振器，采用接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振能有效提高軌道的振動(dòng)能量和聲輻射衰減。Kapasakalis等[11]將接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振應(yīng)用于風(fēng)機(jī)的減振，仿真結(jié)果表明其能顯著增加系統(tǒng)的有效阻尼，降低風(fēng)載作用下風(fēng)機(jī)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。Lin等[12]基于接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振提出了一種新形式的力學(xué)超材料構(gòu)型，用于指導(dǎo)設(shè)計(jì)地震隔震系統(tǒng)。Sapountzakis等[13]開展了接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振用于地震波激勵(lì)下橋梁結(jié)構(gòu)的抗震分析，分析過程中考慮了橋墩的貢獻(xiàn)，結(jié)論表明基于接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振的減震方案在理論上能有效替代傳統(tǒng)的橋梁隔震支座。

以上關(guān)于接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振的研究集中在理論建模獲取最優(yōu)參數(shù)以及簡(jiǎn)單模型應(yīng)用方面，理論建模時(shí)考慮接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振在剛性基礎(chǔ)上的情況。而實(shí)際工程中往往是彈性基礎(chǔ)，彈性基礎(chǔ)與主系統(tǒng)的耦合會(huì)改變主系統(tǒng)固有特性，以及接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振的動(dòng)力學(xué)特性，使得基于剛性基礎(chǔ)得到的最優(yōu)參數(shù)不再適用。本文針對(duì)實(shí)際工程中常常出現(xiàn)的彈性基礎(chǔ)，基于H2范數(shù)推導(dǎo)了接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振的最優(yōu)參數(shù)。

1 動(dòng)力學(xué)建模及最優(yōu)參數(shù)推導(dǎo)

1.1 彈性基礎(chǔ)接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振動(dòng)力學(xué)模型

彈性基礎(chǔ)上的接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型可表示一個(gè)三自由度系統(tǒng)，如圖1所示。Mp和kp為彈性基礎(chǔ)的等效模態(tài)質(zhì)量和等效模態(tài)剛度。MA為主系統(tǒng)質(zhì)量；ks為主系統(tǒng)剛度；m，ke和c分別為Voigt型動(dòng)力吸振器的質(zhì)量、剛度和阻尼；kn為負(fù)剛度元件的負(fù)剛度(假設(shè)kn不隨頻率和相對(duì)位移幅值變化)；F為施加在主系統(tǒng)質(zhì)量MA上的外激勵(lì)力；FT為傳遞到彈性基礎(chǔ)的力；x和y分別為MA和m的位移響應(yīng)；z為彈性基礎(chǔ)質(zhì)量相對(duì)地面的位移響應(yīng)。

圖1 考慮彈性基礎(chǔ)的接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Dynamic modelling of DVA with negative stiffness considering flexible foundation

對(duì)圖1所示模型建立運(yùn)動(dòng)微分方程

(1)

引入負(fù)剛度比p、吸振質(zhì)量比μ、基礎(chǔ)質(zhì)量比μp、吸振頻率比ν、基礎(chǔ)頻率比νp以及阻尼比ξ等無量綱參數(shù)

假設(shè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為[x,y,z]T=[X,Y,Z]Tejωt，代入運(yùn)動(dòng)微分方程，可求得X,Y,Z的響應(yīng)表達(dá)式為

(3)

定義到基礎(chǔ)的力傳遞率為傳遞至基礎(chǔ)的作用力與主系統(tǒng)外激勵(lì)力的比值

(4)

Γ=λ4μ-λ2μ2v2-λ2μv2-μμpλ6+λ4μ2v2μp+λ4μv2μp+

1.2 基于H2范數(shù)優(yōu)化準(zhǔn)則的參數(shù)優(yōu)化

對(duì)于彈性基礎(chǔ)上的動(dòng)力吸振最優(yōu)參數(shù)問題，由于基礎(chǔ)的阻抗為頻率的函數(shù)，與主系統(tǒng)相關(guān)的不動(dòng)點(diǎn)處的幅值不再和頻率無關(guān)，此時(shí)無法采取常規(guī)不動(dòng)點(diǎn)法對(duì)主系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力吸振匹配設(shè)計(jì)。以力傳遞率的H2范數(shù)最小為優(yōu)化目標(biāo)，可得彈性基礎(chǔ)上接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振的最優(yōu)參數(shù)。力傳遞率T的H2范數(shù)可定義為

(6)

(7)

將無量綱力傳遞率表達(dá)式代入可得

(8)

利用留數(shù)定理，可將積分表達(dá)式化簡(jiǎn)為多項(xiàng)式表達(dá)式(系數(shù)a0～a4，b1～b5及后續(xù)推導(dǎo)過程可詳見附錄A)，如式(19)所示

(9)

為得到彈性基礎(chǔ)負(fù)剛度動(dòng)力吸振的最優(yōu)頻率比vopt和最優(yōu)阻尼比ξopt，令式(9)分別對(duì)v和ξ的偏導(dǎo)等于0，得到最優(yōu)頻率比vopt和最優(yōu)阻尼比ξopt的表達(dá)式

(11)

(12)

(13)

可見，以控制外激勵(lì)到基礎(chǔ)的力傳遞率為目標(biāo)，接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振的最優(yōu)阻尼比和最優(yōu)頻率比僅與吸振質(zhì)量比μ和基礎(chǔ)剛度比np有關(guān)，與基礎(chǔ)質(zhì)量比無關(guān)。

1.3 穩(wěn)定性分析

對(duì)于彈性基礎(chǔ)上的接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振，由于負(fù)剛度單元的存在，系統(tǒng)存在穩(wěn)定性問題。采取剛性基礎(chǔ)中穩(wěn)定性分析的方法，根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)來進(jìn)行判別。當(dāng)系統(tǒng)所有極點(diǎn)均處于復(fù)平面左側(cè)時(shí)(具有負(fù)實(shí)部)，系統(tǒng)穩(wěn)定。將力傳遞率的分母多項(xiàng)式改寫為

D(s)=q0s6+q1s5+q2s4+q3s3+q4s2+q5s+q6,s=jλ

(15)

其中

q0=μμp,

q1=2μ(μ+1)vξμp,

(16)

結(jié)合Routh-Hurwitz判據(jù)，以及式中根號(hào)內(nèi)表達(dá)式大于0的條件，經(jīng)推導(dǎo)得到的系統(tǒng)穩(wěn)定性條件如下

(17)

將多個(gè)關(guān)于p的不等式取交集，可得關(guān)于負(fù)剛度比p的穩(wěn)定性條件為

(18)

可見當(dāng)優(yōu)化目標(biāo)為傳遞到基礎(chǔ)的力傳遞率時(shí)，關(guān)于負(fù)剛度比p的穩(wěn)定性條件僅與吸振質(zhì)量比μ有關(guān)，與基礎(chǔ)的特性無關(guān)。

2 參數(shù)影響規(guī)律分析

圖2(a)和圖2(b)分別給出了μ=0.01，p=-0.02時(shí)最優(yōu)頻率比vopt和最優(yōu)阻尼比ξopt隨基礎(chǔ)剛度比np的變化規(guī)律?？梢姡拥刎?fù)剛度動(dòng)力吸振的最優(yōu)頻率比隨著基礎(chǔ)剛度比的增加而增加，最優(yōu)阻尼比隨著基礎(chǔ)剛度比的增加而減小。接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振的最優(yōu)吸振剛度要大于Voigt型動(dòng)力吸振的最優(yōu)吸振剛度，而當(dāng)基礎(chǔ)剛度比040時(shí)，接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振的最優(yōu)阻尼略大于Voigt型動(dòng)力吸振。隨著基礎(chǔ)剛度比的進(jìn)一步增加，最優(yōu)參數(shù)基本保持不變，且接近剛性基礎(chǔ)情況下通過固定點(diǎn)法推導(dǎo)得到的最優(yōu)參數(shù)。這是由于基礎(chǔ)剛度比越大，基礎(chǔ)越接近與剛性，此時(shí)彈性基礎(chǔ)對(duì)主系統(tǒng)的影響近似可忽略。圖2(c)和圖2(d)分別給出了μ=0.1，p=-0.1時(shí)最優(yōu)頻率比vopt和最優(yōu)阻尼比ξopt隨基礎(chǔ)剛度比np的變化規(guī)律?？梢?，當(dāng)質(zhì)量比和負(fù)剛度比絕對(duì)值較大時(shí)，最優(yōu)參數(shù)隨著基礎(chǔ)剛度比的變化規(guī)律保持不變。與此同時(shí)，當(dāng)基礎(chǔ)剛度比較小時(shí)，負(fù)剛度動(dòng)力吸振的最優(yōu)參數(shù)的數(shù)值變化范圍要遠(yuǎn)小于Voigt型動(dòng)力吸振，說明接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振的最優(yōu)參數(shù)對(duì)彈性基礎(chǔ)的變化更不敏感，因此更適用于不同場(chǎng)合。

圖2 最優(yōu)參數(shù)隨基礎(chǔ)剛度比的變化規(guī)律Fig.2 Optimal parameters of vopt and ξopt with varying np

為對(duì)比彈性基礎(chǔ)上接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振的振動(dòng)控制效果，圖3給出了接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振和Voigt型動(dòng)力吸振在最優(yōu)參數(shù)下的H2范數(shù)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)Ia的對(duì)比，其中Ia表征著整個(gè)頻段內(nèi)振動(dòng)總能量。圖3中橫坐標(biāo)為基礎(chǔ)和主系統(tǒng)的剛度比np，縱坐標(biāo)為Ia/Ia_nodva(定義為Ia幅值下降相對(duì)量)，即控制后和控制前目標(biāo)函數(shù)Ia的比值。對(duì)比圖3(a)、圖3(b)兩圖可知，增大吸振質(zhì)量比和負(fù)剛度比絕對(duì)值，能增強(qiáng)Voigt型動(dòng)力吸振和接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振的振動(dòng)抑制效果。不同負(fù)剛度比和質(zhì)量比情況下，接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振的振動(dòng)抑制效果要遠(yuǎn)優(yōu)于Voigt型動(dòng)力吸振，且負(fù)剛度動(dòng)力吸振對(duì)應(yīng)的幅值下降相對(duì)量幾乎不受基礎(chǔ)剛度比變化的影響。這說明當(dāng)考慮彈性基礎(chǔ)時(shí)，接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振在最優(yōu)參數(shù)下的振動(dòng)抑制效果對(duì)基礎(chǔ)剛度比的變化不敏感。當(dāng)基礎(chǔ)的狀態(tài)發(fā)生較大改變時(shí)，接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振仍可實(shí)現(xiàn)極佳的振動(dòng)抑制效果。Voigt型動(dòng)力吸振在0

圖3 最優(yōu)參數(shù)下目標(biāo)函數(shù)Ia隨基礎(chǔ)剛度比的變化規(guī)律Fig.3 Performance index Ia under optimal parameters with varying np

盡管給定質(zhì)量比μ、負(fù)剛度比p時(shí)，最優(yōu)參數(shù)下的目標(biāo)函數(shù)Ia值僅與基礎(chǔ)剛度比np有關(guān)，但對(duì)于本文的控制目標(biāo)，即彈性基礎(chǔ)上外激勵(lì)到基礎(chǔ)的力傳遞率，依然同時(shí)取決于基礎(chǔ)質(zhì)量比μp和基礎(chǔ)頻率比vp。為進(jìn)一步驗(yàn)證在考慮不同基礎(chǔ)質(zhì)量比和頻率比時(shí)，基于H2范數(shù)最小推導(dǎo)得到的最優(yōu)參數(shù)是否依然成立，并綜合分析基礎(chǔ)的動(dòng)力學(xué)特性對(duì)力遞率特性的影響，圖4～圖6給出了不同基礎(chǔ)質(zhì)量比和頻率比下的力傳遞率幅頻曲線，并將結(jié)果與推導(dǎo)得到的Voigt型動(dòng)力吸振最優(yōu)參數(shù)下的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

圖4給出了基礎(chǔ)質(zhì)量比μp=10，基礎(chǔ)頻率比vp=2時(shí)的力傳遞率曲線，此時(shí)基礎(chǔ)剛度比np=40。這組參數(shù)下基礎(chǔ)的固有頻率遠(yuǎn)離主系統(tǒng)固有頻率(λ1=0.98，λ2=2.02)，兩個(gè)系統(tǒng)耦合小。當(dāng)質(zhì)量比μ=0.01、負(fù)剛度比p=-0.02時(shí)，Voigt型動(dòng)力吸振的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比分別為0.980和0.093，接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比分別為1.721和0.097；當(dāng)質(zhì)量比μ=0.1、負(fù)剛度比p=-0.1時(shí)，Voigt型動(dòng)力吸振的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比分別為0.920和0.172，接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比分別為1.349和0.228；由于兩個(gè)系統(tǒng)耦合小，因此傳遞率的結(jié)果和剛性基礎(chǔ)的結(jié)果類似，接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振在最優(yōu)參數(shù)下能大幅降低主系統(tǒng)共振區(qū)域的振幅，且拓寬了吸振帶寬，有著近似無諧振峰的控制效果。且接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振的性能對(duì)吸振質(zhì)量不敏感，當(dāng)吸振質(zhì)量比較小時(shí)，接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振相較于Voigt型動(dòng)力吸振的優(yōu)勢(shì)更加明顯。

圖4 μp=10, vp=2時(shí)，最優(yōu)參數(shù)下接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振與Voigt型動(dòng)力吸振力傳遞率對(duì)比Fig.4 Comparison of force transmissibility under optimal parameters between DVAGNS and Voigt type DVA under μp=10, vp=2

圖5給出了當(dāng)基礎(chǔ)質(zhì)量比μp=5，基礎(chǔ)頻率比vp=1時(shí)的力傳遞率曲線，此時(shí)基礎(chǔ)剛度比np=5。這組參數(shù)下基礎(chǔ)的固有頻率與主系統(tǒng)固有頻率相同，兩個(gè)系統(tǒng)耦合強(qiáng)。當(dāng)質(zhì)量比μ=0.01、負(fù)剛度比p=-0.02時(shí)，Voigt型動(dòng)力吸振的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比分別為0.906和0.229，接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比分別為1.682和0.145；當(dāng)質(zhì)量比μ=0.1、負(fù)剛度比p=-0.1時(shí)，Voigt型動(dòng)力吸振的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比分別為0.850和0.275，接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比分別為1.313和0.259。由于基礎(chǔ)和主系統(tǒng)的固有頻率相同，對(duì)應(yīng)耦合系統(tǒng)的兩個(gè)固有頻率均離主系統(tǒng)固有頻率較遠(yuǎn)(λ1=0.79，λ2=1.24)。此時(shí)Voigt型動(dòng)力吸振的控制效果有限，力傳遞率曲線未出現(xiàn)明顯的雙峰特征，但接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振依然有著較好的振動(dòng)抑制效果，且隨著質(zhì)量比和負(fù)剛度比的絕對(duì)值增加，抑振能力增加。當(dāng)質(zhì)量比μ=0.1、負(fù)剛度比p=-0.1時(shí)，在主系統(tǒng)共振段依然體現(xiàn)出了近似無諧振峰的特征，同時(shí)在基礎(chǔ)共振頻段內(nèi)也有著較好的控制效果。

圖5 μp=5,vp=1時(shí)，最優(yōu)參數(shù)下接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振與Voigt型動(dòng)力吸振力傳遞率對(duì)比Fig.5 Comparison of force transmissibility under optimal parameters between DVAGNS and Voigt type DVA under μp=5,vp=1

圖6給出了基礎(chǔ)質(zhì)量比μp=0.5，基礎(chǔ)頻率比vp=0.8時(shí)的力傳遞率曲線，此時(shí)基礎(chǔ)剛度比np=0.32。這組參數(shù)下基礎(chǔ)剛度小于主系統(tǒng)剛度，且基礎(chǔ)質(zhì)量小于主系統(tǒng)質(zhì)量。由于基礎(chǔ)和主系統(tǒng)串聯(lián)，耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性主要取決于小剛度系統(tǒng)，即彈性基礎(chǔ)對(duì)耦合系統(tǒng)的力傳遞率特性有較大影響。當(dāng)質(zhì)量比μ=0.01、負(fù)剛度比p=-0.02時(shí)，Voigt型動(dòng)力吸振的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比分別為0.488和0.887，接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比分別為2.093和0.218；當(dāng)質(zhì)量比μ=0.1、負(fù)剛度比p=-0.1時(shí)，Voigt型動(dòng)力吸振的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比分別為0.458和0.917，接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比分別為1.140和0.402；此時(shí)，在基礎(chǔ)的質(zhì)量和剛度均小于主系統(tǒng)時(shí)，Voigt型動(dòng)力吸振在所給的兩種吸振質(zhì)量比情況下均幾乎已無控制效果，接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振雖控制效果略有所折扣，但依然能同時(shí)有效降低耦合系統(tǒng)兩個(gè)共振頻段的峰值。綜合圖4～圖6的結(jié)果可知，基于H2范數(shù)優(yōu)化準(zhǔn)則得到的彈性基礎(chǔ)上接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振的最優(yōu)參數(shù)，在考慮不同基礎(chǔ)力學(xué)特性時(shí)均能有效抑制主系統(tǒng)共振段幅值。

圖6 μp =0.5, vp=0.8時(shí)，最優(yōu)參數(shù)下接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振與Voigt型動(dòng)力吸振力傳遞率對(duì)比Fig.6 Comparison of the force transmissibility under optimal parameters between DVAGNS and Voigt type DVA under μp =0.5, vp=0.8

圖7 不同基礎(chǔ)質(zhì)量比和剛度比下隨機(jī)激勵(lì)傳遞力時(shí)間歷程對(duì)比Fig.7 Comparison of the time history of transmitted force between DVAGNS and Voigt type DVA under different characterisitcs of the flexible foundation

3 結(jié) 論

采取H2范數(shù)優(yōu)化準(zhǔn)則對(duì)彈性基礎(chǔ)上的接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振器進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化，獲得了其最優(yōu)參數(shù)解析表示式。開展了參數(shù)影響規(guī)律分析，在簡(jiǎn)諧激勵(lì)和隨機(jī)激勵(lì)下驗(yàn)證了接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振器的吸振性能。得到以下結(jié)論：

(1)考慮彈性基礎(chǔ)時(shí)，以控制外激勵(lì)到基礎(chǔ)的力傳遞率為目標(biāo)時(shí)，通過H2范數(shù)優(yōu)化準(zhǔn)則得到的彈性基礎(chǔ)上的接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振最優(yōu)參數(shù)僅取決于吸振質(zhì)量比和基礎(chǔ)與主系統(tǒng)的剛度比，而與基礎(chǔ)的質(zhì)量比無關(guān)。

(2)考慮彈性基礎(chǔ)時(shí)，最優(yōu)參數(shù)下接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振同樣能以小質(zhì)量比的代價(jià)在主系統(tǒng)共振頻段和基礎(chǔ)共振頻段內(nèi)實(shí)現(xiàn)較好的振動(dòng)傳遞控制效果。且當(dāng)基礎(chǔ)與主系統(tǒng)耦合強(qiáng)時(shí)，接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振依然能實(shí)現(xiàn)有效控制，但此時(shí)Voigt動(dòng)力吸振已基本失效。

附錄A最優(yōu)參數(shù)推導(dǎo)過程

正文中式(8)分子分母的系數(shù)如下

a0=1,

b1=2(μ+1)vξ,

(A.1)

為保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，b1～b6應(yīng)均為非負(fù)值。式(8)的分母可改寫為

IaDen=(λ+jλ1)(λ+jλ2)(λ+jλ3)(λ+jλ4)(λ+jλ5)(λ+jλ6)·

(λ-jλ1)(λ-jλ2)(λ-jλ3)(λ-jλ4)(λ-jλ5)(λ-jλ6)

(A.2)

不妨假設(shè)駐點(diǎn)λ1～λ6均為正。將式(A.2)展開，并與式(A.1)對(duì)比可得

b1=λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6，

b2=λ1λ2+λ1λ3+λ1λ4+λ1λ5+λ1λ6+λ2λ3+λ2λ4+λ2λ5+

λ2λ6+λ3λ4+λ3λ5+λ3λ6+λ4λ5+λ4λ6+λ5λ6，

b3=λ1λ2λ3+λ1λ2λ4+λ1λ2λ5+λ1λ2λ6+λ1λ3λ4+λ1λ3λ5+λ1λ3λ6+λ1λ4λ5+λ1λ4λ6+λ1λ5λ6+λ2λ3λ4+λ2λ3λ5+λ2λ3λ6+λ2λ4λ5+λ2λ4λ6+λ2λ5λ6+λ3λ4λ5+λ3λ4λ6+λ3λ5λ6+λ4λ5λ6,

b4=λ1λ2λ3λ4+λ1λ2λ3λ5+λ1λ2λ3λ6+λ1λ2λ4λ5+λ1λ2λ4λ6+

λ1λ2λ5λ6+λ1λ3λ4λ5+λ1λ3λ4λ6+λ1λ3λ5λ6+λ1λ4λ5λ6+λ2λ3λ4λ5+λ2λ3λ4λ6+λ2λ3λ5λ6+λ2λ4λ5λ6+λ3λ4λ5λ6,

b5=λ1λ2λ3λ4λ5+λ1λ2λ3λ4λ6+λ1λ2λ3λ5λ6+λ1λ2λ4λ5λ6+

λ1λ3λ4λ5λ6+λ2λ3λ4λ5λ6,

b6=λ1λ2λ3λ4λ5λ6

(A.3)

式(A.2)存在12個(gè)極點(diǎn)，即式(A.2)等于0時(shí)λ所取的值。復(fù)平面上半平面存在6個(gè)孤立奇點(diǎn)(滿足b1,b2,b3,b4,b5,b6>0的情況下)

λ=iλ1,iλ2,iλ3,iλ4,iλ5,iλ6

(A.4)

由留數(shù)定理可求無窮積分

(A.5)

各個(gè)極點(diǎn)的留數(shù)為

Res[fn;iλ1]=(λ-iλ1)fn(iλ1)=

Res[fn;iλ2]=(λ-iλ2)fn(iλ2)=

Res[fn;iλ3]=(λ-iλ3)fn(iλ3)=

Res[fn;iλ4]=(λ-iλ4)fn(iλ4)=

Res[fn;iλ5]=(λ-iλ5)fn(iλ5)=

Res[fn;iλ6]=(λ-iλ6)fn(iλ6)=

(A.6)

將式(A.6)代入式(A.5)可求得無窮積分

(A.7)

其中

將式(A.3)與式(A.1)代入式(A.7)，目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式(9)中的分子和分母可以表示為

式(9)分別對(duì)v和ξ求偏導(dǎo)等于0，即

(A.8)

可得出如下方程組

(A.9)

求解方程組(A.9)，可得彈性基礎(chǔ)上接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振的最優(yōu)頻率比vopt和最優(yōu)阻尼比ξopt的解析表達(dá)式，如式(10)、式(11)所示。