唐中華， 昝 鳴， 張志飛， 徐中明， 晉 杰

(1. 重慶大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，重慶 400044； 2. 交通運(yùn)輸部公路科學(xué)研究院，北京 100088)

工況傳遞路徑分析(operational transfer path analysis，OTPA)是定位與辨識振動噪聲問題及傳遞路徑的有效方法[1-2]。相比經(jīng)典傳遞路徑分析(classic transfer path analysis,CTPA)，工況傳遞路徑分析僅需要不同工況下目標(biāo)點(diǎn)與指示點(diǎn)的響應(yīng)數(shù)據(jù)，不需要拆分系統(tǒng)及測試系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)與工況載荷力，從而能夠節(jié)省實(shí)驗(yàn)時(shí)間，實(shí)驗(yàn)效率較高[3-4]。廣泛應(yīng)用于汽車[5]、高速列車[6-7]及船艦[8]等工程領(lǐng)域。

工況傳遞路徑分析基于傳遞率函數(shù)展開實(shí)驗(yàn)，傳遞率定義為運(yùn)行工況下目標(biāo)點(diǎn)響應(yīng)與指示點(diǎn)響應(yīng)之間的比值[9]。但在實(shí)際工程應(yīng)用中，指示點(diǎn)響應(yīng)矩陣通常是病態(tài)的[10]，因此工況傳遞路徑分析估計(jì)傳遞率函數(shù)矩陣的過程是一個(gè)病態(tài)的反問題。Tikhonov正則化是處理反問題的有效方法，通過引入正則化矩陣L和正則化參數(shù)[11]，可以提高反問題解的準(zhǔn)確度。成瑋等[12]將Tikhonov正則化引入工況傳遞路徑分析中，仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明，相比傳統(tǒng)奇異值分解(singular value decomposition，SVD) 法，Tikhonov正則化法所獲取的各路徑貢獻(xiàn)量精度更高，誤差更小。Li等[13]提出了一種基于條件數(shù)準(zhǔn)則的多參數(shù)Tikhonov正則化方法來估計(jì)傳遞率函數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明多參數(shù)Tikhonov正則化法有效提升了工況傳遞路徑分析的精度。但在估計(jì)傳遞率函數(shù)矩陣過程中，正則化矩陣為單位矩陣(即：L=I)，此時(shí)稱為標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化。標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化經(jīng)過奇異值分解得到的奇異向量振蕩較嚴(yán)重，構(gòu)成的正則化解準(zhǔn)確度較低[14]，會影響各路徑貢獻(xiàn)量的計(jì)算精度。而正則化矩陣可以約束正則化項(xiàng)，并且正則化矩陣可以控制反問題解的基向量的選擇，因此正則化矩陣可以選擇非單位矩陣[15-16]，此時(shí)稱為廣義Tikhonov正則化。采用一階偏導(dǎo)矩陣作為正則化矩陣時(shí)，結(jié)合廣義奇異值分解，得到的廣義奇異向量振蕩幅度較小，因此構(gòu)成的正則化解準(zhǔn)確度更高。Beck等[17]將廣義Tikhonov正則化引入圖像去模糊中，重構(gòu)的圖像優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化結(jié)果。Gauthier等[18]利用廣義Tikhonov正則化進(jìn)行波束形成聲源識別，重構(gòu)的聲源更加清晰，更加接近原始聲場。因此，廣義Tikhonov正則化是處理反問題更優(yōu)的選擇，但在工況傳遞路徑分析中應(yīng)用較少。

為提高工況傳遞路徑分析的準(zhǔn)確度，將廣義Tikhonov正則化應(yīng)用于工況傳遞路徑分析中。將一階偏導(dǎo)矩陣作為正則化矩陣，以廣義奇異值分解得到的廣義奇異向量作為解的基向量，并采用L曲線法選擇正則化參數(shù)，分析得到各路徑的貢獻(xiàn)量。最后，在集中質(zhì)量塊模型上進(jìn)行工況傳遞路徑分析仿真及在一鋁板上展開工況傳遞路徑分析實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證廣義Tikhonov正則化工況傳遞路徑分析方法的有效性。

1 工況傳遞路徑分析

假設(shè)一系統(tǒng)為線性時(shí)不變系統(tǒng)，根據(jù)工況傳遞路徑分析理論，指示點(diǎn)響應(yīng)矩陣X與目標(biāo)點(diǎn)響應(yīng)矩陣Y之間的關(guān)系可表示為

Y=XT

(1)

式中，T為傳遞率函數(shù)矩陣。式(1)展開成矩陣形式

(2)

式中：r為目標(biāo)點(diǎn)個(gè)數(shù)；n為指示點(diǎn)個(gè)數(shù)；m為工況數(shù)。為了保證指示點(diǎn)響應(yīng)矩陣X可逆，要求工況數(shù)大于等于指示點(diǎn)數(shù)，即m≥n。

1.1 奇異值分解

工況傳遞路徑分析，如式(1)，在估計(jì)傳遞率函數(shù)矩陣T時(shí)，由于指示點(diǎn)響應(yīng)矩陣X通常是病態(tài)的，因此式(1)可看作是一個(gè)病態(tài)的反問題。奇異值分解常用在反問題求解中。對指示點(diǎn)響應(yīng)矩陣X進(jìn)行奇異值分解，有

(3)

式中：U和V分別為左奇異向量ui和右奇異向量vi構(gòu)成的酉矩陣;VH為V的共軛轉(zhuǎn)置矩陣；Φ為所有奇異值構(gòu)成的對角矩陣，Φ=diag(φ1,φ2,…,φn)，且有φ1≥φ2≥…≥φn>0，即所有奇異值按降序排列。

于是通過指示點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)響應(yīng)矩陣得到的傳遞率函數(shù)矩陣可表示為

(4)

通過傳遞率函數(shù)矩陣及指示點(diǎn)響應(yīng)矩陣，即可得到每種工況下每條路徑的貢獻(xiàn)量，例如工況1下，各路徑對目標(biāo)點(diǎn)1的貢獻(xiàn)量為

(5)

由式(4)可知，在求解傳遞率函數(shù)矩陣過程中，當(dāng)目標(biāo)點(diǎn)響應(yīng)Y在測量過程中被噪聲ΔY干擾時(shí)，較小的奇異值會放大噪聲的影響。最大的奇異值與最小奇異值之比φ1/φn定義為矩陣的條件數(shù)，反映矩陣的病態(tài)程度。當(dāng)矩陣條件數(shù)越大(矩陣病態(tài)越嚴(yán)重)，TSVD受誤差影響越嚴(yán)重。且根據(jù)Hansen和Christensen-Dalsgaard等的研究，隨著i的增大，奇異向量ui和vi振蕩越嚴(yán)重，因此TSVD的準(zhǔn)確度較低，同時(shí)影響每條路徑貢獻(xiàn)量的準(zhǔn)確度。為提高其準(zhǔn)確度，常用Tikhonov正則化來改善反問題的病態(tài)性。

1.2 標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化

Tikhonov正則化在最小二乘法的基礎(chǔ)上，通過引入正則化項(xiàng)，并通過Lagrange方程將反問題轉(zhuǎn)換為無約束最優(yōu)化問題，從而求解。其目標(biāo)函數(shù)為

(6)

式中:λ為正則化參數(shù)，可通過L曲線選取[19-20]；L為正則化矩陣，通常L=I，即標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化。

則標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化的解TSTik可表達(dá)為

TSTik=(XHX+λ2I)-1XHY

(7)

結(jié)合式(4)可得

(8)

式中:ui,vi,φi意義與1.1節(jié)中一致，分別為指示點(diǎn)響應(yīng)矩陣X的奇異向量和奇異值;fi為過濾因子

(9)

用TSTik替換式(5)中TSVD，即可得到每條路徑的貢獻(xiàn)量。

對于較大奇異值，fi趨近1；而對于較小奇異值，fi<1。因此，較小奇異值的影響可通過fi得到改善。

TSTik通過標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化引入了過濾因子fi，其準(zhǔn)確度相比TSVD有一定程度的改善，但其仍由指示點(diǎn)響應(yīng)矩陣X的奇異向量構(gòu)成，仍然會受奇異向量ui和vi較大振蕩的影響。且根據(jù)Hansen的研究，雖然奇異向量ui和vi分別為指示點(diǎn)響應(yīng)矩陣X的列空間和行空間的最佳基向量，但是vi不一定是期望正則化解的最佳基向量。因此，有必要引入非單位矩陣作為正則化矩陣來控制正則化解的基向量選擇，進(jìn)一步提高傳遞率函數(shù)矩陣的準(zhǔn)確度。

1.3 廣義Tikhonov正則化

式(6)中，當(dāng)L≠I時(shí)，則稱為廣義Tikhonov正則化。而正則化矩陣L可選擇一階偏導(dǎo)矩陣L1

此時(shí)，廣義正則化問題可用矩陣對(X，L)的廣義奇異值分解(generalized singular value decomposition，GSVD)來分析

(10)

γi=ci/si

(11)

最后可得廣義Tikhonov正則化解TGTik

(12)

(13)

2 仿真分析

為了驗(yàn)證廣義Tikhonov正則化在工況傳遞路徑分析中的有效性，在九自由度集中質(zhì)量塊模型[21]上開展工況傳遞路徑分析，如圖1所示。

圖1 九自由度模型Fig.1 Nine degrees of freedom model

該模型共包含9個(gè)質(zhì)量塊，各質(zhì)量塊之間通過彈簧和阻尼單元連接，各質(zhì)量、剛度與阻尼參數(shù)如表1所示。僅考慮各質(zhì)量塊的平動自由度，忽略轉(zhuǎn)動自由度。

表1 質(zhì)量、剛度和阻尼參數(shù)Tab.1 The parameters of mass, stiffness and damping

若將被動部分的質(zhì)量塊M1當(dāng)作目標(biāo)點(diǎn)，則主動部分的振動可通過3條路徑傳遞至M1，即路徑35，路徑46和路徑78。用F=10 N(如圖2)分別激勵(lì)質(zhì)量塊M9，M5，M6和M8形成4組工況用來估計(jì)工況傳遞路徑分析的傳遞率函數(shù)矩陣，分別記為工況一、工況二、工況三和工況四，保證工況數(shù)大于路徑數(shù)。

圖2 仿真激勵(lì)載荷Fig.2 The load for simulation

2.1 經(jīng)典傳遞路徑分析

經(jīng)典傳遞路徑分析雖然耗時(shí)長，工作量大，但其準(zhǔn)確度較高，因此將經(jīng)典傳遞路徑分析所得的各路徑貢獻(xiàn)量當(dāng)作準(zhǔn)確值[22]，來驗(yàn)證廣義Tikhonov正則化在工況傳遞路徑分析中的有效性。

經(jīng)典傳遞路徑分析第一步需要將系統(tǒng)拆分，如圖3所示，然后獲取被動部分的頻響函數(shù)H13，H14和H17。

圖3 拆分模型Fig.3 Split model

經(jīng)典傳遞路徑分析第二步是獲取質(zhì)量塊M3，M4和M7受到的工況力(僅考慮工況一)。對于該九自由度模型，可采用懸置剛度法獲取工況力

(14)

式中,(x3,x5,x4,x6,x7,x8)為工況一下的各質(zhì)量塊位移響應(yīng)。

最后，通過工況力和對應(yīng)的頻響函數(shù)，即可得到工況一下各路徑的貢獻(xiàn)量(如圖4～圖7所示)。

(15)

圖4 目標(biāo)點(diǎn)總響應(yīng)Fig.4 The total response of the target point

圖5 路徑35Fig.5 The contribution of path 35

圖6 路徑46Fig.6 The contribution of path 46

圖7 路徑78Fig.7 The contribution of path 78

2.2 工況傳遞路徑分析

2.2.1 耦 合

在工況傳遞路徑分析中，某個(gè)指示點(diǎn)的信號應(yīng)僅為相應(yīng)源的響應(yīng)信號。然而，每種工況下，所有源同時(shí)工作，因此每個(gè)指示點(diǎn)的信號均耦合有其他源的信息。耦合會影響工況傳遞路徑的貢獻(xiàn)量辨識，若以含有耦合的信號進(jìn)行工況傳遞路徑分析，準(zhǔn)確度較低。在存在耦合的情況下

(16)

為消除耦合的影響，可在主、被動部分上分別布置一個(gè)指示點(diǎn)，然后以兩個(gè)指示點(diǎn)的響應(yīng)差進(jìn)行工況傳遞路徑分析，即指示點(diǎn)響應(yīng)矩陣取

X=[x3-x5x4-x6x7-x8]

2.2.2 工況傳遞路徑分析

在實(shí)際測量過程中，測量數(shù)據(jù)不可避免會受到噪聲的干擾，因此假設(shè)仿真所得的目標(biāo)點(diǎn)響應(yīng)矩陣Y和指示點(diǎn)響應(yīng)矩陣X受隨機(jī)噪聲的影響，噪聲服從高斯分布

(17)

結(jié)合4組工況數(shù)據(jù)，分別運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化法與廣義Tikhonov正則化法估計(jì)目標(biāo)點(diǎn)與指示點(diǎn)之間的傳遞率函數(shù)矩陣。得到傳遞率矩陣后，根據(jù)式(5)計(jì)算工況一的各路徑貢獻(xiàn)量，并與2.1節(jié)的經(jīng)典傳遞路徑分析各路經(jīng)貢獻(xiàn)量進(jìn)行對比，見圖4～圖7。

由圖4可知，廣義Tikhonov正則化法合成的工況傳遞路徑分析總響應(yīng)與經(jīng)典傳遞路徑分析總響應(yīng)吻合很好，而標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化法合成的工況傳遞路徑分析總響應(yīng)在某些頻段稍有偏差。對于路徑35，在60～80 Hz處，兩種工況傳遞路徑方法得到的貢獻(xiàn)量均有偏差，而在其他頻率段，廣義Tikhonov正則化法比標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化法準(zhǔn)確度高。對于路徑46和路徑78，廣義Tikhonov正則化法得到的貢獻(xiàn)量在整個(gè)分析頻率段與經(jīng)典傳遞路徑分析的貢獻(xiàn)量吻合均較好，而標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化法在分析頻段內(nèi)誤差較大。由此可知，當(dāng)采用廣義Tikhonov正則化法來估計(jì)傳遞率函數(shù)矩陣，最后獲取的路徑貢獻(xiàn)量準(zhǔn)確度更高，驗(yàn)證了廣義Tikhonov正則化法在工況傳遞路徑分析中的有效性。

為量化兩種工況傳遞路徑分析法獲取的貢獻(xiàn)量與CTPA結(jié)果的匹配程度，引入FRAC(frequency response assurance criteria)值CFRA[23]

(18)

式中：f1與f2為分析的頻段上下限；YOTPA(f)為工況傳遞路徑分析獲得的貢獻(xiàn)量；YTPA(f)為經(jīng)典傳遞路徑分析獲得的貢獻(xiàn)量；“*”為復(fù)共軛。FRAC值介于0～1，1為兩個(gè)頻域數(shù)據(jù)完全匹配。

圖8是兩種工況傳遞路徑分析法的FRAC值。由圖8可知，廣義Tikhonov正則化法的FRAC值均大于標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化法的FRAC值，也表明廣義Tikhonov正則化法獲取的路徑貢獻(xiàn)量準(zhǔn)確度更高。

圖8 仿真FRAC值Fig.8 The FRAC value of simulation

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了進(jìn)一步對比標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化法和廣義Tikhonov正則化法在工況傳遞路徑分析中的效果，在一鋁板上進(jìn)行工況傳遞路徑分析實(shí)驗(yàn)，如圖9所示。鋁板一端固定在支架上。鋁板長×寬×厚為800 mm×400 mm×5 mm，密度為2 700 kg/m3，泊松比為0.31，彈性模量為71 000 MPa。

圖9 實(shí)驗(yàn)布置圖Fig.9 The setup for experiment

激勵(lì)源為兩個(gè)激振器，記為源a和源b。通過改變激勵(lì)類型，產(chǎn)生4組垂直于板面的激勵(lì)力(即4組工況，如表2所示)，并分別用兩個(gè)力傳感器記錄激勵(lì)力的大小。對每個(gè)激勵(lì)源布置一個(gè)指示點(diǎn)(指示點(diǎn)1和指示點(diǎn)2)，指示點(diǎn)應(yīng)盡量靠近激勵(lì)源；選擇點(diǎn)Y為目標(biāo)點(diǎn)，用加速度計(jì)測試指示點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)垂直于板面的振動加速度。

表2 實(shí)驗(yàn)工況Tab.2 The experimental operations

3.1 經(jīng)典傳遞路徑分析

仍以經(jīng)典傳遞路徑分析獲取的貢獻(xiàn)量為準(zhǔn)確值，因此首先進(jìn)行經(jīng)典傳遞路徑分析。經(jīng)典傳遞路徑分析第一步測試源a和源b到目標(biāo)點(diǎn)Y的頻率響應(yīng)函數(shù)Hya和Hyb。第二步，以力傳感器的輸出值為工況力，即直接測量法獲取激勵(lì)源的工況力。頻響函數(shù)Hya和Hyb如圖10所示。源a和源b的工況力(工況一)如圖11所示。

圖10 頻響函數(shù)Hya和HybFig.10 FRF Hya and Hyb

圖11 工況力Fa和FbFig.11 The operational load Fa and Fb

最后通過已獲取的頻率響應(yīng)函數(shù)和工況力，即可得到兩條路徑的貢獻(xiàn)量。兩條路徑貢獻(xiàn)量的總和即為目標(biāo)點(diǎn)的總響應(yīng)，并與實(shí)際所測目標(biāo)點(diǎn)響應(yīng)對比驗(yàn)證經(jīng)典傳遞路徑分析的正確性，如圖12所示。由圖12可知，在整個(gè)分析頻段內(nèi)，合成的總響應(yīng)與目標(biāo)點(diǎn)實(shí)測響應(yīng)吻合較好，表明經(jīng)典傳遞路徑分析結(jié)果可信。

圖12 目標(biāo)點(diǎn)Y的實(shí)測響應(yīng)與CTPA合成響應(yīng)Fig.12 The measured response and synthesized response of target point Y

3.2 工況傳遞路徑分析

3.2.1 耦 合

與仿真一致，指示點(diǎn)信號若耦合有其他源的信息，如圖13所示。耦合同樣會影響實(shí)驗(yàn)工況傳遞路徑結(jié)果的準(zhǔn)確度。因此在進(jìn)行工況傳遞路徑分析之前，需要消除耦合的影響。

圖13 耦合示意圖Fig.13 The sketch for crosstalk

對于指示點(diǎn)1，其實(shí)測響應(yīng)X1可表示為

X1=H1aFa+H1bFb

(19)

式中:Fa和Fb分別為源a和源b的載荷；H1a和H1b分別為源a和源b到指示點(diǎn)1的頻率響應(yīng)函數(shù)；H1bFb即為X1含有的耦合;Fb通過力傳感器可測得，因此只需測試獲得頻響函數(shù)H1b，即可消除X1的耦合部分

(20)

對于指示點(diǎn)2，可采用同樣的方式消除耦合部分。指示點(diǎn)1和指示點(diǎn)2的響應(yīng)(工況一)消除耦合前后對比，如圖14所示。由圖14可知，指示點(diǎn)信號消除耦合前后，在某些頻段變化較大。因此，若以未消除耦合的信號進(jìn)行后續(xù)工況傳遞路徑分析，勢必降低工況傳遞路徑分析結(jié)果的可信度，也說明消除耦合的重要性。

圖14 消除耦合前后對比Fig.14 Comparison before and after eliminating coupling

3.2.2 工況傳遞路徑分析

根據(jù)式(20)消除4組工況數(shù)據(jù)中指示點(diǎn)1和指示點(diǎn)2的耦合部分后，然后分別利用標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化法和廣義Tikhonov正則化法估計(jì)目標(biāo)點(diǎn)與指示點(diǎn)之間的傳遞率函數(shù)矩陣，最后根據(jù)式(5)得到每條路徑的貢獻(xiàn)量。圖15是兩種工況傳遞路徑分析方法合成的目標(biāo)點(diǎn)總響應(yīng)曲線圖。圖16與圖17分別是路徑1與路徑2的貢獻(xiàn)量圖。

圖15 目標(biāo)點(diǎn)總響應(yīng)Fig.15 The total response of target point

圖16 路徑1貢獻(xiàn)量Fig.16 The contribution of path 1

圖17 路徑2貢獻(xiàn)量Fig.17 The contribution of path 2

圖15中，廣義Tikhonov正則化工況傳遞路徑分析法合成的總響應(yīng)與CTPA結(jié)果吻合較好，誤差較小。而標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化工況傳遞路徑分析法合成的總響應(yīng)與CTPA結(jié)果有些許偏差，表明標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化法在估計(jì)傳遞率函數(shù)矩陣時(shí)，出現(xiàn)了較大的誤差。

從圖16與圖17每條路徑貢獻(xiàn)量結(jié)果可知，廣義Tikhonov正則化工況傳遞路徑分析法獲得的每條路徑貢獻(xiàn)量與CTPA結(jié)果在整個(gè)分析頻段內(nèi)吻合較好，只在某些頻率有偏差，表明廣義Tikhonov正則化法獲得的傳遞率矩陣準(zhǔn)確度較高，識別貢獻(xiàn)量效果較好。而標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化工況傳遞路徑分析法獲得的每條路徑貢獻(xiàn)量在整個(gè)分析頻段內(nèi)失真較嚴(yán)重，識別貢獻(xiàn)量的準(zhǔn)確度較低。

同樣采用FRAC值來對比兩種工況傳遞路徑分析法獲取的貢獻(xiàn)量與CTPA結(jié)果的匹配程度。圖18是兩種工況傳遞路徑分析法的FRAC值。由圖18可知，廣義Tikhonov正則化工況傳遞路徑分析法的FRAC值為0.858和0.799，大于標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化工況傳遞路徑分析法的FRAC值：0.741和0.635，表明廣義Tikhonov正則化工況傳遞路徑分析的各路徑貢獻(xiàn)量與CTPA結(jié)果匹配更好，也說明廣義Tikhonov正則化法用于工況傳遞路徑分析中，能獲得準(zhǔn)確度更高的貢獻(xiàn)量，能更準(zhǔn)確地識別振動傳遞的主導(dǎo)路徑。

圖18 FRAC值Fig.18 The FRAC value

4 結(jié) 論

將以一階偏導(dǎo)矩陣作為正則化矩陣的廣義Tikhonov正則化應(yīng)用于工況傳遞路徑分析中，利用廣義奇異值分解得到正則化解的基向量和L曲線法選取正則化參數(shù)，得到了廣義Tikhonov正則化工況傳遞路徑分析的各路徑貢獻(xiàn)量。最后通過工況傳遞路徑分析仿真與實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，與標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化相比，廣義Tikhonov正則化在識別路徑貢獻(xiàn)量方面準(zhǔn)確度更高。