趙雨皓， 杜敬濤， 張樹奇， 劉 楊， 陳依林

(1. 哈爾濱工程大學(xué) 動(dòng)力與能源工程學(xué)院, 哈爾濱 150001; 2. 北京京能國際能源技術(shù)有限公司, 北京 100041)

軸向載荷梁作為一種基本單元廣泛應(yīng)用于船舶軸系結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析中，其中軸向載荷通常由動(dòng)力設(shè)備引入。在工程中，軸向載荷梁結(jié)構(gòu)在外部激勵(lì)下發(fā)生不利振動(dòng)。為降低軸向載荷梁結(jié)構(gòu)的過大振動(dòng)，研究其動(dòng)力學(xué)行為與振動(dòng)控制方式就顯得尤為重要。

近年來，眾多學(xué)者采用傅里葉級數(shù)研究不同邊界條件下梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性和動(dòng)力學(xué)行為[1-7]。在船舶軸系振動(dòng)分析中，支承軸承通常被簡化為旋轉(zhuǎn)、平動(dòng)支撐剛度。傳統(tǒng)傅里葉級數(shù)由于其邊界不連續(xù)性難以應(yīng)用于具有一般邊界軸系結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性分析中。為提高傅里葉級數(shù)的工程適用性，Li[8]提出邊界光滑傅立葉級數(shù)用于研究具有一般邊界約束的梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性。在此基礎(chǔ)上，眾多學(xué)者采用光滑邊界傅里葉級數(shù)研究了彈性邊界約束梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性[9-11]?？紤]到工程中軸向載荷的存在，Xu[12-13]等利用邊界光滑傅里葉級數(shù)和能量原理建立具有一般邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性分析模型。

非線性能量阱作為一種有效的被動(dòng)振動(dòng)控制手段由Vakakis[14]提出。非線性能量阱具有輕質(zhì)、寬頻以及能量靶向傳遞特性，自提出以來受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。Georgiades等[15]研究了具有非線性能量阱的Euler-Bernoulli梁動(dòng)力學(xué)行為。Samani等[16]通過最大振動(dòng)幅值和耗能估計(jì)非線性能量阱的吸振性能。Ahmadabadi等[17-18]研究了具有非線性能量阱的懸臂梁結(jié)構(gòu)非線性控制。Kani等[19-20]研究了具有非線性能量阱和經(jīng)典邊界條件梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制問題。Zhang等[21]研究了具有非線性能量阱的軸向運(yùn)動(dòng)梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制，表明非線性能量阱對梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)抑制具有良好的效果。Fang等[22]設(shè)計(jì)了一種單穩(wěn)/雙穩(wěn)非線性能量阱控制具有阻尼層懸臂梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。李響[23]、王闖[24]和賀騰[25]分別采用解析與數(shù)值方法研究了非線性能量阱對梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制效果。魯正等[26]結(jié)合現(xiàn)有研究，綜述了非線性能量阱技術(shù)在振動(dòng)控制中的應(yīng)用與優(yōu)勢。姚永玉等[27]分析了非線性能量阱對懸臂梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)抑制特性。Zhang等[28]研究了邊界非線性能量阱對梁結(jié)構(gòu)自由、強(qiáng)迫響應(yīng)的振動(dòng)抑制效果。值得注意的是上述研究多是在特定邊界下開展，忽略梁結(jié)構(gòu)邊界處旋轉(zhuǎn)約束，當(dāng)邊界條件改變時(shí)，需對模型進(jìn)行重新建立。此外，上述研究未考慮工程中常見的軸向載荷且未充分研究非線性能量阱對梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)、減振效果的影響規(guī)律。因此，建立具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析模型具有重要意義。

本文研究具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與減振特性規(guī)律。采用Galerkin截?cái)喾?Galerkin truncation method，GTM)預(yù)報(bào)具有非線性能量阱的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。在Galerkin離散化過程中，具有線彈性邊界的軸向載荷Euler-Bernoulli梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)函數(shù)作為Galerkin截?cái)喾ǖ臋?quán)函數(shù)和試函數(shù)。采用諧波平衡法(harmonic balance method,HBM)驗(yàn)證Galerkin截?cái)喾ǖ挠?jì)算結(jié)果。在上述基礎(chǔ)上，研究非線性能量阱對梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)、減振效果的影響。

1 理論模型

如圖1所示，考慮具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結(jié)構(gòu)橫向振動(dòng)問題。在梁結(jié)構(gòu)兩端引入約束彈簧對邊界條件進(jìn)行模擬；kL與kR分別為左、右邊界平動(dòng)剛度；KL與KR分別為左、右邊界旋轉(zhuǎn)剛度；CL與CR分別為左、右邊界黏性阻尼。梁結(jié)構(gòu)模型為Euler-Bernoulli梁；E，L，ρ，I與S分別為其楊氏模量、長度、密度、慣性矩及截面積；P為作用在梁結(jié)構(gòu)上的軸向載荷，其中拉力載荷為負(fù)，壓力載荷為正；F(x,t)為作用在梁結(jié)構(gòu)上的外部激勵(lì)，在本文研究中，外部激勵(lì)為簡諧激勵(lì)力，其形式為F(x,t)=δ(x-xF)·F0sin(ωt)。其中xF為外部激勵(lì)作用位置，F(xiàn)0為外部激勵(lì)幅值。非線性能量阱由黏性阻尼CNES，質(zhì)量mNES與非線性剛度knNES組成。本文考慮具有慣性效應(yīng)的非線性能量阱，非線性能量阱的有效慣性質(zhì)量(bN)為慣性系數(shù)(bc)與非線性能量阱質(zhì)量(mNES)的乘積。u(x,t)與uNES分別為梁結(jié)構(gòu)的橫向振動(dòng)位移與非線性能量阱的振動(dòng)位移。

圖1 具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析模型Fig.1 Vibration analysis model of an axially loaded beam structure with a nonlinear energy sink and elastic boundary restraints

根據(jù)牛頓第二定律推導(dǎo)梁結(jié)構(gòu)、非線性能量阱的動(dòng)力學(xué)控制方程與振動(dòng)系統(tǒng)邊界條件。梁結(jié)構(gòu)左端點(diǎn)邊界條件為

(1)

(2)

右端邊界條件為

(3)

(4)

式(5)為非線性能量阱的動(dòng)力學(xué)控制方程；式(6)為梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)控制方程。

knNES[uNES-u(xNES)]3=0

(5)

本文采用Galerkin截?cái)喾A(yù)報(bào)具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性。在Galerkin截?cái)喾ㄖ?，選取一組滿足邊界條件的函數(shù)作為權(quán)函數(shù)與試函數(shù)，實(shí)現(xiàn)梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)控制方程的離散?？紤]到邊界阻尼的存在，通過狄利克雷函數(shù)將邊界阻尼引入梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)控制方程中此時(shí)邊界條件與梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)控制方程被改寫為式(7)、式(8)與式(9)。由式(7)與式(8)可知，梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)具有線彈性邊界條件，因此具有彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的模態(tài)函數(shù)被選取為Galerkin截?cái)喾ㄖ械臋?quán)函數(shù)與試函數(shù)。

2 Galerkin截?cái)喾ㄅc求解

在本文分析中，根據(jù)模態(tài)疊加原理，梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)的橫向振動(dòng)位移展開為如下形式

(10)

式中：φi(x)為具有彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)的第i階模態(tài)函數(shù)；N為截?cái)鄶?shù)；具有彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)的模態(tài)函數(shù)通過邊界光滑傅里葉級數(shù)與能量法求解得到。

在上述基礎(chǔ)上，將式(10)代入式(5)，得到非線性能量阱動(dòng)力學(xué)方程的具體表達(dá)形式，如式(11)所示。將式(10)代入式(9)，并對其進(jìn)行Galerkin離散，得到梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)的殘差方程，其中第m階殘差方程的形式如式(12)所示。

(11)

(12)

將梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)的第m階殘差方程簡化為如下形式

Rm1+Rm2+Rm3+Rm4+Rm5+Rm6+Rm7+Rm8+Rm9=0

(13)

式(13)中各項(xiàng)的具體形式為

(14)

(15)

(16)

(17)

Rm5=ψm(xF)F0sin(ωt)

(18)

(19)

(20)

(22)

將式(13)中的加速度項(xiàng)移至等式的另一側(cè)，式(13)改寫為

Rm1=-(Rm2+Rm3+Rm4+Rm5+Rm6+Rm7+Rm8+Rm9)

(23)

根據(jù)式(14)，Rm1可以展開為

(24)

在上述基礎(chǔ)上，將梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)的殘差方程整理為矩陣的形式，即

(25)

將式(11)與式(25)整理為標(biāo)準(zhǔn)矩陣形式，即

(26)

式中，RNES的具體表達(dá)式為

(27)

式(26)可通過4階龍格-庫塔算法直接求解，將求解結(jié)果代入式(10)即可得到具有非線性能量阱與彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)任意點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

3 數(shù)值結(jié)果與分析

按照上述理論推導(dǎo)，對具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行編程仿真。首先驗(yàn)證本文模型在預(yù)報(bào)梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)時(shí)的準(zhǔn)確性和可靠性。在此基礎(chǔ)上，研究非線性能量阱參數(shù)對梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)減振、動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律。

3.1 模型驗(yàn)證

本節(jié)采用Galerkin截?cái)喾A(yù)報(bào)具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。采用諧波平衡法所得到的梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與Galerkin截?cái)喾ㄋ媒Y(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證本文模型的正確性。在此基礎(chǔ)上，研究截?cái)鄶?shù)對Galerkin截?cái)喾ㄋ媒Y(jié)果的影響。表1列出了梁結(jié)構(gòu)材料參數(shù)、幾何參數(shù)與邊界約束彈簧剛度值。表2給出了非線性能量阱的參數(shù)值。外部激勵(lì)幅值F0=10 N，外部激勵(lì)位置xF=0。

表1 梁結(jié)構(gòu)材料、幾何與邊界參數(shù)值Tab.1 Material, geometric and boundary parameters of beam structure

表2 非線性能量阱參數(shù)值Tab.2 Parameters of the nonlinear energy sink

首先驗(yàn)證基于Galerkin截?cái)喾ㄋ鶚?gòu)建模型的正確性。Galerkin截?cái)喾ǖ挠?jì)算參數(shù)取為N=M=2。為消除瞬態(tài)響應(yīng)，選取0～420Te為計(jì)算域，其中Te為簡諧外激勵(lì)作用周期。選取400～420Te的結(jié)果作為穩(wěn)態(tài)周期結(jié)果。4階龍格-庫塔算法的初始值取為

(28)

圖1為采用諧波平衡法與Galerkin截?cái)喾ǖ玫降木哂蟹蔷€性能量阱與梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)端點(diǎn)處的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。由圖1可知，兩種方法所得結(jié)果吻合良好，驗(yàn)證了Galerkin截?cái)喾ㄔ谇蠼獗疚哪Ｐ蜁r(shí)的正確性。

圖2 梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線Fig.2 Stable steady-state amplitude-frequency response curves of beam structure

圖3給出當(dāng)截?cái)鄶?shù)分別為2，4和6時(shí)梁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線。由圖3可知，當(dāng)截?cái)鄶?shù)為4和6時(shí)，梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)結(jié)果已經(jīng)收斂。因此，在后續(xù)研究中，選取Galerkin截?cái)喾ǖ慕財(cái)鄶?shù)為N=M=4。

圖3 不同截?cái)鄶?shù)下梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線Fig.3 Stable steady-state amplitude-frequency response curves of beam structure with different truncated terms

3.2 非線性能量阱與激勵(lì)位置對梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)行為的影響

本節(jié)研究非線性能量阱以及激勵(lì)位置對梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)行為的影響。梁結(jié)構(gòu)邊界條件取值為kL=50 000 N/m,kR=500 N/m,KL=10 000 Nm/rad,KR=100 Nm/rad,CL=CR=0。梁結(jié)構(gòu)參數(shù)、外部激勵(lì)參數(shù)與3.1節(jié)中相同。

首先研究非線性能量阱參數(shù)對梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。圖4研究非線性能量阱對梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振動(dòng)抑制效果。非線性能量阱參數(shù)取值為kNES=1×109N/m,CNES=1×10 Ns/m,mNES=0.001 kg,xNES=0.2 m。由圖4可知，非線性能量阱的存在能夠有效抑制梁結(jié)構(gòu)在第2階、第3階主共振區(qū)振動(dòng)。在第2階主共振區(qū)處非線性能量阱對左、右端點(diǎn)的吸振效果分別為41.9 %與46.3%；在第3階主共振區(qū)處非線性能量阱對左、右端點(diǎn)的吸振效果分別為66.0%與65.9%。

圖4 knNES=1×109 N/m3時(shí)梁結(jié)構(gòu)兩端穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的減振效果Fig.4 Vibration suppression effect for the stable responses at both ends of beam structure with knNES=1×109 N/m3

圖5研究了當(dāng)knNES=1×1010N/m時(shí)，非線性能量阱對梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的減振效果。其他參數(shù)與本節(jié)前述部分一致。由圖5可知，此時(shí)非線性能量阱對梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)端點(diǎn)處的吸振效果較knNES=1×109N/m時(shí)增強(qiáng)，但在第2階主共振區(qū)處出現(xiàn)復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為。上述現(xiàn)象說明非線性能量阱對梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處的振動(dòng)狀態(tài)影響顯著。為深刻揭示非線性能量阱對梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律，提高梁結(jié)構(gòu)的減振效果，研究其非線性剛度、阻尼以及位置對梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律就顯得尤為重要。此外，根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，外部激勵(lì)位置亦對梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)具有顯著影響。因此，在本節(jié)后續(xù)研究中，研究非線性能量阱的非線性剛度、阻尼、位置以及外部激勵(lì)位置對梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律。

圖5 knNES=1×1010 N/m3時(shí)梁結(jié)構(gòu)兩端穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的減振效果Fig.5 Vibration suppression effect for the stable responses at both ends of beam structure with knNES=1×1010 N/m3

圖6研究非線性剛度對系統(tǒng)端點(diǎn)處動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。非線性剛度由1×108N/m3變化至1×1012N/m3。外部簡諧激勵(lì)頻率為48 Hz。其他參數(shù)與本節(jié)前述部分相同。由圖6可知，幅值-非線性剛度響應(yīng)曲線存在兩個(gè)不穩(wěn)定區(qū)，在不穩(wěn)定區(qū)內(nèi)系統(tǒng)呈現(xiàn)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。在一定范圍內(nèi)增加非線性能量阱的非線性剛度對系統(tǒng)的減振具有有益的影響。

圖6 梁結(jié)構(gòu)兩端幅值-非線性剛度響應(yīng)曲線Fig.6 Amplitude-nonlinear-stiffness response curves at both ends of beam structure

圖7分析了非線性能量阱阻尼變化對系統(tǒng)端點(diǎn)處動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。非線性能量阱的剛度取為1.5×1010N/m3。非線性能量阱阻尼由9 Ns/m變化至25 Ns/m。外部簡諧激勵(lì)頻率為48 Hz。其他參數(shù)與本節(jié)前述部分相同。由圖7可知，當(dāng)非線性能量阱阻尼較小時(shí)，幅值-阻尼響應(yīng)曲線存在一個(gè)不穩(wěn)定區(qū)，在不穩(wěn)定區(qū)內(nèi)梁結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。增加非線性能量阱的阻尼能夠抑制梁結(jié)構(gòu)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為且對端點(diǎn)處減振具有有益的效果。

圖7 梁結(jié)構(gòu)兩端幅值-阻尼響應(yīng)曲線Fig.7 Amplitude-damping response curves at both ends of beam structure

圖8研究非線性能量阱位置變化對梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。非線性能量阱的非線性剛度取為1×1010N/m3。非線性能量阱位置由0.1 m變化至0.9 m。外部簡諧激勵(lì)頻率為48 Hz。其他參數(shù)與本節(jié)前述部分相同。由圖8可知，當(dāng)非線性能量阱靠近較硬側(cè)邊界時(shí)，幅值-NES位置響應(yīng)曲線呈現(xiàn)穩(wěn)態(tài)單周期狀態(tài)。當(dāng)非線性能量阱靠近較軟側(cè)邊界時(shí)，幅值-NES位置響應(yīng)曲線出現(xiàn)一個(gè)不穩(wěn)定區(qū)。在不穩(wěn)定區(qū)內(nèi)梁結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。合理的布置非線性能量阱的位置能夠避免梁結(jié)構(gòu)出現(xiàn)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為且對端點(diǎn)處的減振具有有益的效果。

圖8 梁結(jié)構(gòu)兩端幅值-NES位置響應(yīng)曲線Fig.8 Amplitude-NES-position response curves at both ends of beam structure

圖9研究激勵(lì)位置變化對梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)端點(diǎn)處動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。非線性能量阱的非線性剛度取為1×1010N/m3。外部簡諧激勵(lì)位置由0變化至1 m，外部簡諧激勵(lì)頻率為48 Hz。其他參數(shù)與本節(jié)前述部分相同。由圖9可知，幅值-激勵(lì)位置響應(yīng)曲線存在3個(gè)不穩(wěn)定區(qū)，在不穩(wěn)定區(qū)內(nèi)梁結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。合理的布置外部激勵(lì)位置能夠有效抑制梁結(jié)構(gòu)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為且對其端點(diǎn)處的減振具有有益的效果。

綜上所述，合適的非線性能量阱參數(shù)能夠有效抑制梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處第2階、第3階主共振區(qū)的振動(dòng)。在一定條件下，非線性能量阱的非線性剛度、阻尼、位置以及外部激勵(lì)位置均能夠顯著改變梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性。

3.3 非線性能量阱對梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處減振率的影響

在工程中，梁結(jié)構(gòu)受到的外部簡諧激勵(lì)通常由動(dòng)力設(shè)備引入。當(dāng)動(dòng)力設(shè)備、梁結(jié)構(gòu)安裝完成后其位置難以變更。梁結(jié)構(gòu)所受的外部簡諧激勵(lì)位置亦難以變化。特別的，在船舶工程中，船舶軸系往往被簡化為軸向載荷梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)特性分析，其所受的外部簡諧激勵(lì)通常作用于軸系結(jié)構(gòu)端部。此外，非線性能量阱的布置通常取決于結(jié)構(gòu)的剩余空間且非線性能量阱的質(zhì)量調(diào)節(jié)范圍有限。綜合考慮工程實(shí)踐，本節(jié)研究非線性能量阱的非線性剛度、阻尼對梁結(jié)構(gòu)減振率的影響。在本節(jié)計(jì)算中，梁結(jié)構(gòu)參數(shù)、外部激勵(lì)幅值、外部激勵(lì)位置以及非線性能量阱質(zhì)量、位置參數(shù)與3.2節(jié)中相同。外部激勵(lì)頻率選取為12 Hz，46.4 Hz，103.8 Hz，分別對應(yīng)于線性系統(tǒng)的前3階固有頻率。定義梁結(jié)構(gòu)左、右端點(diǎn)處的減振率為

(29)

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式中，uW(·)為無非線性能量阱時(shí)具有彈性邊界約束的軸向載荷梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)的橫向振動(dòng)位移。

圖10研究當(dāng)外部激勵(lì)頻率為12 Hz時(shí)非線性能量阱非線性剛度、阻尼對梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處減振率的影響。非線性能量阱非線性剛度由1×107N/m3變化至1×1010N/m3。非線性能量阱阻尼由10 Ns/m變化至200 Ns/m。由圖10可知，12 Hz下梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處的減振率隨著非線性能量阱的非線性剛度、阻尼的變化在小范圍內(nèi)波動(dòng)。非線性剛度、阻尼的變化對梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)較軟側(cè)邊界處的減振率微弱。對于外部激勵(lì)為12 Hz的情況，改變非線性能量阱的非線性剛度與阻尼對梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處減振率的提升效果有限。

圖10 12 Hz下NES非線性剛度、阻尼對梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處減振率的影響Fig.10 Influence of the NES nonlinear stiffness and damping on the vibration suppression rate at both ends of beam structure under 12 Hz

圖11研究外部激勵(lì)頻率為46.4 Hz時(shí)非線性能量阱非線性剛度、阻尼對梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處減振率的影響。由圖11可知，46.4 Hz下梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處非線性能量阱非線性剛度、阻尼的增加能夠提高梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)端點(diǎn)處的減振率。非線性能量阱的非線性剛度對梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處減振率的影響存在剛度敏感區(qū)。在剛度敏感區(qū)內(nèi)增加非線性剛度能夠顯著增加梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處的減振率。對于本節(jié)所研究的梁結(jié)構(gòu)參數(shù)而言，其非線性剛度敏感區(qū)為1×109N/m3至1×1010N/m3。非線性能量阱的阻尼對梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處減振率的影響存在臨界值。當(dāng)阻尼超過臨界值時(shí)，梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處的減振率顯著提高。

圖11 46.4 Hz下NES非線性剛度、阻尼對梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處減振率的影響Fig.11 Influence of the NES nonlinear stiffness and damping on the vibration suppression rate at both ends of beam structure under 46.4 Hz

圖12研究外部激勵(lì)頻率為103.8 Hz時(shí)非線性能量阱的非線性剛度、阻尼對梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處減振率的影響。由圖12可知，103.8 Hz下梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處非線性能量阱非線性剛度、阻尼的增加能夠顯著提高梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)端點(diǎn)處的減振率，其最佳減振效果能達(dá)到90%以上。與圖11的分析類似，非線性能量阱的非線性剛度對梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處減振率的影響存在敏感區(qū)。在剛度敏感區(qū)內(nèi)增加非線性剛度能夠顯著增加梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處的減振率。非線性能量阱的阻尼對梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處減振率的影響存在臨界值。當(dāng)阻尼超過臨界值時(shí)，梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處的減振率顯著提高。值得一提的是，103.8 Hz外激勵(lì)頻率下的非線性剛度敏感區(qū)、阻尼臨界值與46.4 Hz外激勵(lì)頻率下的非線性剛度敏感區(qū)、阻尼臨界值重合。

圖12 103.8 Hz下NES非線性剛度、阻尼對梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處減振率的影響Fig.12 Influence of the NES nonlinear stiffness and damping on the vibration suppression rate at both ends of beam structure under 103.8 Hz

綜上所述，當(dāng)激勵(lì)頻率為線性系統(tǒng)第1階固有頻率時(shí)，非線性能量阱非線性剛度、阻尼對梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處隔振率的影響微弱。當(dāng)激勵(lì)頻率為線性系統(tǒng)第2、第3階固有頻率時(shí)，非線性能量阱非線性剛度、阻尼對梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處隔振率的影響顯著。在其他條件一定時(shí)，合適的非線性剛度與阻尼的組合能夠顯著提高梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)端點(diǎn)處的減振率。在工程中，對于軸向載荷梁結(jié)構(gòu)，在進(jìn)行非線性能量阱的非線性剛度、阻尼進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，首先應(yīng)確定被控對象受到的外部激勵(lì)頻率。之后，研究非線性能量阱非線性剛度的剛度敏感區(qū)與阻尼臨界值。在上述基礎(chǔ)上，選取與被控對象振動(dòng)特性匹配的非線性剛度與阻尼參數(shù)，實(shí)現(xiàn)軸向載荷梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制。

4 結(jié) 論

本文建立了具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)預(yù)報(bào)分析模型。利用Galerkin截?cái)喾ㄇ蠼饬航Y(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，并與諧波平衡法所得結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證了本文方法的正確性，探討了Galerkin截?cái)鄶?shù)對結(jié)果穩(wěn)定性的影響。在此基礎(chǔ)上，研究了非線性能量阱參數(shù)與激勵(lì)位置對梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)、減振效果的影響規(guī)律。主要結(jié)論如下：

(1)基于Galerkin截?cái)喾ㄋ鶚?gòu)建模型能夠準(zhǔn)確預(yù)報(bào)具有非線性能量阱的彈性邊界約束軸向載荷梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，當(dāng)截?cái)鄶?shù)為4時(shí)梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)趨于收斂。

(2)非線性能量阱的引入能夠有效抑制梁結(jié)構(gòu)兩端頻率響應(yīng)曲線第2、第3階主共振區(qū)內(nèi)的振動(dòng)。

(3)非線性能量阱參數(shù)及激勵(lì)位置對梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)狀態(tài)影響顯著。非線性能量阱非線性剛度在一定范圍內(nèi)使得梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處呈現(xiàn)復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為；非線性能量阱阻尼增加能夠有效抑制梁結(jié)構(gòu)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為，并對梁結(jié)構(gòu)減振具有有益作用；合理的布置非線性能量阱的位置以及外部激勵(lì)位置能夠避免梁結(jié)構(gòu)出現(xiàn)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為且對梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處的減振具有有益的效果。

(4)當(dāng)激勵(lì)頻率為線性系統(tǒng)第2階、第3階固有頻率時(shí)，非線性能量阱剛度、阻尼參數(shù)的增加可以改善梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處的減振率；合適的非線性剛度、阻尼參數(shù)能夠顯著提高梁結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處的減振率。