尚東陽， 李小彭， 尹 猛， 李凡杰， 周賽男

(1. 東北大學(xué) 機械工程與自動化學(xué)院，沈陽 110819；2. 中國科學(xué)院深圳先進技術(shù)研究院，廣東 深圳 518055)

柔性機械臂廣泛應(yīng)用于太空探索、核電設(shè)備檢修、工業(yè)裝配等諸多方面。文獻[1]所設(shè)計的“加拿大2號”機械臂是一種典型的柔性機械臂，它應(yīng)用在國際空間站中。文獻[2]提出了具有柔性雙臂的新一代移動機器人平臺。目前機械臂中多采用帶有諧波減速器的一體化關(guān)節(jié)作為減速器。諧波減速器中存在著柔性部件以及彈性聯(lián)軸器，所以一體化關(guān)節(jié)存在著一定的扭轉(zhuǎn)剛度[3]。文獻[4]將這種關(guān)節(jié)的扭轉(zhuǎn)剛度加以考慮，提出了柔性關(guān)節(jié)的概念。含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂具有更輕的質(zhì)量，更大的回轉(zhuǎn)半徑等優(yōu)點。但是，柔性機械臂相比較于剛性機械臂，具有較小的抗彎剛度，在運動中更容易出現(xiàn)振動的現(xiàn)象。含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂的設(shè)計和抑振研究已經(jīng)得到了許多學(xué)者的關(guān)注。

進行含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂控制研究的前提是建立受控對象的動力學(xué)模型。含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂是一個耦合的復(fù)雜非線性系統(tǒng)。文獻[5]將含有柔性關(guān)節(jié)的傳動系統(tǒng)等效為雙慣量系統(tǒng)。據(jù)此，含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂也可以等效為含有柔性連桿的雙慣量系統(tǒng)。根據(jù)文獻[6]，柔性機械臂通常可以等效成為歐拉-伯努利梁。文獻[7-8]使用連續(xù)體振動理論描述柔性機械臂的變形，并應(yīng)用拉格朗日原理建立其動力學(xué)方程。除了使用拉格朗日原理外，文獻[9]使用哈密爾頓原理建立了柔性機械臂的動力學(xué)方程。隨著計算能力的提高，利用有限元法獲得柔性機械臂的動力學(xué)方程變成了可能[10]。在轉(zhuǎn)動過程中，柔性機械臂還受到非線性摩擦力矩的影響。文獻[11]在柔性關(guān)節(jié)的建模中，考慮了電機端摩擦力矩的影響。文獻[12]使用LuGre模型描述機械臂在運動過程中所受的摩擦。但使用LuGre模型描述非線性的摩擦力矩時，會忽略溫度、潤滑等工況的影響。根據(jù)機械臂傳動系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可知，摩擦主要源于轉(zhuǎn)動軸系和軸承之間的摩擦力矩。軸承摩擦力矩[13]將溫度、軸向載荷、潤滑等工況的因素考慮在內(nèi)。

機械臂通常采用三環(huán)控制的策略(位置環(huán)速度環(huán)電流環(huán))使轉(zhuǎn)角獲得穩(wěn)定的輸出。其中，機械臂的速度環(huán)多采用PI(proportional integral)控制策略[14]。隨著控制理論的發(fā)展，魯棒控制、自適應(yīng)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等策略都應(yīng)用于機械臂的控制。文獻[15]使用魯棒控制策略對柔性機械臂進行控制。文獻[16]利用模糊規(guī)則整定PID(proportional integral derivative)控制參數(shù)，實現(xiàn)擬人機械臂的自適應(yīng)控制策略。文獻[17]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識柔性機械臂動力學(xué)方程的不確定部分，由此提高控制精度。為了降低摩擦力矩對于機械臂的影響，干擾觀測器(disturbance observer，DOB)廣泛的應(yīng)用于機械臂。文獻[18]證明了干擾觀測器能夠有效的觀測并補償伺服系統(tǒng)中摩擦力矩。相比較于其他抗干擾控制策略，干擾觀測器能夠有效的辨識出外界干擾。干擾觀測器的優(yōu)勢在于原理簡單，需要設(shè)計的參數(shù)較少；缺點是不能有效地控制時變模型和強非線性的模型。對于一些時變系統(tǒng)，采用含有干擾觀測器的PI控制策略無法獲得良好的跟蹤效果。因此，采用含有干擾觀測器的PI控制策略適合于弱非線性且固定參數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)。

本文使用連續(xù)體的振動理論和拉格朗日方法建立含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂的動力學(xué)模型，并將軸承摩擦力矩予以考慮。通過李雅普諾夫穩(wěn)定性定理設(shè)計含有干擾觀測器的PI控制策略的超限補償控制律。通過含有干擾觀測器的PI控制策略抑制含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂的角速度波動。相比于文獻[19]所建立的雙柔性機械臂伺服系統(tǒng)的動力學(xué)模型，本文將軸承摩擦因素加以考慮。在含有干擾觀測器的PI控制器的設(shè)計上，通過低通濾波器魯棒穩(wěn)定性的設(shè)計和引入超限補償控制律保證柔性機械臂的穩(wěn)定。

1 含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂動力學(xué)建模

本文所建立的考慮關(guān)節(jié)柔性的柔性機械臂由伺服電機、柔性關(guān)節(jié)、柔性連桿組成，如圖1所示。圖1中：XOY為靜態(tài)坐標系；x0Oy0為動態(tài)坐標系；Ff為推力球軸承摩擦力矩；Tm為電機電磁力矩；Jm為電機端轉(zhuǎn)動慣量；θm為電機端轉(zhuǎn)角；θl為柔性連桿的轉(zhuǎn)角；Ks為柔性關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn)剛度；w(x,t)為柔性連桿的變形。

圖1 雙柔性機械臂伺服系統(tǒng)示意圖Fig.1 Double flexible manipulator servo system

根據(jù)文獻[20]可知，柔性連桿的變形可以認為是模態(tài)坐標和模態(tài)函數(shù)的二維函數(shù)，其表達式如式(1)所示。

(1)

式中：φi(x)為第i階模態(tài)函數(shù)；ηi(t)為第i階模態(tài)坐標；βi為模態(tài)函數(shù)特征根值，它與柔性連桿的固有頻率之間的關(guān)系，如式(2)所示。

(2)

式中：ωi為柔性連桿的第i階固有頻率；ρ為柔性連桿的體密度；A為柔性連桿的橫截面積；EI為柔性連桿的抗彎剛度。

柔性連桿在水平面轉(zhuǎn)動的過程中，因為柔性的存在會產(chǎn)生微小的變形。因此，柔性連桿上任意一點在靜態(tài)坐標系的位置如式(3)所示。

(3)

式中：x為柔性連桿上任意一點的橫坐標；B(θl)為旋轉(zhuǎn)變化矩陣。

根據(jù)式(3)可得到柔性連桿的動能，如式(4)所示。

(4)

同理，可得到柔性連桿的勢能，如式(5)所示。

(5)

含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂除了由柔性連桿組成外，還有柔性關(guān)節(jié)和伺服電機。因此，含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂的動能應(yīng)該由柔性連桿的動能和伺服電機的動能共同組成，如式(6)所示。

(6)

同理，含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂的勢能應(yīng)由柔性連桿的彈性勢能和柔性關(guān)節(jié)的勢能組成，其表達式如式(7)所示。

(7)

根據(jù)拉格朗日動力學(xué)方程，可求得含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂的動力學(xué)方程，如式(8)所示。

(8)

軸承在機械臂傳動系統(tǒng)中起到支撐連桿轉(zhuǎn)動的作用。但是軸承內(nèi)圈轉(zhuǎn)動的摩擦力矩會影響伺服系統(tǒng)的運動精度。根據(jù)文獻[21]可得到軸承摩擦力矩的表達式，如式(9)所示。

Ff=M0+M1

(9)

式中：M0為與轉(zhuǎn)速相關(guān)的摩擦力矩；M1為載荷相關(guān)的摩擦力矩。

M0的表達式，如式(10)所示。

(10)

式中：v為軸承潤滑阻尼系數(shù)；n為轉(zhuǎn)速；ωm為電機端的角速度；dm為軸承的平均直徑。

M1的表達式，如式(11)所示。

(11)

式中：C0為軸承額定靜載荷；p0為軸承的額定徑向載荷；p1為等效載荷，它取決于載荷的大小和方向；Fa為軸向載荷,Fr為徑向載荷。

含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂是一個復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。為了方便設(shè)計干擾觀測器，需要對動力學(xué)方程進行簡化。根據(jù)Shang等和李小彭等的研究可知，轉(zhuǎn)角和模態(tài)坐標耦合的非線性項對于系統(tǒng)的影響較弱。因此可以忽略非線性的影響。

簡化后的含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂的動力學(xué)方程，如式(12)所示。

(12)

為了設(shè)計干擾觀測器，需要獲得受控對象的傳遞函數(shù)。在忽略動力學(xué)方程中的摩擦力矩后，對式(12)進行Laplace變換，可以得到式(13)。

(13)

在只考慮一階模態(tài)的情況下，可以得到含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂的傳遞函數(shù)，如式(14)所示。

(14)

式中，Gn(s)為名義傳遞函數(shù)。

2 含有干擾觀測器的PI控制策略

2.1 基于魯棒穩(wěn)定性的干擾觀測器設(shè)計

低通濾波器的設(shè)計是干擾觀測器設(shè)計的核心環(huán)節(jié)。低通濾波器應(yīng)該同時滿足魯棒穩(wěn)定性和抑制干擾的能力。

由于在獲得名義傳遞函數(shù)的過程中，對含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂的動力學(xué)方程進行了一定的簡化。除此之外，含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂在運動過程中，動力學(xué)模型的一些參數(shù)會發(fā)生改變。這種動力學(xué)模型的簡化和參數(shù)攝動會造成名義模型和真實的伺服系統(tǒng)模型之間存在一定的誤差。根據(jù)Yun等的研究可知，名義模型和真實模型之間的關(guān)系可以用乘積攝動描述，如式(15)所示。

Gp(s)=Gn(s)[1+Δ(s)]

(15)

式中： Δ(s)為攝動；Gp(s)為實際的傳遞函數(shù)。

圖2 基于干擾觀測器的角速度控制回路Fig.2 Speed control loop based on disturbance observe

根據(jù)Yun等的研究，可以得到整個閉環(huán)系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)攝動的補靈敏度函數(shù)，如式(16)所示。

(16)

式中，TDOB(s)為干擾觀測器內(nèi)環(huán)的補靈敏度函數(shù)。

根據(jù)式(16)，可得到TDOB(s)的表達式，如式(17)所示。

TDOB(s)=Q(s)

(17)

系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的充分必要條件如式(18)所示。

‖Δ(jω)TDOB(jω)‖∞=‖Δ(jω)Q(jω)‖∞≤1

(18)

對式(18)進行變形，可得到式(19)。若低通濾波器的設(shè)計滿足式(19)，則可以保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

(19)

低通濾波器可以寫成如式(20)所示的形式。

(20)

式中，α，β，χ為待設(shè)計參數(shù)。

通過調(diào)整系數(shù)，可以使低通濾波器滿足式(20)，保證系統(tǒng)獲得穩(wěn)定性。低通濾波器的伯德圖，如圖3所示。

圖3 低通濾波器伯德圖Fig.3 Bode diagram of the low-pass filter

通過圖3可知，低通濾波器的設(shè)計滿足式(20)，能夠保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

2.2 超限補償控制律的設(shè)計

在僅考慮一階模態(tài)的情況下，根據(jù)式(15)可得到含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂的狀態(tài)空間方程，如式(21)所示。

(21)

式中：ω為廣義速度；u為雙柔性機械臂伺服系統(tǒng)的輸入力矩；d為由軸承摩擦力矩和其他未知因素所引起的干擾。

根據(jù)文獻[22]可知，由于電流環(huán)和速度環(huán)之間的帶寬較大，因此可以忽略電流環(huán)的影響。本文使用PI控制器對速度環(huán)進行控制。PI控制器的控制律，如式(22)所示。

(22)

式中：Kp為控制器比例參數(shù)；Ki為控制器積分參數(shù)；e為誤差。

根據(jù)式(21)，可得到式(23)。

(23)

式中，f為伺服系統(tǒng)已知函數(shù)，它是一個有界函數(shù)，且具有上界。

根據(jù)式(23)可到標準的反饋控制率，如式(24)所示。

(24)

式中：ω*為期望速度矢量；E為誤差向量；D矩陣表示一組正矢量參數(shù)，滿足式(25)。

(25)

式中，k1和k2為正數(shù)向量。

本文所提出的控制策略的控制律由3個部分組成，如式(26)所示。

u=uPI+uDOB+uSC

(26)

式中，uSC為超限補償控制律，它用來保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

式(26)中，干擾觀測器的補償控制律的表達式，如式(27)所示。

(27)

為了使本文所提出控制策略的控制律能夠與標準的反饋控制律一致，應(yīng)用李雅普諾夫函數(shù)設(shè)計PI控制器的超限補償控制律。

將式(27)代入式(23)，可得到式(28)。

(28)

根據(jù)式(28)可得到式(29)。

(29)

根據(jù)式(29)可得到式(30)。

(30)

定義李雅普諾夫函數(shù)如式(31)所示。

(31)

式中，P為正定對稱矩陣滿足式(32)。

(32)

式中，Q為給定的正定對稱矩陣。

根據(jù)式(31)可得到式(33)。

(33)

根據(jù)式(33)可得到式(34)。

(34)

式中，fU為已知函數(shù)f的上界取值。

設(shè)計超限補償控制律，如式(35)所示。

(35)

含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂的控制框圖，如圖4所示。

圖4 雙柔性機械臂伺服系統(tǒng)的控制框圖Fig.4 Control block diagram of the double flexible manipulator servo system

3 數(shù)值仿真分析與控制實驗

本文以含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂為研究對象，通過數(shù)值仿真分析和控制實驗驗證本文所提出控制方法對于抑制機械臂振動的有效性。為了驗證這種機械臂的控制效果，本文在柔性機械臂處于兩種不同長度的情況下開展仿真和控制實驗，具體參數(shù)如表1所示。

表1 含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂參數(shù)Tab.1 Parameters of the dual-flexible manipulator

表1 (續(xù))

3.1 數(shù)值仿真實驗

含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂在轉(zhuǎn)動的過程中，受到摩擦力矩的影響。根據(jù)式(9)可知，軸承摩擦模型能夠?qū)囟?、潤滑、軸向載荷等因素加以考慮。相較于LuGre[23]模型和Stribeck模型，軸承摩擦模型能夠更加準確地描述伺服系統(tǒng)中摩擦力矩和轉(zhuǎn)速的函數(shù)關(guān)系。本文在數(shù)值仿真過程中以軸承摩擦力矩作為伺服系統(tǒng)所受到的外界干擾。為了驗證伺服系統(tǒng)控制策略的跟蹤效果，采用正弦函數(shù)作為伺服系統(tǒng)角速度的期望輸入。以工況1的參數(shù)開展數(shù)值仿真分析，使用干擾觀測器觀測到的摩擦力矩和伺服系統(tǒng)的輸入力矩，如圖5所示。其中：圖5(a)表示經(jīng)過干擾觀測器辨識的摩擦力矩；圖5(b)表示系統(tǒng)的輸入力矩。

根據(jù)圖5(a)可知，經(jīng)過干擾觀測器辨識的摩擦力矩會出現(xiàn)微小的波動，這是由于名義模型和實際模型存在誤差。但通過干擾觀測器中低通濾波器的魯棒穩(wěn)定性設(shè)計可以保證伺服系統(tǒng)參數(shù)攝動的穩(wěn)定性。由于靜摩擦因素的影響，在角速度方向改變的瞬間，軸承摩擦力矩會發(fā)生突變。摩擦力矩的突變引起伺服系統(tǒng)所需控制力矩的突變。在真實的控制中，控制器無法在瞬時改變伺服系統(tǒng)的輸入力矩。由此會引起伺服系統(tǒng)輸出轉(zhuǎn)速的波動。干擾觀測器可以通過補償摩擦力的方式削弱摩擦力矩突變對于伺服系統(tǒng)的影響。根據(jù)圖5(b)可知，使用干擾觀測器后，伺服系統(tǒng)所需的輸入力矩的突變得到了明顯的改善。

圖5 摩擦力矩仿真結(jié)果Fig.5 SIMULINK results of friction torque

含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂末端執(zhí)行器的振動除了與電機端的輸出轉(zhuǎn)速有關(guān)外，還和連桿端輸出轉(zhuǎn)速的波動有關(guān)。同樣，根據(jù)工況1和工況2的參數(shù)開展數(shù)值仿真實驗，得到不同控制策略下仿真輸出結(jié)果，如圖6所示。其中：圖6(a)和圖6(b)表示連桿端的輸出轉(zhuǎn)速；圖6(c)和圖6(d)表示柔性連桿末端的變形。

圖6 仿真輸出結(jié)果Fig.6 SIMULINK results of the servo system

隨著機械臂長度的增大，連桿的柔性也逐漸增強。根據(jù)圖6(a)和圖6(b)可知，在機械臂長度較長的情況下，連桿端的速度波動明顯增加。但是使用本文所提出的控制策略能有效的減弱連桿端角速度的波動。根據(jù)圖6(c)和圖6(d)可知，隨著機械臂長度的增加，在轉(zhuǎn)動過程中末端變形波動程度也增大。使用本文所提出的控制策略，能有減弱末端變形的波動。由此，驗證了本文所提出的控制可以抑制含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂的振動。

3.2 控制實驗

本文搭建了含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂的控制實驗平臺，如圖7所示?？刂茖嶒炂脚_由伺服電機、柔性關(guān)節(jié)、柔性連桿、NI控制器、磁編碼器等組成。因為套索傳動的關(guān)節(jié)具有一定的扭轉(zhuǎn)剛度，因此將這種關(guān)節(jié)等效為柔性關(guān)節(jié)。NI控制器由NI-Crio-9053模塊、NI-9264模塊和NI-9401數(shù)據(jù)采集模塊組成。NI控制器中NI-Crio-9053作為下位機將控制信號輸入NI-9264模塊。伺服電機的輸出力矩由NI-9264模塊產(chǎn)生對應(yīng)的脈沖信號控制。NI-9401數(shù)據(jù)采集模塊采集電機端和連桿端磁編碼器所測量的數(shù)據(jù)。并將所采集到的數(shù)據(jù)實時傳入控制程序。

圖7 雙柔性機械臂控制實驗平臺Fig.7 Control experiment for the double flexible manipulator

根據(jù)表1中的參數(shù)，設(shè)置機械臂的長度。使用上述兩種不同的控制策略對含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂的角速度進行控制。以正弦信號作為輸入信號，所得到的伺服系統(tǒng)連桿端的角速度和誤差的變化規(guī)律，如圖8所示。

圖8 實驗結(jié)果Fig.8 Results of experiment control

根據(jù)圖8(a)和圖8(b)可知，隨著機械臂長度的增加，使用PI控制控制策略已經(jīng)無法保證伺服系統(tǒng)獲得穩(wěn)定的角速度輸出。但是使用本文所提出的控制策略，仍然能夠保證伺服系統(tǒng)獲得穩(wěn)定的角速度輸出。根據(jù)圖8(b)和圖8(d)可知，使用干擾觀測器能有效的減小角速度方向改變時產(chǎn)生的誤差急劇增大的現(xiàn)象。因此，通過含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂的控制實驗說明了本文所提出控制方法的有效性。

為了進一步評價控制策略的控制效果，本文對誤差數(shù)據(jù)進行分析。以誤差絕對值的平均值和誤差的標準差作為評價指標。繪制了不同工況下的誤差指標統(tǒng)計圖，如圖9所示。

圖9 誤差指標統(tǒng)計圖Fig.9 Statistical graphs of errors indicators

根據(jù)圖9可知，無論在哪種工況下，本文所提出的控制策略都擁有更小的誤差絕對值平均值和誤差標準差。在機械臂較短的工況下，本文所提出的控制策略擁有更加明顯的優(yōu)勢。在工況1情況下，相比于PI控制策略，本文所提出的控制策略能夠使誤差絕對值平均值降低15.415%；使誤差標準差下降20.728%。在工況2情況下，本文所提出的控制策略能夠使誤差絕對值平均值降低7.244%；使誤差標準差下降14.248%。根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以證明本文所提出的控制策略能提高含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂角速度的控制精度。

4 結(jié) 論

本文以含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂為研究對象，使用拉格朗日方法建立了考慮軸承摩擦的動力學(xué)方程。然后應(yīng)用含有干擾觀測器的PI控制策略抑制伺服系統(tǒng)角速度的波動。在設(shè)計干擾觀測器的過程中，考慮了參數(shù)攝動情況下的穩(wěn)定性。使用李雅普諾夫穩(wěn)定性定理設(shè)計控制器的超限補償率。通過干擾觀測器辨識并補償伺服系統(tǒng)中的軸承摩擦力矩，以此減小摩擦力矩對輸出角速度的影響。仿真結(jié)果和控制實驗表明：本文所提出的控制方法能夠抑制角速度的波動。具體研究結(jié)論如下所示。

(1) 在含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂中，當角速度的方向發(fā)生改變時，軸承摩擦力矩會發(fā)生突變。這種突變現(xiàn)象會加劇角速度的波動，進而增大誤差。

(2) 干擾觀測器可以有效的辨識出伺服系統(tǒng)中的摩擦力矩，并且干擾觀測器通過補償干擾力矩的方式，減弱摩擦力矩的影響。

(3) 根據(jù)仿真分析和控制實驗可知，含有干擾觀測器的PI控制策略更適合于機械臂較長的工況。本文所提出的控制策略在工況2的情況下，使轉(zhuǎn)速誤差絕對值的平均值下降11.33%；使誤差標準差下降17.488%。由此可知，本文所提出的控制策略能夠抑制含有柔性關(guān)節(jié)的柔性機械臂的角速度波動，進而減弱機械臂的振動。

干擾觀測器的使用前提是受控對象能夠用傳遞函數(shù)表示。多柔性連桿的機械臂是一個強非線性的復(fù)雜模型，無法獲得它的傳遞函數(shù)?；诟蓴_觀測器的控制策略不適用于多柔性連桿的機械臂。但是非線性的干擾觀測器和其他抗干擾的控制策略可以用于控制多柔性連桿的機械臂。關(guān)于多柔性連桿的機械臂的建模和控制策略還需要進行深入的研究。在未來，希望能夠?qū)⒅悄芸刂撇呗杂糜诙嗳嵝赃B桿機械臂的控制，以此解決強非線性模型的控制問題。