楊 莉， 黃天民， 丁菊霞， 魏 偉

(1. 成都信息工程大學 自動化學院，成都 610225； 2. 西南交通大學 電氣工程學院，成都 610031；3. 四川農業(yè)大學 建筑與城鄉(xiāng)規(guī)劃學院，成都 611830)

隨著化石資源的稀少和污染排放的增加，風能等可再生能源在未來幾十年將大幅度增長，并在緩解氣候變化和實現能源可持續(xù)性方面發(fā)揮關鍵作用[1]。相對于雙饋風力發(fā)電系統(tǒng)[2]，直驅永磁同步風力發(fā)電系統(tǒng)因無齒輪箱，從而具有能量損失小、可靠性高、低電壓穿越能力強和維護成本低等特點[3]。直驅永磁同步風力發(fā)電機組因其低故障率及低維護成本，成為風能資源豐富、設施空間充足、占地面積少、噪聲污染少的海上風電場的主要風電機型[4]。但永磁同步電機對系統(tǒng)參數和外部負載擾動非常敏感，Li等[5-6]研究表明在某參數范圍或某工作條件下會呈現出混沌振蕩行為[7]，主要表現為電機轉速或轉矩的劇烈振蕩、系統(tǒng)不規(guī)則的電磁噪聲、控制性能不穩(wěn)定等，進而對電網造成較大沖擊。楊國良等[8]首次研究了直驅永磁同步風力發(fā)電機組中的混沌現象，并在非線性混沌模型基礎上設計出滑?？刂破?。王磊等[9]針對永磁同步風力發(fā)電機組混沌運動，采用(takagi-sugeno，T-S)模糊模型將非線性永磁同步風力發(fā)電系統(tǒng)轉化為線性子系統(tǒng)，并設計出模糊混沌跟蹤控制器有效抑制混沌運動。但是自然界中所有的物理現象都是以分數階形式存在的[10]，整數階微分方程只是分數階微分方程的一個特例。Xue等[11]建立了分數階永磁同步電機模型，并分析其混沌特性。Yang等[12]針對具有外部擾動的永磁同步風力發(fā)電機組混沌問題，采用T-S模糊隸屬度規(guī)則將非線性分數階永磁同步風力發(fā)電機模型轉化為等效線性子模型，并設計出模糊控制器有效抑制混沌運動。

時滯現象[13]是指信號在傳輸過程中有延遲產生，廣泛存在各類實際控制系統(tǒng)中，例如電機系統(tǒng)[14]、電力系統(tǒng)[15]、風力發(fā)電系統(tǒng)[16]等。對風力發(fā)電系統(tǒng)本質特性認識不足、不熟悉其工作環(huán)境或者建模錯誤，都會使得風能轉換系統(tǒng)受到參數或信號傳輸時滯的影響。時滯將導致風電系統(tǒng)電流波形失真、電壓損失或轉矩振蕩等[17]。

基于上述討論，本文研究了具有狀態(tài)時滯和外界負載擾動的分數階永磁同步風力發(fā)電機混沌狀態(tài)的穩(wěn)定性分析與控制器設計問題。針對分數階永磁同步風力發(fā)電機組建立了分數階T-S模糊混沌模型，并設計出模糊狀態(tài)記憶的H∞魯棒控制器。Lyapunov穩(wěn)定性分析與數值模擬仿真表明，在該控制器作用下，永磁同步風力發(fā)電機混沌運動得到有效抑制。研究結果表明對抑制復雜工況運行下的永磁同步風力發(fā)電機混沌運動具有較好的理論意義與實用價值。

1 永磁同步風力發(fā)電機分數階T-S模糊模型

1.1 分數階微積分理論

連續(xù)函數f(t)的Caputo型α階微分定義[18]為

(1)

式中，m-1<α

分數階非線性系統(tǒng)定義[19]為

(2)

式中，x(0)=x0為初始條件,x(t)=[x1,x2,…,xn]。

1.2 分數階永磁同步風力發(fā)電機混沌模型

根據文獻[20]所給出的整數階模型，可得出氣隙均勻的分數階永磁同步風力發(fā)電機混沌模型為

(3)

(4)

1.3 分數階永磁同步風力發(fā)電機T-S模糊混沌模型

將分數階永磁同步風力發(fā)電機非線性混沌模型式(4)轉換為式(5)矩陣表達形式

(5)

式中：x(t)和u(t)分別為系統(tǒng)狀態(tài)變量和控制變量；A和B為系統(tǒng)參數且A=[-1 0 0; 0 -1μ; 0σ-σ]；[x(t)]為系統(tǒng)非線性表達式且有[x(t)]=[x2x3; -x1x3; 0]。

考慮具有狀態(tài)時滯和外界負載擾動的分數階永磁同步風力發(fā)電機混沌模型的矢量表達式為

(6)

式中：x(t-τ)和w(t)分別為狀態(tài)時滯變量和負載擾動變量；Aτ和Bw分別為時滯變量和擾動參數矩陣；z(t)為性能輸出變量；C，Cτ和Dw為具有適當維數的實數矩陣。

根據T-S模糊規(guī)則，建立分數階永磁同步風力發(fā)電機非線性系統(tǒng)式(6)的模糊混沌模型為

Rulei: Ifx3(t) isMi, Then

(7)

式中：Rulei為第i條模糊規(guī)則，i=1,2,…,r，r為模糊規(guī)則數；Mi為模糊集合；Bi為控制輸入參數矩陣；Ai為系統(tǒng)參數矩陣且有Ai=[-1di0; -di-1μ; 0σ-σ]；di受x3(t)取值影響；Aτi為時滯狀態(tài)參數矩陣；Ci，Cτi和Dwi為適當維數的實數矩陣。

根據模糊理論，可得出具有狀態(tài)時滯和負載擾動的分數階永磁同步風力發(fā)電機T-S模糊混沌模型為

(8)

式中，前件變量x3(t)在模糊集合Mi中的隸屬度函數為ξi[x3(t)]。

假設有以下公式成立

(9)

則系統(tǒng)式(9)的去模糊混沌模型為

(10)

2 知識準備

為了研究分數階永磁同步風力發(fā)電機模糊混沌模型式(10)穩(wěn)定性，主要應用以下引理。

引理2對于x(t)∈C1[0,T0]且T0>0，則有

引理3[22]假設存在適當維數的任意向量m和n,則有不等式2mTn≤θmTm+θ-1nTn,?θ>0成立。

引理4[23](Schur補引理) 如果有適當維數的給定矩陣N，P和Q>0，則有如下兩個不等式是等價的。

引理5[24]如果存在連續(xù)可微函數向量x(t)，P為正定對稱矩陣，則有

(11)

式中，?α∈(0,1]，?t≥0。

引理6[25]如果存在適當維數的任意矩陣X和Y，則有以下不等式成立

XTY+YTX<ηXTX+η-1YTY, ?η>0

(12)

3 模糊記憶狀態(tài)反饋H∞魯棒控制器設計

通過PDC(parallel distributed compensation)技術，設計出具有模糊記憶狀態(tài)的狀態(tài)反饋H∞魯棒控制器為

Rulei: Ifx3(t) isMi, Then

u(t)=-Kix(t)-Kτix(t-τ)

(13)

式中：i=1,2,…,r；Ki和Kτi為控制器增益矩陣。

由式(13)可得出系統(tǒng)的全局模糊記憶狀態(tài)反饋H∞魯棒控制器為

(14)

將控制律式(14)代入系統(tǒng)式(10)，可得出含有狀態(tài)時滯和負載擾動的分數階永磁同步風力發(fā)電機閉環(huán)模糊控制模型為

(15)

式中：hi=hi[x3(t)]；hj=hj[x3(t)]；Hij=Ai-BiKj；Hτij=Aτi-BiKτj。

定義1假設以下兩個條件能同時成立[26]。

(1) 當外部擾動和性能輸出為0時，分數階模糊混沌模型式(15)是全局漸近穩(wěn)定的。

(2) 在零輸入條件下，如果以下不等式成立

式中，對于所有tf>0，γ為任意正實數。

則具有狀態(tài)時滯和負載擾動的分數階永磁同步風力發(fā)電機閉環(huán)模糊混沌模型式(15)是漸近穩(wěn)定的。

定理1假設存在正定對稱矩陣P，任意矩陣Mi和Mτi，任意正實數εi，δτij，δτji和γ，使得以下LMIs(linear matrix inequalities)成立

(16)

和

(17)

即含有狀態(tài)時滯和負載擾動的分數階永磁同步風力發(fā)電機閉環(huán)模糊混沌模型式(15)是漸近穩(wěn)定的且滿足H∞控制性能指標γ。

證明首先證明在外部擾動和性能輸出為0時，系統(tǒng)式(15)是漸近穩(wěn)定的，假設P為正定對稱矩陣，構造出Lyapunov函數為

(18)

由引理1可知，以下不等式成立

(19)

從而可知Lyapunov函數式(18)為正定的，根據分數階微積分理論，求Lyapunov函數V[x(t)]關于時間t的導數為

(20)

令χ=τ+ν，則有

(21)

則又有

(22)

當0<α≤1且t>ν時，有(t-ν)α-1>0，從而可以看出，只要有以下不等式(23)成立

(23)

則含有狀態(tài)時滯和負載干擾的分數階永磁同步風力發(fā)電機模糊混沌模型式(15)是漸近穩(wěn)定的。

(24)

其次，再證明分數階混沌系統(tǒng)式(15)具有H∞魯棒控制性能指標，有

(25)

因隸屬度函數小于等于1和引理3可得

(26)

由式(15)、式(24)和式(26)可得

(27)

式中：Bwij=Bwi+Bwj；Cij=Ci+Cj；Cτij=Cτi+Cτj；Dwij=Dwi+Dwj。

如果式(27)為負定的，則可以看成不等式式(27)左端每一部分都為負定的。

第一，先假設式(27)左端第一部分為負定的，則有

(28)

由引理6可知，當且僅當存在正常實數εi，將Hii和Hτii代入式(28)可等效為

(29)

式中：?T(t)=[xT(t),xT(t-τ),wT(t)]；

則有

(30)

對式(30)分別左乘和右乘對角矩陣diag[P-1,P-1,I]，并令Q=P-1，Mi=KiP-1和Mτi=KτiP-1，則有

(31)

由引理4可得，式(31)可等價為式(16)。

第二，再假設式(27)左端第二部分為負定的，則有

(32)

由引理6可知，當且僅當存在正常實數δτij和δτji，將Hii和Hτii代入式(32)可等效為

(33)

式中： ?T(t)=[xT(t),xT(t-τ),wT(t)]；

則有

(34)

對式(34)分別左乘和右乘對角矩陣diag[P-1,P-1,I]，并令Q=P-1，Mi=KiP-1和Mτi=KτiP-1可得

(35)

其中

由引理4可得，式(35)可等價為式(17)。

如果式(16)和式(17)都成立，則含有狀態(tài)時滯和負載擾動的分數階永磁同步風力發(fā)電機閉環(huán)模糊系統(tǒng)式(15)是漸近穩(wěn)定的且滿足H∞控制性能指標γ。證明完畢。

4 系統(tǒng)仿真

式中：M1,2為模糊集合；A1,2和Aτ1,2為系統(tǒng)參數矩陣；B1,2為控制輸入矩陣；Bw1,2為擾動輸入矩陣。

當u(t)=0時，可得出具有狀態(tài)時滯和負載擾動的分數階永磁同步風力發(fā)電機開環(huán)模糊混沌模型為

永磁同步風力發(fā)電機參數選擇如參考楊國良等和王磊等的研究，取系統(tǒng)參數為σ=16，μ=45.92，則有A1=[-1 30 0; -30 -1 45.92; 0 16 -16]，A2=[-1 -30 0; 30 -1 45.92; 0 16 -16]。

假設永磁同步風力發(fā)電機轉速存在時滯，取延遲τ=0.5，且延遲參數矩陣為Aτ1=Aτ2=[0 0 0; 0 0 0; 0 0 -1]。

風能隨機性使得風力發(fā)電機將受到負載擾動影響，并取擾動轉矩和負載擾動為Bw1=Bw2=[0; 0; 0.5]，w(t)=sin(2πt)e-0.5t。

取性能輸出參數矩陣為C1=C2=[10 10 20]，Cτ1=Cτ2=[1 1 2]和D1=D2=1。

取模糊隸屬度函數為

含有狀態(tài)時滯和負載擾動的分數階永磁同步風力發(fā)電機在無控制作用下的混沌特性，如圖1所示。由圖1可知，當分數階次在0.95<α≤1.00，系統(tǒng)存在混沌運動狀態(tài)，此時風力發(fā)電系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，轉速和轉矩會出現不規(guī)則振蕩行為。但隨著分數階階次進入α<0.95時，系統(tǒng)在無控制作用下也能進入穩(wěn)定運行，從而可以看出分數階階次對風力發(fā)電系統(tǒng)的混沌特性影響不容忽略。

圖1 當u(t)=0時，受擾時滯系統(tǒng)混沌特性Fig.1 Chaotic characteristics without u(t)

為了快速抑制風力發(fā)電系統(tǒng)的混沌振蕩運動，依據模糊PDC控制技術設計出具有模糊記憶的狀態(tài)反饋H∞魯棒控制器為

u(t)=-K1x(t)-Kτ1x(t-τ)；

u(t)=-K2x(t)-Kτ2x(t-τ)。

式中，K1,2和Kτ1,2為控制器參數矩陣。

則模糊控制器總輸出可描述為

從而得出具有狀態(tài)時滯和負載擾動的分數階永磁同步風力發(fā)電機模糊控制模型如下

對q軸電壓和發(fā)電機轉速施加控制量，并取輸入參數矩陣為B1=B2=[0;1;1]。系統(tǒng)狀態(tài)曲線，如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)曲線Fig.2 The system state curve

采用所給出的定理1，利用MATLAB軟件中的LMIs工具箱可解出具有模糊記憶的狀態(tài)反饋H∞魯棒控制器參數矩陣為

K1=[46.104 2,60.979 6,-0.805 8]，
K2=[-41.571 7,67.151 3,-7.126 0]
Kτ1=[0.101 3,0.158 1,-0.010 2]，
Kτ2=[-0.100 5,0.189 1,-0.008 9]

無狀態(tài)記憶的反饋控制器參數矩陣為K11=[2.178 6,58.564 1,15.868 9]，K22=[-2.178 6,58.564 1,15.868 9]。系統(tǒng)控制曲線，如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)控制曲線Fig.3 The system control curve

由圖2和圖3可知，在分數階階次發(fā)生變化、含有狀態(tài)時滯延遲和外界負載擾動情況下，定理1所推出的控制方法能有效抑制永磁同步風力發(fā)電機組中的混沌振蕩運動。相對于無狀態(tài)記憶控制方法，具有狀態(tài)記憶的模糊H∞魯棒控制器具有更良好的控制性能。隨著分數階階次的降低，控制性能更好。

5 結 論

針對含有狀態(tài)時滯和外界負載擾動情況下的分數階永磁同步風力發(fā)電機組混沌振蕩運動行為的控制問題，利用T-S模糊理論與分數階微積分算法，建立含有狀態(tài)時滯和負載擾動的分數階模糊混沌模型，通過PDC控制方法和H∞魯棒控制算法設計出具有狀態(tài)記憶的模糊狀態(tài)反饋H∞魯棒控制器。利用Lyapunov函數直接法，根據分數階微積分性質，采用Cauchy矩陣不等式和合同變換，通過LMI形式得出滿足H∞控制指標的系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性條件。通過數值模擬仿真可以看出，系統(tǒng)在具有狀態(tài)時滯、外界隨機負載擾動和分數階階次變化的復雜運行情況下，通過定理1所推出的模糊記憶H∞魯棒控制器能使得系統(tǒng)快速擺脫混沌振蕩運動，具有良好的控制性能。