歐陽資考，石勇國，廖 為，刁 琴

(內江師范學院 數(shù)學與信息科學學院，四川 內江 641100)

0 引言

很多學者重視重積分教學研究. 周敏等[1]利用整體運算與邊界運算之間的聯(lián)系,類比推導了格林公式，以統(tǒng)一的觀點看待牛頓-萊布尼茲公式、格林公式、高斯公式與斯托克斯公式； 袁榮[2]介紹了極坐標變換計算二重積分的方法和技巧；蔣銀山[3]給出了三重積分的幾種常用計算方法； 草吉利等[4]給出了高斯公式另一種簡捷的證明方法； 張輝等[5]介紹了第一類曲面積分計算的八種常用方法； 滕吉紅等[6]結合歷屆全國大學生數(shù)學競賽試題，統(tǒng)計了重積分換元法的考查頻率和考查方式； 尹遜波等[7]系統(tǒng)給出了重積分坐標變換的公式，并且運用到近幾年全國大學生數(shù)學競賽試題； 張立卓等[8]說明了高斯公式計算曲面積分需要注意公式成立的條件；石勇國等[9]給出了計算定積分的一些方法.

重積分計算的難點涉及利用對稱性、恰當?shù)淖鴺俗儞Q、選擇使用格林公式或高斯公式等. 試題的綜合性強，應用廣泛. 重積分計算在全國大學生數(shù)學競賽中出現(xiàn)頻率較高，其中一類含有未知函數(shù)的重積分競賽題經(jīng)常出現(xiàn)，分值較大，例如：

這類重積分競賽題有兩個明顯的難點，其一是題目中均有關于未知函數(shù)f的微分方程，但是f沒有給出顯式表達式，無法直接求解；其二是重積分計算公式與其他知識點結合,例如，例1與極限結合，例2與無理分式結合，例3將二重積分擴展到三重積分.

重積分計算可化為累次積分或利用坐標變換化為累次積分進行計算. 利用對稱性，以及格林公式、高斯公式、斯托克斯公式是化簡重積分的重要技巧與手段.

本文給出這類題型一般性的推廣.利用格林公式、高斯公式，將上述題目中未知函數(shù)f進行替換求解. 給出了兩個比較自然的解法，并且對上述題目進行求解與證明.

1 推廣的結果

先給出兩個用到的定理.

引理1設閉區(qū)域D由分片光滑的曲線L圍成，函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則

或

其中L是取D的邊界曲線正向，cosα,cosβ是L上點(x,y)處與L方向一致的切向量的方向余弦.

引理2設空間閉區(qū)域Ω由分片光滑的曲面S圍成，函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在Ω上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則

或

S(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS，

其中S是Ω的整個邊界曲面的外側，cosα,cosβ,cosγ是S上點(x,y,z)處的外法線向量的方向余弦.

上面兩個定理中的公式分別稱為格林公式與高斯公式.

下面給出兩個推廣的結論.

證明首先利用坐標變換進行化簡，再利用格林公式，將曲線積分轉化為二重積分，令x=rcosθ，y=rsinθ，則

證畢.

下面將定理1推廣到三維情形.

證首先利用球面坐標變換進行化簡，再利用高斯公式，將曲面積分轉化為三重積分，令x=rsinφcosθ，y=rsinφsinθ，z=rcosφ，則

證畢.

2 結果的應用

解令

g(x,y)=(x2+y2)k=r2k，則

根據(jù)定理1，則

解令x=rcosθ，y=rsinθ，h(r)=r2l，g(x,y)=(x2y2)k=r2ksin2kθcoskθ，則

根據(jù)定理1，則

特別地，對于例2，取

得

?x2+y2+z2≤a2(x2+y2+z2)l(xfx+
yfy+zfz)dxdydz.

解令x=rsinφcosθ，y=rsinφsinθ，z=rcosφ，h(r)=r2l，則

根據(jù)定理2，則

?x2+y2+z2≤a2(x2+y2+z2)l(xfx+

yfy+zfz)dxdydz.

解令x=rsinφcosθ，y=rsinφsinθ，z=rcosφ，h(r)=r2l，則

根據(jù)定理2，則

3 結論

本文對部分全國大學生數(shù)學競賽試題進行分析，總結了含有未知函數(shù)二重積分競賽題的求解方法，給出了一般性的推廣，展示一種統(tǒng)一的求解方法.該推廣以及方法能夠幫助大學生理解該類競賽試題出題的意圖，同時，提高學生的計算能力以及知識點綜合運用能力.