張影

什么是幻方

幻方是把從1到n²的自然數(shù)排成的行列的正方形數(shù)表，其每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)之和都相等，這個(gè)“和”稱(chēng)為幻常數(shù)，幻常數(shù)等于n（n²+1）／2?。圖1 是一個(gè)三階幻方，即n等于3，n²等于9，幻常數(shù)n（n²+1）／2等于15。

已知三階幻方有8 組，四階幻方有880組（1693年數(shù)據(jù)），五階幻方有275305224 組（1973 年數(shù)據(jù)），更高階幻方的組數(shù)至今還無(wú)法確定。

圖2：洛書(shū)示意圖

洛書(shū)的傳說(shuō)與縱橫圖

世界上最早的幻方出現(xiàn)在中國(guó)。相傳，上古時(shí)期，洛河中浮出神龜，背馱洛書(shū)，獻(xiàn)給大禹。大禹因此治水成功，劃天下為九州，制定九章大法，治理國(guó)家。在長(zhǎng)期的歷史發(fā)展中，洛書(shū)演化為中國(guó)文化的代表符號(hào)之一，并被賦予多種解釋。1977 年，阜陽(yáng)西漢汝陰侯墓（位于安徽省阜陽(yáng)市）出土的太乙九宮占盤(pán)，為洛書(shū)提供了考古實(shí)物證據(jù)。

圖2 是洛書(shū)的示意圖。在數(shù)學(xué)上，洛書(shū)剛好是三階幻方，按現(xiàn)代書(shū)寫(xiě)順序，正是圖1。

幻方在中國(guó)古代被稱(chēng)為“縱橫圖”。南宋數(shù)學(xué)家楊輝的著作《續(xù)古摘奇算法》中記錄了從三階直到九階幻方，連同十階的半幻方（ 不滿足對(duì)角線條件），分別稱(chēng)為四四圖、五五圖、六六圖、衍數(shù)圖、易數(shù)圖、九九圖、百子圖，還給出了三階、四階幻方構(gòu)造方法的說(shuō)明。楊輝還研究了幻方的6 種變形。圖3 是楊輝構(gòu)造的四階幻方。

幻方在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中也有廣泛的應(yīng)用，例如：它的構(gòu)造原理與飛機(jī)的電子回路設(shè)置密切相關(guān)，研究人員創(chuàng)造的64 階方陣儀可以用于計(jì)算機(jī)、測(cè)量?jī)x、通信交換機(jī)及水電、火電、航空等的管理系統(tǒng)。

南宋數(shù)學(xué)家楊輝的著作《續(xù)古摘奇算法》

一般三階幻方的規(guī)律

作為推廣，一般允許構(gòu)成幻方的數(shù)字為任意實(shí)數(shù)，也不要求這些數(shù)不同。完成一般三階幻方填充，常常變身為小學(xué)奧數(shù)練習(xí)題目。其實(shí)，如果知道規(guī)律，解答這類(lèi)題目易如反掌。

規(guī)律1：一般三階幻方的幻常數(shù)等于中心數(shù)的3 倍。即如圖4 所示，設(shè)一般三階幻方的9 個(gè)數(shù)字分別為a，b，c，d，e，f，g，h，i，幻常數(shù)為x，e就是中心數(shù)，3e=x 。

規(guī)律2：一般三階幻方的一個(gè)角頂數(shù)的二倍等于緊鄰對(duì)角頂?shù)膬蓴?shù)之和。即2a=f+h，2c=d+h，2g=b+f，2i=b+d。

圖4

知識(shí)拓展 幻方的傳播與文化影響

幻方的思想從中國(guó)傳播到日本、朝鮮、印度、泰國(guó)，后又陸續(xù)傳至阿拉伯世界、歐洲和美洲，受到世界各地人們的喜愛(ài)，常被做成平安符、幸運(yùn)符等裝飾物。

金庸的武俠小說(shuō)《射雕英雄傳》設(shè)置了黃蓉在桃花島回答幻方問(wèn)題的情節(jié)：

黃蓉笑道：“不但九宮，即使四四圖，五五圖，以至百子圖，亦不足為奇。就說(shuō)四四圖罷，以十六字依次作四行排列，先以四角對(duì)換，一換十六，四換十三，后以內(nèi)四角對(duì)換，六換十一，七換十。這般橫直上下斜角相加，皆是三十四?！?/p>

黃蓉的這段話說(shuō)的正是前文所述楊輝的三階幻方作法和四階幻方作法（ 圖3）。

2014年，中華人民共和國(guó)澳門(mén)特別行政區(qū)發(fā)行的幻方郵票第一組6張，其中展示了特殊的幻方、構(gòu)造方法、變種等多方面內(nèi)容（圖片來(lái)源/ 維基百科）

文藝復(fù)興時(shí)期德國(guó)畫(huà)家丟勒（Albrecht Dürer）1514年創(chuàng)作的著名銅版畫(huà)《憂郁I》。畫(huà)面右上角是一個(gè)四階幻方，底行中間的兩個(gè)數(shù)字暗示了創(chuàng)作年份（圖片來(lái)源/ 維基百科）

圖5：一般三階幻方的ACE 公式

規(guī)律3：一般三階幻方由某3個(gè)位置的數(shù)完全決定。比如，任意確定的a，c，e值，就能完成三階幻方的填充，而且填充方式只有一種（ 如圖5）。我們把這組填充公式稱(chēng)為一般三階幻方的ACE 公式。

讀者可以嘗試自己找出一般四階幻方的公式，這是解一個(gè)16元一次方程組的問(wèn)題。

新想法——面積三階幻方

幻方研究專(zhuān)家將一般三級(jí)幻方“更新升級(jí)”，用兩條橫斜直線和兩條豎斜直線，把正方形分成9 個(gè)四邊形，就得到面積三階幻方，如圖6。類(lèi)似的有面積四階幻方。這是幻方研究的新想法。

筆者特別設(shè)計(jì)了一個(gè)面積三階幻方（ 見(jiàn)圖7），第一行的面積數(shù)值剛好是《知識(shí)就是力量》本期數(shù)學(xué)特集發(fā)行的年份和月份。

在文章的最后，筆者留給讀者們一個(gè)挑戰(zhàn)問(wèn)題：用互不相同的平方數(shù)構(gòu)造一個(gè)三階幻方。這是從瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉（L.Euler，1707—1783 年）開(kāi)始，至今仍未解決的問(wèn)題。也許本文的讀者里面就有將來(lái)解決這個(gè)難題的人！

（責(zé)任編輯 / 高琳 美術(shù)編輯 / 周游）

圖6：面積三階幻方（圖片來(lái)源/ 維基百科）

?《知識(shí)就是力量》本期數(shù)學(xué)特集發(fā)行的年份和月份

圖7