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        從洛書(shū)到幻方

        2023-01-02 10:29:55張影
        知識(shí)就是力量 2022年12期
        關(guān)鍵詞:洛書(shū)楊輝幻方

        張影

        什么是幻方

        幻方是把從1到n2的自然數(shù)排成的行列的正方形數(shù)表,其每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)之和都相等,這個(gè)“和”稱(chēng)為幻常數(shù),幻常數(shù)等于n(n2+1)/2?。圖1 是一個(gè)三階幻方,即n等于3,n2等于9,幻常數(shù)n(n2+1)/2等于15。

        已知三階幻方有8 組,四階幻方有880組(1693年數(shù)據(jù)),五階幻方有275305224 組(1973 年數(shù)據(jù)),更高階幻方的組數(shù)至今還無(wú)法確定。

        圖2:洛書(shū)示意圖

        洛書(shū)的傳說(shuō)與縱橫圖

        世界上最早的幻方出現(xiàn)在中國(guó)。相傳,上古時(shí)期,洛河中浮出神龜,背馱洛書(shū),獻(xiàn)給大禹。大禹因此治水成功,劃天下為九州,制定九章大法,治理國(guó)家。在長(zhǎng)期的歷史發(fā)展中,洛書(shū)演化為中國(guó)文化的代表符號(hào)之一,并被賦予多種解釋。1977 年,阜陽(yáng)西漢汝陰侯墓(位于安徽省阜陽(yáng)市)出土的太乙九宮占盤(pán),為洛書(shū)提供了考古實(shí)物證據(jù)。

        圖2 是洛書(shū)的示意圖。在數(shù)學(xué)上,洛書(shū)剛好是三階幻方,按現(xiàn)代書(shū)寫(xiě)順序,正是圖1。

        幻方在中國(guó)古代被稱(chēng)為“縱橫圖”。南宋數(shù)學(xué)家楊輝的著作《續(xù)古摘奇算法》中記錄了從三階直到九階幻方,連同十階的半幻方( 不滿足對(duì)角線條件),分別稱(chēng)為四四圖、五五圖、六六圖、衍數(shù)圖、易數(shù)圖、九九圖、百子圖,還給出了三階、四階幻方構(gòu)造方法的說(shuō)明。楊輝還研究了幻方的6 種變形。圖3 是楊輝構(gòu)造的四階幻方。

        幻方在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中也有廣泛的應(yīng)用,例如:它的構(gòu)造原理與飛機(jī)的電子回路設(shè)置密切相關(guān),研究人員創(chuàng)造的64 階方陣儀可以用于計(jì)算機(jī)、測(cè)量?jī)x、通信交換機(jī)及水電、火電、航空等的管理系統(tǒng)。

        南宋數(shù)學(xué)家楊輝的著作《續(xù)古摘奇算法》

        一般三階幻方的規(guī)律

        作為推廣,一般允許構(gòu)成幻方的數(shù)字為任意實(shí)數(shù),也不要求這些數(shù)不同。完成一般三階幻方填充,常常變身為小學(xué)奧數(shù)練習(xí)題目。其實(shí),如果知道規(guī)律,解答這類(lèi)題目易如反掌。

        規(guī)律1:一般三階幻方的幻常數(shù)等于中心數(shù)的3 倍。即如圖4 所示,設(shè)一般三階幻方的9 個(gè)數(shù)字分別為a,b,c,d,e,f,g,h,i,幻常數(shù)為x,e就是中心數(shù),3e=x 。

        規(guī)律2:一般三階幻方的一個(gè)角頂數(shù)的二倍等于緊鄰對(duì)角頂?shù)膬蓴?shù)之和。即2a=f+h,2c=d+h,2g=b+f,2i=b+d。

        圖4

        知識(shí)拓展 幻方的傳播與文化影響

        幻方的思想從中國(guó)傳播到日本、朝鮮、印度、泰國(guó),后又陸續(xù)傳至阿拉伯世界、歐洲和美洲,受到世界各地人們的喜愛(ài),常被做成平安符、幸運(yùn)符等裝飾物。

        金庸的武俠小說(shuō)《射雕英雄傳》設(shè)置了黃蓉在桃花島回答幻方問(wèn)題的情節(jié):

        黃蓉笑道:“不但九宮,即使四四圖,五五圖,以至百子圖,亦不足為奇。就說(shuō)四四圖罷,以十六字依次作四行排列,先以四角對(duì)換,一換十六,四換十三,后以內(nèi)四角對(duì)換,六換十一,七換十。這般橫直上下斜角相加,皆是三十四?!?/p>

        黃蓉的這段話說(shuō)的正是前文所述楊輝的三階幻方作法和四階幻方作法( 圖3)。

        2014年,中華人民共和國(guó)澳門(mén)特別行政區(qū)發(fā)行的幻方郵票第一組6張,其中展示了特殊的幻方、構(gòu)造方法、變種等多方面內(nèi)容(圖片來(lái)源/ 維基百科)

        文藝復(fù)興時(shí)期德國(guó)畫(huà)家丟勒(Albrecht Dürer)1514年創(chuàng)作的著名銅版畫(huà)《憂郁I》。畫(huà)面右上角是一個(gè)四階幻方,底行中間的兩個(gè)數(shù)字暗示了創(chuàng)作年份(圖片來(lái)源/ 維基百科)

        圖5:一般三階幻方的ACE 公式

        規(guī)律3:一般三階幻方由某3個(gè)位置的數(shù)完全決定。比如,任意確定的a,c,e值,就能完成三階幻方的填充,而且填充方式只有一種( 如圖5)。我們把這組填充公式稱(chēng)為一般三階幻方的ACE 公式。

        讀者可以嘗試自己找出一般四階幻方的公式,這是解一個(gè)16元一次方程組的問(wèn)題。

        新想法——面積三階幻方

        幻方研究專(zhuān)家將一般三級(jí)幻方“更新升級(jí)”,用兩條橫斜直線和兩條豎斜直線,把正方形分成9 個(gè)四邊形,就得到面積三階幻方,如圖6。類(lèi)似的有面積四階幻方。這是幻方研究的新想法。

        筆者特別設(shè)計(jì)了一個(gè)面積三階幻方( 見(jiàn)圖7),第一行的面積數(shù)值剛好是《知識(shí)就是力量》本期數(shù)學(xué)特集發(fā)行的年份和月份。

        在文章的最后,筆者留給讀者們一個(gè)挑戰(zhàn)問(wèn)題:用互不相同的平方數(shù)構(gòu)造一個(gè)三階幻方。這是從瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉(L.Euler,1707—1783 年)開(kāi)始,至今仍未解決的問(wèn)題。也許本文的讀者里面就有將來(lái)解決這個(gè)難題的人!

        (責(zé)任編輯 / 高琳 美術(shù)編輯 / 周游)

        圖6:面積三階幻方(圖片來(lái)源/ 維基百科)

        ?《知識(shí)就是力量》本期數(shù)學(xué)特集發(fā)行的年份和月份

        圖7

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