陳熾雄,景小榮,劉友永,陳靜,金海焱

(1.重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院,重慶 400065;2.中國電子科技集團(tuán)公司第54研究所,石家莊 050081;3.電子科技大學(xué) 航空航天學(xué)院,成都 611731)

0 引 言

常規(guī)的頻率分集陣(Frequency Diverse Array,FDA)通過在傳統(tǒng)相控陣各陣元間引入微小的頻率差,實(shí)現(xiàn)了其波束指向與距離、角度相關(guān)[1]。因此,除了具有相控陣的所有功能特性外,FDA的陣列因子還具有距離依賴性。這使得FDA雷達(dá)在目標(biāo)定位[2-4]、干擾抑制[5-6]、合成孔徑雷達(dá)成像[7-8]和安全通信[9-10]等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。

當(dāng)前,對于FDA研究,通常假設(shè)陣列中陣元間距為半波長,即采用集中式陣列部署[11]。文獻(xiàn)[12]在集中式陣列基礎(chǔ)上建立了子陣級非線性FDA模型,將均勻線陣(Uniform Linear Array,ULA)劃分為互相不重疊且包含相同陣元數(shù)的子陣,獲得了較好的波束聚焦效果。但是,由于集中式陣列孔徑通常比較小,導(dǎo)致所形成的波束角度分辨率過低,難以適應(yīng)高角度分辨率的應(yīng)用場景的需求[13]。與集中式陣列部署相比,分布式陣列通過增大陣列口徑,可大幅提高角度分辨率并顯著提高輸出信噪比[13]。但是,分布式陣列將各子陣按等間距布陣將導(dǎo)致嚴(yán)重的柵瓣,從而引起波束指向模糊問題。因此,有效解決柵瓣問題成為分布式FDA技術(shù)應(yīng)用的關(guān)鍵。

目前,針對分布式陣列存在的柵瓣抑制問題的研究大多基于分布式相控陣,提出的方法對目標(biāo)距離和方位信息的聯(lián)合估計(jì)依然無能為力。為此本文結(jié)合FDA的思想,構(gòu)建了一種基于分布式線性子陣的FDA。在此基礎(chǔ)上,為了有效地抑制波束的柵瓣,對粒子群(Particle Swarm Optimization ,PSO)算法進(jìn)行了改進(jìn),給出一種改進(jìn)的粒子群(Improved Particle Swarm Optimization ,IPSO)算法,通過對分布式FDA中子陣間的基線距離進(jìn)行優(yōu)化,不但有效地抑制了柵瓣,而且可獲得不錯(cuò)的角度分辨率性能,同時(shí)獲得了與距離和角度均相關(guān)的波束圖。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文所提方法的有效性與可靠性。

1 分布式頻率分集陣結(jié)構(gòu)

如圖1所示,由K個(gè)均勻線陣構(gòu)成分布式FDA;各子陣均為由M個(gè)全向天線陣元構(gòu)成的ULA,子陣內(nèi)的陣元間距d=c/2f0,其中c為光速,f0為中心頻率;子陣間的基線距離D遠(yuǎn)大于子陣孔徑(簡單起見,先假設(shè)各子陣基線距離相等)。設(shè)定第k個(gè)子陣的輻射頻率為

圖1 分布式頻率分集陣

式中:Δfk為子陣k的頻率相對于分布式FDA的中心頻率的頻率增量。

在遠(yuǎn)場條件下,天線的發(fā)射波形即可視為平面波。以子陣1的第1個(gè)陣元作為參考陣元,記Rk,1為子陣k中第1個(gè)陣元到達(dá)遠(yuǎn)場(θ,Rk,1)處的距離,其中k=1,2,…,K,則

忽略信號隨距離衰減的影響,令子陣k中發(fā)射信號sk(t)=exp(-j2πfkt),則子陣k發(fā)送信號在遠(yuǎn)場(θ,Rk,1)處合成信號可表示為

式中:wk,m表示子陣k中第m個(gè)陣元的發(fā)射加權(quán)系數(shù)。由于Δfk＜＜c,式(3)中Δfk((k-1)Dsinθ+(m-1)dsinθ)/c≈0,于是,式(3)可寫為

考慮靜態(tài)波束,即設(shè)定t=0。為了使得各子陣發(fā)射波束在遠(yuǎn)場(θ0,R0)處聚焦,加權(quán)系數(shù)可設(shè)計(jì)為

由式(4)和式(5)知,K個(gè)子陣在遠(yuǎn)場目標(biāo)位置(θ0,R0)處合成的信號為

對應(yīng)地,分布式FDA的發(fā)射波束為

由式(7)知,波束形狀與子陣位置密切相關(guān),而子陣間均勻的基線距離會造成大量的柵瓣。為此,下節(jié)給出一種IPSO算法來實(shí)現(xiàn)柵瓣抑制。

2 改進(jìn)粒子群算法

PSO是一種基于群體搜索的處理連續(xù)或者離散空間內(nèi)優(yōu)化問題的算法。為了防止陷入局部最優(yōu),根據(jù)文獻(xiàn)[14],對傳統(tǒng)的PSO進(jìn)行了改進(jìn),在下一節(jié)將其用于子陣間基線距離的優(yōu)化,從而實(shí)現(xiàn)分布式FDA的柵瓣抑制。

(1)改進(jìn)1:權(quán)重系數(shù)w從最大值wmax非線性遞減到最小值wmin。w隨算法迭代次數(shù)的變化公式為[15]

式中:t和tmax分別為算法當(dāng)前迭代次數(shù)和最大迭代次數(shù)。通常取wmax=0.95,wmin=0.4。式(8)中的常數(shù)0.55和0.4是為了在算法迭代開始取w最大值wmax,而隨著迭代次數(shù)的增加,w逐漸趨近最小值wmin。這樣能夠保證粒子群在初始狀態(tài)時(shí)以較大的權(quán)重系數(shù)進(jìn)行全局性搜索,而在迭代后期又以較小的固定權(quán)值進(jìn)行更為精細(xì)化的局部尋優(yōu)。Wc為權(quán)重控制系數(shù),通過調(diào)節(jié)Wc的大小進(jìn)而來調(diào)整wmax在種群進(jìn)化過程中所占的比例。在常規(guī)的PSO算法中,Wc通常取3～8之間的整數(shù)。為了提高算法迭代前期粒子的全局性搜索能力,本文中選取Wc=3。

(2)改進(jìn)2:為了提高群體的多樣性[15],引入二階振蕩方式對粒子的速度進(jìn)行更新:

式中:Vt(n,:)、Pbestt(n,:)、Pt(n,:)和Gbestt分別為第t次迭代中第n個(gè)粒子的速度、歷史個(gè)體最優(yōu)位置、當(dāng)前位置和群體最優(yōu)位置;Pt-1(n,:)為第t-1次迭代中第n個(gè)粒子的位置;c1、c2為學(xué)習(xí)因子;rand表示0～1之間的隨機(jī)數(shù);ξ1、ξ2為隨機(jī)數(shù),在迭代前期取

這樣可以提高粒子在前期的快速尋優(yōu)能力;在算法后期取

這樣可以使得算法漸近收斂。

(3)改進(jìn)3:引入自然選擇原理,在每次迭代過程中將整個(gè)粒子群按照適應(yīng)值的大小來進(jìn)行排序,并用群體中適應(yīng)值最好的一半粒子的速度與位置來替換群體中適應(yīng)值最差的一半粒子的位置和速度,在這一過程中保留原來個(gè)體記憶的最優(yōu)值不變,從而提高粒子接近最優(yōu)值的幾率。

3 分布式FDA柵瓣抑制

由于分布式FDA中各子陣內(nèi)天線單元間距固定為半波長,因而無法對子陣內(nèi)各天線單元間距進(jìn)行優(yōu)化。為此,通過優(yōu)化其他子陣的上下邊界位置來確定各子陣的最優(yōu)位置(k-1)Dk,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)柵瓣抑制,其中,Dk∈ΔD,ΔD={D1,D2,…,DK}。于是,根據(jù)式(7),分布式FDA的發(fā)射波束可改寫為

3.1 適應(yīng)度函數(shù)

為了利用IPSO算法對各子陣的位置進(jìn)行優(yōu)化,定義適應(yīng)度函數(shù),其定義為距離維和角度維波束圖最大副瓣電平的絕對值之和:

式中:Z1、Z2分別是距離維和角度維波束圖的旁瓣區(qū)間。定義如下優(yōu)化模型:

式中:max表示求最大值函數(shù)。

3.2 基于IPSO的分布式FDA柵瓣抑制方法的具體操作流程

結(jié)合第2節(jié)的IPSO,基于IPSO的分布式FDA柵瓣抑制方法的具體操作流程如下(其中,N為IPSO算法迭代過程中粒子的個(gè)數(shù),群體最優(yōu)位置Gbest為式(14)中待求解的ΔD):

輸入:N,K,tmax

輸出:Gbest

Step 1 初始化粒子的位置矩陣P和速度矩陣V。

1 for alln=1,2,…,Ndo

2P(n,:)=Dmin+(Dmax-Dmin)×rand(1,K)

3V(n,:)=Dmin+(Dmax-Dmin)×rand(1,K)

4 end for

Step 2 計(jì)算適應(yīng)度值,找到Pbest和Gbest。

5 for alln=1,2,…,Ndo

6 compute MSLL

7 end for

8 generating Pbest and Gbest based on MSLL

Step 3 Pbest和Gbest迭代更新。

9 Whilet≤tmaxdo

10 forn=1,2,…,Ndo

11 updateV(n,:) through Second order oscillationmethod

12 updateP(n,:) byV(n,:)

13 end for

14 forn=1,2,…,Ndo

15 compute MSLL

16 end for

17 forn=1,2,…,Ndo

18 update Pbest(n,:) and Gbest based on MSLL

19 end for

20 updatePandVthrough principle of natural selection

21t=t+1

22 end while

由上述流程可知,IPSO算法的復(fù)雜度為O(tmax(N+NK+N+NlnN)),PSO的復(fù)雜度為O(tmax(N+NK+N))。IPSO算法因其引入的自然選擇原理需要在每一次算法迭代中對適應(yīng)度值進(jìn)行排序,故而其復(fù)雜度略高于PSO。

4 分布式FDA的CRLB分析

克拉美羅下界(Cramer-Rao Lower Bound ,CRLB)作為評估估計(jì)性能的重要指標(biāo),文獻(xiàn)[16]對FDA的CRLB推導(dǎo)和分析進(jìn)行了深入研究。本節(jié)主要對優(yōu)化后的分布式FDA進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的CRLB推導(dǎo)。由圖1可以推出,當(dāng)處于時(shí)刻t時(shí),參考陣元發(fā)出的信號在遠(yuǎn)場(θ,R1,1)處的相位為

子陣k中第m個(gè)陣元發(fā)出的信號在遠(yuǎn)場(θ,R1,1)處的相位為

兩者相位差表示為

由式(2)、式(15)和式(16),相位差可簡化為

而由式(18),分布式FDA的陣列導(dǎo)向矢量為

假設(shè)目標(biāo)位于(θ,R1,1),陣列接收到回波信號經(jīng)過匹配濾波之后,等效的復(fù)基帶信號可以表示為

式中:γ表示目標(biāo)點(diǎn)的反射系數(shù),對于確定的目標(biāo)γ是一個(gè)常數(shù);ψ=[θ,R1,1]T;n為均值為0、方差為σ2的空間復(fù)高斯噪聲,其協(xié)方差矩陣表示為

式中:E{·}表示求數(shù)學(xué)期望;H表示共軛轉(zhuǎn)置;Rn和σ2分別表示噪聲的協(xié)方差矩陣和功率;IKM表示KM×KM的單位陣。

當(dāng)目標(biāo)的距離R1,1已知而方位角θ未知時(shí),待估計(jì)的參數(shù)ψ=θ,其費(fèi)歇爾信息矩陣(Fisher Information Matrix,FIM)定義為

式中:Re{·}表示取信號的實(shí)部;ψi表示參數(shù)向量的第i個(gè)元素;Dψi(ψ)表示為

將式(19)代入式(23),得到

式中:G是一對角矩陣,表示為

信噪 比(Signal-to-Noise Ratio,SNR)定 義 為,于是式(22)可表示為

當(dāng)目標(biāo)的方位角θ已知而距離R1,1未知時(shí),估計(jì)的參數(shù)ψ=R1,1,則得到

由微積分得到

將式(28)代入式(27)可得

式中:

當(dāng)目標(biāo)的距離和方位角均未知時(shí),估計(jì)參數(shù)ψ=(θ,R1,1),對應(yīng)的FIM為一個(gè)二維的矩陣:

由于

由式(24),式(28)和式(32)得到

將式(33)代入式(31),得到

由式(34)可得到

式中:

5 仿真分析

仿真中,設(shè)定粒子數(shù)N=30,算法迭代次數(shù)tmax=1 000;子陣個(gè)數(shù)K=21,每個(gè)子陣的陣元數(shù)M=5;Δfk=Δflg(k),頻率增量Δf=10 kHz,光速c=3×

108m/s,中心頻率f0=10 GHz;粒子速度上限Vmax=1.5,粒子速度下限Vmin=-1.5,粒子位置上限Xmax=1.5 m,粒子位置下限Xmin=1 m;期望目標(biāo)R0=186 km,θ0=25.20。

5.1 IPSO算法收斂特性

本文提出的IPSO由于引入了第2節(jié)中所述的3個(gè)改進(jìn)點(diǎn),平衡了算法的全局搜索能力和局部搜索能力,提高了群體的多樣性,增加了粒子接近最優(yōu)值的幾率,獲得了較好的收斂性能。IPSO優(yōu)化后的子陣位置如表1所示。同時(shí),由收斂速度的定義(式(37))結(jié)合圖2的仿真結(jié)果可知,CIPSO=0.996 5,CPSO=0.998 2。顯然,PSO的收斂速度大于IPSO,導(dǎo)致其提前收斂進(jìn)入局部最優(yōu)解,這點(diǎn)恰好與圖2結(jié)果一致。同時(shí),雖然IPSO的復(fù)雜度略高于PSO的復(fù)雜度,但I(xiàn)PSO算法的尋最優(yōu)解能力優(yōu)于文獻(xiàn)[14]的PSO算法。

圖2 優(yōu)化過程

表1 參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

式中:x*是算法迭代收斂值;x(t)表示第t次迭代的數(shù)值;C是常數(shù)。

5.2 發(fā)射波束圖解耦及其柵瓣抑制

在分布式FDA中分別采用線性頻率偏移和對數(shù)頻率偏移兩種方案,即分別使Δfk=(k-1)Δf和Δfk=Δflg(k),并代入PSO和IPSO優(yōu)化得到的基線距離參數(shù)ΔD。仿真得到柵瓣抑制前后的分布式FDA的發(fā)射波束如圖3～9所示。

從圖3(a)可以看出,各子陣等間距布陣情況下,分布式FDA的線性頻偏方案中波束方向圖在距離維度出現(xiàn)了嚴(yán)重的柵瓣;然而,圖3(b)中的對數(shù)頻偏方案中卻因?yàn)榇蚱屏瞬ㄊ较驁D在距離維的周期性而消除了柵瓣,但是副瓣電平極高。

圖3 柵瓣抑制前不同頻率偏移方案下的距離維發(fā)射波束圖

從圖4(a)和(b)分析可以發(fā)現(xiàn),各子陣按非均勻方式布陣后,分布式FDA的線性頻偏方案中波束方向圖在距離維度出現(xiàn)了周期性的峰值,其周期TR=c/Δf。這也驗(yàn)證了其波束方向圖在距離維呈現(xiàn)周期性的結(jié)論。其次,對于線性頻偏方案而言,由于距離-角度耦合問題未得到解決,通過改變子陣的位置對分布式FDA在距離維形成的波束圖幾乎沒有影響。最后,由于對數(shù)頻偏方案中波束圖解除了距離和方位角耦合,所以圖4(c)和(d)中消除了柵瓣,波束有且僅有一個(gè)峰值,能量更加集中在了特定的區(qū)域之內(nèi),并且IPSO相比PSO實(shí)現(xiàn)了旁瓣的進(jìn)一步抑制。

圖4 柵瓣抑制后不同算法下的距離維發(fā)射波束圖

由于頻率偏移方案的改變對角度維的波束方向圖影響不大[17],因此,圖5中各子陣等間距布陣情況下,無論是線性頻偏方案還是對數(shù)頻偏方案,分布式FDA的波束方向圖在角度維度都會出現(xiàn)嚴(yán)重的柵瓣。

圖5 柵瓣抑制前不同頻率偏移方案下的角度維發(fā)射波束圖

由圖6～9可看出,各子陣按非均勻方式布陣后,分布式FDA的角度維波束圖在兩種頻偏方案下都消除了柵瓣。在歸一化后,IPSO在分布式FDA的角度維波束圖的旁瓣抑制中比使用PSO要低0.04左右,旁瓣抑制效果更好。同時(shí),兩種頻偏方案下的角度維波束寬度都變的很窄,達(dá)到了0.06°,大幅提高了角度分辨率,將會使波束指向性更好,使掃描更加精確,從而更有助于目標(biāo)定位。

圖6 PSO線性頻偏

圖7 IPSO線性頻偏

圖8 PSO對數(shù)頻偏

圖9 IPSO對數(shù)頻偏

5.3 分布式FDA的CRLB仿真分析

圖10比較了當(dāng)目標(biāo)距離和角度均未知時(shí)分布式FDA的CRLB性能。首先,可看出使用對數(shù)頻偏方案下的距離維和角度維估計(jì)性能的CRLB均優(yōu)于使用線性頻偏方案,這是因?yàn)閷?shù)頻偏方案打破了距離-角度的耦合性。其次,IPSO下的兩種頻偏方案下的估計(jì)性能均優(yōu)于PSO。最后,由于分布式FDA角度維較窄的波束寬度,使得角度維的估計(jì)性能即使在低信噪比時(shí)也比文獻(xiàn)[16]有大幅提升。因此本文提出的分布式FDA更加適合應(yīng)用于對角度分辨率和測角精度要求高的應(yīng)用場景。

圖10 CRLB與SNR的關(guān)系

6 結(jié)束語

本文融合ULA和FDA,提出了一種基于分布式線性陣列的FDA結(jié)構(gòu),并通過引入IPSO算法來優(yōu)化各子陣間的基線距離,以達(dá)到消除柵瓣和降低旁瓣的目標(biāo);同時(shí),通過理論分析,驗(yàn)證了本文提出的方法可有效提高角度維和距離維的估計(jì)性能,從而更有利于目標(biāo)定位。此外,本文所引入的IPSO算法可推廣至其他陣列天線優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。對于分布式FDA下的多個(gè)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行距離-角度-速度的三維參數(shù)聯(lián)合估計(jì)性能以及以均勻面陣作為子陣的分布式FDA,將在后續(xù)工作中開展研究。