【摘要】數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方面，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，即以數(shù)學(xué)模型為橋梁，通過(guò)對(duì)生活中的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象與提煉，將實(shí)際問(wèn)題“數(shù)學(xué)化”，然后將抽象出來(lái)的問(wèn)題代入相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型之中，最終運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、公式及定理進(jìn)行求解與驗(yàn)證。文章首先對(duì)數(shù)學(xué)建模思想進(jìn)行概述，然后分析將數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)教學(xué)的必要性與可行性，最后提出數(shù)學(xué)建模思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué)；建模思想；應(yīng)用

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.5【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A【文章編號(hào)】1004—0463（2022）19—0083—04

《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年）》要求在課程設(shè)計(jì)思路中體現(xiàn)模型思想，并特別指出：“在呈現(xiàn)作為知識(shí)與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時(shí)，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問(wèn)題的能力?！背踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想，能夠發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，使其以數(shù)學(xué)模型的視角來(lái)觀察生活，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。因此，開(kāi)展數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用實(shí)踐及探索，既是對(duì)新課程理念的積極響應(yīng)，也是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的深刻體現(xiàn)。

一、數(shù)學(xué)建模思想概述

所謂數(shù)學(xué)建模，是為了解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、公式、定理及法則形成一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，然后將“數(shù)學(xué)化”的問(wèn)題與數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)起來(lái)，以實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決[1]。數(shù)學(xué)建模思想本質(zhì)上就是一種數(shù)學(xué)手段或數(shù)學(xué)工具，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的精準(zhǔn)性、簡(jiǎn)潔性、概括性的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用，通常要遵循四個(gè)步驟：?jiǎn)栴}情境化，模型準(zhǔn)備階段；問(wèn)題數(shù)學(xué)化，模型建立階段；問(wèn)題得以解決，模型應(yīng)用階段；問(wèn)題應(yīng)用拓展，模型深化階段。

關(guān)于數(shù)學(xué)建模的研究，盡管起步較晚，然而研究成果斐然。二十世紀(jì)70年代初期，國(guó)內(nèi)在農(nóng)業(yè)、生物等生產(chǎn)領(lǐng)域出現(xiàn)模型思想，而美、英等國(guó)已將數(shù)學(xué)建模思想與教育教學(xué)深度融合，并產(chǎn)生了深刻影響。至80年代，國(guó)內(nèi)高校針對(duì)大學(xué)生開(kāi)設(shè)專(zhuān)門(mén)的課程——數(shù)學(xué)模型課。隨后，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽活動(dòng)開(kāi)始舉辦且漸趨豐富，數(shù)學(xué)建模思想自高等教育向基礎(chǔ)教育領(lǐng)域滲透。但是，有關(guān)高中數(shù)學(xué)建模思想的研究及實(shí)踐較多，而初中及小學(xué)階段的數(shù)學(xué)建模成果較少。由于數(shù)學(xué)建模思想滲透不夠，教師往往局限于“問(wèn)題解決”本身，學(xué)生學(xué)起來(lái)吃力而低效。因此，教師應(yīng)將“需求關(guān)聯(lián)、抽象簡(jiǎn)化、建立模型、問(wèn)題求解、模型檢驗(yàn)”這一基本的數(shù)學(xué)建模步驟內(nèi)化，并將其應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)教學(xué)中。

二、建模思想應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)教學(xué)的必要性與可行性

（一）數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用的必要性

1.感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)趣味。數(shù)學(xué)建模體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，即高度抽象[2]。當(dāng)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并能夠?qū)?shù)學(xué)問(wèn)題與數(shù)學(xué)建模形成對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)，仿佛找到了解決問(wèn)題的“金鑰匙”，其科學(xué)探究的樂(lè)趣也正在于此。如果繼續(xù)深入研究，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生將數(shù)學(xué)建模推而廣之，能夠解決某一類(lèi)型的問(wèn)題，這樣借助模型學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)情境理解得更為透徹，對(duì)數(shù)學(xué)建模建立過(guò)程中的條件與假設(shè)、轉(zhuǎn)化與抽象、猜想與論證更加得心應(yīng)手。

2.培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。數(shù)學(xué)是一門(mén)應(yīng)用性極強(qiáng)的學(xué)科，將問(wèn)題解決與數(shù)學(xué)建模結(jié)合起來(lái)學(xué)習(xí)，既體現(xiàn)了學(xué)科屬性，又賦予數(shù)學(xué)課堂以豐富的人文內(nèi)涵[3]。數(shù)學(xué)建模的目的在于解決實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化或?qū)?shù)學(xué)問(wèn)題生活化，體現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)建模的猜想、假設(shè)、探索、求證與應(yīng)用之中，這將會(huì)培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生的探究能力。從當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，數(shù)學(xué)建模思想的滲透與應(yīng)用較少，且多以教師的個(gè)人經(jīng)驗(yàn)總結(jié)為主，對(duì)學(xué)生主體的關(guān)注度不足，這就導(dǎo)致學(xué)生害怕應(yīng)用題。但必須指出的是，應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)的重頭戲，學(xué)生看不懂?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題，又難以在實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)知識(shí)之間建立有效聯(lián)系，其背后的原因是數(shù)學(xué)建模意識(shí)不足。因此，教師在課堂上要重視數(shù)學(xué)建模思想的滲透及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)，真正讓學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)建模思想實(shí)現(xiàn)“以學(xué)促用，以用導(dǎo)學(xué)”的學(xué)習(xí)效果，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

3.發(fā)展學(xué)生思維品質(zhì)。數(shù)學(xué)建模本質(zhì)上是以數(shù)理邏輯來(lái)重構(gòu)實(shí)際問(wèn)題，當(dāng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題情境進(jìn)行簡(jiǎn)化與抽象時(shí)，其思維更趨于縝密，其思路更加趨于嚴(yán)謹(jǐn)，他們會(huì)對(duì)模型進(jìn)行初步的假設(shè)或猜想，也會(huì)對(duì)特例進(jìn)行驗(yàn)證或推導(dǎo)，這本身就是思維的發(fā)展與訓(xùn)練過(guò)程。學(xué)生在運(yùn)用概念、公式、定理等進(jìn)行假設(shè)與推理的過(guò)程中，思維更為靈活，更為高效。建模思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，能夠培養(yǎng)學(xué)生的抽象、概括、轉(zhuǎn)化、推理等思維。學(xué)生在運(yùn)用公式、定理等抽象化的數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，對(duì)信息進(jìn)行提取、加工與建構(gòu)，能夠培養(yǎng)自身的概括與抽象、類(lèi)比與歸納、猜想與推理能力?？梢哉f(shuō)，數(shù)學(xué)建模思想將學(xué)生從單個(gè)的問(wèn)題解決推向數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的思考，學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的過(guò)程，也是思維不斷優(yōu)化的過(guò)程，而從識(shí)記簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式或數(shù)學(xué)符號(hào)，到理解數(shù)學(xué)建模的結(jié)構(gòu)、表征和變式，體現(xiàn)了從低階思維到高階思維的發(fā)展。

（二）數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用的可行性

1.數(shù)學(xué)教學(xué)方式在不斷創(chuàng)新。隨著新課程理念的不斷深入與持續(xù)推進(jìn)，數(shù)學(xué)教學(xué)改革的力度也逐漸加大，教學(xué)方式不斷創(chuàng)新。當(dāng)前，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師將實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)教學(xué)有機(jī)結(jié)合，將數(shù)學(xué)建模思想引入課堂，讓學(xué)生“在問(wèn)題中探究模型，在模型中解決問(wèn)題”，既開(kāi)闊了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，豐富了課堂學(xué)習(xí)氣氛，又使數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用具有可能性。初中數(shù)學(xué)知識(shí)體量大，數(shù)學(xué)公式較為復(fù)雜，問(wèn)題情境所涉及的條件隱蔽，學(xué)生理解起來(lái)吃力，應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想，可以讓學(xué)生借助數(shù)學(xué)模型達(dá)到“以簡(jiǎn)馭繁”的效果，并讓學(xué)生體驗(yàn)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

2.學(xué)生思維能力在逐步提高。初中生正處于思維發(fā)展的黃金階段，而數(shù)學(xué)能夠讓學(xué)生在抽象與概括、聚合與發(fā)散、逆向與順向的過(guò)程中獲得思維的訓(xùn)練。生活中的實(shí)際問(wèn)題層出不窮，數(shù)學(xué)問(wèn)題情境復(fù)雜多變，而數(shù)學(xué)建模則是從變中發(fā)現(xiàn)不變，即讓學(xué)生有規(guī)律可循。萬(wàn)變不離其宗，“宗”即是特有的、核心的、結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)模型，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想，讓學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)建模并正確求解，即是“以不變應(yīng)萬(wàn)變”的原理。

三、數(shù)學(xué)建模思想的具體應(yīng)用策略

（一）深入教材內(nèi)容，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

部編版初中數(shù)學(xué)教材蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)建模思想。從方程到函數(shù)，從圖形面積到向量問(wèn)題，無(wú)論是數(shù)學(xué)符號(hào)的抽象表征、數(shù)學(xué)圖形的直觀呈現(xiàn)，還是數(shù)學(xué)公式的推理，無(wú)論是數(shù)量關(guān)系的表達(dá)，還是空間形式的描述，都指向一種抽象化、概括化、精確化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即數(shù)學(xué)模型[4]。然而，教材中所涉及的數(shù)學(xué)問(wèn)題，多是以問(wèn)題情境方式呈現(xiàn)，它能夠激活學(xué)生的生活體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生的探究意識(shí)，使學(xué)生樹(shù)立“根植生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”的思想，但對(duì)數(shù)學(xué)模型的呈現(xiàn)較為模糊。這就要求教師能夠?qū)⑸顔?wèn)題數(shù)學(xué)化，將數(shù)學(xué)問(wèn)題類(lèi)型化，以數(shù)學(xué)建模的方式在“問(wèn)題”與“求解”之間構(gòu)建新的橋梁。初中生已具備基本的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)理邏輯能力，教師在學(xué)生剛開(kāi)始學(xué)習(xí)某個(gè)公式或某一定理時(shí)，可以滲透模型意識(shí)，或讓學(xué)生自主推導(dǎo)公式，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行抽象與概括，或讓學(xué)生對(duì)定理“變形”，提煉已知條件與未知條件，形成對(duì)教材知識(shí)的重構(gòu)。這樣，教師通過(guò)深入教材內(nèi)容，提煉基本的數(shù)學(xué)模型，并將其內(nèi)化為學(xué)生問(wèn)題解決中的“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”，使學(xué)生在“問(wèn)題—模型”之間自由切換，靈活轉(zhuǎn)化，那么學(xué)生將形成數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，其數(shù)學(xué)思維也獲得相應(yīng)的發(fā)展與訓(xùn)練。

（二）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，滲透建模意識(shí)

數(shù)學(xué)模型與解決問(wèn)題之間是相互依存，相互聯(lián)系的[5]。因問(wèn)題情境而建立數(shù)學(xué)模型，因建立數(shù)學(xué)模型而解決問(wèn)題。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，滲透建模意識(shí)，就是讓學(xué)生從數(shù)學(xué)模型的角度來(lái)抽象與簡(jiǎn)化、理解與分析、求證與檢驗(yàn)問(wèn)題。在講授新知識(shí)時(shí)，教師可以通過(guò)“情境+問(wèn)題鏈”的方式，讓學(xué)生步步追問(wèn)，層層深入，在探究的過(guò)程中培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)。在習(xí)題聯(lián)系時(shí)，教師可以通過(guò)“情境+問(wèn)題變式”的方式，讓學(xué)生熟知已知條件與未知條件，對(duì)問(wèn)題能夠舉一反三，在思維發(fā)散的同時(shí)內(nèi)化數(shù)學(xué)建模思想。比如，在“一次函數(shù)”教學(xué)中，教師可以創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境：已知某小車(chē)所行駛的路程為y，在一定的范圍內(nèi)是其行駛時(shí)間x的一次函數(shù)，假設(shè)該小車(chē)為勻速運(yùn)動(dòng)，速度為k，現(xiàn)已測(cè)得小車(chē)的時(shí)速為110千米/小時(shí)，行駛時(shí)間為2.5小時(shí)，求小車(chē)行駛路程為多少千米？假設(shè)小車(chē)從甲地到乙地去，二者相距300千米，在從甲地駛出40千米后，再以90千米/小時(shí)的速度計(jì)時(shí)，那么小車(chē)需要繼續(xù)行駛多少小時(shí)才能到乙地？從上述問(wèn)題中不難發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是求行駛路程，還是求行駛時(shí)間，都能夠?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型問(wèn)題，即題目中所說(shuō)的“一次函數(shù)”模型。由于題目中已經(jīng)給出數(shù)學(xué)模型，因此數(shù)學(xué)建模過(guò)程可以省略，直接將條件代入一次函數(shù)解析式，即y=kx+b這一數(shù)學(xué)模型，正確求解即可。

（三）變式練習(xí)遷移，促進(jìn)模型應(yīng)用

分析近年來(lái)的中考數(shù)學(xué)試題，注重?cái)?shù)學(xué)模型的考查，尤其是由兩種或兩種以上數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的復(fù)合模型，因?yàn)樯婕爸R(shí)面廣，模型理解難度大，往往成為學(xué)生拉開(kāi)分?jǐn)?shù)差距的難題。因此，設(shè)計(jì)變式訓(xùn)練、變換模型的條件，讓學(xué)生多角度、多情境、多層次理解與應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，內(nèi)化數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，從而能夠正確解決問(wèn)題。眾所周知，數(shù)學(xué)習(xí)題的訓(xùn)練，是為了找出其中的規(guī)律，并能夠讓學(xué)生將這種規(guī)律應(yīng)用于同類(lèi)型的問(wèn)題解決之中，“熟能生巧”的道理即是如此。因此，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練、分類(lèi)歸納、遷移拓展，是數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用的重要途徑。因此，教師應(yīng)精選習(xí)題，以典型性、趣味性、實(shí)用性的問(wèn)題來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的“變形”或“變式”，讓學(xué)生從原有問(wèn)題到變式問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的有效遷移。這樣，學(xué)生在分析變式問(wèn)題的過(guò)程中，能夠?qū)?shù)學(xué)模型了然于胸，進(jìn)而達(dá)到熟練運(yùn)用的地步。比如，在“一次函數(shù)”教學(xué)中，教師為了鼓勵(lì)學(xué)生好好學(xué)習(xí)，可以對(duì)y=kx+b這一數(shù)學(xué)模型稍加變形，假設(shè)y是一個(gè)學(xué)生的綜合得分，k是它的方向及方法，而x是努力程度，b是學(xué)生的起點(diǎn)。那么用一次函數(shù)圖像的形式直觀呈現(xiàn)，就可以看出這個(gè)學(xué)生得分是處于上升趨勢(shì)還是下降趨勢(shì)，將不同學(xué)生得分情況反映在圖像上，就能進(jìn)行直觀比較與評(píng)價(jià)。這樣，教師以變式訓(xùn)練的方式，不但加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解程度，也對(duì)學(xué)生進(jìn)行了情感激勵(lì)教育，讓學(xué)生從中感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值與信心。

（四）及時(shí)總結(jié)反思，內(nèi)化模型思想

“知”與“用”屬于兩個(gè)不同的學(xué)習(xí)層次，對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解認(rèn)知與熟練應(yīng)用，體現(xiàn)了學(xué)生的思維品質(zhì)發(fā)展程度，也是實(shí)際問(wèn)題解決能力的重要體現(xiàn)[6]。不少學(xué)生從小學(xué)到初中，用功程度絲毫不減，學(xué)習(xí)態(tài)度依舊端正，然而數(shù)學(xué)成績(jī)卻一落千丈。究其原因，就是初中知識(shí)體量增大，學(xué)習(xí)難度加大，而簡(jiǎn)單沿襲小學(xué)的題海戰(zhàn)術(shù)，采用機(jī)械記憶或套用公式的方法來(lái)應(yīng)對(duì)，就會(huì)捉襟見(jiàn)肘。在初中數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生若不能及時(shí)總結(jié)反思，無(wú)法將生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化，那么學(xué)生學(xué)起來(lái)就會(huì)力不從心。比如，在“一次函數(shù)”教學(xué)時(shí)，教師可以布置開(kāi)放性作業(yè)：讓學(xué)生回家用卷尺量一下家人的鞋子長(zhǎng)度（精確到0.1厘米），將鞋長(zhǎng)記錄下來(lái)，然后分別對(duì)應(yīng)各自的尺碼，對(duì)鞋長(zhǎng)與尺碼之間的關(guān)系進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想，嘗試用一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)來(lái)建立數(shù)學(xué)模型。

探究數(shù)學(xué)建模思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，需要教師引導(dǎo)學(xué)生在“解決問(wèn)題”與“數(shù)學(xué)模型”之間建立有效關(guān)聯(lián)，然后放手讓學(xué)生自主探索，正確運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、公式或定理進(jìn)行相應(yīng)的求解。這就需要教師轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)教學(xué)觀念，提升自身數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，將數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中。當(dāng)學(xué)生接觸新知識(shí)時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系舊知識(shí)，聚焦數(shù)學(xué)概念、公式或定理，探究其中的“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”，以滲透數(shù)學(xué)建模意識(shí)；當(dāng)學(xué)生完成數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)他們“一題多解”或“多題一解”，嘗試從中找規(guī)律，找聯(lián)系點(diǎn)，以建立數(shù)學(xué)模型；當(dāng)學(xué)生總結(jié)復(fù)習(xí)時(shí)，教師應(yīng)貫通學(xué)生的生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題，將數(shù)學(xué)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，從而達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)模型“得之于心，應(yīng)之于手”的熟練程度。

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編輯：張昀