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        一類代數(shù)鏈環(huán)的棍棒指標(biāo)估計(jì)

        2022-12-28 02:00:36王樹新趙一狄
        關(guān)鍵詞:投影圖樹樁扇形

        王樹新,趙一狄,陶 金

        (遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116029)

        本文從上述研究結(jié)果出發(fā),將鏈環(huán)的投影圖、加權(quán)樹圖與纏繞的分段線性構(gòu)造緊密結(jié)合起來,利用三維流形組合拓?fù)涞难芯考记珊头椒ǖ玫搅艘活惔鷶?shù)鏈環(huán)的棍棒指標(biāo)估計(jì).

        1 預(yù)備知識

        定義1.1將0-纏繞做n次正(負(fù))水平扭轉(zhuǎn)得到的纏繞稱為水平+n(-n)-整數(shù)纏繞,n∈+;將∞-纏繞做n次正(負(fù))豎直扭轉(zhuǎn)得到的纏繞稱為豎直+n(-n)-整數(shù)纏繞,n∈+;稱水平整數(shù)纏繞和豎直整數(shù)纏繞為整數(shù)纏繞.

        定義1.2設(shè)T1,T2是2個(gè)纏繞,若纏繞T1,T2間由2段弧相連接,則稱纏繞T1和T2以代數(shù)方式連接.

        定義1.3設(shè)T是一個(gè)由n個(gè)整數(shù)纏繞Ti(1≤i≤n,n∈+)相連構(gòu)成的纏繞,若任意2個(gè)纏繞Ti,Tj間均以代數(shù)方式連接,其中,i≠j且1≤i,j≤n,則稱纏繞T為一個(gè)代數(shù)纏繞.

        定義1.4設(shè)L是一個(gè)代數(shù)鏈環(huán),D是L任意一個(gè)投影圖,若投影圖D可通過一系列坍塌操作化簡為8字型,如圖1所示,則稱D為L的代數(shù)投影圖;否則,稱D為L的非代數(shù)投影圖.

        圖1 8字型

        定義1.5設(shè)T是一個(gè)纏繞,記c(T)=min{c(DT)|,其中,DT是纏繞T的任意一個(gè)投影圖,c(DT)是DT的交叉點(diǎn)個(gè)數(shù)},稱c(T)為纏繞T的交叉數(shù).

        定義1.6設(shè)T是一個(gè)纏繞,記s(T)=min{sn(PT)|,其中,PT是纏繞T的任意一個(gè)多邊形表示,sn(PT)表示PT的邊數(shù)},稱s(T)為纏繞T的棍棒指標(biāo).

        定義1.7由頂點(diǎn)和邊構(gòu)成的,且不包含任何環(huán)路的圖稱為樹圖.

        注1.1樹圖通常用字母G1,G2,…,Gn表示.

        定義1.8設(shè)G是一樹圖,若G的各個(gè)頂點(diǎn)都有整數(shù)對應(yīng),則稱該整數(shù)為對應(yīng)頂點(diǎn)的權(quán)重,若G的任意頂點(diǎn)都對應(yīng)有權(quán)重,則稱圖G為加權(quán)樹圖.

        定義1.9設(shè)G是一個(gè)樹圖,若G中存在一頂點(diǎn)恰好與一條邊相連,則稱該頂點(diǎn)為樹圖G的一個(gè)樹樁;若G中存在一頂點(diǎn)恰好與兩條邊相連,則稱該頂點(diǎn)為樹圖G的一個(gè)樹枝.

        定義1.10設(shè)G是一樹圖,若G中存在一個(gè)頂點(diǎn)與至少2個(gè)向下延伸的樹樁或樹枝相連,則該頂點(diǎn)與其下面相連接的樹樁和樹枝整體被稱作樹圖G中的一個(gè)扇形.圖2給出了幾個(gè)扇形的例子.

        目前,全球各國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展都相互依存,經(jīng)濟(jì)全球化的趨勢越來越明顯。在此背景下,企業(yè)財(cái)務(wù)管理也要順應(yīng)形勢,結(jié)合企業(yè)的實(shí)際情況,要有全球化視野,在進(jìn)行企業(yè)的內(nèi)部控制和管理的時(shí)候,要關(guān)注全球經(jīng)濟(jì)的形勢變化,結(jié)合形勢的變化,剖析企業(yè)內(nèi)部財(cái)務(wù)管理制度的問題。探索全球化的背景下,與企業(yè)實(shí)際情況符合的財(cái)務(wù)管理模式,更好地改進(jìn)企業(yè)財(cái)務(wù)管理的效率。

        圖2 扇形的例子

        定義1.11設(shè)L是一代數(shù)鏈環(huán),DL是L的代數(shù)投影圖,G是其對應(yīng)的樹圖,若G滿足:

        (1)除了樹樁上的頂點(diǎn),G上其余所有頂點(diǎn)的權(quán)重均為0;

        (2)G上每一個(gè)樹枝均連接權(quán)重的絕對值大于1的樹樁;

        (3)除了可能有一個(gè)零權(quán)重的樹樁外,G上的樹樁與代數(shù)投影圖DL中的整數(shù)纏繞是一一對應(yīng)的;

        (4)G的最高頂點(diǎn)連接3條或3條以上向下延伸的邊;

        (5)G上頂點(diǎn)或者連接權(quán)重為+1的樹樁,或者連接權(quán)重為-1的樹樁,或者連接帶有任意權(quán)重樹樁的樹枝,進(jìn)一步地,對滿足前述條件的G所對應(yīng)的投影圖進(jìn)行翻轉(zhuǎn)簡化,使G中任意樹枝或權(quán)重為±1的樹樁盡可能向左移動(dòng).

        則稱G是L的一個(gè)PL標(biāo)準(zhǔn)加權(quán)樹圖,DL是L的標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)投影圖.

        2 整數(shù)纏繞的分段線性構(gòu)造

        在整數(shù)纏繞的分段線性構(gòu)造中,本文要求纏繞的多邊形表示的4個(gè)出口方向NW,NE,SW,SE對應(yīng)4條邊的角度都與水平軸成40°~50°角,表1給出了整數(shù)纏繞的分段線性構(gòu)造的3種方式.

        表1 整數(shù)纏繞的分段線性構(gòu)造方式

        3 主要結(jié)果

        定理3.1設(shè)L是一代數(shù)鏈環(huán),GL是L的PL標(biāo)準(zhǔn)加權(quán)樹圖,且GL對應(yīng)L的一個(gè)具有最少交叉點(diǎn)的投影圖,若GL中存在緊挨著扇形且?guī)в袡?quán)重為±2樹樁的樹枝,則

        s(L)≤c(L)+n2+nf+n1?f-n2?s+2.

        其中,c(L)為L的交叉數(shù),n2為GL中權(quán)重為±2的樹樁個(gè)數(shù),nf為GL中扇形的個(gè)數(shù),n1?f為GL中不在扇形內(nèi)且權(quán)重為±1的樹樁個(gè)數(shù),n2?s為GL中緊挨著扇形的樹枝上權(quán)重為±2的樹樁個(gè)數(shù).

        證由PL標(biāo)準(zhǔn)加權(quán)樹圖定義可知,GL至少包含一個(gè)扇形,且GL可能只含有一個(gè)扇形.若GL中含有多個(gè)扇形,則GL中的每個(gè)扇形都有一條向上延伸到頂點(diǎn)的邊,并且這條邊上的頂點(diǎn)不能是向上延伸的樹枝,因此,它必須有一條從它向下延伸的其他邊.此時(shí)由對應(yīng)頂點(diǎn)向下延伸的邊的底部頂點(diǎn)可能連接一個(gè)扇形,也可能緊挨著一個(gè)扇形,所以它可能是一個(gè)樹樁、一個(gè)樹枝、其他的扇形或是一個(gè)更加復(fù)雜的部分,這部分至少包括一個(gè)更低層的扇形.

        由于GL是PL標(biāo)準(zhǔn)加權(quán)樹圖,可知GL整體由扇形、樹樁和樹枝組成.下面首先討論GL中某一扇形f1的多邊形表示.不失一般性,設(shè)f1由整數(shù)纏繞T1,T2,…,Ti(i≥2且i∈+)所對應(yīng)的樹樁構(gòu)成,且整數(shù)纏繞T1,T2,…,Ti(i≥2且i∈+)所對應(yīng)的樹樁在f1中從左到右依次排列,即T1是f1中最左側(cè)樹樁對應(yīng)的整數(shù)纏繞,Ti是f1中最右側(cè)樹樁對應(yīng)的整數(shù)纏繞.利用表1中整數(shù)纏繞分段線性構(gòu)造的第一種和第二種方式來構(gòu)造扇形f1的多邊形表示P1,為使P1邊數(shù)相對較少,扇形f1最左側(cè)樹樁對應(yīng)的整數(shù)纏繞T1遵循表1中第一種方式構(gòu)造.如果T1對應(yīng)的樹樁在一個(gè)樹枝上,可將此纏繞T1對應(yīng)的豎直整數(shù)纏繞的分段線性構(gòu)造旋轉(zhuǎn)90°得到對應(yīng)水平整數(shù)纏繞的分段線性構(gòu)造.設(shè)纏繞T1有c(T1)個(gè)交叉點(diǎn),則T1的多邊形表示需要條邊,其中,若T1為±2-纏繞,則若T1不為±2-纏繞,則扇形f1最左側(cè)的整數(shù)纏繞T1的多邊形表示構(gòu)造完畢后,延長纏繞T1多邊形表示的右上邊,將其用作下一個(gè)整數(shù)纏繞多邊形表示的一條邊.扇形f1中第二個(gè)樹樁對應(yīng)的整數(shù)纏繞T2按照表1中第二種方式構(gòu)造,它需要條邊,其中,若T2為±2-纏繞,則若T2不為±2-纏繞,則此時(shí)纏繞T1,T2組成的新代數(shù)纏繞對應(yīng)的多邊形表示所需邊數(shù)為c(T1+T2)+n′2+1,其中,繼續(xù)以構(gòu)造整數(shù)纏繞T2的多邊形表示的方式添加扇形f1中其他整數(shù)纏繞Tm(m=3,…,i)對應(yīng)的多邊形表示,直至扇形f1對應(yīng)纏繞的多邊形表示構(gòu)造完畢,此時(shí)扇形f1對應(yīng)纏繞的多邊形表示P1的邊數(shù)為其中,且扇形f1對應(yīng)纏繞的多邊形表示的4個(gè)出口邊均滿足與水平方向成40°~50°夾角.

        圖3給出了某一扇形F與其對應(yīng)多邊形表示的例子.

        圖3 扇形F與其對應(yīng)多邊形表示

        接下來構(gòu)造扇形f1旁緊挨一個(gè)樹樁、樹枝、其他扇形或更加復(fù)雜的部分的多邊形表示.

        (1)一個(gè)樹樁緊挨扇形f1

        圖4給出某個(gè)樹圖G1與其對應(yīng)多邊形表示的例子.

        圖4 樹圖G1與其對應(yīng)多邊形表示

        (2)一個(gè)樹枝緊挨扇形f1

        圖5給出某個(gè)樹圖G2與其對應(yīng)多邊形表示的例子.

        圖5 樹圖G2與其對應(yīng)多邊形表示

        (3)扇形f1緊挨另一個(gè)扇形或更復(fù)雜的部分G*

        圖6給出了一個(gè)扇形緊挨另一個(gè)扇形的多邊形表示的例子.

        圖6 一個(gè)扇形緊挨另一個(gè)扇形的多邊形表示

        注3.1對于某些MAP鏈環(huán),定理3.1改進(jìn)了參考文獻(xiàn)[7]中定理2的結(jié)果.

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