文|章顯發(fā) 黃央央

從大綱到課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂進(jìn)程中，我們可以看到平均數(shù)從計(jì)算身份到統(tǒng)計(jì)身份的轉(zhuǎn)變，從算術(shù)意義下的平均數(shù)的應(yīng)用到概念意義下的平均數(shù)的意義再到統(tǒng)計(jì)意義下的數(shù)據(jù)意識(shí)培養(yǎng)。而數(shù)據(jù)意識(shí)是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（下稱(chēng)《課標(biāo)》）提出的11 個(gè)核心素養(yǎng)之一?！墩n標(biāo)》指出：“數(shù)據(jù)意識(shí)是指對(duì)數(shù)據(jù)的意義和隨機(jī)性的感悟。知道在現(xiàn)實(shí)生活中，有許多問(wèn)題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，感悟數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的信息；知道同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，而只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律；知道同一組數(shù)據(jù)可以用不同方式表達(dá)，需要根據(jù)問(wèn)題的背景選擇合適的方式。形成數(shù)據(jù)意識(shí)有助于理解生活中的隨機(jī)現(xiàn)象，逐步養(yǎng)成用數(shù)據(jù)說(shuō)話(huà)的習(xí)慣?！蓖瑫r(shí)要求第二學(xué)段的學(xué)生理解平均數(shù)的意義，會(huì)用平均數(shù)解決問(wèn)題并形成初步的數(shù)據(jù)意識(shí)。那么如何教學(xué)平均數(shù)這一統(tǒng)計(jì)量并形成學(xué)生初步的數(shù)據(jù)意識(shí)呢？

一、大教材觀(guān)下的平均數(shù)內(nèi)容分析

平均數(shù)作為小學(xué)階段唯一學(xué)習(xí)的統(tǒng)計(jì)量，它在整個(gè)統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)、統(tǒng)計(jì)思維的培養(yǎng)中處于怎樣的地位呢？我們可以看到，低年級(jí)教學(xué)聚焦在用各種統(tǒng)計(jì)圖表收集、整理數(shù)據(jù)，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)表達(dá)。在《平均數(shù)》之后的學(xué)習(xí)中，聚焦更加復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)圖，并基于數(shù)據(jù)分析趨勢(shì)以及預(yù)測(cè)推斷。所以，平均數(shù)作為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的學(xué)習(xí)過(guò)程，是學(xué)生在小學(xué)階段第一次也是唯一一次利用其進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的經(jīng)歷。因此，平均數(shù)統(tǒng)計(jì)量的教學(xué)是數(shù)據(jù)意識(shí)初步形成的關(guān)鍵課例。

劉加霞老師在《“平均數(shù)”的本質(zhì)及小學(xué)生理解水平解析》中提出，平均數(shù)意義的理解分三個(gè)層次，分別是算法意義的理解水平、概念意義的理解水平和統(tǒng)計(jì)意義的理解水平。

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那各個(gè)版本的教材關(guān)于《平均數(shù)》的教學(xué)內(nèi)容是如何安排的呢？

人教版教材的《平均數(shù)》是在學(xué)生學(xué)習(xí)了分類(lèi)與整理、單復(fù)式統(tǒng)計(jì)表和單式條形統(tǒng)計(jì)圖的基礎(chǔ)上展開(kāi)教學(xué)的，并為之后的復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖、折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖和百分?jǐn)?shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)做鋪墊。

教材的例1 以收集礦泉水瓶為情境，借助象形統(tǒng)計(jì)圖直觀(guān)呈現(xiàn)平均數(shù)的概念和算法。例2 以男女生踢毽比賽為情境，在比較人數(shù)不同的兩組數(shù)據(jù)時(shí)引發(fā)沖突，從而凸顯平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義和應(yīng)用價(jià)值。

翻閱北師大版教材我們同樣可以看到教材有意識(shí)體現(xiàn)平均數(shù)算法、概念及統(tǒng)計(jì)意義方面的教學(xué)。不同的是北師大版利用一個(gè)學(xué)習(xí)素材和一組數(shù)據(jù)貫穿始終，并在五年級(jí)還增加了一節(jié)《平均數(shù)再認(rèn)識(shí)》。

基于以上的教材分析，我們可以有以下幾點(diǎn)思考：

1.三個(gè)不同層次的平均數(shù)意義教學(xué)如何安排？

2.一組數(shù)據(jù)引入與兩組數(shù)據(jù)引入的差異如何？

3.平均數(shù)是否需要再認(rèn)識(shí)？

二、基于理解層次的學(xué)情分析

基于以上幾點(diǎn)思考以及為了了解學(xué)生在學(xué)習(xí)平均數(shù)之前，其對(duì)平均數(shù)的理解水平到了哪個(gè)層次，筆者對(duì)學(xué)生開(kāi)展了前測(cè)分析，結(jié)果如下：

“平均數(shù)”理解水平 描述 前測(cè)問(wèn)題 正確率算法水平 會(huì)計(jì)算（總和除以個(gè)數(shù)、移多補(bǔ)少）一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。人教版例1：你們小隊(duì)平均每人收集了多少個(gè)？92.6%概念水平會(huì)求平均數(shù)，知道平均數(shù)是代表一組數(shù)據(jù)整體（平均）水平的量值、平均數(shù)的大小極易受極端數(shù)據(jù)影響（靈敏性）等特征。測(cè)量同一支鉛筆的長(zhǎng)度，7 個(gè)學(xué)生結(jié)果如下：14、15、16、16、14、15、8這支鉛筆可能有多長(zhǎng)？請(qǐng)你說(shuō)明理由。42.6%統(tǒng)計(jì)水平在前兩個(gè)水平基礎(chǔ)上，能夠解釋并體會(huì)平均數(shù)作“代表”的合理性；知道什么情況下用平均數(shù)做判斷、做“預(yù)測(cè)”的結(jié)論更“好”；知道所作的判斷、預(yù)測(cè)不能“百分百”地正確。本課活動(dòng)1 問(wèn)題：你能用一個(gè)數(shù)代表大家對(duì)這本書(shū)的喜愛(ài)程度嗎？57.8%

從上述結(jié)果我們可以看出，絕大多數(shù)學(xué)生對(duì)于算法水平的平均數(shù)意義理解是沒(méi)有問(wèn)題的，但是學(xué)生對(duì)于概念水平和統(tǒng)計(jì)水平的平均數(shù)意義的理解仍然存在較大問(wèn)題，為進(jìn)一步了解學(xué)生的真實(shí)想法，后期我們對(duì)最后的57.8%的學(xué)生進(jìn)行了訪(fǎng)談，發(fā)現(xiàn)在這部分學(xué)生中有的雖然能夠想到用平均數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的整體水平，但是其對(duì)平均數(shù)意義的理解仍停留在算法水平。

因此我認(rèn)為平均數(shù)三個(gè)不同理解層次是有重難點(diǎn)的，理解《平均數(shù)》教學(xué)的重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生將平均數(shù)作為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，難點(diǎn)是理解平均數(shù)這一概念的不同特征。

如何讓學(xué)生理解統(tǒng)計(jì)意義下的平均數(shù)？筆者設(shè)計(jì)了這節(jié)課。

三、單元整合與教學(xué)設(shè)計(jì)

人教版四年級(jí)下冊(cè)《平均數(shù)與條形統(tǒng)計(jì)圖》具體課時(shí)安排如下：

?人教版課時(shí)安排 內(nèi)容第一課時(shí) 平均數(shù)第二課時(shí) 復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖第三課時(shí) 練習(xí)

平均數(shù)作為本單元的核心概念統(tǒng)領(lǐng)整個(gè)單元，因此為了更好地促進(jìn)學(xué)生形成初步的數(shù)據(jù)意識(shí)，本單元的課時(shí)作如下調(diào)整：在單元整合過(guò)程中將體現(xiàn)以下幾點(diǎn)整合措施：

人教版課時(shí)安排 內(nèi)容第一課時(shí) 平均數(shù)（例1、例2）第二課時(shí) 項(xiàng)目化學(xué)習(xí)：如何確定免票線(xiàn)？第三課時(shí) 復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖?

1.在教學(xué)第一課時(shí)《平均數(shù)》時(shí)，以條形統(tǒng)計(jì)圖為載體，直觀(guān)呈現(xiàn)數(shù)據(jù)及平均數(shù)的特征。用一組數(shù)據(jù)去創(chuàng)生平均數(shù)，從本質(zhì)上講更能體現(xiàn)平均數(shù)的意義。因?yàn)樽寣W(xué)生從一組數(shù)據(jù)中尋找一個(gè)數(shù)作為這組數(shù)的代表，其學(xué)習(xí)過(guò)程就體現(xiàn)平均數(shù)代表一組數(shù)據(jù)的一般水平，所以用一組數(shù)據(jù)作為學(xué)習(xí)素材更符合平均數(shù)的特征。

2.調(diào)整后在第一課時(shí)《平均數(shù)》的教學(xué)基礎(chǔ)上增加了一個(gè)項(xiàng)目化學(xué)習(xí)課時(shí)，以“如何確定免票線(xiàn)？”和“這樣制定免票線(xiàn)合理嗎？”為關(guān)鍵問(wèn)題，讓學(xué)生在決策中進(jìn)一步加深對(duì)平均數(shù)概念的理解。

3.在教學(xué)《復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖》時(shí)，體現(xiàn)將平均數(shù)作為新的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，對(duì)其進(jìn)一步進(jìn)行分析與推斷。

下面我將結(jié)合具體課例，說(shuō)明在素材選用以及概念序列方面的整合思考：

【教學(xué)過(guò)程】

一、創(chuàng)設(shè)情境

1.以4 月23 日世界讀書(shū)日引入，介紹學(xué)校讀書(shū)節(jié)中各種各樣精彩紛呈的活動(dòng)，以“好書(shū)推薦”為情境，展開(kāi)平均數(shù)教學(xué)。

師：王明同學(xué)在好書(shū)推薦活動(dòng)中推薦法布爾的《昆蟲(chóng)記》，并根據(jù)自己對(duì)這本書(shū)的喜愛(ài)程度，給這本書(shū)打了9 分（滿(mǎn)分10 分），說(shuō)明了什么？

2.借助條形統(tǒng)計(jì)圖，直觀(guān)呈現(xiàn)數(shù)據(jù)。

師：老師還搜集了其他四位同學(xué)對(duì)這本書(shū)的喜愛(ài)程度，從這幅條形統(tǒng)計(jì)圖中，你能得到哪些信息呢？

二、初步認(rèn)識(shí)作為統(tǒng)計(jì)量的平均數(shù)

1.出示關(guān)鍵問(wèn)題：你能用一個(gè)數(shù)代表大家對(duì)這本書(shū)的喜愛(ài)程度嗎？

2.出示活動(dòng)要求：用畫(huà)一畫(huà)、寫(xiě)一寫(xiě)、算一算等方法說(shuō)明你的理由。

3.展示學(xué)生作品。

預(yù)設(shè)1：用6 代表整體水平，因?yàn)榇蠹叶贾辽俅蛄? 分。

預(yù)設(shè)2：用9 代表整體水平，因?yàn)榇? 分的人數(shù)最多。

預(yù)設(shè)3：用7 代表整體水平，因?yàn)? 在這三個(gè)數(shù)據(jù)中排中間。

預(yù)設(shè)4：用8 代表整體水平，通過(guò)移多補(bǔ)少后，大家都是8 分。

預(yù)設(shè)5：用8 代表整體水平，通過(guò)計(jì)算，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8 分。

4.比較。

師：你覺(jué)得這里的哪一個(gè)數(shù)最能代表大家對(duì)這本書(shū)的喜愛(ài)程度？

通過(guò)比較，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)這里的8 最能代表這組數(shù)據(jù)的整體水平，學(xué)生會(huì)用自己的語(yǔ)言，例如公平、相等、平均、同樣多等詞匯說(shuō)明8 在代表這組數(shù)據(jù)整體水平的優(yōu)越性。

5.揭題。

師：同學(xué)們剛才說(shuō)的公平、相等、同樣多的這樣一個(gè)數(shù)叫作平均數(shù)。

6.課件演示平均數(shù)的算法。

師：我們可以通過(guò)移多補(bǔ)少或者合并均分的方法得到平均數(shù)。

三、進(jìn)一步認(rèn)識(shí)平均數(shù)的特征

1.引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察并交流數(shù)據(jù)以及平均數(shù)8，思考：平均數(shù)是一個(gè)怎樣的數(shù)？

預(yù)設(shè)1：平均數(shù)是一個(gè)同樣多的數(shù)。

預(yù)設(shè)2：平均數(shù)是一個(gè)很全面的數(shù)，它可以把這些數(shù)據(jù)都“概括”進(jìn)去。（板書(shū)：代表）

預(yù)設(shè)3：平均數(shù)不一定會(huì)存在于原來(lái)的這些數(shù)據(jù)中。（板書(shū)：虛擬）

2.預(yù)測(cè)。

師：如果現(xiàn)在還有一位同學(xué)對(duì)這本書(shū)也打了一個(gè)分?jǐn)?shù)，你覺(jué)得他有可能打幾分？一定打8 分嗎？。

3.比較兩個(gè)“8”的不同意義。

師：如果這位同學(xué)真的打了8 分，此時(shí)平均數(shù)是多少？這兩個(gè)“8”表示的意義一樣嗎？

4.估計(jì)平均數(shù)。

師：假如這位同學(xué)打2 分，平均數(shù)會(huì)怎么變？會(huì)降到2 嗎？如果她打10 分呢？

5.再次感受平均數(shù)的特征。

師：通過(guò)剛才這個(gè)過(guò)程，請(qǐng)你想一想，平均數(shù)還是一個(gè)怎樣的數(shù)？

預(yù)設(shè)1：只要有一個(gè)數(shù)據(jù)發(fā)生變化，平均數(shù)就會(huì)跟著變化。

預(yù)設(shè)2：平均數(shù)是一個(gè)“易變”的數(shù)。

預(yù)設(shè)3：平均數(shù)是一個(gè)“不穩(wěn)定”的數(shù)。

預(yù)設(shè)4：平均數(shù)是一個(gè)靈活的數(shù)。（板書(shū)“靈敏”）

6.小結(jié)：通過(guò)剛才的研究，我們發(fā)現(xiàn)平均數(shù)是一個(gè)具有代表性、虛擬性、靈敏性的數(shù)。

四、平均數(shù)的應(yīng)用

1.出示兩組數(shù)據(jù)。

師：在讀書(shū)節(jié)中，我們不僅有好書(shū)推薦活動(dòng)，還會(huì)根據(jù)閱讀量評(píng)選閱讀優(yōu)勝組，請(qǐng)你想一想，這里的兩個(gè)組，哪一組可以評(píng)為閱讀優(yōu)勝組呢？

預(yù)設(shè)：第二組可以評(píng)選為閱讀優(yōu)勝組，因?yàn)樗麄兊钠骄喿x量更高。

2.計(jì)算平均數(shù)。

師：剛才這位同學(xué)說(shuō)可以用兩個(gè)組的平均閱讀量作為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)比較，那我們一起算一算吧。

3.追問(wèn)：那能否直接比較兩組的閱讀總量呢？

預(yù)設(shè)：不能，因?yàn)閮山M的人數(shù)不同，比總量不公平。

4.小結(jié)：看來(lái)，在人數(shù)不同的情況下，比較平均數(shù)更加合理。

五、體驗(yàn)數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)

1.出示問(wèn)題：閱讀量達(dá)到平均水平，可以獲得參評(píng)閱讀達(dá)人的資格。王東是否有資格參評(píng)班級(jí)閱讀達(dá)人？

預(yù)設(shè)：參評(píng)班級(jí)閱讀達(dá)人，就還需要整個(gè)班級(jí)的數(shù)據(jù)。

2.出示全班學(xué)生數(shù)據(jù)，讓學(xué)生估一估全班的人均閱讀量。

3.出示問(wèn)題：王東是否有資格參評(píng)年級(jí)閱讀達(dá)人？

4.出示年段學(xué)生數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)的集中程度，估計(jì)平均數(shù)。