李 俊，王麗蓉，李 斌，高煥煥，張 群

(中國(guó)電建集團(tuán)西北勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，陜西 西安 710065)

0 前 言

混凝土壩變形安全監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)是一種隨時(shí)間或空間變化的具有非平穩(wěn)、非線性特征的數(shù)據(jù)信號(hào)，是水壓、溫度、降雨、時(shí)效等因素的綜合反映[1]。混凝土壩變形數(shù)據(jù)特征辨識(shí)，是大壩安全監(jiān)測(cè)資料分析進(jìn)而構(gòu)建監(jiān)控模型、擬定預(yù)警指標(biāo)、進(jìn)行安全綜合評(píng)判等的前提和基礎(chǔ)。

混凝土壩變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)可看作由不同頻率構(gòu)成的數(shù)字信號(hào)，庫(kù)水位、溫度等所引起的分量一般呈年周期性變化，對(duì)應(yīng)的頻率較高；時(shí)效分量對(duì)應(yīng)的信號(hào)表現(xiàn)為長(zhǎng)周期低頻率[2]。王超等[3]利用小波多分辨率分析將結(jié)構(gòu)的時(shí)變參數(shù)在多尺度上展開，截?cái)喔哳l細(xì)節(jié)成分，將結(jié)構(gòu)時(shí)變參數(shù)識(shí)別問(wèn)題轉(zhuǎn)化為時(shí)不變小波系數(shù)估計(jì)問(wèn)題。

本文通過(guò)對(duì)大壩效應(yīng)量監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)執(zhí)行小波多分辨率分析，辨識(shí)大壩效應(yīng)量的周期性變化、趨勢(shì)性變化等特征，有助于剖析大壩的真實(shí)工作性態(tài)，從而更客觀地評(píng)估大壩安全狀況。

1 混凝土壩變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)小波多分辨分析

小波多分辨率分析的原理是構(gòu)造一定的函數(shù)空間，將混凝土壩變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列分解到此空間中進(jìn)行計(jì)算處理，實(shí)現(xiàn)信息重構(gòu)。

1.1 小波多分辨率分析

小波多分辨率的前提是在空間中L2(R)，存在一個(gè)子空間Vj?L2(R)，j∈Z，滿足以下條件[4-8]：

(1)單調(diào)性

Vj?Vj-1，?j∈Z

(1)

(2)伸縮性

f(t)∈Vj?f(2t)∈Vj-1

(2)

(3)平移不變性

f(t)∈V0?f(t+n)∈V0,?n∈Z

(3)

(4)正交性

(4)

(5)逼近性

(5)

式中，Vj、Vj-1為尺度j、j-1上的尺度空間；Z為自然數(shù)集合；t為時(shí)間變量；m,n為時(shí)間平移量；φ(t)∈V0且積分值不為零；{φ(t-n)|n∈Z}是V0的標(biāo)準(zhǔn)正交基。

二尺度方程是小波多分辨率賦予尺度函數(shù)φ(t)和小波函數(shù)φ(t)最基本的特征，用來(lái)描述相關(guān)子空間下基函數(shù)φj-1,k(t)、φj,k(t)和φj-1,t(t)、φj,t(t)之間的相互關(guān)系，即

(6)

(7)

式中，φ(t)為尺度函數(shù)；φ(t)為小波函數(shù)。h(n)、g(n)分別為鄰近二尺度空間對(duì)應(yīng)基函數(shù)的相關(guān)系數(shù)，計(jì)算公式為

h(n)=〈φ,φ-1,n〉,g(n)=〈φ,φ-1,n〉

(8)

則式(6)和式(7)，對(duì)于?j∈Z：

(9)

(10)

式中的h(n)、g(n)值不會(huì)隨尺度j的變化而變化。

1.2 混凝土壩變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)小波分解與重構(gòu)

將二尺度方程在時(shí)間軸上按式(2)、式(3)進(jìn)行伸縮、平移，則有

(11)

并進(jìn)行內(nèi)積處理變換，可得小波變換重構(gòu)系數(shù)公式

(12)

式中，cj,k、dj,k、cj-1,m分別為小波變換前后的重構(gòu)系數(shù)；k為平移量。

圖1為小波多分辨率分析的分解結(jié)構(gòu)。從圖1可以看出，多分辨率分析首先將混凝土壩變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)分解為低頻部分a1和高頻部分d1，再將低頻部分a1進(jìn)一步分解為低頻部分a2和高頻部分d2，以此類推。重復(fù)上述步驟，可得到任意頻率下混凝土壩變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列的低頻和高頻部分，即

s=an+d1+d2+…+dn

(13)

式中，s為混凝土壩變形原始監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列；an為第n次分解后的低頻子序列；di為第i次分解后的高頻子序列，i=1，2，…，n。

圖1 混凝土壩變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)小波多分辨率分析結(jié)構(gòu)

2 基于DTW的最優(yōu)小波分解層數(shù)確定

在小波多分辨率分解過(guò)程中，不同小波分解層數(shù)所辨識(shí)的高頻子序列和低頻子序列有較大差異，以往多根據(jù)低頻子序列的變化趨勢(shì)是否符合時(shí)效分量變化特征為標(biāo)準(zhǔn)確定最終分解層數(shù)，為提高辨識(shí)精度，減小主觀影響，本文提出以動(dòng)態(tài)時(shí)間彎曲距離度量小波分解所得周期性變化的高頻子序列與環(huán)境量序列間的差異，以此為標(biāo)準(zhǔn)確定最優(yōu)分解層數(shù)。

動(dòng)態(tài)時(shí)間彎曲距離(DynamicTimeWarping，DTW)最初用于識(shí)別語(yǔ)音的相似性[9-11]。DTW與傳統(tǒng)距離最大的區(qū)別在于其模糊性，DTW并不是嚴(yán)格對(duì)同一時(shí)刻的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行距離度量，而是允許對(duì)應(yīng)點(diǎn)間有相互錯(cuò)動(dòng)，使得兩組監(jiān)測(cè)序列能夠同步進(jìn)行不是特別精確地匹配計(jì)算。

對(duì)于混凝土壩變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列X={x1，x2，…，xn}和環(huán)境量監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列Y={y1，y2，…，ym}，兩者之間的DTW為

(14)

Dmin=min{Ddtw(X,Rest(Y)),Ddtw(Rest(X),Rest(Y)),Ddtw(Rest(X),Y)}

(15)

其中，Rest(X)={x2，x3，…，xn}，Rest(Y)={y2，y3，…，ym}。

從式(14)和式(15)可以看出，DTW是一種遞歸計(jì)算過(guò)程，計(jì)算較為繁瑣。為提高計(jì)算效率，做如下簡(jiǎn)化：首先構(gòu)造一個(gè)大小為n×m的矩陣，稱為彎曲矩陣，如圖2所示。每一個(gè)方格代表效應(yīng)量與環(huán)境量的匹配關(guān)系，值為w(xi，yj)，稱之為基距離?；嚯x函數(shù)有很多，通常可以表示為

(16)

式中，N為最高維度值；xin和yjn分別表示xi和yj在第n維的值；一般情況下取m=3。

圖2 混凝土壩變形與環(huán)境量監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)DTW彎曲矩陣

由圖2可知，混凝土壩變形與環(huán)境量監(jiān)測(cè)序列上兩測(cè)值點(diǎn)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系轉(zhuǎn)換為彎曲矩陣中從一個(gè)角點(diǎn)到另一個(gè)角點(diǎn)的彎曲路徑，對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)點(diǎn)距離記為W，則W=[w1，w2，…，wk]，k為彎曲路徑經(jīng)過(guò)的方格數(shù)，可得如下關(guān)系

max(m,n)≤k≤m+n

(17)

定義函數(shù)fw(xi，yj)為

wl=fw(xi,yj),1≤i≤m,1≤j≤n,1≤l≤k

(18)

混凝土壩變形與環(huán)境量監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列之間的DTW計(jì)算可以轉(zhuǎn)換為求解彎曲矩陣中最小彎曲距離的問(wèn)題，即

(19)

式中，arg min(*)表示使*最小時(shí)，其自變量取值。

混凝土壩變形與環(huán)境量之間的最小彎曲距離DTW(X,Y)可用于度量?jī)杀O(jiān)測(cè)序列間的差異性。

3 混凝土壩變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)特征辨識(shí)實(shí)現(xiàn)流程和步驟

借助小波多分辨率分析，結(jié)合DTW實(shí)現(xiàn)混凝土壩變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)特征辨識(shí)流程如圖3所示，主要步驟如下：

(1)根據(jù)混凝土壩變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列的特征，選擇合適的小波基函數(shù)，對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行不同層數(shù)的小波分解，得到低頻子序列ai～a1和高頻子序列dij～di1。

(2)將不同分解層數(shù)下的子序列進(jìn)行區(qū)分，篩選出周期性變化的高頻子序列予以疊加作為監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的周期性分量Xi。

(3)對(duì)比不同分解層數(shù)下，周期性分量與環(huán)境量序列間差異性，按照式(19)計(jì)算第(2)步中所合成的各個(gè)分解層數(shù)下的周期性分量與庫(kù)水位、溫度監(jiān)測(cè)序列的動(dòng)態(tài)時(shí)間彎曲距離DTW(Xi,W)、DTW(Xi,T)。選擇DTW(Xi,W)和DTW(Xi,T)均值最小的分解層數(shù)作為最優(yōu)分解層數(shù)k。

(4)基于最優(yōu)分解層數(shù)k，選擇其中周期性變化的高頻子序列相加，其結(jié)果代表由環(huán)境量引起的周期性分量；趨勢(shì)性明顯的低頻子序列ak即為時(shí)效分量。

圖3 混凝土壩變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)特征辨識(shí)流程

4 工程實(shí)例

某水庫(kù)大壩溢流壩段為混凝土重力壩，共分為12個(gè)壩段。在溢流壩段壩頂布置有一條激光準(zhǔn)直測(cè)線，每個(gè)壩段布置一個(gè)測(cè)點(diǎn)，編號(hào)為L(zhǎng)A-1～LA-12，用以監(jiān)測(cè)各壩段壩頂水平位移情況，測(cè)點(diǎn)布置情況見(jiàn)圖4。應(yīng)用本文所述方法，對(duì)該溢流壩段的變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行特征辨識(shí)分析，驗(yàn)證方法的可行性和有效性。

按照?qǐng)D3所示流程，對(duì)該大壩溢流壩段壩頂水平位移測(cè)點(diǎn)LA-2從2009年6月30日至2018年12月26日的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行小波多分辨率分析，辨識(shí)其特征分量。選用工程中常用的db4小波基函數(shù)對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行分解，分解層數(shù)n=5～15，辨識(shí)周期性分量，如圖5所示。根據(jù)式(19)分別計(jì)算不同分解層數(shù)高頻周期性分量與庫(kù)水位、氣溫間的DTW(Xi,W)和DTW(Xi,T)，如圖6所示。

圖4 溢流壩段激光準(zhǔn)直測(cè)點(diǎn)布置

圖5 不同分解層數(shù)周期性分量過(guò)程線

圖6 不同分解層數(shù)下周期性分量與庫(kù)水位、氣溫偏差度

從圖6中可以看出，當(dāng)分解層數(shù)n=5～9時(shí)，周期性分量與庫(kù)水位、氣溫的DTW(Xi,W)和DTW(Xi,T)均較小，且變化平穩(wěn)；當(dāng)n≥10時(shí)，周期性分量與庫(kù)水位、氣溫的DTW(Xi,W)和DTW(Xi,T)增加較大，隨著分解層數(shù)的增加有逐漸減小的趨勢(shì)。綜合考慮，選取最優(yōu)分解層數(shù)k=9，所辨識(shí)的周期性分量及時(shí)效分量如圖7所示。

圖7 最優(yōu)分解層數(shù)(k=9)下周期性分量與時(shí)效分量

5 結(jié) 論

本文所提出的變形特征辨識(shí)方法是基于小波多分辨率分解混凝土壩變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，引入動(dòng)態(tài)時(shí)間彎曲距離用于度量周期性分量和環(huán)境量間的差異性，實(shí)現(xiàn)了混凝土壩變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)更為客觀、高效的特征辨識(shí)，將該方法的特點(diǎn)總結(jié)如下：

(1)該方法依據(jù)根據(jù)混凝土壩變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的水壓、溫度、時(shí)效等不同時(shí)頻特征，利用小波多分辨率特性進(jìn)行辨識(shí)，具有很強(qiáng)的理論基礎(chǔ)，可靠性較高。

(2)該方法引入動(dòng)態(tài)時(shí)間彎曲距離用于度量周期性分量和環(huán)境量間的差異性，作為小波分解層數(shù)的判別條件，減小了人為干預(yù)，使得辨識(shí)結(jié)果更具有客觀性。

(3)將該方法用于實(shí)際工程中，所辨識(shí)得到的周期性分量和時(shí)效分量符合一般規(guī)律，說(shuō)明將其應(yīng)用于混凝土壩變形特征辨識(shí)是可行的，有效的。