劉寒冰LIU Han-bing；段兆凡DUAN Zhao-fan；張宇軒ZHANG Yu-xuan；陳宇軒CHEN Yu-xuan；張書(shū)源ZHANG Shu-yuan

（山東科技大學(xué)，濟(jì)南 250000）

0 引言

近年來(lái)，隨著大數(shù)據(jù)技術(shù)的急劇發(fā)展，數(shù)學(xué)建模逐漸應(yīng)用到工程建設(shè)等領(lǐng)域，并發(fā)揮著舉足輕重的作用，其不僅克服了傳統(tǒng)數(shù)據(jù)分析與手工建模的低效率弊端，還在一定程度上引用各種優(yōu)化算法使得相關(guān)工程建設(shè)更加高效，達(dá)到多層級(jí)優(yōu)化的作用。胡運(yùn)權(quán)[1]在其著作中總結(jié)了運(yùn)籌學(xué)建模的多種方法，通過(guò)多種實(shí)際樣例論述了運(yùn)籌學(xué)在社會(huì)生產(chǎn)方面的重要性；梁爽[2]結(jié)合已知數(shù)學(xué)模型，通過(guò)Lingdo、Mathematical等計(jì)算機(jī)軟件對(duì)相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行求解并分析；王莎娜[3]針對(duì)洛陽(yáng)豫西北地區(qū)水資源規(guī)劃配置問(wèn)題，運(yùn)用Matlab的線性規(guī)劃算法對(duì)該地區(qū)水資源進(jìn)行了合理劃分；陳士成[4]等人通過(guò)分析Excel的內(nèi)置規(guī)劃求解方法，論證了該求解方法的簡(jiǎn)潔性和實(shí)用性。該工程建設(shè)與財(cái)政平衡問(wèn)題模擬了現(xiàn)實(shí)中市政可能會(huì)遇到的各種情況，并基于運(yùn)籌學(xué)建立相關(guān)模型，利用Microsoft Excel中的規(guī)劃求解功能進(jìn)行特殊的單純形法求解，以實(shí)現(xiàn)決策方的滿意解。

1 規(guī)劃求解方法概述

“規(guī)劃求解”是Excel中的一個(gè)功能組件，求解方法包括非線性GRG求解、單純線性規(guī)劃求解和演化求解。借助該功能可求得工作表中某個(gè)單元格（或稱為目標(biāo)單元格）中表達(dá)式的最優(yōu)值，其中表達(dá)式指的是單元格中的一系列值、單元格引用、名稱或運(yùn)算符的組合，可通過(guò)更改可變單元格生成新值，每個(gè)表達(dá)式總是以“=”開(kāi)始。通過(guò)應(yīng)用“規(guī)劃求解”功能模塊，決策者可以在目標(biāo)單元格以及其余相關(guān)單元格得到詳細(xì)的信息分析數(shù)據(jù)，最終結(jié)果將呈現(xiàn)于目標(biāo)單元格中。

在運(yùn)籌學(xué)中線性規(guī)劃方法作為重要分支，其理論優(yōu)化也是現(xiàn)代運(yùn)籌學(xué)的主要核心內(nèi)容，是量化分析的主要方式，對(duì)于基于一定約束條件下的決策者而言，通過(guò)對(duì)管理系統(tǒng)有限資源統(tǒng)籌規(guī)劃就可為其提出最優(yōu)選方法，從而達(dá)到最佳效益與經(jīng)濟(jì)性，所以，在企業(yè)產(chǎn)銷、科研等管理過(guò)程中，把線性規(guī)劃方法運(yùn)用于其中，就形成了現(xiàn)代管理的主要手法。求解模板的制作主要解決四方面的問(wèn)題：①在Word或其他軟件中創(chuàng)建新文件，然后將規(guī)劃模型的數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)分析簡(jiǎn)潔明了地呈現(xiàn)在該界面，以便下一步進(jìn)行整理與調(diào)用；②合理規(guī)劃模型數(shù)據(jù)參數(shù)的輸入輸出位置，一般可將參數(shù)分為絕對(duì)約束區(qū)、條件約束區(qū)、優(yōu)先因子分流區(qū)、最優(yōu)解輸出區(qū)、最優(yōu)值輸出區(qū)、偏差變量輸出區(qū)和文字注釋區(qū)；③將模型相關(guān)數(shù)據(jù)輸入對(duì)應(yīng)的區(qū)域，并在模型中建立各個(gè)數(shù)據(jù)的映射關(guān)系，然后在規(guī)劃求解功能模塊構(gòu)建約束關(guān)系，并且規(guī)定求解要求與方案；④在各個(gè)輸出區(qū)顯示迭代后的決策結(jié)果，如有需要可以選擇輸出“運(yùn)算結(jié)果報(bào)告”、“敏感性報(bào)告”和“極限值報(bào)告”，從而使決策者更加直觀的查閱底層數(shù)據(jù)。

2 問(wèn)題描述

A市政府為完善基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，在3年內(nèi)要進(jìn)行以下5項(xiàng)工程的建設(shè)，其按重要性排序的工程項(xiàng)目及造價(jià)詳見(jiàn)表1。

表1 市政工程項(xiàng)目及造價(jià)

A市政府的財(cái)政收入主要來(lái)自國(guó)有資產(chǎn)經(jīng)營(yíng)收益、行政性收費(fèi)和規(guī)費(fèi)收入。除了市政府的常規(guī)收入外，社會(huì)貸款和政府債券也是影響財(cái)政決策的因素。其中符號(hào)e表示市政府常規(guī)收入的三個(gè)部分，下標(biāo)分別為1，2，3。而社會(huì)貸款也存在固定的上限值U，下標(biāo)分別為11，12，13，其對(duì)應(yīng)每年的利率為g。政府債券發(fā)行的上限值也為U，其下標(biāo)分別為21，22，23。社會(huì)貸款一般在每年年初交付，還貸最長(zhǎng)限制時(shí)間為1年，而每年期的政府債券在第二年會(huì)以r%的利率交付金額給持券人。A市政府為達(dá)到相關(guān)目標(biāo)，應(yīng)怎樣合理規(guī)劃這幾年的投資方案。

3 設(shè)計(jì)與分析

設(shè)x1t為社會(huì)貸款額，x2t為政府債券發(fā)行量，yit為工程完工程度，也可以理解為投資比率，詳見(jiàn)表2。

表2 各款項(xiàng)及完工率按年分配情況

為了滿足財(cái)政平衡及其余相關(guān)平衡，我們將z0作為首年的平衡變量，接下來(lái)三年末所對(duì)應(yīng)的平衡變量為z，下標(biāo)分別對(duì)應(yīng)各自的年份。

相關(guān)數(shù)據(jù)如圖1所示。

圖1 各常量數(shù)值

3.1 貸款平衡約束（3個(gè)約束）

①設(shè)x1t為社會(huì)貸款額；

②變量都有上界限制的，把這些有上界約束的變量寫(xiě)成目標(biāo)形式，其中只須引進(jìn)負(fù)偏差變量njt

（其余展開(kāi)式不再一一列出）

3.2 債券平衡約束（3個(gè)約束）

3.3 各項(xiàng)目每年完工率平衡約束（15個(gè)約束）

yit為工程完工程度，也可以理解為投資比率。

3.4 完工率平衡約束（5個(gè)約束）

3.5 三年財(cái)政平衡約束（3個(gè)約束，省略第一年初的平衡約束）

①我們將z0作為首年的平衡變量，接下來(lái)三年末所對(duì)應(yīng)的平衡變量為z，下標(biāo)分別對(duì)應(yīng)各自的年份。②每年的平衡式實(shí)際上是個(gè)硬約束，是不包括偏差變量的，這在相關(guān)問(wèn)題目標(biāo)中也有所體現(xiàn)，所以我們將si作為松弛變量引入平衡式使等式平衡。③s4+k是負(fù)偏差變量，也可以當(dāng)做松弛變量，d+5+k是正偏差變量，z0是首年年初的可使用財(cái)政金額，當(dāng)z0的值為0時(shí)，“z0-s4=0”這條約束可忽略，故我們?cè)谂渲闷胶馐綍r(shí)不將該式列入模型。zk是第k年年末所剩余的財(cái)政金額，該相應(yīng)金額在第二年年初還可以繼續(xù)使用，該條涉及到的所有變量值都是非負(fù)的。

3.6 三年中每年的財(cái)政平衡約束條件（3個(gè)約束）

根據(jù)財(cái)政平衡的意義，可以列出3年中每年的財(cái)政平衡約束條件，即

（此年社會(huì)貸款）+（此年政府債券發(fā)行量）+（此年政府財(cái)政收入）-（此年每項(xiàng)工程接納的撥款）-（此年還貸數(shù)額）-（此年還債支出）-（此年還貸產(chǎn)生的利息）-（此年還債產(chǎn)生的利息）+（初始平衡）-（最終平衡）=0。

將e移到等號(hào)右邊之后并展開(kāi)得

把常量代入后得

3.7 目標(biāo)函數(shù)（共六級(jí)）

①為首先保證各年財(cái)政平衡，將硬約束設(shè)為1級(jí)目標(biāo)，從而使相關(guān)約束條件的松弛變量的和為最?。≒1）；

②希望通過(guò)社會(huì)貸款與政府債券發(fā)行的方式來(lái)解決此工程資金短缺的問(wèn)題（P2）；

③按重點(diǎn)順序加權(quán)，保證工程項(xiàng)目1，2優(yōu)先完成；

④按重點(diǎn)順序加權(quán)，盡力趕工工程項(xiàng)目1，2，3；

⑤盡量在3年內(nèi)完成所有項(xiàng)目的建設(shè)；

⑥最小化每一年的政府財(cái)政平衡變量。

3.8 完整模型

4 結(jié)果分析

①通過(guò)基礎(chǔ)模型構(gòu)建，我們可以簡(jiǎn)化出滿足Excel內(nèi)置“規(guī)劃求解”方法的相關(guān)表達(dá)式，表達(dá)式以單元格為具體模塊展開(kāi)式分布，最終映射在功能模塊的約束條目以及其他條目上。如圖2所示，在設(shè)置完對(duì)應(yīng)選項(xiàng)之后就可以進(jìn)行求解，求解部分結(jié)果如圖3所示——“規(guī)劃求解找到一解，可滿足所有的約束及最優(yōu)狀況”。

圖2 Excel求解界面

圖3 規(guī)劃求解結(jié)果界面

經(jīng)過(guò)多次迭代，新數(shù)據(jù)已經(jīng)覆蓋至原單元格，表3為該問(wèn)題最終生成的滿意解。

表3 迭代后的變量數(shù)據(jù)

②平衡表及優(yōu)化分析。

表4為各年投資分布情況，圖4為三年內(nèi)銀行貸款與發(fā)行債券條形圖，圖5為各年投資合計(jì)餅狀圖。

圖4 三年內(nèi)銀行貸款與發(fā)行債券

圖5 各年投資合計(jì)

表4 各款項(xiàng)及完工率按年分配結(jié)果

工程需要資金總額3080萬(wàn)元，3年可用資金2800萬(wàn)元（e1+e2+e3），利息為（16.5+48.176+72.02541）萬(wàn)元。資金缺口：3080-2800+16.5+48.176+72.02541=416.7014萬(wàn)元。

可以根據(jù)實(shí)際情況任意選擇優(yōu)先目標(biāo)，在本問(wèn)題中可以繼續(xù)調(diào)整優(yōu)先目標(biāo)的權(quán)系數(shù)來(lái)調(diào)整目標(biāo)優(yōu)先權(quán)重，可以

繼續(xù)放大P1優(yōu)先級(jí)盡量使財(cái)政達(dá)到平衡。

5 總結(jié)

針對(duì)某市政府在處理工程建設(shè)與財(cái)政平衡的問(wèn)題，本文通過(guò)引入目標(biāo)規(guī)劃來(lái)處理多層級(jí)的優(yōu)化，從而得到滿意解。求解過(guò)程應(yīng)用Microsoft Excel，避免了MATLAB處理復(fù)雜目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)冗雜情況，使求解方案一目了然，最終通過(guò)代入模擬數(shù)據(jù)得到了該模型的滿意解，明顯在相關(guān)行業(yè)取得較優(yōu)的決策。