張 亮，姚 力

(中國船舶集團有限公司第八研究院，江蘇 揚州 225101)

0 引 言

無源時差定位技術(shù)(TDOA)是定位站本身不發(fā)射電磁波，通過處理多個定位站接收到的目標輻射源信號到達時間對目標進行定位。對目標的二維定位至少需要2個時間差即3個定位站，同理對目標的三維定位至少需要4個定位站，目標輻射源信號到達2個定位站的時間差乘以光速即為輻射源到2個定位站的距離差。在幾何上，由“到兩固定點的距離差等于定長的點軌跡為雙曲線”的原理可知，目標位于以這2個定位站為焦點的雙曲線其中一支上[1]。在二維平面內(nèi)，3個定位站形成的2個單邊雙曲線的交點就是目標輻射源的位置；同樣道理，在三維空間中，4個定位站可形成3對單邊雙曲面，3對單邊雙曲面的交點即為目標位置。

在獲得TDOA測量值的基礎(chǔ)上，由多個TDOA測量值組成1組雙曲線方程，求解該方程組就可以得到目標的位置；但是因為該定位方程不是線性的，所以求解存在一定難度。很多文獻對時差定位算法進行了研究，已經(jīng)探究出多種不同的算法，這些算法大多是在目標二維定位的基礎(chǔ)上進行推導的，可以很容易推廣到目標三維定位的情況。本文將在目標二維定位情況下對一些經(jīng)典定位算法逐一進行分析。

1 理論分析

三站時差定位示意圖如圖1所示。

圖1 三站時差定位示意圖

1.1 時差定位原理

圖1中，E(x,y)為目標輻射源的位置坐標，主接收站為O(x0,y0)，輔助觀測站為A(x1,y1)和B(x2,y2),則定位方程為：

(1)

式中：輻射源與各定位站間的距離用ri表示；電磁波傳播速度用c表示；輻射源信號到達主站與各輔站的時間差為Δt0i；目標輻射源到主站與各輔站的距離差用Δri表示。

由式(1)可解得如下方程組：

(2)

利用時差定位系統(tǒng)測得輻射源信號到達主站和各輔站的時間差，在定位站坐標已知的情況下，2個方程2個未知數(shù)，求解該非線性方程組即可得目標位置[2]。

1.2 雙曲線直接求解法

雙曲線直接求解法可以用來對目標直接定位，也可以用作其他迭代算法的初始值，該算法的特點是計算量小、工程上易實現(xiàn)[3]。

如圖2所示，設(shè)tO,tA,tB分別為輻射源E(x,y)的同一脈沖前沿到達站O(x0，y0)、站A(x1,y1)、站B(x2,y2)的時間，c為電磁波的傳播速度。

圖2 輻射源與各站位置關(guān)系示意圖

令tOA,tOB分別表示同一輻射源脈沖到達主站與輔站A、B的時間差，則有：

(3)

由式(2)可得雙曲線方程組：

(4)

將式(4)化成極坐標形式，可得到：

(5)

(6)

解出ρ和θ，得到時差定位解：

(7)

1.3 Chan算法[4]

Chan算法即Chan氏算法，是一種基于TDOA技術(shù)、具有解析表達式解的定位算法，是求解定位方程組的一種非迭代算法。它具有計算量小、定位精度高、工程易實現(xiàn)等優(yōu)點。

對于式(1)所示方程組，整理化簡可得到：

(x0-xi)x+(y0-yi)y=ki-r0·Δri，i=1,2

(8)

(9)

為了求解式(8)，將r0看作已知量，由此可得矩陣表達式如下：

AX=F

(10)

對于二維三站定位系統(tǒng)，只要3個定位站不在同一直線上，即：

(11)

滿足式(11)時，可對式(10)用偽逆法求得X的最小二乘解為：

(12)

定義矩陣B，使得：

(13)

則方程組(8)的解為：

(14)

(15)

(16)

(17)

當3個觀測站坐標滿足條件：

y=ax+b

(18)

即當直線布站時，則式(10)中矩陣A為：

(19)

由式(19)可見，A為奇異矩陣，因此上述方法不適用。此時式(8)可化為：

2x0i(x+ay)+2r0ir0=r0i2-ki+k0，i=1,2

(20)

(21)

通常將時差測量誤差近似為正態(tài)分布的高斯噪聲，則測量誤差協(xié)方差矩陣可表示為：

(22)

為了解方程組(20)，定義：

(23)

(24)

將式(20)看作是關(guān)于未知數(shù)ω=x+ay和r0的二元一次方程組，解得：

(25)

(26)

由上述推導可知，直線布站時Chan算法的缺點是以噪聲近似為零均值正態(tài)分布的高斯噪聲為前提。在實際測量環(huán)境中，該算法的性能將會受到噪聲復(fù)雜性的影響。

1.4 最大似然定位算法(AML)

時差定位方程是非線性的，最大似然法首先將定位方程變?yōu)殛P(guān)于未知數(shù)(x,y)的線性方程，該方程的系數(shù)也依賴于(x,y)值。在獲得定位初始值的基礎(chǔ)上，AML算法解方程獲取新的定位值，更新方程系數(shù)[5]。進行多次迭代，利用最大似然法檢驗每次獲取(x,y)的代價函數(shù)，選出代價函數(shù)最小時對應(yīng)的(x,y)作為最終定位值。

1.5 其他定位算法

除了上面推導的3種解法外，時差定位方程的求解算法還有泰勒級數(shù)展開法、搜索法、Fang法等。泰勒級數(shù)展開法中，為了提高算法的收斂概率，需要找到一個與實際目標位置接近的初始估計位置，然而事實上精確的初始估計位置很難得到。此外，該算法還需要利用時差測量值誤差的先驗信息來求解加權(quán)矩陣，因此泰勒級數(shù)展開法計算量非常大、解算效率低、不易實現(xiàn)。搜索算法包括粒子群算法、差分進化算法、遺傳算法等，它們的推導簡單，但是也費時，不適合實時定位系統(tǒng)。Fang算法計算簡單明了，但是該算法只適用于未知量個數(shù)(輻射源坐標)與時差測量值相同的情況，當有多余的時差測量值時，即存在多個定位站時，F(xiàn)ang算法不能利用多余的測量值來提高定位精度。

2 算法性能分析

利用均方根定位誤差(RMSE)對算法性能進行評價：

(27)

式中：(x,y)表示定位測量結(jié)果；(xe,ye)表示目標真實位置。

多站時差定位系統(tǒng)定位誤差主要由系統(tǒng)測量脈沖信號到達時間誤差、站址誤差以及目標所處區(qū)域決定，在目標相對各站位置變化的條件下，定位誤差主要取決于系統(tǒng)測時差誤差以及系統(tǒng)測站址誤差，因此接下來對于3種定位算法在系統(tǒng)授時誤差和測站址誤差影響下的定位性能進行仿真分析。

(1) 三角布站

圖3 定位誤差隨站址誤差變化圖

從圖3中可以看出：站址誤差在100 m以內(nèi)時，Chan算法和AML算法的均方根定位誤差都比較小，算法性能較好，而雙曲線直接求解法誤差大，算法性能較差。

在本文所研究的定位系統(tǒng)中，軍用北斗定位精度約2～3 m，考慮艦船縱橫搖擺等因素，取站址誤差典型值10 m。圖4為站址誤差為10 m時，3種算法對應(yīng)的均方根定位誤差隨時差誤差的變化曲線。

圖4 定位誤差隨時差誤差變化圖

從圖4可以看出，隨著時差誤差的增大，AML定位性能的優(yōu)勢十分明顯。然而AML算法是迭代算法，運算量極其大，計算速度慢、效率低，而無源定位必須在有限時間內(nèi)對來自不同平臺的輻射源進行快速精確測量、定位，因而AML算法不適合本文所研究系統(tǒng)。同樣道理，其他的迭代算法，如最小二乘法等均不能滿足要求。另外，隨著時間同步技術(shù)以及脈沖配對、時差分選技術(shù)的發(fā)展，時間測量誤差可以達到幾ns，可以通過仿真觀察時差誤差在100 ns以內(nèi)時3種算法的定位性能，如圖5所示。

圖5 定位誤差隨時差誤差變化曲線

由圖5可見，100 ns以內(nèi)時，Chan算法具有與AML算法相當?shù)亩ㄎ恍阅?。另外，隨著時間同步技術(shù)以及脈沖配對、時差分選技術(shù)的發(fā)展，時間測量誤差可以達到幾ns，具備AML算法的優(yōu)勢。更重要的是Chan算法不具有迭代運算，幾乎不需要存儲數(shù)據(jù)，定位解算速度快、效率高，因此可以滿足無源時差定位系統(tǒng)實時性定位的需求。

(2) 直線布站

設(shè)主站坐標(0,0)，輔站1坐標(-10e3,0)，輔站2坐標(10e3,0)。目標真實運動軌跡為xe=-20e3∶5 000∶20e3，ye=xe+40e3。

對直線布站時的Chan算法和雙曲線直接求解法進行仿真分析，圖6為時差測量誤差為20 ns、站址誤差為0 m∶10 m∶100 m變化時2種算法對應(yīng)的均方根定位誤差的變化。圖7為站址誤差為10 m時，2種算法對應(yīng)的均方根定位誤差隨時差誤差的變化曲線。

圖7 定位誤差隨時差誤差變化曲線

由圖6和7可以看出，直線布站時Chan算法同樣滿足定位精度要求。

圖6 定位誤差隨站址誤差變化曲線

3 結(jié)束語

綜上所述，最大似然法(AML算法)等一系列迭代算法運算量大，耗時較長，效率低，不能滿足無源定位在有限時間內(nèi)對來自不同平臺的輻射源進行快速精確測量、定位的要求。在海面上，當海浪很大時，船身擺動幅度較大，存在較大的站址誤差，也要考慮不可避免的時差測量誤差，在這樣的情況下，雙曲線直接求解法定位誤差大，無法滿足高精度的需求，而Chan算法定位精度可以滿足需求。另外當存在多余定位站、有多余的TDOA測量值時，Chan算法具有相應(yīng)的利用這些多余測量值來改善定位精度的解算方法。綜合考慮這些因素，海上運動平臺多站時差定位系統(tǒng)中選擇Chan算法進行定位解算。