崔宇朋 余 楊 余建星 李振眠

1.天津大學(xué)水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津，300072

2.天津大學(xué)天津市港口與海洋工程重點實驗室，天津，300072

0 引言

作為船體主要承重構(gòu)件，大跨度甲板常被應(yīng)用于油船、滾裝船、艦船等，具有跨度大、無支撐等特性，其剛度、變形及動態(tài)振動性能值得關(guān)注[1]。目前，加筋板結(jié)構(gòu)前期設(shè)計(概念設(shè)計)存在依賴工程經(jīng)驗、設(shè)計周期長及性能非最優(yōu)等問題。近年來，拓?fù)鋬?yōu)化(topology optimization，TO)技術(shù)飛速發(fā)展，它可在滿足結(jié)構(gòu)目標(biāo)函數(shù)及約束條件下實現(xiàn)設(shè)計域中材料的最優(yōu)分布以最優(yōu)化結(jié)構(gòu)性能，具有低成本、高收益、快速性等優(yōu)點[2]，是結(jié)構(gòu)概念設(shè)計最有效的手段。

發(fā)展至今，拓?fù)鋬?yōu)化理論已較為成熟[3-6]，被廣泛應(yīng)用于船舶結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。高上地等[7]結(jié)合形狀優(yōu)化和拓?fù)鋬?yōu)化方法解決了角隅結(jié)構(gòu)的應(yīng)力集中問題，并尋優(yōu)得到新型肘板結(jié)構(gòu)。張聰?shù)萚8]基于變密度法實現(xiàn)了強度性能要求下的三體船艙壁輕量化設(shè)計。針對常規(guī)加筋板結(jié)構(gòu)，國內(nèi)外學(xué)者進行了拓?fù)鋬?yōu)化研究。馬強[9]開發(fā)了一種變密度法程序以優(yōu)化板/殼結(jié)構(gòu)的加強筋布局。崔榮華[2]應(yīng)用水平集方法和可移動變形組件法優(yōu)化了加強筋布局。季金[10]利用改進的自適應(yīng)成長技術(shù)進行了結(jié)構(gòu)柔度和自振頻率目標(biāo)下的加強筋分布優(yōu)化設(shè)計。CHENG等[11]應(yīng)用漸進均勻化方法和梯度搜索算法研究了受面外屈曲約束的加筋板雙尺度概念設(shè)計問題。TOWNSEND等[12]開發(fā)了一種水平集方法，在考慮線性屈曲的影響下對加筋板進行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。因高效、實用性強、收斂性好等特點，固體各向同性材料懲罰(solid isotropic material with penalization，SIMP)法已成為工業(yè)界和學(xué)術(shù)界中應(yīng)用最廣泛且最成功的的拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)[13]。WARWICK等[14]、ZHAO等[15]應(yīng)用SIMP內(nèi)核下的商業(yè)優(yōu)化軟件對三維實體單元加筋板結(jié)構(gòu)進行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計，充分驗證了SIMP技術(shù)應(yīng)用于加筋板概念設(shè)計的可行性。但采用三維實體單元進行加筋板設(shè)計存在加強筋-面板斷連及計算效率低的劣勢[16-19]。此外，在傳統(tǒng)SIMP法(conventional SIMP，C-SIMP)中，懲罰因子在拓?fù)鋬?yōu)化迭代過程中為固定值，材料單元密度被過度懲罰，將凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為非凸優(yōu)化問題，從而迭代收斂至結(jié)構(gòu)局部最優(yōu)解。另外，鮮有學(xué)者對大跨度無支撐甲板進行工程性能拓?fù)鋬?yōu)化研究和進一步的詳細(xì)設(shè)計。

本文基于密度約束準(zhǔn)則并應(yīng)用域偏置手段，實現(xiàn)大跨度無支撐甲板設(shè)計域的降維處理。首次將延拓技術(shù)引入加筋板概念設(shè)計階段，提出兼顧迭代效率和逼近全局最優(yōu)解的三段式延拓(three-stage continuation，TSC)法，以處理大跨度甲板剛度、變形及動態(tài)振動性能拓?fù)鋬?yōu)化問題。尺寸/材料一體化優(yōu)化方法聯(lián)合自動化技術(shù)則被應(yīng)用于大跨度甲板拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的詳細(xì)設(shè)計。

1 三段式延拓法

本文以SIMP插值技術(shù)為理論支撐，其函數(shù)為

(1)

式中，xe為單元密度；p為材料懲罰因子；ke為單元剛度矩陣；K(x)為懲罰后的結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣。

為緩解懲罰因子過度應(yīng)用引起的局部最優(yōu)解問題，延拓法應(yīng)運而生[20]，并被建議為結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的標(biāo)準(zhǔn)程序[21]。為兼顧迭代效率與全局最優(yōu)解，本文提出一種TSC法。

階段一：初始化懲罰因子p1=1，拓?fù)涞諗恐粱叶仍O(shè)計(低密度單元占大比例)。

階段二：懲罰因子值p2=p1+1，并以階段一的灰度設(shè)計為起始點，迭代收斂至包含部分中間密度單元的拓?fù)湓O(shè)計。

階段三：以階段二的拓?fù)湓O(shè)計為初始參考，懲罰因子值p3=p2+1，拓?fù)涫諗恐敛季智逦?-1概念設(shè)計。

可看出，此TSC法以求解凸優(yōu)化問題為起始點，且在階段收斂處，懲罰因子值增加1，可提高獲取全局最優(yōu)解的概率。技術(shù)路線圖見圖1。其中，x0代表初始加強筋單元密度向量；xk為第k階段的加強筋單元密度向量。因設(shè)計變量數(shù)量遠(yuǎn)多于約束條件數(shù)量，故采用伴隨變量法(adjoint variable method，AVM)高效地進行目標(biāo)函數(shù)靈敏度分析[22]。最后，利用靈敏度信息對有限元模型進行顯式近似并基于對偶算法[23]優(yōu)化加強筋單元密度。

圖1 三段式延拓法流程示意圖

2 降維處理策略

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化過程中，TSC法借助懲罰因子消除非必要材料以生成“0-1”分布，本質(zhì)上屬于減法模式。如圖2所示，基于此原理，加筋板結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)的思路[14-15]為：①給定加筋板三維設(shè)計區(qū)域并劃分設(shè)計域(加強筋域)和非設(shè)計域(面板域)(圖2a)；②將加筋板設(shè)計區(qū)域有限元離散為三維實體單元(圖2b)；③在TSC法驅(qū)動下，消除設(shè)計域中的非必要加強筋材料以生成加強筋拓?fù)洳季?圖2c)。但上述思路存在兩個問題：①加筋板完整性不足，即加強筋-面板存在斷連現(xiàn)象，此部分加強筋材料未起到抗彎作用，導(dǎo)致加強筋布局非最優(yōu)；②大跨度無支撐甲板三維實體單元數(shù)量大，其計算效率極低。上述問題可通過如下步驟解決(圖3)：①對圖2b的z向加強筋實體單元施加密度約束(如拔模約束、擠壓約束、鑄造約束等)，將z向加強筋實體單元密度均一化(圖3a)；②從拓?fù)鋬?yōu)化單元密度角度出發(fā)，密度均一化的z向加強筋實體單元即可采用板單元代替(圖3b)，實現(xiàn)了加強筋單元的降維處理；③基于TSC法實現(xiàn)加強筋拓?fù)浞植?，此時任意加強筋構(gòu)件均與面板相連(圖3c)。板單元的應(yīng)用同時解決了計算效率低的問題。該策略已被DUGRE等[24]證明有效，但他們采用的同心加筋板結(jié)構(gòu)并不符合工程實際，本文運用域偏置手段(圖4)對其進行改進以生成符合工程實際的偏心加筋板布局分布。

(a)3D設(shè)計區(qū)域 (b)3D有限元模型 (c)3D拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

(a)均一化密度 (b)2D板單元模型 (c)2D加強筋拓?fù)洳季?/p>

圖4 域偏置

3 自動化技術(shù)

加筋板設(shè)計時，重復(fù)人工操作費時費力且易產(chǎn)生人為錯誤，故引入流程自動化技術(shù)以提高分析效率與準(zhǔn)確性并降低時間及人力成本，如圖5所示。

圖5 加筋板拓?fù)鋬?yōu)化流程自動化技術(shù)路線圖

本文開發(fā)了一種通用且高效的流程自動化技術(shù)[25]。①前處理(HyperMesh)自動化基本思路為：基于Command文件提取命令函數(shù)以實現(xiàn)拓?fù)鋬?yōu)化參數(shù)的自動化建立；②應(yīng)用TSC法并依托OptiStruct求解器實現(xiàn)大跨度甲板的概念-詳細(xì)設(shè)計，通過修改運行選項(采用in-core內(nèi)存管理模式并設(shè)置CPU核數(shù))以硬件加速方式進行計算性能調(diào)優(yōu)來提高計算效率；③后處理(HyperView)自動化則依托于函數(shù)結(jié)構(gòu)樹，需按照函數(shù)結(jié)構(gòu)樹提取對象的句柄來實現(xiàn)軟件自動化操作，其一般語法格式為

{parent_object_handle_name} {command}

{object_handle_name}

(2)

其中，parent_object_handle_name為父級句柄名稱；command為獲取子級句柄名稱的命令；object_handle_name為子級句柄名稱。

此技術(shù)兼具可行性與高效性，可推廣至其他基于上述軟件開展的拓?fù)鋬?yōu)化研究。

4 加筋板算例驗證

應(yīng)用自動化技術(shù)，以480個加筋板剛度最大化概念設(shè)計算例驗證TSC法的有效性。

4.1 拓?fù)鋮?shù)設(shè)定

加筋板受大小為1的面外均壓。四邊簡支。彈性模量E=2.06×105，泊松比ν=0.3。加筋板網(wǎng)格采用一階四節(jié)點殼單元，大小為1×1。材料體積分?jǐn)?shù)V=0.3，0.4，0.5。目標(biāo)函數(shù)容差ω0=0.0001，以保證拓?fù)涞諗壳疑?-1分布的清晰加強筋布局。最小成員尺寸為3倍網(wǎng)格單元大小，用來懲罰小于此直徑大小的構(gòu)件以便于后續(xù)工程制造，同時避免了棋盤格現(xiàn)象及網(wǎng)格依賴性問題[26]。C-SIMP法的懲罰因子取值為3[27]，TSC法的懲罰因子初始取值為1。

4.2 算例組

自動化技術(shù)支持下(圖5)，基于TSC法和C-SIMP法對兩組加筋板進行剛度性能最大化概念設(shè)計，具體參數(shù)如表1所示。面板厚度最小值hmin=0.002，以保證拓?fù)涞^程中加筋板受完整面壓；面板厚度最大值hmax=HV；面板厚度增量Δh=0.2(此增量由第二厚度點開始)。此外，將B視為基本參數(shù)，相同L/B、H/B、h/B下，加強筋剛度設(shè)計相同，即本文所研究的加筋板設(shè)計具備一定通用性，可為相關(guān)設(shè)計人員提供一定參考。

表1 加筋板算例組

4.3 結(jié)果分析與討論

圖6、圖7分別為兩組加筋板的拓?fù)鋺?yīng)變能對比圖，其中，各分圖最左邊的為整體對比圖；中間的為局部放大圖，以實心圓點為對應(yīng)；最右邊的為TSC法相比C-SIMP法拓?fù)鋺?yīng)變能的下降度，即er=(SC-SIMP-STSC)/STSC，其結(jié)束點對應(yīng)局部放大圖中的灰色實心圓點。據(jù)圖6和圖7，C-SIMP法下，拓?fù)鋺?yīng)變能隨面板厚度增大而呈現(xiàn)四階段變化，即降低—平緩振蕩式增大—大幅振蕩式增大—大幅振蕩式降低；而TSC法下，拓?fù)鋺?yīng)變能則僅呈現(xiàn)兩階段變化，即降低—指數(shù)式平緩振蕩增大?；赥SC法的240例加筋板模型的拓?fù)鋺?yīng)變能均低于C-SIMP法，具體下降度如表2所示。其中，拓?fù)鋺?yīng)變能下降度超5%的占比97.5%；下降度超10%的占比86.7%；下降度超20%的占比69.2%；下降度超50%的占比50.4%。表3和表4所示分別為組別一和組別二的最佳面板厚度及相應(yīng)拓?fù)鋺?yīng)變能。TSC法下，加筋板最優(yōu)拓?fù)鋺?yīng)變能均下降超4%，充分說明了TSC法在加筋板剛度性能尋優(yōu)方面的有效性。

(a)V=0.3

(a)V=0.3

表2 TSC法較C-SIMP法的拓?fù)鋺?yīng)變能下降度

表3 組別一的最佳面板厚度及拓?fù)鋺?yīng)變能對比

表4 組別二的最佳面板厚度及拓?fù)鋺?yīng)變能對比

圖8和圖9所示分別為組別一和組別二的最佳拓?fù)洳季址植?。與C-SIMP法相比，TSC法下的加強筋次要構(gòu)件(細(xì)小構(gòu)件)減少而主要構(gòu)件數(shù)量更多且分布均勻。

(a)C-SIMP法

(a)C-SIMP法

5 拓?fù)?尺寸-材料聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計

5.1 大跨度無支撐甲板基準(zhǔn)模型

如圖10所示，某大跨度甲板[1]長38.4 m，寬22.4 m，面板厚度為14 mm；橫梁采用T 750×10/250×20，橫向跨度為5.6 m，縱向跨度為2.4 m；縱骨應(yīng)用HP 220×10，跨距0.7 m。有限元分析中，面板采用二維四節(jié)點殼單元模擬，單元數(shù)量為86 016；橫梁及縱骨均采用一維梁單元模擬，單元數(shù)量為15264。大跨度甲板材料屬性為E=70 GPa，ν=0.3；邊界條件為

圖10 大跨度甲板基準(zhǔn)模型

(3)

5.2 工況條件

大跨度無支撐甲板服役工作期間有甲板上浪、船體梁總縱彎曲等工況，本文主要考慮上述兩種載荷(圖11)。①LC1：甲板上浪產(chǎn)生的均勻面外載荷，p=3 kPa；②LC2：船體梁總縱彎曲產(chǎn)生的面內(nèi)縱向壓力，σ=1.6 MPa。

(a)LC1

5.3 拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計

5.3.1拓?fù)鋮?shù)

大跨度甲板拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計區(qū)域依據(jù)基準(zhǔn)模型空間域確定，總尺寸為38.4 m×22.4 m×784 mm，其中設(shè)計域(加強筋域)為38.4 m×22.4 m×770 mm，非設(shè)計域(面板域)為38.4 m×22.4 m×14 mm。目標(biāo)函數(shù)容差ω0、最小成員尺寸及懲罰因子設(shè)定同上。

對大跨度無支撐甲板基準(zhǔn)模型開展靜態(tài)有限元分析及動態(tài)特征值分析以獲取概念設(shè)計所需的剛度、變形及動態(tài)振動指標(biāo)，具體如表5所示。基于此，構(gòu)造大跨度無支撐甲板拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型：

表5 大跨度甲板拓?fù)鋬?yōu)化性能指標(biāo)

(4)

5.3.2大跨度無支撐甲板拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

三段式延拓法驅(qū)動下，無效加強筋材料被“懲罰”，中高密度材料被保留并形成輪廓清晰的加強筋拓?fù)洳季?，如圖12所示。相較于傳統(tǒng)加強筋的密集橫縱式正交布局[28]，大跨度甲板概念設(shè)計具有構(gòu)件數(shù)量少、構(gòu)件分布間距大及曲形等特性，可為設(shè)計人員提供加筋板前期設(shè)計的新思路。

圖12 大跨度甲板概念設(shè)計結(jié)果

5.4 曲形大跨度甲板尺寸/材料一體化優(yōu)化設(shè)計

為便于工程制造與生產(chǎn)，對大跨度甲板概念設(shè)計開展尺寸/材料一體化優(yōu)化設(shè)計。概念設(shè)計解釋策略為：基于大跨度甲板拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的中高密度材料構(gòu)造加強筋輪廓線，而后在加強筋輪廓中線位置并沿長度方向布置曲形加強筋基線，如圖13所示。曲形加強筋采用T形梁單元模擬，面板則采用二維四節(jié)點殼單元模擬。為最大限度提高大跨度無支撐甲板的剛度、變形及振動特性，優(yōu)化設(shè)計變量包含面板及加強筋材料的彈性模量E、面板厚度h及T形梁截面尺寸(圖14)。彈性模量E的初始值為70 GPa，面板厚度h的初始值為14 mm。概念設(shè)計中，不同位置處的拓?fù)浼訌娊顚挾炔煌瑸槌浞煮w現(xiàn)此特征，采用多類別加強筋設(shè)計變量，共44種(圖15)。其中，每種加強筋設(shè)計變量包含4個子設(shè)計變量(圖14)。各類別加強筋截面尺寸初始值為：D1=250 mm，D2=670 mm，D3=20 mm，D4=10 mm。179種設(shè)計變量的人工建立費時費力且易出現(xiàn)人為失誤，故應(yīng)用命令函數(shù)進行高效且準(zhǔn)確的自動化建立。

圖13 曲形T形梁基線

圖14 T形梁子設(shè)計變量

圖15 曲形T形梁設(shè)計變量類別

大跨度甲板詳細(xì)設(shè)計對標(biāo)基準(zhǔn)模型的剛度、變形及動態(tài)振動性能，基于此，構(gòu)建大跨度無支撐甲板尺寸/材料一體化優(yōu)化數(shù)學(xué)模型：

(5)

式中，E1為加強筋彈性模量；E2為面板彈性模量；D1，k～D4，k為第k種加強筋類別的截面尺寸變量。

歷經(jīng)184步，大跨度無支撐甲板尺寸/材料優(yōu)化迭代收斂，如圖16所示。迭代初，甲板材料的彈性模量較小，為滿足性能需求并降低最大約束違反，大跨度甲板新設(shè)計總體積增大；而后，最大約束違反降為0，并隨彈性模量增大，總體積呈減小趨勢；迭代至144步，大跨度甲板新設(shè)計總體積降至20.49 m3，略小于基準(zhǔn)模型總體積(20.54 m3)，此時加強筋及面板材料的彈性模量均增至293 GPa。迭代收斂時，加強筋及面板材料的彈性模量均增大至上限值，即E=420 GPa，而大跨度甲板新設(shè)計的總體積VT=17.25 m3。可知，材料彈性模量的增大，對降低大跨度甲板成本并提高其剛度、變形及振動性能具有重要作用。

圖16 尺寸優(yōu)化迭代歷史

大跨度無支撐甲板多應(yīng)用于空間資源稀缺的滾裝船、油船、艦船及航母等大型裝備，在保證甲板性能的基礎(chǔ)上減小材料總體積具備工程實際意義，故第144～184步的尺寸/材料優(yōu)化設(shè)計結(jié)果均可被應(yīng)用，但彈性模量愈大，甲板材料要求也愈高，故第144步下的大跨度甲板新設(shè)計被最終采用。值得注意的是，E=293 GPa的材料彈性模量已高于鋼材彈性模量，甲板選材應(yīng)為高剛度復(fù)合材料。該迭代步下的面板厚度h由14 mm增加至19.43 mm。曲形T形梁截面尺寸優(yōu)化值如表6所示。曲形大跨度無支撐甲板新設(shè)計如圖17所示。

圖17 曲形大跨度甲板新設(shè)計

表6 T形梁截面尺寸優(yōu)化值

從空間角度出發(fā)，大跨度無支撐甲板基準(zhǔn)模型總體積為20.54 m3，T形梁總高度為770 mm；而曲形大跨度甲板新設(shè)計的總體積VT=20.49 m3，僅5號和7號T形梁高度為760 mm，其余T形梁高度均低于670 mm?？芍诖罂缍燃装蹇傮w積略減小的基礎(chǔ)上，可節(jié)省13%的高度空間。此外，分布較為離散的加強筋布局可為船體線纜布置提供充足空間。

表7所示為曲形大跨度甲板新設(shè)計與基準(zhǔn)模型的性能對比。從性能角度出發(fā)，曲形大跨度甲板新設(shè)計的應(yīng)變能分別降低10.21%、15.43%，其剛度性能得到有效提高。工況LC2下的甲板最大節(jié)點位移下降61.46%。一階動態(tài)特征頻率由2.52 Hz升至2.76 Hz，提高9.52%。相較于傳統(tǒng)加筋板布局，曲形大跨度無支撐甲板新設(shè)計具備空間及性能雙重優(yōu)勢，證明了概念設(shè)計解釋策略及尺寸/材料一體化設(shè)計方法的先進性。此外，概念設(shè)計為詳細(xì)設(shè)計提供曲形T形梁位置支持，進一步證明了降維處理策略及TSC法組合應(yīng)用于大跨度甲板概念設(shè)計的有效性。

表7 曲形大跨度甲板新設(shè)計與基準(zhǔn)模型性能對比結(jié)果

6 結(jié)論

基于降維處理策略和三段式延拓(TSC)法對大跨度無支撐甲板開展應(yīng)變能、多工況位移及動態(tài)頻率性能拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。應(yīng)用尺寸/材料一體化設(shè)計方法并聯(lián)合自動化技術(shù)對大跨度甲板拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進行詳細(xì)設(shè)計以便工程制造。自動化技術(shù)下的480個簡單加筋板算例證明TSC法具備更優(yōu)的拓?fù)鋭偠刃阅芎透鼜V的面板厚度適用性。與常規(guī)大跨度甲板相比，TSC法下的大跨度甲板概念設(shè)計具有構(gòu)件數(shù)量少、構(gòu)件分布間距大及曲形等特征，可為設(shè)計人員提供加筋板前期設(shè)計的新思路。此外，曲形大跨度甲板新設(shè)計的總體積略減小，并可節(jié)省13%的高度空間。剛度性能最高提高15.43%，最大變形至高降低61.46%，一階振動特性提高9.52%。進一步說明了降維處理策略和TSC法應(yīng)用于大跨度加筋板概念設(shè)計的先進性。