王時(shí)雯，由守科

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 烏魯木齊 830017)

0 引言

隔離是切斷傳染病傳播途徑的最直接和有效的措施，對(duì)防控SARS、COVID-19等惡性傳染病有重要作用[1-3]。近年來，人們建立了許多帶有隔離的微分方程SIQS傳染病模型，并對(duì)這些模型的閾值理論或解的持久性進(jìn)行了研究[4-9]。 然而，這些模型大多沒有考慮自然年齡和染病年齡因素對(duì)傳染病傳播的影響，并不能準(zhǔn)確反映乙肝、艾滋病等具有較長(zhǎng)染病周期的傳染病的傳播。因此，傳染病模型研究中綜合考慮自然年齡、染病年齡和隔離措施是必要的。

1974年，Hoppensteadt[10]綜合考慮隔離、人口遷移、類年齡因素對(duì)傳染病傳播的影響，建立了一類自然年齡和染病年齡并存的SIQR傳染病模型，但由于模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜，該模型解的閾值問題至今未得到解決。之后，相對(duì)簡(jiǎn)單的自然年齡和染病年齡結(jié)構(gòu)的SIR、SIQR、SEIS、SEIR等傳染病模型解的適定性得到證明[11-14]，但關(guān)于平衡解的閾值理論的研究結(jié)果較少。至今，自然年齡和染病年齡結(jié)構(gòu)并存的傳染病模型的閾值理論尚無一般結(jié)論，只有一些針對(duì)具體模型閾值理論的研究結(jié)果[15-16]。

1 模型

根據(jù)Kermack和Mckendric的傳染病倉室模型思想[17-18]，文獻(xiàn)[19]中建立的一類自然年齡和染病年齡結(jié)構(gòu)并存的SIS模型增加隔離類人群，將人群分為易感類、染病類和隔離類，并假設(shè)傳染病無垂直傳染性，建立如下SIQS傳染病模型：

(1)

定解條件為

(2)

模型中未知函數(shù)S(t,x)、I(t,x,y)、Q(t,x)依次表示易感類、染病類及隔離類人群關(guān)于時(shí)間t、自然年齡x和染病年齡y的分布密度函數(shù)。A為最大年齡，0≤x,y≤A，且y>x時(shí)I(t,x,y)=0。參數(shù)u(x)、b(x)、λ(x)、g(x,y)依次表示死亡率、出生率、發(fā)病率、隔離率函數(shù)。r1(x)、r2(x)分別表示隔離類和染病類人群的治愈率函數(shù)。S0(x)、I0(x,y)、Q0(x)分別表示3類人群的初始分布密度函數(shù)。另外，假設(shè)模型中相關(guān)函數(shù)滿足：

(H1)：S0(x),I0(x,y),Q0(x)在x,y∈[0,A)上是非負(fù)連續(xù)的有界函數(shù)，且S0(x),Q0(x)∈L1((0,A);R)，I0(x,y)∈L1((0,A)×(0,A);R)。

(H2)：r1(x),r2(x),b(x),λ(x),g(x,y)在x,y∈[0,A)上是非負(fù)連續(xù)的有界函數(shù)，u(x)連續(xù)且

模型(1)和(2)是非線性雙曲方程組，利用壓縮映射原理和先驗(yàn)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)性方法[20]可以證明非負(fù)解的存在性。本文將證明該模型無病平衡解的穩(wěn)定性和地方病平衡解的存在性。

2 等價(jià)模型

聯(lián)合模型(1)-(2)得到總?cè)丝诜植济芏群瘮?shù)為

滿足定解問題

(3)

根據(jù)文獻(xiàn)[21]，如果假設(shè)

成立，則定解問題(3)存在平衡解

其中

令

S(t,x)=s(t,x)P∞(x),I(t,x,y)=i(t,x,y)P∞(x),Q(t,x)=q(t,x)P∞(x)

代入模型(1)和(2)可得方程

(4)

及定解條件

(5)

其中

從而，對(duì)模型(1)和(2)平衡解的研究可歸結(jié)為對(duì)模型(4)和(5)平衡解的研究。

3 無病平衡解穩(wěn)定性分析

假設(shè)(s*(x),i*(x,y),q*(x))為模型(4)和(5)的平衡解，則

(6)

顯然

(7)

其中

簡(jiǎn)單計(jì)算可得

令R=F(0)，即

證明令J(μ)=F(μ)-1，則J(μ)為μ的單調(diào)遞減連續(xù)函數(shù)。當(dāng)R>1時(shí)，J(0)=R-1>0，且

F(μ*)=1=|F(a+ib)|≤F(a)

證明利用特征線方法解得模型(4)和(5)的解為

(8)

(9)

(10)

令h(t,x)=λ(x)I1(t)s(t,x)，由于0≤s(t,x)≤1，故當(dāng)t>A時(shí)

即

(11)

(12)

其中

從而

又因?yàn)镽<1，則M=0。于是，根據(jù)式(12)可得

(13)

聯(lián)合式(8)—(10)和式(13)得

4 地方病平衡解的存在性

當(dāng)R>1時(shí)，受文獻(xiàn)[21-22]的啟發(fā)，利用Volterra積分方程理論，可得地方病平衡解存在性定理。

定理3當(dāng)R>1時(shí)，模型(4)和(5)至少存在1個(gè)地方病平衡解。

(14)

由式(14)計(jì)算得

(15)

(16)

(17)

其中

綜上，當(dāng)R>1時(shí)模型(4)和(5)存在地方病平衡解。證畢。

5 結(jié)論

討論了一類帶有隔離和染病年齡的SIQS偏微分傳染病模型的閾值理論，得到了閾值R，給出了無病平衡解穩(wěn)定性和地方病平衡解存在性的條件。從模型的閾值R的表示看，對(duì)染病類人群的隔離和治愈是控制疾病傳播的關(guān)鍵因素，這在防控SARS和COVID-19疫情中已得到體現(xiàn)。地方病平衡解的唯一性與穩(wěn)定性問題是后續(xù)研究的內(nèi)容。