陳秀清

天津市靜海區(qū)大邱莊鎮(zhèn)中學(xué) 301606

學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)比學(xué)習(xí)方法重要，學(xué)習(xí)方法比學(xué)習(xí)知識重要.在解題教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極參與，同一道題不要局限于一種解法，要通過多法探究，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)知識的融合貫通.筆者通過一題多解的教學(xué)，融合初中幾何眾多重要知識，以使學(xué)生收獲多種求解線段的方法與思路.

真題再現(xiàn)

問題：如圖1所示，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，連接BE得到△ABE，將△ABE沿直線BE折疊得到△FBE，BF與AC相交于點(diǎn)G，求線段CG的長.

圖1

這是一道以正方形為背景的幾何綜合題，綜合考查了軸對稱的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、勾股定理以及三角函數(shù)等重要知識.學(xué)生需要根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造全等三角形與相似三角形，然后利用它們的性質(zhì)解答，其中滲透了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，是一道較好的幾何綜合題.

解法探究

師：通過閱讀試題，可得到的已知條件包括：正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，△FBE 是△ABE 沿直線BE折疊得到，AC是正方形ABCD的對角線，所求問題是求線段CG的長.當(dāng)然線段CG的長不能直接去求，必須找到與線段CG相關(guān)的結(jié)構(gòu)，從CG相關(guān)的結(jié)構(gòu)入手找到已知與未知的連接點(diǎn)，與線段CG相關(guān)的結(jié)構(gòu)有哪些呢？

生1：從圖1可以看出，與線段CG相關(guān)的結(jié)構(gòu)包括：線段AC，△CGB，△AGB.

圖2

師：上述兩位同學(xué)都致力于求線段DH或HF的長，分別采用了相似三角形與射影定理，其他的步驟都相同，那么求線段DH或HF的長，還有沒有其他的方法呢？

圖3

圖4

圖5

師：這位同學(xué)把問題集在銳角三角形GAB中，通過解直角三角形求得AG的長，從而求得CG的長.在上述的不同解法中，分別展現(xiàn)了求線段長的三種方法，一是利用直角三角形的勾股定理求線段段長；二是利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求線段長；三是利用解直角三角形求線段長，這些都是我們寶貴的解題經(jīng)驗.

教后反思

（一）重視學(xué)生體驗知識的生成過程

學(xué)生學(xué)習(xí)知識是一個探索、發(fā)現(xiàn)、感悟的過程［1］，在此過程中，學(xué)生 不僅收獲了知識，而且體驗到了知識的生成過程，收獲了解題方法與數(shù)學(xué)思想.在本課教學(xué)中，學(xué)生通過求與CG相關(guān)的量從而求得CG的值，體會到了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.學(xué)生還通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形、相似三角形、全等三角形，利用直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)解決問題，體會到了構(gòu)造法在解題過程中的重要性.同時，在探索的過程中，學(xué)生相互啟發(fā)，由此及彼，由點(diǎn)及面，不斷生發(fā)思維的火花，促進(jìn)了思維的發(fā)展.由此可見，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視探究知識的生成過程，讓學(xué)生在獨(dú)立思考、小組交流中經(jīng)歷知識生成的過程，體驗數(shù)學(xué)思想方法，從而獲得探索的快樂.

（二）在規(guī)律探究中培養(yǎng)學(xué)生思考力

鮮活的問題是規(guī)律探究的有效載體.實(shí)際上，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是通過解決問題發(fā)現(xiàn)其中的內(nèi)在規(guī)律，然后運(yùn)用規(guī)律解決問題.規(guī)律的內(nèi)涵豐富多樣，可以是通項公式，可以是計算方法技巧，也可以是解決某類問題的思路與步驟，還可以是抽象出來的數(shù)學(xué)思想方法.解決完具體問題后，不能局限于這一個問題，應(yīng)通過追問與探索，看看解決問題的方法是否具有普遍性與規(guī)律性，問題的結(jié)論是否可以進(jìn)一步延伸？數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，但數(shù)學(xué)規(guī)律是恒定不變的.如在本例中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)在某一個三角形中，已知一個角的度數(shù)與另一個角的正切值，還有一條邊長，就可以解這個三角形，求出任意一邊的長，方法是過第三個角的頂點(diǎn)作垂線，構(gòu)造兩個直角三角形，利用勾股定理建立方程可以求得相應(yīng)線段的長.又如，在復(fù)雜的圖形中，發(fā)現(xiàn)其中的基本圖形，如本例中有一線三等角模型、三垂直模型，還有A型相似、X型相似、反A型相似、反X型相似等.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識地培養(yǎng)學(xué)生探究規(guī)律的意識，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)［2］.

（三）在融會貫通中加強(qiáng)知識的運(yùn)用

數(shù)學(xué)知識是具有邏輯關(guān)系的一個知識體系［3］.數(shù)學(xué)教師要幫助學(xué)生不斷加固知識結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力，讓學(xué)生既見樹木又見森林.在本題的探究過程中，并沒有單純以解答問題為目的，而是注重了解法的對比聯(lián)系，通過一題多解的形式促進(jìn)學(xué)生多維思考，又通過多解歸一實(shí)現(xiàn)知識的融會貫通.學(xué)生探究出了五種解法，拓寬了思維路徑，培養(yǎng)了發(fā)散思維.同時，通過基本圖形的發(fā)掘與基本方法的發(fā)現(xiàn)，學(xué)生能實(shí)現(xiàn)知識的內(nèi)在統(tǒng)一.