徐仲強(qiáng)，王遠(yuǎn)弟

(上海大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海 200444)

1 引言

隨著電子元器件尺寸越來越小，功率也不斷攀升，使得元器件散熱變得愈發(fā)重要，元器件的傳熱優(yōu)化問題受到廣泛關(guān)注[1-3]。

現(xiàn)在這個(gè)問題的有效解決辦法之一是在電子元器件內(nèi)部構(gòu)造高傳熱材料傳導(dǎo)路徑，通過插入高傳熱性材料(如金剛石或碳纖維)，可以更有效地排出內(nèi)部的熱量。如何利用有限數(shù)量的高傳熱性材料來構(gòu)造熱傳導(dǎo)路徑，將平均溫度最小化轉(zhuǎn)化為一個(gè)優(yōu)化問題，在熱傳導(dǎo)優(yōu)化中，稱為“體點(diǎn)”問題(VP)?！绑w點(diǎn)”問題是熱傳導(dǎo)優(yōu)化的基礎(chǔ)問題，最初由Bejan定義。

Bejan等人于1996年[4]提出了基于構(gòu)型理論的樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)，討論了其在微電子器件冷卻散熱優(yōu)化方面的應(yīng)用，對(duì)平面體點(diǎn)問題進(jìn)行了優(yōu)化。他的基本思路是從最小的二維面積單元開始(通常與工藝上能達(dá)到的最小制造單元相當(dāng))，對(duì)該面積單元利用優(yōu)化方法使其熱阻最小，達(dá)到其最優(yōu)外形；然后利用優(yōu)化方法對(duì)這個(gè)最小的面積單元進(jìn)行第一次組合，得到第一次組合體結(jié)果，從第二次組合體開始，新的組合體一定包含兩個(gè)較小的兩個(gè)優(yōu)化后的組合體。按照這樣的優(yōu)化方法進(jìn)行下去，直到經(jīng)過若干次的組合優(yōu)化后得到的最優(yōu)組合體能覆蓋住所給的面積。Bejan的構(gòu)形理論建立在主次干道相互垂直的基礎(chǔ)上，并對(duì)每一干道的寬度和長度進(jìn)行優(yōu)化，得到了在內(nèi)熱源均勻、高傳熱材料和基體材料的傳熱系數(shù)比值較大的情況下高導(dǎo)材料最優(yōu)布置方案。

過增元等人以提高傳熱效率為優(yōu)化目標(biāo)，基于生命演化的自然原理提出并發(fā)展了仿生優(yōu)化方法[7]，定義了火積(描述熱傳導(dǎo)能力的物理量)[5]、熱量傳遞勢容和熱量傳遞勢容耗散函數(shù)[6]，提出了最小熱量傳遞勢容耗散原理，得出了當(dāng)傳熱系數(shù)最佳分布時(shí)，全場的溫度梯度應(yīng)處處相等。仿生優(yōu)化方法所遵循的梯度均勻化原則的理論推導(dǎo)利用了傳熱系數(shù)的連續(xù)性[6]，對(duì)內(nèi)熱源均勻且高傳熱材料和基體材料的傳熱系數(shù)比值較小、非均勻內(nèi)熱源[8]、具有相變的非穩(wěn)態(tài)狀態(tài)[9]等問題都有較好的優(yōu)化結(jié)果。

2018年，王遠(yuǎn)弟和張俊頂?shù)热薣10]在討論二維傳熱問題時(shí)，以全場溫度均值最低為優(yōu)化目標(biāo)，提出并證明了高傳熱系數(shù)材料最優(yōu)分布時(shí)的曲面面積極小化原則，最低全場溫度均值時(shí)高傳熱材料布置對(duì)應(yīng)最小溫度場曲面面積，利用數(shù)值模擬說明了極小曲面法的合理有效性，并對(duì)比了極小曲面法和仿生優(yōu)化方法在不同條件下的優(yōu)化效果。

受二維仿生優(yōu)化以及極小曲面啟發(fā)，本文的優(yōu)化方向分別是提升傳熱效率和最小化全場溫度均值，對(duì)于三維“體點(diǎn)”問題，得出了三維高導(dǎo)材料填充標(biāo)準(zhǔn)。在此基礎(chǔ)上對(duì)兩種方法填充，對(duì)比剖析兩種方法模擬出的構(gòu)造，可知三維模型的填充結(jié)構(gòu)與二維類似，受到高傳熱材料傳熱比以及填充量的影響，得到的三維模型高傳熱材料結(jié)構(gòu)對(duì)于實(shí)際問題具有借鑒意義。

2 數(shù)學(xué)模型

底部中心模型如圖1所示。

圖1 底部中心模型

圖1左圖模型a和右圖模型b描述了一個(gè)空間元器件材料“體點(diǎn)”傳熱問題。立方體邊長為L，內(nèi)均勻填充熱源q。高導(dǎo)材料和初始材料的傳熱系數(shù)分別為Kp和K0，高導(dǎo)材料填充量為Vp，填充率為η(Vp/V)。模型a底部有長度為δ(δ?L)的正方形開口，邊界絕熱，開口溫度恒定U0。模型b中心鏤空，鏤空處保持恒定溫度U0，邊界絕熱。 求區(qū)域內(nèi)高傳熱系數(shù)材料最優(yōu)填充，使得全場溫度均值最低。一直處在運(yùn)行中的器件，可以視為穩(wěn)態(tài)，所以考慮平衡態(tài)下的傳熱問題。設(shè)u=u(x，y，z)為溫度函數(shù)，為了最小化全場溫度均值。記

(1)

為全場溫度均值。其中|Ω|為空間區(qū)域Ω的度量即體積，易知|Ω|恒定，省略它對(duì)結(jié)果無影響。于是三維“體點(diǎn)”傳熱問題的數(shù)學(xué)模型a、b可化簡為

(2)

在邊界面各個(gè)方向上，對(duì)于底部開口的模型a：

(3)

對(duì)于中間鏤空的模型b

(4)

其中Γ11、Γ21、Γ22、Γ23分別為模型a的開口、前后絕緣壁、左右絕緣壁和上下絕緣壁，Γ12、Γ24、Γ25、Γ26分別為模型b的開口、前后絕緣壁、左右絕緣壁和上下絕緣壁，式 (2)為優(yōu)化目標(biāo)，式(3)(4)分別為模型a、b的邊界條件。取傳熱口處不變溫度為u=0，否則做平移變換即可得。

3 理論分析

這里討論兩種三維模型填充方法，即仿生優(yōu)化和極小曲面方法。注意到模型a和b僅僅只是在中間溫度的區(qū)別，外部邊界條件類似，所以這里以模型a為例作理論推導(dǎo)。

3.1 極小曲面方法

數(shù)學(xué)上，把R3中平均曲率為零的曲面稱為極小曲面，該函數(shù)u=u(x，y)滿足偏微分方程

(5)

相應(yīng)地，三維空間上的函數(shù)u=u(x，y)滿足極小曲面方程

(6)

(7)

(8)

計(jì)算導(dǎo)數(shù)

(9)

其中v={cosα，cosβ，cosγ}是?Ω的外法向量，由w∈W的任意性，可得

(10)

由式(10)不難計(jì)算出當(dāng)全場溫度均值最低時(shí)，溫度函數(shù)滿足極小曲面方程。

(11)

3.2 仿生優(yōu)化方法

對(duì)于三維VP問題，同樣引入了火積[6]

Zdis=?k|?u|2dA

(12)

其中，Zdis表示熱量傳遞過程中的火積耗散，k為傳熱系數(shù)，u=u(x，y，z)是傳熱區(qū)域Ω上平衡態(tài)下的溫度函數(shù)， ?u為溫度梯度?；鸱e耗散越小，則溫度梯度場越均勻，給定區(qū)域的溫度也越低，因而傳熱優(yōu)化程度就越高。因此，在對(duì)元器件模型作網(wǎng)塊劃分后，高傳熱材料應(yīng)該首先放在火積最大的微元位置，這些點(diǎn)相當(dāng)于火積最“突出”的點(diǎn)，當(dāng)把高導(dǎo)材料填充在這些位置點(diǎn)時(shí)，必然最大程度地減少整體火積。

3.2.1 三維球狀元件的散熱問題

最小熱量傳遞勢容耗散原理指出傳熱系數(shù)或密度為最佳徑向分布時(shí)，熱量傳遞勢容耗散最小，即滿足

(14)

3.2.2 三維體點(diǎn)散熱仿生優(yōu)化

設(shè)u=u(x，y，z)是傳熱區(qū)域Ω上的溫度函數(shù)，以火積耗散最小為優(yōu)化目標(biāo)，只需分析min?Ωk|?u|2dV，這里的|Ω|指空間區(qū)域Ω 的度量即體積。滿足第2節(jié)中模型a的邊界條件。這里dV是體積微元，u=u(x，y，z)，u=u(x，y，z)∈

kuxx+kuyy+kuzz+kxux+kyuy+kzuz=0

(15)

當(dāng)k為常數(shù)時(shí)，溫度函數(shù)u=u(x，y，z)滿足拉普拉斯方程。

4 高傳熱系數(shù)材料優(yōu)化準(zhǔn)則

4.1 極小曲面

根據(jù)3.1的理論推導(dǎo)可知，最低全場溫度均值時(shí)溫度函數(shù)圖像對(duì)應(yīng)的超曲面是“極小曲面”。因而，三維超曲面極小化原則指明高導(dǎo)材料最優(yōu)布置應(yīng)該使得溫度函數(shù)圖像的“面積”趨于極小化。由于每一塊高導(dǎo)材料的放置都會(huì)影響先前的溫度場，溫度函數(shù)圖像更新。故極小曲面原則即要求不斷地極小化溫度函數(shù)圖像的“面積”。

然而溫度函數(shù)圖像“面積”極小化難以量化，高導(dǎo)材料的最優(yōu)布置只通過極小曲面原則是無法明確的，所以需要進(jìn)一步簡化超曲面“面積”極小化原則。

數(shù)值模擬過程中利用含有源項(xiàng)的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程

?(K(x，y，z)?u)+q=0

(16)

設(shè)內(nèi)熱源為q=10000W/m3，圖2左圖是初始溫度場，其中鄰接網(wǎng)塊點(diǎn)間溫差小于1K。圖2右圖是填充高導(dǎo)材料后的溫度場，存在溫度為338.5959K的網(wǎng)塊點(diǎn)，其鄰接上、下、左、右、前、后六個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上的溫度分別是338.9062K，338.3786K，338.6786K，338.4355K，338.6786K和338.4355K。即ux<1，uy<1，uz<1所以有uxuyuxy?1，uxuzuxz?1，uyuzuyz?1。這是鄰接網(wǎng)塊點(diǎn)間溫差小于的一個(gè)例子，填充后溫度場各網(wǎng)塊均符合此現(xiàn)象。易知填充高導(dǎo)材料后溫差變小，式(11)表達(dá)的極小曲面方程可近似看作調(diào)和方程

uxx+uyy+uzz=0

(17)

圖2 填充前模型a溫度場(左圖)

模型a極小曲面法傳熱比為 300，填充率為8%溫度場(右圖)

通過將最低均值溫度時(shí)的溫度函數(shù)近似為調(diào)和函數(shù)，便可利用調(diào)和函數(shù)的平均值定理[11]，即

(18)

上式為調(diào)和函數(shù)平均值定理滿足的必要條件，記

(19)

4.2 仿生優(yōu)化

仿生優(yōu)化方法[7]將高導(dǎo)材料的布置分為進(jìn)化與退化。在溫度梯度最大位置進(jìn)化，梯度最小處退化淘汰，溫度梯度趨向均勻化。對(duì)(12)式作離散化處理，對(duì)立方體元器件作步長為n的分割后，目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為

(20)

圖3 (i，j，z)微元方塊與其右側(cè)方塊界面

對(duì)于微元方塊(i，j，z)處，其梯度模的二次方

(21)

對(duì)于內(nèi)部微元方塊，比如圖3中微元方塊(i，j，z)，考察其右界面，根據(jù)傅里葉定律(Q=-kAdT/dx)有

(22)

即

(23)

同理其它非邊緣界面上相應(yīng)溫度

對(duì)于邊緣界面，比如右邊緣微元方塊，其右邊界溫度Tw=T(i，j，z)。

5 數(shù)值計(jì)算

5.1 數(shù)值計(jì)算細(xì)化

因?yàn)槟Ｐ蚢和b區(qū)別僅僅在于開口構(gòu)造不同，數(shù)值計(jì)算本質(zhì)上原理趨同，不失一般性，這里以模型a為例闡明數(shù)值模擬細(xì)則。取基體材料傳熱系數(shù)處處為1，開口邊長占元器件邊長的1/5，開口溫度為300K。

極小曲面方法根據(jù)式(19)，采用中心點(diǎn)周圍相鄰一層的球體鄰域上的積分平均值來進(jìn)行數(shù)值模擬。數(shù)值模擬 (參考圖19) 可知，按球體鄰域積分均值所得全場溫度均值效果優(yōu)于正方體鄰域，這與球體鄰域相鄰方塊更能代表中心體溫度信息有關(guān)，正方體鄰域中，四角相對(duì)較遠(yuǎn)的方塊會(huì)沖淡相鄰方塊含有的中心體溫度變化信息，從而使得正方體鄰域效果相對(duì)不如球體鄰域，所以后面以球體鄰域進(jìn)行計(jì)算。

填充過程中，利用對(duì)稱性，空間上每個(gè)高導(dǎo)材料填充點(diǎn)有四個(gè)對(duì)稱點(diǎn)。于是，三維“體點(diǎn)”傳熱問題的數(shù)值模擬過程可細(xì)化為：

1)預(yù)定義參數(shù)，包括傳熱系數(shù)，網(wǎng)塊步長；

2)根據(jù)(16)式求溫度場散布；

3)利用(18)式求得中心微元體與其球體鄰域溫度均值的差值(絕對(duì)值)場；

4)在差值最大處放置高導(dǎo)材料，更新傳熱系數(shù)值；

5)重新利用步驟2)更新溫度場，當(dāng)達(dá)到填充比例η時(shí)終止填充。

仿生優(yōu)化方法中，整個(gè)模擬計(jì)算過程具體操作步驟不同之處在于上述步驟3) 4)，仿生優(yōu)化方法中，特殊的操作步驟為：

3′)根據(jù)式(20)計(jì)算每個(gè)微元體的火積，得到火積場；

4′)根據(jù)放置原則，由火積場選擇火積最大的微元塊作為高傳熱系數(shù)材料最優(yōu)填充位置，并改變選取位置的傳熱系數(shù)值。

5.2 優(yōu)化結(jié)果

本文是基于模型a和b采用極小曲面方法和仿生優(yōu)化方法的數(shù)值模擬。三維模型相比二維模型，計(jì)算量激增，具體到式(11)求解溫度場的線性方程組系數(shù)矩陣從二維的n2×n2躍升為三維的n3×n3維度(其中n表示每一邊長剖分后的網(wǎng)格/塊數(shù))。

下文分析中，導(dǎo)熱系數(shù)比值較大以高導(dǎo)熱系數(shù)材料與基體材料導(dǎo)熱系數(shù)比值等于300為例，導(dǎo)熱系數(shù)比值較小以導(dǎo)熱系數(shù)比值等于4為例，填充率取8%。

5.2.1 模型a

模型a極小曲面

傳熱系數(shù)比值比較大時(shí)，圖2左圖表示初始溫度場，溫度最高值為344.6795K，在上方四角，全場溫度均值為T=340.4682K。圖2右圖表示極小曲面原則優(yōu)化后溫度場，全場溫度均值為T=301.0257K，同比下降39.4425K；最高溫度為301.5658K，同比下降43.1137K?？梢姼邔?dǎo)材料放置后，最高溫度和全場溫度均值都有明顯降低。

圖4 模型a極小曲面法傳熱比為 300，填充率為 8%三視圖：主視圖(左上)、左視圖(右上)、俯視圖(左下)、三維圖(右下)

傳熱系數(shù)比值比較小時(shí)：優(yōu)化結(jié)果如圖6所示，圖5為相應(yīng)的溫度場散布圖像。優(yōu)化后全場溫度均值T=314.0793K，傳熱區(qū)域內(nèi)最高溫度為317.654K。

模型a仿生優(yōu)化

傳熱系數(shù)比值比較大時(shí)：梯度均勻化原則優(yōu)化結(jié)果如圖7所示，優(yōu)化后全場溫度均值僅為T=301.0739K，傳熱區(qū)域內(nèi)最高溫度為301.7303K。

圖5 模型a極小曲面法傳熱比為 4，填充率為 8%溫度場

圖6 模型a極小曲面法傳熱比為 4，填充率為 8%三視圖：主視圖(左上)、左視圖(右上)、俯視圖(左下)、三維圖(右下)

圖7 模型a仿生優(yōu)化法傳熱比為 300，填充率為 8%三視圖：主視圖(左上)、左視圖(右上)、俯視圖(左下)、三維圖(右下)

傳熱系數(shù)比值比較小時(shí)：優(yōu)化結(jié)果如圖8所示，優(yōu)化后全場溫度均值T=313.9304K，最高溫度為317.5472K。

圖8 模型a仿生優(yōu)化法傳熱比為 4，填充率為 8%三視圖：主視圖(左上)、左視圖(右上)、俯視圖(左下)、三維圖(右下)

5.2.2 模型b

模型b極小曲面

傳熱系數(shù)比值比較大時(shí) 圖9左圖是模型b填充前的溫度場，由于模型b中間鏤空開口溫度恒定，故未填充之前Z 軸方向上每一層XY平面溫度相等，且從內(nèi)向外溫度越來越高，模型b最高溫度出現(xiàn)在到散熱豎直開口距離最遠(yuǎn)的四角處，大小為305.6639K，全場溫度均值為T=304.3392K，注意到模型a優(yōu)化前溫度最高處大小為344.6795K，全場溫度均值為T=340.4682K，因?yàn)槟Ｐ蚥鏤空開口比較大，所以比模型a的散熱效果要好很多，在不填充傳熱材料時(shí)也能達(dá)到較低的體平均溫度；另外，由于模型b未填充前每一層溫度完全相同，這時(shí)極小曲面方法會(huì)有短暫的失效，這時(shí)根據(jù)其它填充經(jīng)驗(yàn)，第一個(gè)點(diǎn)填充在開口附近便能得到比較理想的填充效果，于是便采用第一點(diǎn)(準(zhǔn)確地說是根據(jù)對(duì)稱性預(yù)填充四個(gè)點(diǎn))預(yù)填充人為得改變初始溫度場，這時(shí)候極小曲面方法便可在此基礎(chǔ)上達(dá)到最終填充完整效果。填充效果如圖10所示，圖9右圖是模型b填充后的溫度場。根據(jù)極小曲面原則優(yōu)化后全場溫度均值僅為T=301.5272K，傳熱區(qū)域內(nèi)最高溫度為301.9917K。

傳熱系數(shù)比值比較小時(shí)：優(yōu)化結(jié)果如圖11所示，圖12是模型b填充后的溫度場。根據(jù)極小曲面優(yōu)原則優(yōu)化后全場溫度均值為T=303.3659K，最高溫度為304.6382K。通過填充效果圖發(fā)現(xiàn)，這時(shí)候的填充效果并不是十分理想，在后面的分析中，會(huì)對(duì)比仿生優(yōu)化方法說明模型b極小曲面方法局限性。

圖9 模型b填充前溫度場(左圖)、模型b極小曲面法傳熱比為 300，填充率為 8%溫度場(右圖)

圖10 模型b極小曲面法傳熱比為 300，填充率為 8%三視圖：主視圖(左上)、左視圖(右上)、俯視圖(左下)、三維圖(右下)

圖11 模型b極小曲面法傳熱比為 4，填充率為 8%三視圖：主視圖(左上)、左視圖(右上)、俯視圖(左下)、三維圖(右下)

圖12 模型b極小曲面法傳熱比為 4，填充率為 8%溫度場

模型b仿生優(yōu)化

傳熱系數(shù)比值比較大時(shí) 優(yōu)化結(jié)果如圖13所示，優(yōu)化后全場溫度均值T=301.1784K，最高溫度為301.6163K。

圖13 模型b仿生優(yōu)化法傳熱比為 300，填充率為 8%三視圖：主視圖(左上)、左視圖(右上)、俯視圖(左下)、三維圖(右下)

圖14 模型b仿生優(yōu)化法傳熱比為 4，填充率為 8%三視圖：主視圖(左上)、左視圖(右上)、俯視圖(左下)、三維圖(右下)

傳熱系數(shù)比值比較小時(shí) 優(yōu)化結(jié)果如圖14所示，優(yōu)化后全場溫度均值T=302.8593K，最高溫度為304.0459K。

5.3 結(jié)果分析

以上僅僅對(duì)部分結(jié)果進(jìn)行了展示，本節(jié)重點(diǎn)對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析：

5.3.1 兩種方法對(duì)比分析

在5.2節(jié)中，展示了兩個(gè)模型兩種方法的填充率為8%，傳熱比分別為300 和4 時(shí)候的情況，對(duì)于其它傳熱系數(shù)比值以及填充比下兩個(gè)模型兩種方法的模擬對(duì)比見下文分析。

優(yōu)化效果(體平均溫度變化曲線)

模型a：圖15～圖18分別描述了傳熱比在2～400，1～126，127～269，270～400，填充率在3%～8%時(shí)兩種方法的溫度均值差，這里橫軸為傳熱比，縱軸為溫度均值差。虛線以下部分表示極小曲面方法所得溫度均值更低。

圖15 傳熱比1～400，填充率3%～8%下兩種方法計(jì)算的溫度均值差值曲線

圖16 傳熱比1～126，填充率3%～8%下兩種方法計(jì)算的溫度均值差值曲線

圖17 傳熱比127～269，填充率3%～8%下兩種方法計(jì)算的溫度均值差值曲線

圖18 傳熱比270～400，填充率3%～8%下兩種方法計(jì)算的溫度均值差值曲線

從圖15～圖18四個(gè)圖中的計(jì)算結(jié)果可以看出，不同填充條件下，極小曲面和仿生優(yōu)化方法互有所長：①圖15表明優(yōu)化曲線穩(wěn)定后，傳熱比值在170～400，填充率為5%～8%時(shí)，極小曲面原則效果較好。②如圖16所示，當(dāng)傳熱比值偏小，大約低于126K時(shí)仿生優(yōu)化效果更佳。③圖17和圖18表明，除了當(dāng)傳熱系數(shù)比值較大(127K以上)時(shí)填充率為3%和4%時(shí)整體上仿生優(yōu)化效果好；填充率為5%～8% 時(shí)，傳熱比127～269時(shí)，兩種方法優(yōu)化效果基本相同，傳熱比270～400時(shí)，極小曲面方法優(yōu)化效果優(yōu)于仿生優(yōu)化方法，兩者的最大全場溫度均值差值在0.1K以內(nèi)。

模型b：圖19表示傳熱系數(shù)比值在2～400之間，填充率為3%～8%時(shí)極小曲面方法采用球形鄰域與方形鄰域的溫度均值差值曲線，顯然，傳熱系數(shù)比值在50以上時(shí)，球形鄰域優(yōu)化效果要比方形鄰域好，最大差值達(dá)到了0.5K，所以在取平均值時(shí)選擇的鄰域?yàn)榍蛐梧徲?；圖20表示傳熱系數(shù)比值在2～400之間，填充率為3%～8%時(shí)極小曲面方法采用球形鄰域極小曲面方法與仿生優(yōu)化方法的溫度均值差值曲線，由圖可見，模型b中，仿生優(yōu)化效果優(yōu)于極小曲面方法，且隨著高導(dǎo)材料比值越大，兩者差異越小。

圖19 球形鄰域方形鄰域溫度均值差值曲線

圖20 球形鄰域仿生優(yōu)化溫度均值差值曲線

公共填充率

在本節(jié)中，把兩種方法優(yōu)化結(jié)果共同填充點(diǎn)在總填充點(diǎn)中的比例作為公共填充率，公共填充率描述了兩種方法共同填充點(diǎn)，在某種程度上，可以作為填充優(yōu)化的置信度。

模型a：圖21表示傳熱系數(shù)比值在1～400之間，填充率為3%～8%時(shí)極小曲面方法和仿生優(yōu)化方法優(yōu)化結(jié)果中填充共同點(diǎn)的比例，由圖可見，當(dāng)傳熱系數(shù)大于一定程度時(shí)，共同填充率趨于平穩(wěn)；圖22表示傳熱系數(shù)比值在300～400之間，填充率為3%～8%時(shí)極小曲面方法和仿生優(yōu)化方法優(yōu)化結(jié)果中填充共同點(diǎn)的比例，共同填充率在30%～65%之間，且填充率為5%時(shí)共同填充率相對(duì)最高。

圖21 模型a傳熱比1～400，填充率3%～8%兩種方法填充共同點(diǎn)比例

圖22 模型a傳熱比300～400，填充率3%～8%兩種方法填充共同點(diǎn)比例

模型b 圖23表示傳熱系數(shù)比值在1～400，填充率為3%～8%時(shí)極小曲面方法和仿生優(yōu)化方法優(yōu)化結(jié)果中填充共同點(diǎn)比例，由圖可見，整體上共同填充率比較平穩(wěn)，填充率為3%時(shí)，兩種方法會(huì)間斷出現(xiàn)無共同填充點(diǎn)現(xiàn)象，這與填充比較低時(shí)填充點(diǎn)少有一定關(guān)系；圖24表示傳熱系數(shù)比值在300～400，填充率為3%～8%時(shí)極小曲面方法和仿生優(yōu)化方法優(yōu)化結(jié)果中填充共同點(diǎn)比例在3%～40%之間，且填充率為7%時(shí)共同填充率相對(duì)最高。

圖23 模型b傳熱比1～400，填充率3%～8%兩種方法填充共同點(diǎn)比例

圖24 模型b傳熱比300～400，填充率3%～8%兩種方法填充共同點(diǎn)比例

由公共填充率分析可知兩個(gè)模型兩種方法優(yōu)化結(jié)果的共同填充率比較平穩(wěn)，整體上在20%以上，結(jié)合兩種方法的優(yōu)化效果，可以相信兩種方法都能達(dá)到比較理想的優(yōu)化效果。

5.3.2 20-50維度對(duì)比分析

圖25左右圖分別表示模型a傳熱系數(shù)比為18，填充率為3%時(shí)極小曲面方法和仿生優(yōu)化方法方法的填充效果，此時(shí)，兩種填充微元均集中在開口附近，這與20 維度三維效果一致。

圖25 模型a傳熱比為 18，填充率為3%極小曲面法填充(左圖)、仿生優(yōu)化法填充(右圖)

圖26左圖表示模型a傳熱系數(shù)比值為300，填充率為5%時(shí)極小曲面方法的填充效果，圖26右圖表示模型b傳熱系數(shù)比值為150，填充率為5%時(shí)極小曲面方法的填充效果，此時(shí)，兩種填充微元均比較分散，呈細(xì)長分布狀，這與20 維度三維效果一致。

圖26 模型a傳熱比為300，填充率為5%極小曲面法填充(左圖)、模型b傳熱比為150，填充率為5%極小曲面法填充(右圖)

5.3.3 2D-3D對(duì)比分析

圖27 二維傳熱系數(shù)比為300，填充率為8%極小曲面法填充(左圖)、仿生優(yōu)化法填充(右圖)

圖27左圖和右圖分別表示二維傳熱系數(shù)比值為300，填充率為8%時(shí)極小曲面和仿生優(yōu)化方法填充，對(duì)比圖4以及圖7發(fā)現(xiàn)，傳熱比值偏大情況下，三維空間上高導(dǎo)材料有類似二維優(yōu)化結(jié)果的長條，這與高傳熱系數(shù)材料能顯著改變區(qū)域內(nèi)的傳熱效果有關(guān)，長條形態(tài)使熱量沿著高傳熱長條更快得流向散熱口處。

圖28正上圖、左下圖、右下圖分別表示三維模型a傳熱比為300，填充率為8% 極小曲面法50 維度填充結(jié)果的Z=1半橫切面、X=23縱切面以及Y=3縱切面，可見，在三維空間元器件的二維切面上，也有類似二維優(yōu)化結(jié)果的細(xì)長分布長條，這在數(shù)值上說明三維極小曲面和仿生優(yōu)化理論與二維結(jié)論有一定相似性。

圖28 模型a極小曲面法傳熱比為300，填充率為8%，Z=1半橫切面(正上圖)、X=23縱切面(左下圖)、Y=3縱切面(右下圖)

圖29 二維傳熱系數(shù)比值為4，填充率為8%極小曲面法填充(左圖)、仿生優(yōu)化法填充(右圖)

圖29左圖和右圖分別表示二維傳熱系數(shù)比值為4，填充率為8%時(shí)極小曲面和仿生優(yōu)化方法填充，對(duì)比圖6以及圖8發(fā)現(xiàn)，當(dāng)傳熱系數(shù)比值較小時(shí)，三維空間上高傳熱系數(shù)材料有類似二維優(yōu)化效果，高傳熱材料集中在開口附近。

圖30 模型a極小曲面法傳熱比為4，填充率為8%，Z=2半橫切面(正上圖)、X=18縱切面(左下圖)、Y=25縱切面(右下圖)

圖30正上圖、左下圖、右下圖分別表示三維模型a傳熱比為4，填充率為8%極小曲面法50 維度填充結(jié)果的Z=2半橫切面、X=18縱切面以及Y=25縱切面，可見，在三維空間元器件的二維切面上，也有類似二維優(yōu)化結(jié)果的開口集中形狀，直觀得說明了數(shù)值上三維極小曲面和仿生優(yōu)化理論與二維結(jié)果有一定相似性。

6 結(jié)論

本文借鑒二維“體點(diǎn)”模型研究方法，對(duì)三維“體點(diǎn)”問題中高導(dǎo)材料的最佳填充問題進(jìn)行研究，根據(jù)三維極小曲面方法和三維仿生優(yōu)化理論找到了三維填充優(yōu)化準(zhǔn)則。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，三維“體點(diǎn)”傳熱問題中高導(dǎo)材料填充問題可以通過極小曲面和仿生優(yōu)化方法加以解決，有如下結(jié)論：

1)三維“體點(diǎn)”最低全場溫度均值時(shí)高導(dǎo)材料分布對(duì)應(yīng)最小溫度場曲面面積，即極小曲面的面積。

2)三維“體點(diǎn)”傳熱問題中高導(dǎo)材料的填充準(zhǔn)則與二維最優(yōu)分布填充準(zhǔn)則一致，可根據(jù)超曲面面積極小化原則(極小曲面原則)以及火積耗散最小原則(仿生優(yōu)化原則)來確定。

3)三維“體點(diǎn)”傳熱問題中高傳熱系數(shù)材料最優(yōu)區(qū)域分布與二維“體點(diǎn)”傳熱問題中高傳熱系數(shù)材料最優(yōu)區(qū)域分布具有很大的相似性。從三維立體結(jié)構(gòu)規(guī)律上看，極小曲面和仿生優(yōu)化方法得到的高導(dǎo)材料最優(yōu)填充相像。傳熱比值偏大時(shí)高導(dǎo)材料趨向長條狀；傳熱系數(shù)比值偏小時(shí)高導(dǎo)材料開口處聚集。從三維“體點(diǎn)”的二維切面上看，高傳熱系數(shù)材料最優(yōu)區(qū)域分布中存在一些切面與二維“體點(diǎn)”傳熱問題中高傳熱系數(shù)材料最優(yōu)區(qū)域分布具有很大的相似性，滿足二維分布規(guī)律。

4)通過對(duì)比可知，三維“體點(diǎn)”傳熱問題中超曲面面積極小化方法和仿生優(yōu)化方法對(duì)“體點(diǎn)”傳熱問題的最優(yōu)分布有一定比例的共同點(diǎn)，且兩種方法的優(yōu)化效果各有優(yōu)勢。當(dāng)開口豎直鏤空時(shí)，仿生優(yōu)化方法優(yōu)化效果好；當(dāng)開口僅存在底部時(shí)，填充率為5%～8%，高傳熱系數(shù)比值在127～400時(shí)極小曲面方法優(yōu)化效果較好。