李 楊， 彭來湖,2， 鄭秋揚， 胡旭東

(1.浙江理工大學 浙江省現(xiàn)代紡織裝備技術重點實驗室， 浙江 杭州 310018; 2.浙江理工大學龍港研究院， 浙江 溫州 325802)

紗線屬于高分子聚合物，具有彈性固體和黏性流體的特性[1]。紡織品生產過程中，紗線在張力作用下纖維內大分子皺曲狀態(tài)伸展和纖維之間的滑移造成紗線內應力和應變的改變，從而影響紗線強力，對紡織品質量產生重要影響[2-3]，因此，對紗線蠕變理論具有一定的研究價值。

當前，已有不少學者對紗線蠕變模型理論進行研究。GAO[4-5]以Burgers四原件模型對紗線蠕變進行了分析，證明了該模型符合紗線蠕變結果的擬合。王新威等[6]對纖維進行蠕變試驗，證明了多項式回歸方法對紗線蠕變性能測試的有效性。ASAYESH等[7]使用三元件模型，證明了該模型適用于織物的蠕變特性。高傑[8]以Riemann-Liouville型分數階微積分理論構建了分數階導數的Burgers蠕變模型，有效預測了紅黏土的蠕變過程。梁娜等[9]構建了變參三元件模型，求解了聚合物基復合材料的蠕變。MASOUMI等[10]以整數階M‖N模型預測了復合材料的蠕變。張思成等[11]以改進Burgers模型，通過試驗得到了材料蠕變柔量和松弛模型的換算關系。目前用分數階微積分理論對紗線蠕變模型研究的鮮有報道。

傳統(tǒng)的紗線蠕變模型大多為整數階模型。由于整數階模型對紗線蠕變非線性問題的適應性差，且精度較低，因此，文本采用分數階微積分理論建立紗線蠕變模型。為此，本文首先引用分數階微積分理論，建立了紗線的非線性分數階M‖N蠕變模型；然后通過紗線蠕變實驗，獲得紗線蠕變全過程曲線；最后，對紗線蠕變實驗曲線進行擬合和預測，驗證本文模型的準確性。

1 基于分數階導數的紗線蠕變模型

1.1 預加張力恒定紗線松弛模型

目前，分數階微積分有比較廣泛的定義方式，為了有效描述紗線蠕變過程，本文采用Riemann-Liouville型分數階微積分理論[12]。分數階微積分定義為

(1)

(2)

當0<β<1時，分數階微積分算子經Laplace變換為

(3)

式中：s為Laplace變換參量；F(s)為f(t)的Laplace變換方程。

把紗線看作是由纖維經過牽伸-加捻后形成的軟體元件，其基于Riemann-Liouville型分數階理論的本構方程為

(4)

式中：τ(t)為紗線應變,%；u(t)為施加張力，cN；ξ為黏彈性系數，GPa。

當β=0時，令黏彈性系數ξ等于彈性模量E，則式(4)為彈性固體材料分數階本構方程；當β=1時，令黏彈性系數ξ等于黏滯系數η，則式(4)為牛頓黏體分數階本構方程；多數情況下，當0<β<1時，式(4)可以用做為介于牛頓黏體和彈性固體之間軟體元件紗線的分數階本構方程。

當u(t)為常量時，則式(4)描述為紗線蠕變模型。對式(4)進行Laplace正逆變換，得到基于Riemann-Liouville型分數階理論的紗線蠕變模型：

(5)

式中，u為紗線蠕變量。

本文將Maxwell模型和Newton體進行并聯(lián)，并且將黏壺元件以分數階微分理論進行改進，建立了三元件分數階紗線M‖N蠕變模型，如圖1所示。

圖1 分數階 M‖N 紗線蠕變模型Fig.1 Fractional order M‖N yarn creep model

(6)

(7)

式中：τ為模型蠕變量；τM和τN為分數階Maxwell體和分數階Newton體的應力，cN；uM和uN為分數階Maxwell體和分數階Newton體的位移，mm；E1為彈性模量，GPa；η1和η2為模型黏滯系數；D1和D2為分數階微分算子，且D1=dβ1/dtβ1，D2=dβ2/dtβ2。

將上述方程聯(lián)立，可得紗線的分數階本構方程：

(8)

對紗線本構方程式(8)進行Laplace變換，令u(t)=u0H(t)(H(t)為階躍函數)，則紗線蠕變的表達式為

(9)

式中：u0為紗線初始伸長，mm；u0=u(t)|t=0在紗線蠕變過程中為定值，則紗線蠕變方程為：

τ(t)=G(t)·u0

(10)

式中，G(t)為紗線蠕變模量，GPa。由式(9)、(10)可得紗線蠕變量的Laplace變換式：

(11)

為了得到紗線蠕變模量的Laplace逆變換，我們把M-L函數引入式(11)中然后對其進行Laplace正變換和逆變換，其中M-L函數[12]定義為：

(12)

式中：α、γ、k為M-L模型的參數；z為模型自變量。

式(12)的Laplace變換為

(13)

由式(11)、(13)可得，當式(13)中k=0,γ=1,α=β1時，n=E1/η1，紗線蠕變模量為

于是由式(10)、(14)，得到紗線蠕變方程：

(15)

式中紗線彈性模量E1、模型黏滯系數η1、η2和分數階階數β1、β2，由紗線蠕變實驗結果經過回歸分析后得到。

1.2 預加張力變化時紗線蠕變模型

式(15)為拉伸載荷恒定時紗線蠕變模型，其模型內部參數隨著施加張力的變化而變化。在實際生產中紗線的張力呈動態(tài)變化，因此，需考慮紗線張力的變化對紗線蠕變的影響。

根據紗線的應力-應變曲線的變化特征可知，紗線的蠕變量與施加張力的大小近似呈現(xiàn)出指數變化趨勢。同時，對紗線施加載荷和蠕變曲線進行擬合，結果表明：紗線蠕變方程(15)中紗線的彈性模量E1，模型黏滯系數η1、η2，分數階階數β2和紗線施加載荷u為近似指數變化關系，而分數階階數β1不隨紗線施加載荷u的變化而變化，可將其看做常量。另外，紗線在施加載荷時，將施加載荷量后紗線伸長量定義為初始伸長τ0=τ(t)|t=0，它也與施加載荷的值也呈現(xiàn)指數變化關系。于是，可建立如下考慮載荷影響的紗線蠕變分數階M‖N模型。

式中：各參數由紗線蠕變實驗結果通過cftool工具箱進行非線性擬合確定。

2 紗線蠕變實驗

2.1 實驗材料

紗線蠕變實驗試樣分別選用線密度為14.5、19.4、27.0和32 tex 4種不同線密度的棉紗。

2.2 蠕變裝置及實驗方法

實驗采用XL-2型紗線強伸度儀測量紗線張力的變化，并通過數據采集系統(tǒng)實時監(jiān)測。本文采用2種實驗方法，實驗1為4種不同線密度的紗線在張力恒定狀態(tài)下的蠕變實驗；實驗2為張力不同時對線密度為19.4 tex紗線的蠕變實驗。實驗為溫度20 ℃、濕度為65%，實驗紗線長度為100 mm、采樣時間間隔為1 s，時間從t=0時開始計時，張力加載時間為30 min。

2.3 實驗結果處理

通過紗線蠕變實驗得到紗線加載全過程蠕變曲線，圖2示出不同線密度紗線以恒定張力100 cN測試的蠕變實驗結果，圖3示出不同張力時19.4 tex紗線蠕變實驗結果。紗線蠕變的微觀機制是由纖維間的滑移和纖維斷裂引起的紗線結構調整。對于蠕變實驗，后一載荷加載產生的蠕變量包括前一載荷加載產生的蠕變，因此，采取“坐標平移法”對紗線蠕變結果進行處理。

圖2 不同線密度紗線蠕變實驗結果Fig.2 Creep test result of yarn with different linear densities

圖3 不同拉力紗線蠕變實驗Fig.3 Creep tests of cotton yarn with different tensile forces

由圖2、3可知，紗線蠕變時在初始時刻處于彈性變形階段，應變較大呈指數變化關系，之后趨于平緩在100 s時基本平衡。并且紗線線密度越大，應變也越大。

2.4 結果模型參數的確定

以實驗1中紗線蠕變實驗結果為例，來說明分數階模型的建立過程與模型參數的確定。

首先，用紗線蠕變方程(15)對實驗1不同線密度紗線蠕變曲線通過cftool工具箱進行擬合，如圖4所示。然后，由擬合結果得到模型參數和相關系數，見表1，由此得到蠕變模型參數與施加張力大小的關系曲線，如圖5所示。再將其進行回歸分析，得到紗線蠕變模型參數和施加載荷大小變化的數學模型。因此，實驗1紗線蠕變模型為：

圖4 分數階M‖N紗線蠕變模型對實驗1的擬合曲線Fig.4 Fractional order M‖N fitting curve of yarn creep model to test 1

圖5 實驗1的模型參數與施加載荷的關系Fig.5 Relationship between model parameters and applied loads in test 1

表1 分數階M‖N紗線蠕變模型對實驗1的擬合結果Tab.1 Fitting results of fractional order M‖N yarn creep model to test 1

按照上述求實驗1不同線密度紗線蠕變模型方法和步驟，對實驗2中不同載荷下對應的紗線蠕變曲線進行回歸分析，即得到實驗2不同張力下的紗線蠕變模型：

(18)

模型參數和相關系數R2如表2所示。擬合結果如圖6所示。

圖6 分數階M‖N紗線蠕變模型對實驗2的擬合效果Fig.6 Fitting results of fractional order M‖N yarn creep model to test 2

表2 實驗2的參數擬合結果Tab.2 Fitting results of test 2

3 模型對比分析

為了證明本文模型的合理性和可靠性，將本文模型與三元件模型、整數階M‖N模型和Burgers模型進行對比。

3.1 模型擬合效果

以實驗2不同載荷紗線蠕變結果為例，選用載荷為100 cN和120 cN對應的紗線蠕變曲線進行回歸建模，將140 cN和160 cN對應的紗線蠕變曲線做預測對比分析。以本文1.3節(jié)的建模方法，獲取三元件模型、整數階M‖N模型和Burgers模型的紗線蠕變模型、擬合曲線、模型參數以及模型的相關系數，并進行比較。這里只對各模型紗線蠕變曲線的擬合精度進行對比分析，如圖7所示。

圖7 不同模型對實驗2擬合效果曲線Fig.7 Fitting effect curves of different models to test 2

從圖7可以看出，整數階三元件模型對紗線蠕變擬合精度最差、Burgers模型次之、整數階M‖N模型較好、本文模型對紗線蠕變擬合精度最高。整數階M‖N模型的擬合精度較高，但在紗線蠕變拐點位置的誤差較大。為了更能說明本文模型對紗線非線性蠕變特性的精度，還以實驗2中各載荷的擬合和實際實驗結果的均方差(SSE)和相關系數作為擬合精度評價指標，如表3所示。

表3 實驗2的模型擬合精度評價Tab.3 Model fitting accuracy evaluation for test 2

由表3可知，本文模型的均方差最小，相關系數R2最大，說明本文提出的分數階M‖N模型對紗線蠕變模型的擬合效果優(yōu)于三元件模型、整數階M‖N模型和Burgers模型。分析表明，分數階M‖N模型能夠很好的反應紗線蠕變的全過程，并且模型擬合精度高、模型簡單。

3.2 模型預測結果分析

對實驗2中線密度為19.4 tex，張力為100、120、140、160 cN對應的紗線蠕變曲線進行回歸分析，分別得到本文模型、三元件模型、整數階M‖N模型和Burgers模型所對應的紗線蠕變模型。接下來，對120 cN和160 cN對應的紗線蠕變曲線進行預測，如圖8所示。并且對紗線蠕變預測結果進行誤差分析，如表4所示。

表4 模型擬合精度評價Tab.4 Model fitting accuracy evaluation

圖8 不同模型對實驗2紗線蠕變的預測Fig.8 Prediction of yarn creep by model under different tension in Test 2

由圖8可知，本文提出的分數階M‖N紗線蠕變模型預測效果最好，其次為整數階M‖N模型，最后為三元件模型和Burgers模型。此外，本文分數階M‖N紗線蠕變模型預測結果的MSE最小，相關系數最大，進一步說明了分數階M‖N模型對紗線蠕變的預測效果優(yōu)于其他3種模型。綜上所述，本文建立的分數階M‖N紗線蠕變模型，不僅對紗線蠕變結果的擬合精度較高，而且具備較高的紗線蠕變預測能力。

4 結 論

為了深入研究紗線蠕變特性，通過實驗得到不同載荷和不同線密度的紗線蠕變全過程曲線?；诜謹惦A微積分原理，以軟體元件替換傳統(tǒng)牛頓黏體元件，建立一種新的紗線蠕變模型。構建的分數階紗線蠕變模型不僅結構簡單，而且對紗線的蠕變行為能夠很好的擬合和預測。對比三元件模型、整數階M‖N模型和Burgers模型對紗線蠕變的擬合和預測，可以看出，本文建立的三元件分數階M‖N紗線蠕變模型在表達紗線蠕變方面具有模型參數少、精度高的特點。研究結果為紗線蠕變行為分析提供了理論參考。