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        基于分?jǐn)?shù)階模型的紗線蠕變性能模擬與預(yù)測(cè)

        2022-12-23 07:09:04彭來(lái)湖鄭秋揚(yáng)胡旭東
        紡織學(xué)報(bào) 2022年11期
        關(guān)鍵詞:整數(shù)紗線張力

        李 楊, 彭來(lái)湖,2, 鄭秋揚(yáng), 胡旭東

        (1.浙江理工大學(xué) 浙江省現(xiàn)代紡織裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 浙江 杭州 310018; 2.浙江理工大學(xué)龍港研究院, 浙江 溫州 325802)

        紗線屬于高分子聚合物,具有彈性固體和黏性流體的特性[1]。紡織品生產(chǎn)過(guò)程中,紗線在張力作用下纖維內(nèi)大分子皺曲狀態(tài)伸展和纖維之間的滑移造成紗線內(nèi)應(yīng)力和應(yīng)變的改變,從而影響紗線強(qiáng)力,對(duì)紡織品質(zhì)量產(chǎn)生重要影響[2-3],因此,對(duì)紗線蠕變理論具有一定的研究?jī)r(jià)值。

        當(dāng)前,已有不少學(xué)者對(duì)紗線蠕變模型理論進(jìn)行研究。GAO[4-5]以Burgers四原件模型對(duì)紗線蠕變進(jìn)行了分析,證明了該模型符合紗線蠕變結(jié)果的擬合。王新威等[6]對(duì)纖維進(jìn)行蠕變?cè)囼?yàn),證明了多項(xiàng)式回歸方法對(duì)紗線蠕變性能測(cè)試的有效性。ASAYESH等[7]使用三元件模型,證明了該模型適用于織物的蠕變特性。高傑[8]以Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階微積分理論構(gòu)建了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Burgers蠕變模型,有效預(yù)測(cè)了紅黏土的蠕變過(guò)程。梁娜等[9]構(gòu)建了變參三元件模型,求解了聚合物基復(fù)合材料的蠕變。MASOUMI等[10]以整數(shù)階M‖N模型預(yù)測(cè)了復(fù)合材料的蠕變。張思成等[11]以改進(jìn)Burgers模型,通過(guò)試驗(yàn)得到了材料蠕變?nèi)崃亢退沙谀P偷膿Q算關(guān)系。目前用分?jǐn)?shù)階微積分理論對(duì)紗線蠕變模型研究的鮮有報(bào)道。

        傳統(tǒng)的紗線蠕變模型大多為整數(shù)階模型。由于整數(shù)階模型對(duì)紗線蠕變非線性問(wèn)題的適應(yīng)性差,且精度較低,因此,文本采用分?jǐn)?shù)階微積分理論建立紗線蠕變模型。為此,本文首先引用分?jǐn)?shù)階微積分理論,建立了紗線的非線性分?jǐn)?shù)階M‖N蠕變模型;然后通過(guò)紗線蠕變實(shí)驗(yàn),獲得紗線蠕變?nèi)^(guò)程曲線;最后,對(duì)紗線蠕變實(shí)驗(yàn)曲線進(jìn)行擬合和預(yù)測(cè),驗(yàn)證本文模型的準(zhǔn)確性。

        1 基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的紗線蠕變模型

        1.1 預(yù)加張力恒定紗線松弛模型

        目前,分?jǐn)?shù)階微積分有比較廣泛的定義方式,為了有效描述紗線蠕變過(guò)程,本文采用Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階微積分理論[12]。分?jǐn)?shù)階微積分定義為

        (1)

        (2)

        當(dāng)0<β<1時(shí),分?jǐn)?shù)階微積分算子經(jīng)Laplace變換為

        (3)

        式中:s為L(zhǎng)aplace變換參量;F(s)為f(t)的Laplace變換方程。

        把紗線看作是由纖維經(jīng)過(guò)牽伸-加捻后形成的軟體元件,其基于Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階理論的本構(gòu)方程為

        (4)

        式中:τ(t)為紗線應(yīng)變,%;u(t)為施加張力,cN;ξ為黏彈性系數(shù),GPa。

        當(dāng)β=0時(shí),令黏彈性系數(shù)ξ等于彈性模量E,則式(4)為彈性固體材料分?jǐn)?shù)階本構(gòu)方程;當(dāng)β=1時(shí),令黏彈性系數(shù)ξ等于黏滯系數(shù)η,則式(4)為牛頓黏體分?jǐn)?shù)階本構(gòu)方程;多數(shù)情況下,當(dāng)0<β<1時(shí),式(4)可以用做為介于牛頓黏體和彈性固體之間軟體元件紗線的分?jǐn)?shù)階本構(gòu)方程。

        當(dāng)u(t)為常量時(shí),則式(4)描述為紗線蠕變模型。對(duì)式(4)進(jìn)行Laplace正逆變換,得到基于Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階理論的紗線蠕變模型:

        (5)

        式中,u為紗線蠕變量。

        本文將Maxwell模型和Newton體進(jìn)行并聯(lián),并且將黏壺元件以分?jǐn)?shù)階微分理論進(jìn)行改進(jìn),建立了三元件分?jǐn)?shù)階紗線M‖N蠕變模型,如圖1所示。

        圖1 分?jǐn)?shù)階 M‖N 紗線蠕變模型Fig.1 Fractional order M‖N yarn creep model

        (6)

        (7)

        式中:τ為模型蠕變量;τM和τN為分?jǐn)?shù)階Maxwell體和分?jǐn)?shù)階Newton體的應(yīng)力,cN;uM和uN為分?jǐn)?shù)階Maxwell體和分?jǐn)?shù)階Newton體的位移,mm;E1為彈性模量,GPa;η1和η2為模型黏滯系數(shù);D1和D2為分?jǐn)?shù)階微分算子,且D1=dβ1/dtβ1,D2=dβ2/dtβ2。

        將上述方程聯(lián)立,可得紗線的分?jǐn)?shù)階本構(gòu)方程:

        (8)

        對(duì)紗線本構(gòu)方程式(8)進(jìn)行Laplace變換,令u(t)=u0H(t)(H(t)為階躍函數(shù)),則紗線蠕變的表達(dá)式為

        (9)

        式中:u0為紗線初始伸長(zhǎng),mm;u0=u(t)|t=0在紗線蠕變過(guò)程中為定值,則紗線蠕變方程為:

        τ(t)=G(t)·u0

        (10)

        式中,G(t)為紗線蠕變模量,GPa。由式(9)、(10)可得紗線蠕變量的Laplace變換式:

        (11)

        為了得到紗線蠕變模量的Laplace逆變換,我們把M-L函數(shù)引入式(11)中然后對(duì)其進(jìn)行Laplace正變換和逆變換,其中M-L函數(shù)[12]定義為:

        (12)

        式中:α、γ、k為M-L模型的參數(shù);z為模型自變量。

        式(12)的Laplace變換為

        (13)

        由式(11)、(13)可得,當(dāng)式(13)中k=0,γ=1,α=β1時(shí),n=E1/η1,紗線蠕變模量為

        于是由式(10)、(14),得到紗線蠕變方程:

        (15)

        式中紗線彈性模量E1、模型黏滯系數(shù)η1、η2和分?jǐn)?shù)階階數(shù)β1、β2,由紗線蠕變實(shí)驗(yàn)結(jié)果經(jīng)過(guò)回歸分析后得到。

        1.2 預(yù)加張力變化時(shí)紗線蠕變模型

        式(15)為拉伸載荷恒定時(shí)紗線蠕變模型,其模型內(nèi)部參數(shù)隨著施加張力的變化而變化。在實(shí)際生產(chǎn)中紗線的張力呈動(dòng)態(tài)變化,因此,需考慮紗線張力的變化對(duì)紗線蠕變的影響。

        根據(jù)紗線的應(yīng)力-應(yīng)變曲線的變化特征可知,紗線的蠕變量與施加張力的大小近似呈現(xiàn)出指數(shù)變化趨勢(shì)。同時(shí),對(duì)紗線施加載荷和蠕變曲線進(jìn)行擬合,結(jié)果表明:紗線蠕變方程(15)中紗線的彈性模量E1,模型黏滯系數(shù)η1、η2,分?jǐn)?shù)階階數(shù)β2和紗線施加載荷u為近似指數(shù)變化關(guān)系,而分?jǐn)?shù)階階數(shù)β1不隨紗線施加載荷u的變化而變化,可將其看做常量。另外,紗線在施加載荷時(shí),將施加載荷量后紗線伸長(zhǎng)量定義為初始伸長(zhǎng)τ0=τ(t)|t=0,它也與施加載荷的值也呈現(xiàn)指數(shù)變化關(guān)系。于是,可建立如下考慮載荷影響的紗線蠕變分?jǐn)?shù)階M‖N模型。

        式中:各參數(shù)由紗線蠕變實(shí)驗(yàn)結(jié)果通過(guò)cftool工具箱進(jìn)行非線性擬合確定。

        2 紗線蠕變實(shí)驗(yàn)

        2.1 實(shí)驗(yàn)材料

        紗線蠕變實(shí)驗(yàn)試樣分別選用線密度為14.5、19.4、27.0和32 tex 4種不同線密度的棉紗。

        2.2 蠕變裝置及實(shí)驗(yàn)方法

        實(shí)驗(yàn)采用XL-2型紗線強(qiáng)伸度儀測(cè)量紗線張力的變化,并通過(guò)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)。本文采用2種實(shí)驗(yàn)方法,實(shí)驗(yàn)1為4種不同線密度的紗線在張力恒定狀態(tài)下的蠕變實(shí)驗(yàn);實(shí)驗(yàn)2為張力不同時(shí)對(duì)線密度為19.4 tex紗線的蠕變實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)為溫度20 ℃、濕度為65%,實(shí)驗(yàn)紗線長(zhǎng)度為100 mm、采樣時(shí)間間隔為1 s,時(shí)間從t=0時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí),張力加載時(shí)間為30 min。

        2.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果處理

        通過(guò)紗線蠕變實(shí)驗(yàn)得到紗線加載全過(guò)程蠕變曲線,圖2示出不同線密度紗線以恒定張力100 cN測(cè)試的蠕變實(shí)驗(yàn)結(jié)果,圖3示出不同張力時(shí)19.4 tex紗線蠕變實(shí)驗(yàn)結(jié)果。紗線蠕變的微觀機(jī)制是由纖維間的滑移和纖維斷裂引起的紗線結(jié)構(gòu)調(diào)整。對(duì)于蠕變實(shí)驗(yàn),后一載荷加載產(chǎn)生的蠕變量包括前一載荷加載產(chǎn)生的蠕變,因此,采取“坐標(biāo)平移法”對(duì)紗線蠕變結(jié)果進(jìn)行處理。

        圖2 不同線密度紗線蠕變實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.2 Creep test result of yarn with different linear densities

        圖3 不同拉力紗線蠕變實(shí)驗(yàn)Fig.3 Creep tests of cotton yarn with different tensile forces

        由圖2、3可知,紗線蠕變時(shí)在初始時(shí)刻處于彈性變形階段,應(yīng)變較大呈指數(shù)變化關(guān)系,之后趨于平緩在100 s時(shí)基本平衡。并且紗線線密度越大,應(yīng)變也越大。

        2.4 結(jié)果模型參數(shù)的確定

        以實(shí)驗(yàn)1中紗線蠕變實(shí)驗(yàn)結(jié)果為例,來(lái)說(shuō)明分?jǐn)?shù)階模型的建立過(guò)程與模型參數(shù)的確定。

        首先,用紗線蠕變方程(15)對(duì)實(shí)驗(yàn)1不同線密度紗線蠕變曲線通過(guò)cftool工具箱進(jìn)行擬合,如圖4所示。然后,由擬合結(jié)果得到模型參數(shù)和相關(guān)系數(shù),見(jiàn)表1,由此得到蠕變模型參數(shù)與施加張力大小的關(guān)系曲線,如圖5所示。再將其進(jìn)行回歸分析,得到紗線蠕變模型參數(shù)和施加載荷大小變化的數(shù)學(xué)模型。因此,實(shí)驗(yàn)1紗線蠕變模型為:

        圖4 分?jǐn)?shù)階M‖N紗線蠕變模型對(duì)實(shí)驗(yàn)1的擬合曲線Fig.4 Fractional order M‖N fitting curve of yarn creep model to test 1

        圖5 實(shí)驗(yàn)1的模型參數(shù)與施加載荷的關(guān)系Fig.5 Relationship between model parameters and applied loads in test 1

        表1 分?jǐn)?shù)階M‖N紗線蠕變模型對(duì)實(shí)驗(yàn)1的擬合結(jié)果Tab.1 Fitting results of fractional order M‖N yarn creep model to test 1

        按照上述求實(shí)驗(yàn)1不同線密度紗線蠕變模型方法和步驟,對(duì)實(shí)驗(yàn)2中不同載荷下對(duì)應(yīng)的紗線蠕變曲線進(jìn)行回歸分析,即得到實(shí)驗(yàn)2不同張力下的紗線蠕變模型:

        (18)

        模型參數(shù)和相關(guān)系數(shù)R2如表2所示。擬合結(jié)果如圖6所示。

        圖6 分?jǐn)?shù)階M‖N紗線蠕變模型對(duì)實(shí)驗(yàn)2的擬合效果Fig.6 Fitting results of fractional order M‖N yarn creep model to test 2

        表2 實(shí)驗(yàn)2的參數(shù)擬合結(jié)果Tab.2 Fitting results of test 2

        3 模型對(duì)比分析

        為了證明本文模型的合理性和可靠性,將本文模型與三元件模型、整數(shù)階M‖N模型和Burgers模型進(jìn)行對(duì)比。

        3.1 模型擬合效果

        以實(shí)驗(yàn)2不同載荷紗線蠕變結(jié)果為例,選用載荷為100 cN和120 cN對(duì)應(yīng)的紗線蠕變曲線進(jìn)行回歸建模,將140 cN和160 cN對(duì)應(yīng)的紗線蠕變曲線做預(yù)測(cè)對(duì)比分析。以本文1.3節(jié)的建模方法,獲取三元件模型、整數(shù)階M‖N模型和Burgers模型的紗線蠕變模型、擬合曲線、模型參數(shù)以及模型的相關(guān)系數(shù),并進(jìn)行比較。這里只對(duì)各模型紗線蠕變曲線的擬合精度進(jìn)行對(duì)比分析,如圖7所示。

        圖7 不同模型對(duì)實(shí)驗(yàn)2擬合效果曲線Fig.7 Fitting effect curves of different models to test 2

        從圖7可以看出,整數(shù)階三元件模型對(duì)紗線蠕變擬合精度最差、Burgers模型次之、整數(shù)階M‖N模型較好、本文模型對(duì)紗線蠕變擬合精度最高。整數(shù)階M‖N模型的擬合精度較高,但在紗線蠕變拐點(diǎn)位置的誤差較大。為了更能說(shuō)明本文模型對(duì)紗線非線性蠕變特性的精度,還以實(shí)驗(yàn)2中各載荷的擬合和實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)果的均方差(SSE)和相關(guān)系數(shù)作為擬合精度評(píng)價(jià)指標(biāo),如表3所示。

        表3 實(shí)驗(yàn)2的模型擬合精度評(píng)價(jià)Tab.3 Model fitting accuracy evaluation for test 2

        由表3可知,本文模型的均方差最小,相關(guān)系數(shù)R2最大,說(shuō)明本文提出的分?jǐn)?shù)階M‖N模型對(duì)紗線蠕變模型的擬合效果優(yōu)于三元件模型、整數(shù)階M‖N模型和Burgers模型。分析表明,分?jǐn)?shù)階M‖N模型能夠很好的反應(yīng)紗線蠕變的全過(guò)程,并且模型擬合精度高、模型簡(jiǎn)單。

        3.2 模型預(yù)測(cè)結(jié)果分析

        對(duì)實(shí)驗(yàn)2中線密度為19.4 tex,張力為100、120、140、160 cN對(duì)應(yīng)的紗線蠕變曲線進(jìn)行回歸分析,分別得到本文模型、三元件模型、整數(shù)階M‖N模型和Burgers模型所對(duì)應(yīng)的紗線蠕變模型。接下來(lái),對(duì)120 cN和160 cN對(duì)應(yīng)的紗線蠕變曲線進(jìn)行預(yù)測(cè),如圖8所示。并且對(duì)紗線蠕變預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行誤差分析,如表4所示。

        表4 模型擬合精度評(píng)價(jià)Tab.4 Model fitting accuracy evaluation

        圖8 不同模型對(duì)實(shí)驗(yàn)2紗線蠕變的預(yù)測(cè)Fig.8 Prediction of yarn creep by model under different tension in Test 2

        由圖8可知,本文提出的分?jǐn)?shù)階M‖N紗線蠕變模型預(yù)測(cè)效果最好,其次為整數(shù)階M‖N模型,最后為三元件模型和Burgers模型。此外,本文分?jǐn)?shù)階M‖N紗線蠕變模型預(yù)測(cè)結(jié)果的MSE最小,相關(guān)系數(shù)最大,進(jìn)一步說(shuō)明了分?jǐn)?shù)階M‖N模型對(duì)紗線蠕變的預(yù)測(cè)效果優(yōu)于其他3種模型。綜上所述,本文建立的分?jǐn)?shù)階M‖N紗線蠕變模型,不僅對(duì)紗線蠕變結(jié)果的擬合精度較高,而且具備較高的紗線蠕變預(yù)測(cè)能力。

        4 結(jié) 論

        為了深入研究紗線蠕變特性,通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到不同載荷和不同線密度的紗線蠕變?nèi)^(guò)程曲線。基于分?jǐn)?shù)階微積分原理,以軟體元件替換傳統(tǒng)牛頓黏體元件,建立一種新的紗線蠕變模型。構(gòu)建的分?jǐn)?shù)階紗線蠕變模型不僅結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,而且對(duì)紗線的蠕變行為能夠很好的擬合和預(yù)測(cè)。對(duì)比三元件模型、整數(shù)階M‖N模型和Burgers模型對(duì)紗線蠕變的擬合和預(yù)測(cè),可以看出,本文建立的三元件分?jǐn)?shù)階M‖N紗線蠕變模型在表達(dá)紗線蠕變方面具有模型參數(shù)少、精度高的特點(diǎn)。研究結(jié)果為紗線蠕變行為分析提供了理論參考。

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