黃 偉，張清波，許 昊，吳司敏，甘德強(qiáng)

（1. 云南電力調(diào)度控制中心，云南 昆明 650011；2. 浙江大學(xué) 電氣工程學(xué)院，浙江 杭州 310027）

0 引言

我國電網(wǎng)當(dāng)前呈現(xiàn)交直流混聯(lián)及新能源高滲透率的發(fā)展趨勢，為電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定分析帶來新的挑戰(zhàn)［1］。面對(duì)日益復(fù)雜的電網(wǎng)，電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定分析需從以下3 個(gè)層面進(jìn)行考慮：第一，系統(tǒng)中的控制器（如電力系統(tǒng)穩(wěn)定器PSS（Power System Stabilizer）和調(diào)速器）參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；第二，系統(tǒng)工況變化（如機(jī)組出力連續(xù)變化）對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；第三，系統(tǒng)模型的變化（如重要元件的投退）對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。目前，以PSS 設(shè)計(jì)為核心的第一層面的問題已被較好地解決［2］，而第二、三層面的問題仍需深入研究。

依據(jù)穩(wěn)定性分析方法及判據(jù)的不同，電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定分析大致包括5類［3］：基于狀態(tài)空間系數(shù)矩陣特征值分析的方法，常見的方法包括阻尼轉(zhuǎn)矩法［4-5］、留數(shù)法［6］、靈敏度分析等；基于傳遞函數(shù)矩陣分析的方法，包括廣義Nyquist 判據(jù)［7］、μ分析［8］、多回路穩(wěn)定裕度km法［9］、H∞控制［10］等；基于Lyapunov判據(jù)的分析方法［11-12］；基于Mickhailov 定理的多項(xiàng)式分析方法［3］；基于代數(shù)判據(jù)，如Routh-Hurwitz 判據(jù)等。方法雖多但優(yōu)劣各異，有些方法未推導(dǎo)穩(wěn)定裕度解析表達(dá)式，還有些方法無法分析任意回路對(duì)穩(wěn)定性的影響。

本文提出一種基于廣義Nyquist 判據(jù)的電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定分析方法：最小特征軌跡法。該方法根據(jù)簡潔形式的轉(zhuǎn)子回路模型得到回差矩陣的最小特征軌跡偏離原點(diǎn)的距離，即系統(tǒng)穩(wěn)定裕度。推導(dǎo)了最小特征軌跡的近似解析表達(dá)式，從而量化了各個(gè)控制回路對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的貢獻(xiàn)。所提方法具有比較嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)，通用性較強(qiáng)，適用于電力系統(tǒng)超低頻和低頻振蕩分析，并且有望被應(yīng)用于更加復(fù)雜的電力系統(tǒng)穩(wěn)定分析問題。通過仿真算例進(jìn)一步驗(yàn)證了所提方法理論分析的正確性和工程實(shí)用性。

1 小干擾穩(wěn)定分析的反饋系統(tǒng)模型

小干擾穩(wěn)定分析Heffron-Phillips 模型［13］如附錄A 圖A1（a）所示。圖中：GM(s)為原動(dòng)機(jī)-調(diào)速器傳遞函數(shù)矩陣，HPSS(s)為PSS 傳遞函數(shù)矩陣，M為發(fā)電機(jī)慣性時(shí)間常數(shù)矩陣，KD為阻尼系數(shù)矩陣，T'd0為直軸暫態(tài)開路時(shí)間常數(shù)矩陣，GEX(s)為自動(dòng)電壓調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)矩陣，I為單位陣，以上矩陣均為對(duì)角矩陣；K1—K6為與元件參數(shù)及運(yùn)行工況相關(guān)的系數(shù)矩陣；ΔPe1和ΔPe2分別為通過K1和K2的電磁轉(zhuǎn)矩增量；ΔPm為機(jī)械轉(zhuǎn)矩增量；Δω為轉(zhuǎn)速增量；Δδ為轉(zhuǎn)子角增量；ΔE'q為發(fā)電機(jī)暫態(tài)電勢增量；ΔEfd為勵(lì)磁電壓信號(hào)增量；ΔUPSS為PSS 輸出信號(hào)增量；ω0為同步轉(zhuǎn)速；s為拉普拉斯算子。

為方便后文推導(dǎo)，對(duì)圖A1（a）所示模型進(jìn)行簡化。將GM(s)和HPSS(s)的輸入由Δω調(diào)整為Δδ，可得到圖A1（a）的等效框圖，如圖A1（b）所示。將圖中這種以ω0/[s(sM+KD)-1]為前向通道、其余部分為反饋通道的模型稱為轉(zhuǎn)子回路模型。在轉(zhuǎn)子回路模型中，將虛線框中以Δδ為輸入、ΔPe2為輸出的部分定義為GQ(s)。為了方便后續(xù)的分析，首先通過簡單的等效變換，將GQ(s)分解為不包含HPSS(s)的GQ1(s)和包含HPSS(s)的GQ2(s)，形成簡潔形式的轉(zhuǎn)子回路模型，如圖1所示。圖中存在如下關(guān)系式：

圖1 簡潔形式的轉(zhuǎn)子回路模型Fig.1 Rotor circuit model in concise form

上述簡潔形式的轉(zhuǎn)子回路模型更清晰地將多機(jī)系統(tǒng)分解為1個(gè)前向通道和3個(gè)反饋通道的形式，在后文中將使用該形式的模型開展穩(wěn)定分析。

2 基于最小特征軌跡的穩(wěn)定裕度

本節(jié)將基于簡潔形式的轉(zhuǎn)子回路模型并根據(jù)多輸入-多輸出MIMO（Multi-Input Multi-Output）系統(tǒng)的廣義Nyquist 判據(jù)，推導(dǎo)出基于最小特征軌跡的穩(wěn)定裕度近似解析表達(dá)式。

2.1 基于最小特征軌跡的穩(wěn)定裕度判據(jù)

由圖1 中簡潔形式的轉(zhuǎn)子回路模型可得系統(tǒng)的回差矩陣D(s)的表達(dá)式為：

式中：L(s)為開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣。將s=jω代入式（4），根據(jù)廣義Nyquist判據(jù)，回差矩陣行列式det(I+L(jω))與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離即為穩(wěn)定裕度；基于特征軌跡的Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)見文獻(xiàn)［14］。回差矩陣行列式與系統(tǒng)的特征軌跡關(guān)系見式（5）。

式中：k為機(jī)組編號(hào)；m為電網(wǎng)機(jī)組總數(shù)；λk(?)為矩陣的特征軌跡。由式（5）可知：系統(tǒng)的特征軌跡由回差矩陣I+L(jω)的特征值曲線組成；采用本文所提轉(zhuǎn)子回路模型，特征軌跡數(shù)目與機(jī)組總數(shù)相同。因此當(dāng)電網(wǎng)有m臺(tái)機(jī)組時(shí)，m條特征軌跡圍繞原點(diǎn)的環(huán)繞次數(shù)決定了閉環(huán)系統(tǒng)右半平面的極點(diǎn)數(shù)。

設(shè)λmin(I+L(jω))為I+L(jω)所有特征軌跡中距離原點(diǎn)最近的特征軌跡。當(dāng)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，λmin(I+L(jω))非常接近原點(diǎn)，而其余特征值的模均較大，故采用λmin(I+L(jω))到原點(diǎn)的最短距離d{(0，0)，λmin(I+L(jω))}表示系統(tǒng)穩(wěn)定裕度。又因?yàn)椋?/p>

式中：λ-1(L(jω))表示距離點(diǎn)（-1，0）最近的L(jω)特征軌跡。

因此可通過計(jì)算λ-1(L(jω))到點(diǎn)（-1，0）的最短距離d{(-1，0)，λ-1(L(jω))}，來表示系統(tǒng)穩(wěn)定裕度，并將d{(-1，0)，λ-1(L(jω))}所對(duì)應(yīng)的特征值稱為最小模特征值或最小特征值。顯然，當(dāng)λ-1(L(jω))=0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)存在一個(gè)位于虛軸的特征值，此時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

2.2 基于最小特征軌跡的穩(wěn)定裕度近似解析表達(dá)式

最小特征值需要經(jīng)過復(fù)雜的計(jì)算才能精確獲得，且難以直觀表現(xiàn)穩(wěn)定裕度與電網(wǎng)參數(shù)的關(guān)系，不便于開展穩(wěn)定分析。本節(jié)對(duì)矩陣L(jω)進(jìn)行相似變換，得到一個(gè)對(duì)角占優(yōu)矩陣，其最小模對(duì)角元近似等于最小特征值，避免了迭代計(jì)算最小特征值，同時(shí)能夠得到反映各個(gè)回路對(duì)最小特征值影響的解析表達(dá)式。由式（4）可知：

由于M、KD均為對(duì)角矩陣，故可將(jωM+KD)-1分解為：

將式（8）代入式（7）后可得：

為便于分析，將式（9）的各個(gè)分式分別定義為K1相關(guān)回路LMK(jω)、阻尼相關(guān)回路LKD(jω)、勵(lì)磁相關(guān)回路LGQ1(jω)、PSS相關(guān)回路LGQ2(jω)以及原動(dòng)機(jī)-調(diào)速器相關(guān)回路LGM(jω)，并將除LMK(jω)以外的另外4個(gè)分式之和表示為ΔL(jω)，即：

則有：

為簡化表述，除特殊說明外，后文中所有出現(xiàn)的頻率響應(yīng)矩陣或者由頻率響應(yīng)矩陣決定的其他矩陣或變量均省略(jω)?？梢宰⒁獾絃MK為實(shí)數(shù)陣。由于一般情況下矩陣K1可對(duì)角化且LMK的特征值及特征向量通常為實(shí)數(shù)，對(duì)LMK進(jìn)行特征分解后可得：

式中：Λ為特征值矩陣；U為右特征向量矩陣。將式（12）代入式（11）可得：

式中：SM為L的相似矩陣。由相似矩陣的性質(zhì)可知：

至此，原問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算L的相似矩陣SM特征值問題，即：

相似矩陣SM具有很明顯的對(duì)角占優(yōu)特性。例如，一個(gè)6 機(jī)11 節(jié)點(diǎn)算例系統(tǒng)的相似矩陣對(duì)角元幾乎對(duì)應(yīng)于SM也即L的全部特征值，這意味著相似矩陣的最小模對(duì)角元可作為系統(tǒng)穩(wěn)定裕度。這是因?yàn)闄C(jī)電暫態(tài)模型中，假設(shè)KD≈0，矩陣LMK≈-ω0M-1K1/ω2，這在很大程度上影響了L的特征值。

而在相似矩陣SM中，ΔL為包含電力系統(tǒng)控制回路的頻率響應(yīng)矩陣LGQ2、LGM的線性表達(dá)式，即：

假設(shè)相似矩陣SM第1 行第1 列元素SM，11即為最小模元素，根據(jù)上文分析，新的穩(wěn)定裕度SM，11具有很強(qiáng)的單輸入單輸出SISO（Single-Input Single-Output）系統(tǒng)參數(shù)裕度特征［15］，數(shù)學(xué)關(guān)系簡單。下面將利用這一特點(diǎn)對(duì)原動(dòng)機(jī)-調(diào)速器回路及PSS 回路對(duì)穩(wěn)定裕度的影響展開分析。

3 原動(dòng)機(jī)-調(diào)速器回路對(duì)穩(wěn)定裕度的影響

基于第2 節(jié)推導(dǎo)的內(nèi)容，本節(jié)將具體分析原動(dòng)機(jī)-調(diào)速器回路對(duì)穩(wěn)定裕度的影響。在相似矩陣SM中原動(dòng)機(jī)-調(diào)速器分量為：

設(shè)V=(U-1)T為左特征向量矩陣，則式（17）可變?yōu)椋?/p>

當(dāng)SM，11為最小模對(duì)角元時(shí)，可以將其看作穩(wěn)定裕度。根據(jù)式（16）及式（18），原動(dòng)機(jī)-調(diào)速器系統(tǒng)對(duì)穩(wěn)定裕度的影響體現(xiàn)在第1 行第1 列元素，的表達(dá)式為：

式中：vij為中第i個(gè)元素；lij為LGM，j中第i個(gè)元素；u1、v1分別為第一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的右、左特征向量；“°”表示其左右兩側(cè)矩陣的Hadamard 積；sum（·）為矩陣中所有元素的求和函數(shù)。由式（19）可知原動(dòng)機(jī)-調(diào)速器回路對(duì)SM，11的作用僅取決于最小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量u1、v1，與其他特征向量無直接關(guān)系。

將LGM代入式（19），由于LGM為對(duì)角矩陣，則有：

式中：GMi、Mi以及KDi分別為GM、M以及KD的第i個(gè)對(duì)角元。式（20）為原動(dòng)機(jī)-調(diào)速器傳遞函數(shù)與穩(wěn)定裕度關(guān)系的解析表達(dá)式。由于在低頻段和超低頻段最小特征軌跡基本平行并靠近實(shí)軸，弱阻尼時(shí)其在實(shí)軸以下，負(fù)阻尼時(shí)其在實(shí)軸以上。且一般情況下，u1、v1中各項(xiàng)為正實(shí)數(shù)，這意味著穩(wěn)定分析中只需關(guān)注各原動(dòng)機(jī)-調(diào)速器傳遞函數(shù)在虛軸上投影值的正負(fù)情況即可。如果GMi的相角滯后，且大于90°，則結(jié)合式（20）可以判斷原動(dòng)機(jī)-調(diào)速器對(duì)應(yīng)的分量在虛軸上的投影值為正，這意味著該分量使得最小特征值靠近原點(diǎn)，惡化穩(wěn)定性。

以水電機(jī)組和火電機(jī)組為例，分析其調(diào)速系統(tǒng)對(duì)超低頻振蕩模式的影響。水電機(jī)組原動(dòng)機(jī)-調(diào)速器模型GMh(s)如下：

式中：KP為比例系數(shù)；KI為積分系數(shù)；KD為微分系數(shù)；TG為伺服系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)；TW為水流慣性時(shí)間常數(shù)；bp為永態(tài)下垂系數(shù)?；痣姍C(jī)組原動(dòng)機(jī)-調(diào)速器模型GMs(s)如下：

式中：TGS=1/(KR)為調(diào)速器響應(yīng)時(shí)間常數(shù)，R為調(diào)速器下垂系數(shù)，K為調(diào)速器積分環(huán)節(jié)增益；TCH為高壓蒸汽容積時(shí)間常數(shù)；TRH為再熱器時(shí)間常數(shù)；FHP為高壓缸產(chǎn)生功率在總汽輪機(jī)功率中占比。顯然，水輪機(jī)的相頻特性大幅滯后于汽輪機(jī)，如果調(diào)速器參數(shù)整定不當(dāng)，則易產(chǎn)生超低頻振蕩。這與采用傳統(tǒng)的統(tǒng)一頻率模型獲得的結(jié)論［16］一致。

區(qū)域振蕩和局部振蕩的分析方法與超低頻振蕩類似，僅根據(jù)各機(jī)組GMi的相角即可判斷其對(duì)穩(wěn)定性的影響：當(dāng)GMi的相角滯后且超過90°時(shí)，將削弱系統(tǒng)穩(wěn)定性；當(dāng)GMi的相角滯后但是未超過90°時(shí)，可以增強(qiáng)系統(tǒng)穩(wěn)定性。而在低頻段GMi的輸出有所降低，可忽略其影響。

4 PSS回路對(duì)穩(wěn)定裕度的影響

本節(jié)重點(diǎn)分析了PSS 對(duì)穩(wěn)定裕度影響。ΔL中與PSS相關(guān)的分量LGQ2表達(dá)式為：

式中：Hpvr為PSS輸出信號(hào)經(jīng)過的前向通道的傳遞函數(shù)矩陣［17］。

設(shè)fi為矩陣(jωM+KD)-1Hpvr的第i個(gè)列向量，hi為各PSS的傳遞函數(shù)，可得：

相似矩陣SM中與LGQ2相關(guān)的分量的表達(dá)式為：

設(shè)fij為fj中 第i行 元 素，可 得PSS 對(duì)SM，11的 貢獻(xiàn)為：

式中：diag(HPSS)為由HPSS矩陣對(duì)角元組成的列向量；Fuv，i為式中相應(yīng)元素之和。由式（26）可知，PSS對(duì)SM，11的作用可以由各PSS 傳遞函數(shù)線性相加得到。除分析作用外，式（26）還可以用作PSS 參數(shù)整定，此時(shí)Fuv的作用與留數(shù)類似，能夠據(jù)其推知PSS中應(yīng)該補(bǔ)償?shù)慕嵌取?/p>

進(jìn)一步證明利用最小特征軌跡法對(duì)PSS 參數(shù)進(jìn)行整定與理想相頻特性法所得結(jié)果的一致性。由式（26）可知，最小特征軌跡法中PSS 對(duì)穩(wěn)定裕度的貢獻(xiàn)可等效為各PSS 傳遞函數(shù)的線性疊加，故以1 臺(tái)PSS為例進(jìn)行介紹。考慮一個(gè)有3臺(tái)同步機(jī)的電網(wǎng)，那么PSS對(duì)該電網(wǎng)穩(wěn)定裕度的影響為：

根據(jù)式（27），PSS 的參數(shù)應(yīng)該滿足式（28）所示相角條件，使得最小特征軌跡“垂直下移”，盡量遠(yuǎn)離復(fù)平面點(diǎn)實(shí)軸處的點(diǎn)（-1，0）。

式中：arg（·）為求相角函數(shù)。在超低頻振蕩和區(qū)域振蕩模式頻段，矩陣Hpvr嚴(yán)格列對(duì)角占優(yōu)（即矩陣中每個(gè)主對(duì)角元素的模都大于與其同列的其他元素的模的總和），此時(shí)f11?f21+f31，又有向量u1、v1中的元素均為正實(shí)數(shù)，故式（28）可以簡化為：

在局部振蕩模式頻段，矩陣v1呈現(xiàn)“一元獨(dú)大”的結(jié)構(gòu)，即只有1 個(gè)對(duì)角元素非常大，其余所有元素都非常小。此時(shí)式（29）的準(zhǔn)確度更高。而理想相頻特性法中根據(jù)Hpvr的對(duì)角元相角整定PSS參數(shù)，即根據(jù)式（30）所示條件進(jìn)行整定［17］。

再根據(jù)fij的定義，即：

由式（30）、（31）可得：

當(dāng)KD1=0時(shí)，有：

綜上所述，理想相頻特性法與最小特征軌跡法所得的PSS 補(bǔ)償相角基本一致。另外，在超低頻段，Hpvr(jω)的對(duì)角元相角接近0°，由上面2 種方法推得PSS 需要補(bǔ)償?shù)南嘟且步咏?°，這又進(jìn)一步驗(yàn)證了傳統(tǒng)阻尼轉(zhuǎn)矩法的結(jié)論［18］。

5 算例分析

本節(jié)首先應(yīng)用最小特征軌跡法計(jì)算原動(dòng)機(jī)-調(diào)速器回路對(duì)低頻振蕩模式的影響，以及PSS 回路對(duì)超低頻振蕩模式的影響。然后采用最小特征軌跡法、理想相頻特性法以及留數(shù)法對(duì)PSS 輸出的補(bǔ)償相角進(jìn)行計(jì)算，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析比較。最后在IEEE 6 機(jī)11 節(jié)點(diǎn)、IEEE 19 機(jī)118 節(jié)點(diǎn)、新西蘭10 機(jī)39 節(jié)點(diǎn)、波蘭2 383 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中進(jìn)行驗(yàn)證。算例中，一半負(fù)荷采用恒定功率模型，另一半負(fù)荷采用恒定阻抗模型。

5.1 原動(dòng)機(jī)-調(diào)速器回路對(duì)低頻振蕩模式的影響分析

在IEEE 6 機(jī)11 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中設(shè)置0.505 Hz 低頻振蕩，基于最小特征軌跡法計(jì)算了系統(tǒng)中的6 臺(tái)原動(dòng)機(jī)-調(diào)速器系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的影響，結(jié)果如圖2 所示。圖中，圓盤刻度代表相角，向量代表式（20）中相加的各個(gè)表達(dá)式，向量數(shù)目與機(jī)組數(shù)目一致，向量的模值在本文中不做討論。由圖可知，水電機(jī)組原動(dòng)機(jī)-調(diào)速器回路對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生了負(fù)面影響，即相應(yīng)的向上的向量使得最小特征軌跡向著包絡(luò)點(diǎn)（-1，0）的方向移動(dòng)，其原因在于水電機(jī)組固有的非最小相位特性（即水電機(jī)組相頻響應(yīng)特性大幅滯后）。相反，火電機(jī)組的原動(dòng)機(jī)-調(diào)速器回路對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生了正面影響，即其對(duì)應(yīng)的向量使最小特征軌跡向遠(yuǎn)離點(diǎn)（-1，0）的方向移動(dòng)。

圖2 IEEE 6機(jī)11節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)各機(jī)組原動(dòng)機(jī)-調(diào)速器回路對(duì)穩(wěn)定裕度的影響Fig.2 Influence of each unit prime motor and governor loop on stability margin of IEEE 6-machine 11-bus system

5.2 PSS回路對(duì)超低頻振蕩模式的影響分析

本節(jié)利用最小特征軌跡法，計(jì)算IEEE 19 機(jī)118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中安裝PSS 后輸出的補(bǔ)償相角，并對(duì)安裝PSS 后對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響進(jìn)行分析，如圖3 所示。本文IEEE 19 機(jī)118 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中未安裝PSS 的機(jī)組共14臺(tái)，因此圖中的向量個(gè)數(shù)為14。由式（26）可得Fuv各元素，即為圖3 所示14 個(gè)向量，再由式（29）得到各機(jī)組PSS的補(bǔ)償相角，其值約為-5°。

圖3 IEEE 19機(jī)118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)超低頻模式下的Fuv中向量Fig.3 Vectors of Fuv for ultra-low frequency oscillation mode of IEEE 19-machine 118-bus system

常規(guī)的雙輸入型電力系統(tǒng)穩(wěn)定器PSS2B（dualinput Power System StaBilizer）在超低頻段只有隔直環(huán)節(jié)sTW（1+sTW）起實(shí)質(zhì)性作用，取TW=5 s，此時(shí)PSS2B 的補(bǔ)償相角約為30°，仍然貢獻(xiàn)阻尼但并非最佳補(bǔ)償角度。而多頻段穩(wěn)定器（以PSS4B 型多頻段PSS為例，下文簡稱PSS4B）的補(bǔ)償相角接近于0°，更接近本算例中需要補(bǔ)償?shù)慕嵌?。分別給出未安裝PSS、安裝PSS2B 以及PSS4B 時(shí)系統(tǒng)在超低頻段的最小特征軌跡，如圖4 所示，圖中箭頭表示從0 掃頻到0.1 Hz時(shí)最小特征值的移動(dòng)方向。

圖4 IEEE 19機(jī)118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)在PSS的3種安裝情況下超低頻段最小特征軌跡Fig.4 Minimum characteristic locus of IEEE 19-machine 118-bus system under 3 kinds of PSS installation situations

由圖4（a）可知，未安裝PSS 時(shí)最小特征軌跡包絡(luò)點(diǎn)（-1，0），意味著此時(shí)系統(tǒng)處于負(fù)阻尼狀態(tài)，且最小特征值為（-1，j0.798）。由圖4（b）可知，安裝PSS2B 后最小特征值為（-1，j0.441），特征軌跡向著不包絡(luò)點(diǎn)（-1，0）的方向移動(dòng)。由圖4（c）可知，安裝PSS4B 后最小特征值為（-1，j0.389），特征軌跡進(jìn)一步向不包絡(luò)點(diǎn)（-1，0）的方向移動(dòng)。

5.3 不同系統(tǒng)下PSS的相角補(bǔ)償結(jié)果

以IEEE 6 機(jī)11 節(jié)點(diǎn)、新西蘭10 機(jī)39 節(jié)點(diǎn)以及波蘭2 383 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例，分別采用最小特征軌跡法、理想相頻特性法、留數(shù)法對(duì)各機(jī)組進(jìn)行PSS 相角補(bǔ)償計(jì)算，計(jì)算結(jié)果分別見附錄A 圖A2—A4，圖中藍(lán)色向量與-90°之間的相角即為PSS需要補(bǔ)償?shù)南嘟?。由圖可知3 種方法計(jì)算的補(bǔ)償角度基本一致，進(jìn)一步證明了最小特征軌跡法的準(zhǔn)確性。

5.4 特征軌跡穩(wěn)定裕度與特征值穩(wěn)定裕度的對(duì)比

為了驗(yàn)證最小特征軌跡法求取穩(wěn)定裕度的準(zhǔn)確性，在IEEE 6機(jī)11節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中設(shè)置受端有功負(fù)荷由1.55 MW 逐步增加為2 MW，分別利用常規(guī)特征值法和本文所提最小特征軌跡法計(jì)算系統(tǒng)的臨界特征值。將特征值法求得的臨界特征值實(shí)部作為系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，將最小特征軌跡法求得的最小特征值虛部作為系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，二者的對(duì)比結(jié)果見附錄A圖A5。由圖可知，2 種方法下系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的變化趨勢具有一致性，證明了最小特征軌跡法求取穩(wěn)定裕度的準(zhǔn)確性。

6 結(jié)論

最小特征軌跡法是SISO 系統(tǒng)的向量裕度法在MIMO 系統(tǒng)中的擴(kuò)展。初步研究表明，結(jié)合本文提出的相似變換技巧，最小特征軌跡法具有SISO 系統(tǒng)向量裕度法的優(yōu)點(diǎn)，采用該方法后系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度可通過向量線性疊加的解析關(guān)系進(jìn)行簡單表示。計(jì)算結(jié)果表明，最小特征軌跡法能夠有效地分析各回路和各機(jī)組對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的貢獻(xiàn)，并為控制器參數(shù)的整定提供方向。

附錄見本刊網(wǎng)絡(luò)版（http：//www.epae.cn）。