王嘉偉，熊鴻韜，劉曉博，楊 瀅，張建承，莊文彬，華 文，薛安成

（1. 華北電力大學(xué) 新能源電力系統(tǒng)國家重點實驗室，北京 102206；2. 國網(wǎng)浙江省電力有限公司電力科學(xué)研究院，浙江 杭州 310014；3. 國網(wǎng)浙江省電力有限公司調(diào)度控制中心，浙江 杭州 310007）

0 引言

近年來，國內(nèi)外高水電占比電網(wǎng)在實際運行或試驗中，出現(xiàn)了多次復(fù)雜的超低頻頻率振蕩事故，威脅著電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運行［1?3］。例如，云南電網(wǎng)在試驗中，出現(xiàn)了系統(tǒng)負阻尼效應(yīng)導(dǎo)致的頻率振蕩失穩(wěn)問題，以及調(diào)速器增強型死區(qū)導(dǎo)致系統(tǒng)不存在平衡點，其引起頻率在死區(qū)附近振蕩的問題［4］。另一方面，某大電網(wǎng)仿真表明，在線路N-2 故障下，當(dāng)故障持續(xù)時間為40 ms 時，系統(tǒng)會恢復(fù)穩(wěn)定（系統(tǒng)正阻尼），而當(dāng)故障持續(xù)時間為80 ms 時，系統(tǒng)會發(fā)生持續(xù)的調(diào)速器限幅參與的超低頻頻率振蕩（大擾動后正阻尼的振蕩）［5］。目前，超低頻頻率振蕩的數(shù)學(xué)機理可分為負阻尼振蕩、光滑的強迫振蕩和切換型振蕩［6］。

在負阻尼振蕩方面，文獻［7?8］分析指出，水電機組調(diào)速器提供負阻尼導(dǎo)致一次調(diào)頻過程中小擾動失穩(wěn)，是造成實際電網(wǎng)超低頻頻率振蕩的直接原因之一。在對應(yīng)的分析方法上，目前較為常用的是基于時域的狀態(tài)空間模型的特征根分析法以及基于頻域的復(fù)轉(zhuǎn)矩系數(shù)法。強迫振蕩易出現(xiàn)在本身阻尼較弱而外界擾動較大的系統(tǒng)中［9］。文獻［10-11］利用端口供給能量法，分析可得超低頻頻率振蕩起振階段的誘發(fā)原因為負阻尼；并利用模態(tài)圖和快速傅里葉分解法，分析認為持續(xù)振蕩階段的特征類似于強迫振蕩的全局共振，即發(fā)電機之間同相位共振。上述負阻尼振蕩和光滑的強迫振蕩分別對應(yīng)于系統(tǒng)負阻尼和弱阻尼時在小擾動后的光滑振蕩，其對應(yīng)于光滑的動力系統(tǒng)，相應(yīng)的分析方法大多是基于小擾動后電力系統(tǒng)的線性化模型。值得注意的是，調(diào)速器中的死區(qū)和限幅非線性切換環(huán)節(jié)也會對振蕩特性產(chǎn)生較大影響［4?5］。含死區(qū)和限幅的電力系統(tǒng)是非光滑動力系統(tǒng)，大擾動后死區(qū)和限幅參與的振蕩是大范圍（全局）的非光滑振蕩（即切換型振蕩），其相應(yīng)的數(shù)學(xué)機理不同，傳統(tǒng)光滑系統(tǒng)的小擾動分析方法可能不再適用。

在切換型振蕩方面，目前發(fā)現(xiàn)了3 種不同類型的切換型超低頻頻率振蕩：一是嚴重大擾動后具有穩(wěn)定平衡點（局部正阻尼）的系統(tǒng)，在初始狀態(tài)偏離平衡點較遠時，無法返回平衡點的穩(wěn)定域而進入非光滑極限環(huán)的吸引域時出現(xiàn)的切換型振蕩［5，12-13］；二是在擾動后，具有不穩(wěn)定平衡點（局部負阻尼）的系統(tǒng)軌線發(fā)散時，死區(qū)、限幅等環(huán)節(jié)參與形成的切換型振蕩［14］；三是擾動后無平衡點的系統(tǒng)出現(xiàn)的死區(qū)參與的切換型振蕩［4，13］。但是，上述研究僅通過仿真發(fā)現(xiàn)了切換型頻率振蕩這一現(xiàn)象，并定性分析了其隨參數(shù)變化的非光滑分岔特性，缺少相應(yīng)的量化分析手段。

考慮調(diào)速器死區(qū)時，文獻［15-16］建立了含死區(qū)的分段線性系統(tǒng)模型，通過不同擾動下的解析求解［15］、描述函數(shù)［16］等方法，分析了調(diào)速器的不同死區(qū)類型對單機簡化系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，獲得了水輪發(fā)電機組的死區(qū)影響頻率振蕩特性的一般規(guī)律。進一步，文獻［17］定義了擴展描述函數(shù)，定量分析了多個死區(qū)環(huán)節(jié)對多機組合系統(tǒng)頻率振蕩的影響，并提出通過死區(qū)配置抑制超低頻頻率振蕩的方法。值得注意的是，上述研究僅分析了單一死區(qū)切換環(huán)節(jié)參與的頻率振蕩，缺乏對多個不同類型切換環(huán)節(jié)參與的振蕩分析（未同時考慮限幅）。此外，描述函數(shù)法是一種近似分析方法，使用時具有一定的假設(shè)前提［18］，文獻［16-17］直接采用描述函數(shù)法，但均未涉及適應(yīng)性分析。將非光滑系統(tǒng)近似為光滑系統(tǒng)，能否精確近似非光滑單機水電系統(tǒng)的超低頻頻率振蕩，在其他文獻中也未見分析報道。

鑒于此，本文在已有研究成果的基礎(chǔ)上，針對大擾動后正阻尼的非光滑單機水電系統(tǒng)出現(xiàn)的死區(qū)和限幅參與的切換型頻率振蕩現(xiàn)象，應(yīng)用分段的描述函數(shù)，說明了近似光滑系統(tǒng)的穩(wěn)定極限環(huán)可近似大擾動后正阻尼的非光滑系統(tǒng)出現(xiàn)的切換型振蕩。并分析了不同的限幅參數(shù)對振蕩特性的影響以及描述函數(shù)法的適應(yīng)性。

1 單機水電系統(tǒng)模型及其振蕩現(xiàn)象

1.1 含非線性切換環(huán)節(jié)的系統(tǒng)模型

當(dāng)電力系統(tǒng)發(fā)生超低頻頻率振蕩時，所有機組頻率基本保持同相位振蕩，因此可以將系統(tǒng)簡化為單機系統(tǒng)進行分析［19］。另一方面，文獻［7?8］研究表明，超低頻頻率振蕩主要與水電機組的一次調(diào)頻過程不穩(wěn)定相關(guān)。故針對頻率振蕩問題，本文分析的帶負荷單水電機組簡化系統(tǒng)（以下簡稱單機水電系統(tǒng)）忽略了勵磁器，僅考慮調(diào)速器。

單機水電系統(tǒng)的調(diào)速器數(shù)學(xué)模型如附錄A 圖A1 所示，其包括調(diào)節(jié)系統(tǒng)、電液伺服系統(tǒng)、水輪機3個部分，各部分的傳遞函數(shù)分別為：

式中：KW為頻率偏差放大倍數(shù)；KP、KI分別為比例、積分環(huán)節(jié)的放大倍數(shù)；bp為永態(tài)轉(zhuǎn)差系數(shù)；KP1為電液轉(zhuǎn)換模塊的放大倍數(shù)；Ty為接力器時間常數(shù)；TW為水錘效應(yīng)時間常數(shù)。進一步，發(fā)電機部分的傳遞函數(shù)如式（4）所示。

式中：Δω為角頻率偏差；ΔPm為機械功率偏差；TJ、KL分別為發(fā)電機轉(zhuǎn)動慣量和負荷的單位調(diào)節(jié)功率。綜上，簡化單機水電系統(tǒng)線性部分的開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為：

圖A1 中調(diào)速器含多個死區(qū)和限幅非線性切換環(huán)節(jié)，本文僅考慮一次調(diào)頻死區(qū)和限幅環(huán)節(jié)F(x4)，其示意圖如圖1 所示。圖中，切換環(huán)節(jié)的輸入信號x4為角頻率偏差的負值；±ε和±λ分別為死區(qū)值和限幅值。

圖1 死區(qū)和限幅切換環(huán)節(jié)Fig.1 Switching link of dead zone and limitation

1.2 大擾動后正阻尼系統(tǒng)的切換型頻率振蕩現(xiàn)象

對于上述單機水電系統(tǒng)，采用實際電網(wǎng)中引發(fā)超低頻頻率振蕩事故的某一主要機組的典型參數(shù)取值為：角頻率參考值ωref=1 p.u.，調(diào)速開度參考值Yref=1 p.u.，KW=1.1，KP=5，KI=1，KP1=40，bp=0.03，Ty=13.86 s，TJ=10 s，KL=1.5，TW=1.6 s，ε=0.000 8 p.u.，λ=0.0308 p.u.。

根據(jù)文獻［12］，當(dāng)負荷為額定參數(shù)，即PL=1 p.u.時，單機水電系統(tǒng)存在穩(wěn)定的平衡點（局部正阻尼）。當(dāng)大擾動造成系統(tǒng)初值（即系統(tǒng)的初始狀態(tài)）在一定范圍內(nèi)波動（即初值偏離平衡點較遠）時，系統(tǒng)將發(fā)生死區(qū)和限幅參與的切換型頻率振蕩。不同角頻率偏差初值下，系統(tǒng)的角頻率偏差變化如圖2 所示，圖中角頻率偏差為標(biāo)幺值。由圖可知：當(dāng)小擾動造成角頻率偏差的初值為0.015 7 p.u.（實線）時，系統(tǒng)角頻率經(jīng)調(diào)速器的調(diào)節(jié)，最終角頻率偏差為0，這說明頻率振蕩逐漸衰減，單機水電系統(tǒng)恢復(fù)穩(wěn)定，對應(yīng)著系統(tǒng)軌線最終收斂到穩(wěn)定的平衡點；當(dāng)大擾動造成角頻率偏差的初值為0.015 8 p.u.（點劃線）時，系統(tǒng)最終發(fā)生了死區(qū)和限幅參與的頻率振蕩，其振蕩幅值為0.032 5 p.u.，振蕩頻率為0.1073 Hz。

圖2 角頻率偏差的時域變化Fig.2 Time domain variation of angle-frequency deviation

2 描述函數(shù)法

2.1 總體介紹

在進行無外部輸入信號非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析時，描述函數(shù)法是一種計算非線性系統(tǒng)振蕩參數(shù)的經(jīng)典近似方法。假設(shè)系統(tǒng)發(fā)生振蕩時，非線性部分的輸入信號為正弦信號，即：

式中：A和ω分別為輸入信號的振蕩幅值和振蕩角頻率；t為時間。

在具有靜態(tài)非線性特性的非線性環(huán)節(jié)中，當(dāng)輸入信號為正弦信號時，其輸出信號是一個與輸入信號周期相同的周期函數(shù)［18］。將輸出信號y(t)用傅里葉級數(shù)展開，并忽略高階項可得：

式中：A0為直流分量；A1、B1分別為輸入信號基波正、余弦分量的幅值；Y1、φ1分別為輸出信號基波分量的幅值和相位。則非線性部分的描述函數(shù)N(A)可表示為輸出信號的基波分量和輸入信號的復(fù)數(shù)比，如式（8）所示。

此時，整個非線性系統(tǒng)（非光滑系統(tǒng)）可以在頻域內(nèi)近似為一個單環(huán)負反饋控制系統(tǒng)（近似的光滑系統(tǒng)），如圖3 所示，圖中r、z分別為近似控制系統(tǒng)的輸入、輸出信號。描述函數(shù)法只考慮周期運動變量x、y、z的基波分量，不計高次諧波分量，此時要求系統(tǒng)的線性部分G0(jω)具有較好的低通濾波性能，即在能阻止高次諧波通過時，描述函數(shù)法有較高的精度。

圖3 頻域近似控制系統(tǒng)Fig.3 Approximate control system in frequency domain

2.2 應(yīng)用準則

根據(jù)圖3，頻域近似控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為：

其特征方程為：

可變化為：

類似于Nyquist 判據(jù)的最常見形式［18］，可以通過圖4 所示復(fù)平面上的G0(jω)曲線和-1/N(A)曲線的相對位置關(guān)系來分析頻域近似控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。圖中：G0(jω)表示ω從0 增大到+∞的開環(huán)頻率特性曲線；-1/N(A)表示輸入信號幅值A(chǔ)從0 增大到+∞的負倒特性曲線。

圖4 描述函數(shù)法的判別準則Fig.4 Discriminant criteria of describing function method

1）如果G0(jω)曲線始終包圍／不包圍-1/N(A)曲線，則表明近似系統(tǒng)不穩(wěn)定／穩(wěn)定。

2）如果G0(jω)曲線和-1/N(A)曲線存在交點，則表明近似系統(tǒng)中存在極限環(huán)，根據(jù)交點的不同，又需進一步區(qū)分。

（1）從不穩(wěn)定區(qū)到穩(wěn)定區(qū)的穿出交點（Acr1，ω1）（Acr1和ω1分別為該交點下對應(yīng)振蕩的幅值和角頻率）對應(yīng)的是穩(wěn)定極限環(huán)。在穿出交點附近，若輸入信號幅值A(chǔ)>Acr1，則系統(tǒng)運行點位于穩(wěn)定區(qū)，振蕩會逐漸衰減；若輸入信號幅值A(chǔ)Acr1，則系統(tǒng)運行點位于不穩(wěn)定區(qū)，振蕩會進一步發(fā)散；兩者最終都收斂到穿出交點處的穩(wěn)定極限環(huán)。

（2）從穩(wěn)定區(qū)到不穩(wěn)定區(qū)的穿入交點（Acr2，ω2）（Acr2和ω2分別為該交點下對應(yīng)振蕩的幅值和角頻率）對應(yīng)的是不穩(wěn)定極限環(huán)。穿入交點處的穩(wěn)定性與輸入信號幅值A(chǔ)有關(guān)，若振幅在穩(wěn)定區(qū)，則系統(tǒng)振蕩逐漸衰減，最終恢復(fù)穩(wěn)定（收斂到穩(wěn)定的平衡點）；若輸入信號幅值在不穩(wěn)定區(qū)，則系統(tǒng)振蕩進一步發(fā)散，最終收斂到穩(wěn)定的極限環(huán)。

（3）如果2 條曲線為相切關(guān)系，那么切點處對應(yīng)的是半穩(wěn)定極限環(huán)。

3 基于描述函數(shù)法的近似分析

3.1 描述函數(shù)法的分析結(jié)果

在固定參數(shù)下，對比基于描述函數(shù)法的近似分析結(jié)果與實際仿真結(jié)果，初步驗證描述函數(shù)法用于近似分析大擾動后正阻尼的單機水電系統(tǒng)出現(xiàn)的死區(qū)和限幅起作用的切換型頻率振蕩的適用性。

對于圖1 所示的死區(qū)和限幅切換環(huán)節(jié)，其輸入輸出信號為奇對稱，故在圖2 所示正弦輸入信號下，經(jīng)切換環(huán)節(jié)的輸出信號傅里葉級數(shù)展開中，A0=0，B1=0。因此，切換環(huán)節(jié)的輸出信號中不含直流分量，且其描述函數(shù)僅含實數(shù)部分。死區(qū)和限幅切換環(huán)節(jié)的輸入輸出信號具有分段特性，故其描述函數(shù)也需分段表示，如式（12）所示［18］。

在1.2 節(jié)設(shè)置的系統(tǒng)參數(shù)下，由式（5）、（12），可得到開環(huán)頻率特性曲線G0(jω)和負倒特性曲線-1/N(A)，在復(fù)平面上如圖5所示，圖中橫縱軸刻度值均為標(biāo)幺值。負倒特性曲線-1/N(A)也分為3段：當(dāng)A≤0.000 8 時，-1/N(A)在負無窮遠處；當(dāng)0.000 8A≤0.030 8 時，-1/N(A)的第二段由圖中圓圈構(gòu)成；當(dāng)A>0.0308時，-1/N(A)的第三段為圖中直線。負倒特性曲線-1/N(A)與開環(huán)頻率特性曲線G0(jω)有2 個交點：①圓圈所對應(yīng)的交點為穿入交點，穿入交點處的振蕩角頻率為0.673 3 rad／s（0.107 2 Hz），振幅為0.022 6 p.u.，其對應(yīng)的是不穩(wěn)定極限環(huán)的幅值；②直線對應(yīng)的穿出交點，穿出交點處的振蕩角頻率為0.673 3 rad／s（0.107 2 Hz），振幅為0.032 5 p.u.，其對應(yīng)的是死區(qū)和限幅作用的穩(wěn)定極限環(huán)（A>λ）。

圖5 開環(huán)頻率特性和負倒特性曲線Fig.5 Open-loop frequency characteristics and minus reciprocal curves

描述函數(shù)法的分析結(jié)果表明，本文分析的含死區(qū)和限幅切換環(huán)節(jié)的單機水電系統(tǒng)在穩(wěn)定平衡點外，同時存在一個不穩(wěn)定極限環(huán)和一個穩(wěn)定極限環(huán)。因此，從系統(tǒng)動力學(xué)角度看，根據(jù)輸入信號幅值的不同，系統(tǒng)表現(xiàn)出不同的穩(wěn)定性。具體為：當(dāng)擾動后輸入信號幅值較小（小擾動后的輸入信號幅值），輸入信號幅值處于穩(wěn)定平衡點的穩(wěn)定域內(nèi)部時，該振蕩最終平息，恢復(fù)穩(wěn)定（軌線收斂到穩(wěn)定平衡點）；當(dāng)擾動后輸入信號幅值較大（大擾動后的輸入信號幅值）時，輸入信號幅值不在穩(wěn)定平衡點的穩(wěn)定域內(nèi)部，而在穩(wěn)定極限環(huán)的吸引域內(nèi)部，此時，軌線收斂到穩(wěn)定極限環(huán)，即近似控制系統(tǒng)發(fā)散形成穩(wěn)定持續(xù)的振蕩。

同時，該分析結(jié)果與1.2節(jié)仿真獲得的振蕩信息（振幅為0.032 5 p.u.，振蕩頻率為0.107 3 Hz）接近。因此，在本文參數(shù)設(shè)置情形下，基于描述函數(shù)法的頻率振蕩的近似精度較好，近似光滑系統(tǒng)的穩(wěn)定振蕩可近似為非光滑系統(tǒng)的大范圍（死區(qū)和限幅起作用）切換型振蕩。

3.2 限幅參數(shù)的影響分析

改變非光滑結(jié)構(gòu)的限幅值，近似的描述函數(shù)法和仿真法求得的穩(wěn)定極限環(huán)（切換型振蕩）對應(yīng)的振蕩頻率和振蕩幅值對比如表1 所示，表中振蕩幅值為標(biāo)幺值，后同。由表1可得如下結(jié)論：

表1 不同限幅下的結(jié)果對比Table 1 Results comparison under different limitations

1）基于描述函數(shù)法的近似和仿真計算結(jié)果，在誤差允許的范圍內(nèi)，基本一致；

2）限幅參數(shù)變化時，非光滑單機水電系統(tǒng)仿真中切換型頻率振蕩的振蕩幅值變化，而振蕩頻率基本不變，該現(xiàn)象可通過圖5 所示的開環(huán)頻率特性和負倒特性曲線解釋，即限幅參數(shù)變化時負倒特性曲線-1/N(A)仍在實軸上，但各處對應(yīng)的輸入信號幅值A(chǔ)發(fā)生變化，而開環(huán)頻率特性曲線G0(jω)不隨限幅變化而變化，故2 條曲線的交點對應(yīng)的穩(wěn)定極限環(huán)，其振蕩角頻率ω不變，而振蕩幅值A(chǔ)變化。

4 描述函數(shù)法的適應(yīng)性分析

本節(jié)進一步分析單機水電系統(tǒng)的線性部分的參數(shù)變化（線性部分的低通濾波性能變化）時，描述函數(shù)法的適應(yīng)性。與第3 節(jié)分析類似，改變一次調(diào)頻比例積分PI（Proportional Integral）環(huán)節(jié)的比例增益參數(shù)KP，描述函數(shù)法和仿真法求得的穩(wěn)定極限環(huán)（切換型振蕩）對應(yīng)的振蕩頻率和振蕩幅值對比如表2 所示，可得如下結(jié)論。

表2 不同KP下的結(jié)果對比Table 2 Results comparison under different values of KP

1）當(dāng)KP變化時，非光滑單機水電系統(tǒng)仿真中切換型頻率振蕩的振蕩頻率和幅值均會變化。這是因為當(dāng)KP變化時，由圖5 可知，開環(huán)頻率特性曲線G0(jω)變化，其與負倒特性曲線-1/N(A)之間的穿出交點（穩(wěn)定極限環(huán)）所對應(yīng)的振蕩頻率和振蕩幅值均發(fā)生變化。

2）對比描述函數(shù)法和仿真計算的結(jié)果，在KP較小時，二者的振蕩頻率和幅值基本一致；在KP較大時，振蕩頻率和幅值誤差偏大。表明描述函數(shù)法成立的前提可能受到挑戰(zhàn)，即系統(tǒng)不具有低通濾波性質(zhì)。

由于本文分析的切換環(huán)節(jié)和輸入信號均為奇對稱，輸出信號中主要含有奇次諧波。線性部分G0(jω)的基波項和3 次諧波項的幅值增益的計算結(jié)果如表3所示。

表3 不同KP下的幅值增益Table 3 Amplitude gain under different values of KP

由表2、3 可知：當(dāng)KP較小時，線性部分的3 次諧波項的幅值增益較小，這說明線性部分的頻率特性G0(jω)對高次諧波分量的抑制效果較好，因此，使用描述函數(shù)法的分析結(jié)果與仿真法基本一致，精度較高；當(dāng)KP較大時，3 次諧波項的幅值增益變大，這說明線性部分的頻率特性G0(jω)對高次諧波分量的抑制效果變差，因此，分析結(jié)果的誤差也增大。同理可得，當(dāng)單機水電系統(tǒng)線性部分的積分參數(shù)KI和水錘效應(yīng)時間常數(shù)TW變化時，描述函數(shù)法的近似分析結(jié)果與仿真結(jié)果之間的誤差也會隨3 次諧波幅值的增大而增大，如附錄A的圖A2、A3所示。

上述分析表明，描述函數(shù)法在非光滑系統(tǒng)的分析中僅考慮了基波分量，為近似方法。如果線性部分對高次諧波的濾波性能變差（即3 次諧波項的幅值增益變大），那么基于描述函數(shù)法的分析結(jié)果與實際情況的差異也將變大。因此，在使用描述函數(shù)法時，尤其需要注意系統(tǒng)對高次諧波的濾波性能。

5 結(jié)論

針對大擾動后正阻尼的非光滑單機水電系統(tǒng)出現(xiàn)的死區(qū)和限幅參與的切換型頻率振蕩，提供一種基于分段描述函數(shù)的近似分析方法，得到主要結(jié)論如下。

1）在小擾動后正阻尼的單機水電系統(tǒng)，經(jīng)調(diào)速器調(diào)節(jié)，系統(tǒng)頻率恢復(fù)穩(wěn)定；在大擾動后正阻尼的單機水電系統(tǒng)，會出現(xiàn)死區(qū)和限幅參與的切換型頻率振蕩現(xiàn)象。

2）當(dāng)參數(shù)滿足低通濾波條件時，基于描述函數(shù)法分析的光滑系統(tǒng)的穩(wěn)定極限環(huán)，可近似對應(yīng)大擾動后正阻尼的非光滑系統(tǒng)出現(xiàn)的死區(qū)和限幅起作用的切換型振蕩；且可解釋不同限幅參數(shù)下切換型頻率振蕩的振蕩幅值變化而振蕩頻率基本不變的現(xiàn)象。

3）參數(shù)變化可能導(dǎo)致單機水電系統(tǒng)在振蕩頻率附近的濾波性能變差，3 次諧波無法忽略，導(dǎo)致采用描述函數(shù)法的近似分析結(jié)果的精度也變差。

本文方法主要用于單機水電系統(tǒng)。對于高維的含有不同死區(qū)和限幅的實際多機水電系統(tǒng)，在不同擾動下如何確認哪些機組哪些死區(qū)和限幅參與振蕩，并結(jié)合死區(qū)和限幅組合分析，還需要進一步研究。

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