金 亮 祝登鋒 楊慶新 張俊杰 鞏德鑫

超高壓電抗器電感計算灰箱模型與優(yōu)化

金 亮1,2祝登鋒1,2楊慶新1,2張俊杰3鞏德鑫1,2

（1. 省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點實驗室（河北工業(yè)大學(xué)） 天津 300400 2. 河北省電磁場與電器可靠性重點實驗室（河北工業(yè)大學(xué)） 天津 300400 3. 保定天威保變電氣股份有限公司 保定 071056）

現(xiàn)有的超高壓電抗器電感解析和經(jīng)驗計算公式誤差大于工程要求的1%，電感計算誤差大時會導(dǎo)致電抗器的優(yōu)化結(jié)果較差。該文基于電磁原理建立修正電感計算經(jīng)驗公式，將誤差降低至約1%，并建立先驗電磁原理的可辨識電感計算灰箱模型?；跀?shù)值模擬得到電感樣本數(shù)據(jù)集，通過引入自適應(yīng)變異因子和最優(yōu)個體，建立改進(jìn)差分進(jìn)化算法并對灰箱模型進(jìn)行參數(shù)識別，得到0.1%誤差的高精度電感計算模型。使用帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法（NSGA-Ⅱ）對超高壓電抗器進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，將電抗器的導(dǎo)線質(zhì)量和損耗分別減少了21.4%、18.6%。實驗證明了經(jīng)參數(shù)辨識得到的電感計算灰箱模型的正確性和優(yōu)化方法的有效性。該文建立的電抗器電感參數(shù)辨識方法為高精度電感計算提供了一條新的理論和實踐思路。

超高壓電抗器 灰箱模型 差分進(jìn)化算法 參數(shù)辨識 少樣本

0 引言

超高壓油浸空心電抗器作為串聯(lián)諧振高壓實驗的主要設(shè)備，其核心參數(shù)是電感。高精度電感計算模型的建立能夠有效指導(dǎo)電抗器設(shè)計方案的更新迭代。

根據(jù)電抗器電感與設(shè)計變量映射關(guān)系的不同求解方式，可將電感計算模型分為三類：白箱模型[1]、黑箱模型[2]和灰箱模型[3]。白箱模型中的解析法以電磁理論為基礎(chǔ)，描述電抗器線圈間的磁鏈耦合機(jī)理，文獻(xiàn)[4]基于Bartky變換法使用聶爾曼公式推導(dǎo)出有限長單層螺線管自感和互感的計算公式，計算誤差約為1%；文獻(xiàn)[5]通過作輔助圓柱面的方法計算繞組的自感和互感，最終誤差約為2%。解析法能清晰地表達(dá)電抗器結(jié)構(gòu)參數(shù)與電感之間的物理含義，但對于不同結(jié)構(gòu)的電抗器需要簡化條件改變積分項，推導(dǎo)過程繁瑣不易獲得。數(shù)值方法在物理原理上屬于白箱模型的范疇，其計算精度高于解析法，但在工程上不作為白箱模型使用，往往用以產(chǎn)生樣本數(shù)據(jù)，存在建模復(fù)雜、計算資源消耗大和耗時過長等問題[6-7]。

為了克服解析法的不足，早期文獻(xiàn)[8]基于電磁理論推導(dǎo)電感計算通用公式，以表格形式給出不同結(jié)構(gòu)范圍所對應(yīng)的公式系數(shù)，通過查表的方法保證電感計算精度。但在實際電抗器的優(yōu)化中，通常需要高精度電感計算，這種方法獲得的精度有限、不易更新、使用不便。國內(nèi)外學(xué)者針對查表方法存在的問題，推導(dǎo)電感計算解析公式并添加輔助項來提高適用范圍和精度。文獻(xiàn)[9]在其中加入結(jié)構(gòu)參數(shù)比例項，電感計算誤差約為4%。文獻(xiàn)[10]在電感經(jīng)驗公式計算中考慮了不同結(jié)構(gòu)項對電感值的影響，把平均誤差降低到1.5%左右。經(jīng)驗公式計算簡便，但整體和個別樣本點的誤差不能滿足工程所需，不準(zhǔn)確的經(jīng)驗公式將無法保證未知設(shè)計空間中電感的計算精度，優(yōu)化進(jìn)程容易被誤導(dǎo)[11]。

隨著機(jī)器學(xué)習(xí)的發(fā)展，使用數(shù)值模擬或?qū)嶒灥玫诫娍蛊鹘Y(jié)構(gòu)與性能參數(shù)的樣本數(shù)據(jù)，建立設(shè)計參數(shù)與性能數(shù)據(jù)的映射關(guān)系（也稱代理模型），是典型的黑箱模型。文獻(xiàn)[12]使用243組樣本數(shù)據(jù)訓(xùn)練徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來計算電抗器的渦流損耗，平均預(yù)測誤差為0.45%。文獻(xiàn)[13]使用決策樹和多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行電抗器匝間絕緣短路故障檢測，預(yù)測誤差為0.3%。基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的黑箱模型具有不依賴系統(tǒng)機(jī)理和專業(yè)先驗知識的優(yōu)勢，能夠深度發(fā)掘樣本數(shù)據(jù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，但往往需要上百組的樣本數(shù)據(jù)才能把預(yù)測誤差降低至1%以下。電抗器各部件間耦合關(guān)系復(fù)雜，涉及電磁、結(jié)構(gòu)、傳熱、振動等多個學(xué)科，真實工況模擬需要耗費巨大的計算和時間成本。電抗器的優(yōu)化過程中，需要進(jìn)行多次數(shù)值模擬才能獲得最優(yōu)設(shè)計方案，而高精度數(shù)值模擬帶來的“昂貴優(yōu)化問題”嚴(yán)重阻礙了代理模型構(gòu)建和數(shù)值優(yōu)化過程[14-15]。

考慮到解析法難以準(zhǔn)確確定線圈漏磁、大地等因素對電感值的影響，前人通過在經(jīng)驗公式的分母中添加結(jié)構(gòu)項來探索結(jié)構(gòu)參數(shù)與電感值之間的關(guān)系，但電感計算精度仍無法滿足工程要求。為進(jìn)一步提升電感計算精度，以經(jīng)驗公式為代表的灰箱模型被廣泛應(yīng)用。本文首先建立超高壓油浸空心電抗器的有限元模型，根據(jù)電磁理論修正經(jīng)驗公式，分析不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對電感的影響，并基于電感計算的常用經(jīng)驗公式和修正經(jīng)驗公式建立可辨識的灰箱模型A和精度更高的灰箱模型B；其次，建立一種改進(jìn)差分進(jìn)化算法（Improvement Differential Evaluation Algorithm, 本文簡稱為DEB），通過數(shù)值模擬建立超高壓空心電抗器的樣本數(shù)據(jù)集，在數(shù)據(jù)集為30組、20組和10組的測試實驗中，與其他智能算法進(jìn)行對比，分析灰箱模型A和灰箱模型B的參數(shù)辨識效果，研究少樣本下參數(shù)辨識精度和個別樣本點的波動誤差；最后，使用帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法（Non-dominated Sorting Genetic Algorithms-Ⅱ, NSGA-Ⅱ）給出基于電感值、絕緣和溫升等約束條件與性能參數(shù)的一組優(yōu)化設(shè)計結(jié)果，根據(jù)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬并繞制樣機(jī)，再通過實驗驗證優(yōu)化結(jié)果的可行性和有效性。

1 電抗器計算模型與參數(shù)辨識

1.1 超高壓油浸空心電抗器

超高壓單相串聯(lián)油浸空心電抗器的三維結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 超高壓電抗器的三維結(jié)構(gòu)

此電抗器用于串聯(lián)諧振耐壓試驗，為連續(xù)餅式結(jié)構(gòu)，每個線餅輻向由多層繞組組成包封，每層繞組由多匝圓形鋁導(dǎo)線繞制而成。使用絕緣紙板分隔相鄰線餅來提升絕緣性能，包封間有油道分隔便于散熱，外部的非金屬油箱提供支撐保護(hù)作用。其額定容量為2.5Mvar，初始采用導(dǎo)線線徑為1.91mm，設(shè)計需求電感為290H。圖1中，1為單餅線圈高度；2為絕緣紙板厚度；1為單個包封寬度；2為油道寬度；in為電抗器內(nèi)半徑；為線圈的厚度；av為電抗器平均直徑，av=2in+；為電抗器線圈總高度。

超高壓電抗器工作在低頻環(huán)境下，系統(tǒng)內(nèi)的位移電流可忽略不計，因此可將磁場看作準(zhǔn)空間靜態(tài)場[16]，近似認(rèn)為包封內(nèi)繞組線圈各層電流相同。根據(jù)電磁理論可得到對應(yīng)電路方程和磁場方程為

1.2 電感計算灰箱模型

為描述空心單層螺線管線圈電感與結(jié)構(gòu)參數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，往往基于以下假設(shè)：

①導(dǎo)線之間緊密排列；②半徑為in的軸向磁場均勻分布；③螺線管平均直徑av遠(yuǎn)小于螺線管高度。

根據(jù)電磁理論得到其低頻電感計算公式為

式中，為線圈匝數(shù)。式（2）中尺寸單位為mm，電感單位為H，下同。

與單層螺線管線圈不同，超高壓電抗器結(jié)構(gòu)復(fù)雜。為提高電感計算精度，工程上常用的電抗器電感計算經(jīng)驗公式的分母部分包含多個結(jié)構(gòu)項[9]，表示為

此經(jīng)驗公式電感計算誤差約為3%，在個別樣本點處的波動誤差更大，不能滿足工程所需的精度。

文獻(xiàn)[10]根據(jù)電抗器線圈厚度與內(nèi)徑的比值關(guān)系，引入結(jié)構(gòu)參數(shù)比例項，并給出經(jīng)驗公式的適用范圍和不同結(jié)構(gòu)下的計算精度。進(jìn)一步考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)對電感造成的影響，最終得到經(jīng)驗公式為

根據(jù)數(shù)值模擬結(jié)果與式（4）計算電感值的對應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)式（4）的電感計算誤差高達(dá)60%，遠(yuǎn)高于一般經(jīng)驗公式的誤差，但在不同的電抗器結(jié)構(gòu)上其電感計算誤差波動范圍較小。根據(jù)安培環(huán)路定理和磁通連續(xù)性定理得到的式（2）提示，可在分子部分添加系數(shù)4p2，則修正后的經(jīng)驗公式為

此時，電感計算誤差降低至約1%。

為了分析超高壓電抗器電感計算經(jīng)驗公式中結(jié)構(gòu)參數(shù)對電感值的影響，設(shè)置線圈內(nèi)半徑in、高度、匝數(shù)和厚度四個參量中的任意三個為固定值，通過數(shù)值模擬得到剩余參量與電感的關(guān)系曲線。將數(shù)值模擬結(jié)果與經(jīng)驗式（3）和修正經(jīng)驗式（5）進(jìn)行對比，得到結(jié)構(gòu)參數(shù)與電感關(guān)系曲線如圖2所示。從圖2可以得到以下結(jié)論：

1）式（3）的誤差比式（5）的大，導(dǎo)致不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下的電感計算值遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離數(shù)值模擬結(jié)果，修正經(jīng)驗式（5）計算誤差較小。

2）電感與內(nèi)半徑in和線圈高度呈高度線性關(guān)系，隨著內(nèi)半徑in和線圈高度的變化，式（3）出現(xiàn)明顯較大誤差。

3）電感與線圈匝數(shù)和線圈厚度近似呈二次方關(guān)系，線圈匝數(shù)和線圈厚度的改變對兩經(jīng)驗公式計算電感誤差的影響較小。

圖2 結(jié)構(gòu)參數(shù)與電感關(guān)系曲線

考慮到式（3）和式（5）中線圈匝數(shù)和厚度的改變對電感計算誤差影響較小，可不對其進(jìn)行參數(shù)辨識。由1.1節(jié)可知，線圈平均直徑av是由線圈內(nèi)半徑in和厚度計算得到，為了進(jìn)一步降低經(jīng)驗公式電感計算誤差，構(gòu)建可辨識的灰箱模型A和灰箱模型B分別為

1.3 差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化（Differential Evolution, DE）算法由R. Storn和K. Pricet于1997年提出，該算法原理簡單、魯棒性強(qiáng)，可作為一種高效的參數(shù)辨識算法。算法流程如圖3所示。

圖3 差分進(jìn)化算法流程

具體步驟如下[18]：

（1）種群初始化，設(shè)DE算法生成規(guī)模為P，將維數(shù)為的參數(shù)向量作為父代種群，種群個體表示為

（2）計算種群評價指標(biāo)，判斷種群個體是否滿足基本約束

（3）差分變異過程中，隨機(jī)選取種群中三個個體向量，任選其中兩個個體向量進(jìn)行差分運算，并與剩余個體向量相加產(chǎn)生變異個體，即

式中，1,G、1,G和1,G為第代種群中的隨機(jī)個體；為變異因子。

（4）在父代種群和變異種群之間引入交叉操作，產(chǎn)生子代種群個體。

（5）比較子代個體與父代個體，選擇更好的個體保存進(jìn)入下一代種群。更新進(jìn)化代數(shù)，令=+1，判斷是否滿足終止條件，若滿足，則輸出參數(shù)辨識結(jié)果；否則，繼續(xù)返回步驟（2）進(jìn)行循環(huán)。

1.4 改進(jìn)差分進(jìn)化算法（DEB）

DE算法差分變異因子取值為定常數(shù)，取值較小時，變異幅度小，需要多次迭代才可能收斂到最優(yōu)解集，進(jìn)化效率低；取值過大時，變異波動范圍大，進(jìn)化后期容易跳出最優(yōu)解的范圍導(dǎo)致無法收斂。考慮到DE算法在變異操作中存在的問題，對DE算法進(jìn)行改進(jìn)。

在1.3節(jié)DE算法的步驟（3）中，提出自適應(yīng)變異策略，引入種群最優(yōu)個體best,G和自適應(yīng)變異因子，對式（10）進(jìn)行改進(jìn)，得到

式中，best,G為第代中的最優(yōu)個體；1,G和2,G為代種群中的隨機(jī)個體；m為最大進(jìn)化代數(shù)；0為隨機(jī)初始化變異因子。

從式（12）可以看出，種群最優(yōu)個體best,G在進(jìn)化過程中為種群搜索方向提供引導(dǎo)，提升了種群的全局尋優(yōu)能力；自適應(yīng)變異因子用于實現(xiàn)尋優(yōu)過程的動態(tài)調(diào)整，在進(jìn)化初期，較大的有助于算法前期在參數(shù)空間的快速收斂，隨著進(jìn)化代數(shù)增加，逐漸減小，變異幅度動態(tài)減小，有助于種群收斂到最優(yōu)解集區(qū)域。改進(jìn)差分進(jìn)化算法實現(xiàn)了全局搜索速度和局部收斂性之間的平衡，提升了算法性能。

2 基于DEB的灰箱模型參數(shù)辨識

2.1 建立樣本數(shù)據(jù)集

當(dāng)線圈高度、厚度和導(dǎo)線線徑確定后，電抗器的油道和絕緣紙板個數(shù)將被限定在一定范圍內(nèi)，線圈匝數(shù)可被確定?？紤]灰箱模型中結(jié)構(gòu)參數(shù)與電感值的關(guān)系，選取電抗器的線圈厚度、線圈高度、線圈內(nèi)徑in和導(dǎo)線線徑為建模變量，建立結(jié)構(gòu)參數(shù)因素水平表，見表1。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)因素水平表

Tab.1 The structural parameter factor level table

高精度數(shù)值模擬的誤差很小，電抗器產(chǎn)品制造設(shè)計中要求最終誤差小于1.5%，在不考慮制造工藝誤差的情況下，數(shù)值模擬結(jié)果完全可以滿足工程需求?？紤]到實際工程樣本數(shù)據(jù)珍貴，在設(shè)定的結(jié)構(gòu)參數(shù)范圍內(nèi)隨機(jī)選取合理的電感值樣本點，通過數(shù)值模擬得到電抗器不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下的30組樣本數(shù)據(jù)，樣本數(shù)據(jù)點的空間分布如圖4所示。

圖4 30組樣本數(shù)據(jù)集

為評價模型在少樣本數(shù)據(jù)集下的精度和收斂性，分別建立30組、20組和10組樣本數(shù)據(jù)集進(jìn)行灰箱模型參數(shù)辨識。每組樣本數(shù)據(jù)集的60%作為訓(xùn)練集用于訓(xùn)練辨識模型，40%作為測試集來評價模型的預(yù)測精度和模型的泛化能力。

2.2 參數(shù)辨識結(jié)果及分析

常用的參數(shù)辨識算法有精英保留遺傳算法（Elitist Reservation Genetic Algorithm, EGA）、粒子群（Particle Swarm Optimization, PSO）算法和DE算法。為了檢驗改進(jìn)差分進(jìn)化算法的有效性，基于30組、20組和10組樣本數(shù)據(jù)集，給四種辨識算法設(shè)置相同的初始化參數(shù)，分別對灰箱模型A和灰箱模型B進(jìn)行10次參數(shù)辨識。

10組少樣本數(shù)據(jù)集下各算法的參數(shù)辨識結(jié)果如圖5和圖6所示。通過種群評價指標(biāo)，對比參數(shù)辨識結(jié)果可以看出，PSO和EGA算法參數(shù)辨識結(jié)果精度波動大且穩(wěn)定性差；DE算法參數(shù)辨識精度較高，但存在小范圍波動現(xiàn)象；在少樣本下，DEB算法的穩(wěn)定性和辨識精度表現(xiàn)最好。

圖5 各算法參數(shù)辨識灰箱模型A

圖6 各算法參數(shù)辨識灰箱模型B

為進(jìn)一步量化不同參數(shù)辨識算法的性能表現(xiàn)，選用平均絕對百分比誤差（Mean Absolute Percentage Error, MAPE）和個體最大絕對百分比誤差（Individual Maximum Absolute Percentage Error, IMAPE）作為辨識結(jié)果的評價指標(biāo)，更能體現(xiàn)相對百分比的偏差程度。MAPE和IMAPE的對應(yīng)公式分別為

MAPE描述了參數(shù)辨識輸出結(jié)果與真實結(jié)果的平均百分比偏離程度，其值越小，模型在整體樣本空間的準(zhǔn)確度越高；IMAPE則衡量了參數(shù)辨識輸出結(jié)果較真實結(jié)果在所有個體中的最大百分比偏離程度，其對個體極端值的敏感性，可以突出樣本空間中影響最大的個體誤差值，其值越小，模型的穩(wěn)定性越強(qiáng)。兩灰箱模型在30組、20組和10組樣本數(shù)據(jù)集參數(shù)辨識前的誤差對比見表2。

表2 參數(shù)辨識前模型誤差對比

Tab.2 Model error before parameter identification

基于30組、20組、10組樣本數(shù)據(jù)集，選取不同算法對灰箱模型A和灰箱模型B的樣本隨機(jī)抽樣，并分別進(jìn)行10次參數(shù)辨識，取參數(shù)平均值進(jìn)行模型的誤差對比，結(jié)果見表3。

表3 參數(shù)辨識誤差對比

Tab.3 Error comparison of parameter identification

（續(xù)）

對表2和表3進(jìn)行分析可知：

1）任意參數(shù)辨識算法辨識前后的MAPE和IMAPE表明，灰箱模型B的誤差均明顯優(yōu)于灰箱模型A，即先驗電磁理論對電感的精度起到先決作用。

2）參數(shù)辨識的模型存在輕微非線性，在不同樣本數(shù)據(jù)集下，線性方法搜索的DE、DEB算法比隨機(jī)搜索的PSO、EGA算法誤差低且更穩(wěn)定。特別是DEB算法，其穩(wěn)定性最好、誤差最低。

3）DEB算法參數(shù)辨識灰箱模型A和灰箱模型B的結(jié)果如圖7所示。在最為重要的10組小樣本下，參數(shù)辨識前灰箱模型B的MAPE和IMAPE分別為0.60%和2.22%，參數(shù)辨識后降至0.10%和0.43%，精度提升了83.33%和80.63%。

圖7 DEB算法參數(shù)辨識兩灰箱模型的結(jié)果

4）在10組小樣本條件下，參數(shù)辨識精度MAPE高于20組樣本，說明個別的樣本點數(shù)據(jù)存在小的波動，且DEB算法對樣本的需求很少。

最終可得到參數(shù)辨識后的灰箱模型A和灰箱模型B分別為

3 超高壓電抗器的優(yōu)化設(shè)計

3.1 超高壓電抗器多目標(biāo)優(yōu)化模型

本文研究的超高壓電抗器主要由裸導(dǎo)線、絕緣紙板、散熱油和非金屬油箱等組成。裸導(dǎo)線是原材料成本的主要考慮因素，詳細(xì)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

超高壓電抗器優(yōu)化數(shù)學(xué)模型包含目標(biāo)函數(shù)、約束條件和設(shè)計變量三個要素。優(yōu)化時既要在保證電感和通流能力的同時實現(xiàn)導(dǎo)體用量最小化，又要減小設(shè)備運行總損耗[17]。考慮導(dǎo)線質(zhì)量與線徑為正比例關(guān)系，而電抗器損耗與線徑為反比例關(guān)系，目標(biāo)函數(shù)之間相互矛盾，無法同時使所有目標(biāo)取得最優(yōu)解[19-21]。

根據(jù)超高壓電抗器油道和絕緣紙板的排列特點，考慮散熱和暫態(tài)過電壓問題[22]，選取電抗器單餅包封縱向線圈數(shù)h、輻向包封線圈數(shù)r絕緣紙板數(shù)1、油道數(shù)2電抗器內(nèi)徑in和線徑為優(yōu)化設(shè)計變量，以電抗器的電感和溫升為約束條件，建立以導(dǎo)線質(zhì)量Mass最輕（即生產(chǎn)成本最?。p耗loss最小為目標(biāo)函數(shù)的多目標(biāo)優(yōu)化模型。

電抗器溫升和電感的不等式約束條件分別為

式中，Tmax為第包封的最大溫升；max為最大包封溫升限值；L為參數(shù)辨識得到的電感值；min、max分別為電感參數(shù)的下、上限值。其中，包封溫升為

由于超高壓油浸空心電抗器用于室內(nèi)串聯(lián)諧振試驗，電抗器的高度有最低限值[24]，即需滿足

式中，P為第包封的軸向線圈數(shù)；max為電抗器的高度限值。

目標(biāo)函數(shù)中的變量、、D、是由電抗器單餅包封縱向線圈數(shù)h、包封輻向線圈數(shù)r絕緣紙板數(shù)1、油道數(shù)2電抗器內(nèi)徑in和線徑共六個設(shè)計變量所共同決定的。

3.2 NSGA-Ⅱ算法優(yōu)化設(shè)置

本研究采用帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法NSGA-Ⅱ來優(yōu)化電抗器質(zhì)量和損耗。該算法運行速度快，解集的收斂性好，具有較高的效率和魯棒性[25]。優(yōu)化中采用的NSGA-Ⅱ算法和電抗器主要參數(shù)設(shè)置見表4。

表4 主要參數(shù)設(shè)置

Tab.4 Setting of main parameters

3.3 模型誤差的優(yōu)化誤導(dǎo)

多目標(biāo)優(yōu)化進(jìn)程中，代理模型精度越高，優(yōu)化算法的全局收斂性越好，可以引導(dǎo)優(yōu)化過程快速收斂到最優(yōu)解。當(dāng)模型的誤差較大時，未知設(shè)計空間中電抗器的優(yōu)化方向可能會被誤導(dǎo)，無法找到全局最優(yōu)解[26]。

分別選取式（3）、式（5）、式（14）和式（15）作為超高壓電抗器多目標(biāo)優(yōu)化模型中的電感約束條件。其中，式（3）和式（5）是基于電磁原理添加結(jié)構(gòu)參數(shù)項得到，其MAPE和IMAPE的值較大，電感計算精度低；式（14）和式（15）是基于灰箱模型參數(shù)辨識得到，電感計算精度高?；趦苫蚁淠Ｐ蛥?shù)辨識前后公式優(yōu)化電抗器電感所得到的Pareto前沿分布如圖8所示。

圖8 兩公式參數(shù)辨識前后的Pareto前沿分布

從圖8可以看出，使用低精度原始公式優(yōu)化電抗器得到的Pareto前沿最優(yōu)解集分布不連續(xù)，偏離基于高精度公式的優(yōu)化方向，使用較低精度的模型

還會出現(xiàn)無法找到全局最優(yōu)解的問題，優(yōu)化進(jìn)程被誤導(dǎo)；隨著改進(jìn)經(jīng)驗公式精度提升，Pareto前沿最優(yōu)解集分布逐漸均勻，模型精度越高，得到的Pareto前沿最優(yōu)解集的全局性越好。

兩改進(jìn)經(jīng)驗公式的Pareto前沿分布對比如圖9所示?？梢钥闯?，使用最低誤差0.10%的電感計算模型優(yōu)化得到的Pareto前沿分布更加均勻，收斂精度更高，能夠最大限度地降低超高壓電抗器的生產(chǎn)成本和損耗。

圖9 兩種改進(jìn)公式下的Pareto前沿分布對比

4 實例驗證

使用灰箱模型B的電感計算式（15）優(yōu)化電抗器結(jié)構(gòu)。根據(jù)Pareto前沿最優(yōu)解集分布，設(shè)定生產(chǎn)成本和損耗兩個目標(biāo)函數(shù)相同的權(quán)重，得到超高壓電抗器均衡型的結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計結(jié)果見表5。

表5 多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計結(jié)果

Tab.5 Multi-objective optimization design results

由于仿真和最終制造工藝還存在一定誤差，因此工程上要求參數(shù)辨識模型計算超高壓電抗器電感的誤差不能超過1%。根據(jù)參數(shù)優(yōu)化結(jié)果繞制樣機(jī)進(jìn)行測試，超高壓空心電抗器樣機(jī)內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖10所示。

圖10 超高壓電抗器優(yōu)化設(shè)計樣機(jī)

電抗器現(xiàn)場樣機(jī)的測試結(jié)果見表6。可以看出，本文優(yōu)化方案設(shè)計的超高壓電抗器能夠滿足電感誤差在±1%以內(nèi)，實驗測量結(jié)果和仿真結(jié)果基本一致。與原設(shè)計相比，優(yōu)化后的電抗器裸導(dǎo)線質(zhì)量降低21.4%、損耗降低18.6%，證明該高精度電感計算模型可有效實現(xiàn)超高壓電抗器的多目標(biāo)優(yōu)化。

表6 超高壓電抗器樣機(jī)測試結(jié)果

Tab.6 Parameter design sheet of 2.5 Mvar reactor

5 結(jié)論

本文建立了電抗器電感計算的灰箱模型，使用改進(jìn)差分進(jìn)化算法辨識模型參數(shù)，根據(jù)給定的電抗器性能參數(shù)，使用多目標(biāo)優(yōu)化算法NSGA-Ⅱ，考慮電抗器電感和溫升的約束，得到超高壓電抗器的一組優(yōu)化設(shè)計結(jié)果，并完成實驗和數(shù)值模擬驗證，得到以下結(jié)論：

1）基于電磁原理修正了經(jīng)驗公式，使其電感計算誤差降低至1%左右。

2）使用先驗電磁原理提出了灰箱模型，并建立了改進(jìn)差分進(jìn)化算法，在10組樣本下得到了誤差為0.10%的電感計算模型。

3）使用0.10%誤差的電感計算模型優(yōu)化超高壓電抗器，優(yōu)化結(jié)果表明電抗器的電感值誤差為0.9%，低于工程上要求的1%誤差。同時，生產(chǎn)成本和損耗分別降低了21.4%、18.6%。

基于灰箱模型和數(shù)據(jù)驅(qū)動的電感參數(shù)辨識方法可使用類似電抗器的模擬和實驗測量結(jié)果，是一種動態(tài)、可更新和適應(yīng)性強(qiáng)的高精度電感計算模型獲取方法。

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Grey Box Model and Optimization for Inductance Calculation of EHV Reactors

Jin Liang1,2Zhu Dengfeng1,2Yang Qingxin1,2Zhang Junjie3Gong Dexin1,2

（1. State Key Laboratory of Reliability and Intelligence of Electrical Equipment Hebei University of Technology Tianjin 300400 China 2. Key Laboratory of Electromagnetic Field and Electrical Apparatus Reliability of Hebei Province Hebei University of Technology Tianjin 300400 China 3. Baoding Tianwei BaoBian Electric Co. Ltd Baoding 071056 China）

The error of the existing EHV reactor inductance analysis and empirical calculation formula is greater than 1% of the engineering requirements. When the inductance calculation error is large, the optimization result of the reactor will be poor. Based on the electromagnetic principle, the revised inductance calculation empirical formula is established to reduce the error to about 1%, and the identifiable inductance calculation grey box model based on the prior electromagnetic principle is established. Based on the inductance sample data set obtained by numerical simulation, by introducing the adaptive variation factor and the optimal individual, an improved differential evolution algorithm was established and the parameters of the grey box model were identified, and a high-precision inductance calculation model with an error of 0.1% was obtained. Using the NSGA-II algorithm to optimize the design of the ultra-high voltage reactor, the wire quality and loss of the reactor were reduced by 21.4% and 18.6%, respectively. The experiment proves the correctness of the grey box model of inductance calculation obtained by parameter identification and the effectiveness of the optimization method. The reactor inductance parameter identification method established in this paper provides a new theoretical and practical idea for high-precision inductance calculation.

EHV reactor, grey box model, differential evolution algorithm, parameter identification, few samples

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.220885

TM471

國家自然科學(xué)基金面上項目（51977148）、中央引導(dǎo)地方科技發(fā)展專項自由探索項目（226Z4503G）和國家自然科學(xué)基金重大研究計劃（92066206）資助。

2020-05-22

2022-08-03

金 亮 男，1982年生，博士，教授，研究方向為工程電磁場與磁技術(shù)、電磁場云計算和電磁無損檢測等。E-mail：jinlnet@gmail.com

祝登鋒 男，1997年生，博士研究生，研究方向為工程電磁場與磁技術(shù)。E-mail：202111401010@stu.hebut.edu.cn（通信作者）

（編輯 李冰）