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        Monoidal范疇的函子范疇

        2022-12-19 11:25:18,黃
        關(guān)鍵詞:定義

        馮 清 ,黃 菊

        (1.福建技術(shù)師范學(xué)院大數(shù)據(jù)與人工智能學(xué)院,福建福清 350300;2.閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,福建漳州 363000)

        1998 年,文獻(xiàn)[1]引入了monoidal 范疇,域K上的向量空間,群G的表示均是monoidal 范疇.文獻(xiàn)[2-4]中討論monoidal范疇的一般結(jié)構(gòu)理論、分類問題及不變量.馮清等[5]通過范疇的擴(kuò)張構(gòu)造兩類monoidal范疇并研究保持問題.通過函子范疇構(gòu)造monoidal范疇并進(jìn)一步討論保持問題.

        1 Monoidal范疇的相關(guān)概念

        Monoidal范疇可視為幺半群的范疇化,先回顧monoidal范疇的相關(guān)概念,具體參見文獻(xiàn)[1-4].記objD為范疇D的對象集,morD為范疇D的態(tài)射集.

        定義1Monoidal范疇是指范疇(D,?,I,α,l,r),其中D是范疇,?:D×D→D是一個雙函子(稱?為monoidal 積),α:(-?-) ?-→-?(-?-)是自然同構(gòu),I為范疇D中的對象(稱I為單位元),l:I?-→idD和r:-?I→idD是自然同構(gòu)且對任意A,B,C,D∈objD有交換圖,見圖1~2(分別稱為五邊形公理和三角形公理).

        圖1 五邊形公理交換圖Fig.1 Commutative diagrams of pentagon axiom

        圖2 三角形公理交換圖Fig.2 Commutative diagrams of triangle axiom

        特別地,若在monoidal 范疇(D,?,I,α,l,r) 中,α=id,l=r=id,即對任意A,B,C∈objD,有(A?B) ?C→A?(B?C),I?A=A=A?I,則稱(D,?,I,α,l,r)為嚴(yán)格monoidal范疇.

        定義2設(shè)(D,?,I,α,l,r)是monoidal 范疇,若β:-?-→-?op-是自然同構(gòu),且對于任意A,B,C∈objD,有交換圖圖3.則稱(D,?,I,α,l,r)為辮子monoidal范疇.

        圖3 辮子monoidal范疇交換圖Fig.3 Commutative diagrams of braided monoidal category

        定義3設(shè)(D,?,I,α,l,r)是monoidal 范疇,若γ:-?-→-?op-是自然同構(gòu),γ2=id,且對任意A,B,C∈objD,有交換圖,見圖4.則稱(D,?,I,α,l,r)為對稱monoidal范疇.

        圖4 對稱monoidal范疇交換圖Fig.4 Commutative diagrams of symmetric monoidal category

        2 通過函子范疇構(gòu)造monoidal范疇

        函子范疇是兩個范疇間的函子所具有的范疇結(jié)構(gòu),函子范疇的對象是函子,態(tài)射為函子間的自然變換.為了引用方便,先來回顧函子范疇的定義,參見文獻(xiàn)[6].

        定義4設(shè)C是小范疇,D是范疇,定義函子范疇DC如下:DC的對象集F:C→D為共變函子.DC的態(tài)射集τ:F→G為自然變換.

        合成是自然變換的合成.

        其次,要證(D,?,I,α,l,r)是對稱monoidal范疇,則也是.只需證.這是因為,同可定義,再由γ2=1可得,從而也是對稱monoidal范疇.

        例1設(shè)k是域,G是有限群,V是k上G-分次向量空間.定義一個新范疇D,其中對象集為objD={Vg|g∈G},態(tài)射集為:若g=h,則morD(Vg,Vh)=k;若g≠h,則morD(Vg,Vh)=0.合成為域中的乘積.定義?如下:Vg?Vh=Vgh,α?β=αβ,其中Vg,Vh∈objD,α,β∈morD.取D中單位元為V1,1 為G的單位元.則對任意Vf,Vg,Vh∈objD有(Vf?Vg) ?Vh=Vfgh=Vf?(Vg?Vh),V1?Vf=Vf?V1=Vf.所以(D,?,V1)為嚴(yán)格monoidal范疇.

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