祝紅梅

(菏澤市定陶區(qū)第一中學(xué))

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中,圓錐曲線扮演著重要的角色,涉及圓錐曲線的問題既考查基礎(chǔ)知識,也對綜合能力有一定的要求,應(yīng)受到學(xué)生的重視和關(guān)注.與圓錐曲線有關(guān)的軌跡方程問題作為一類基礎(chǔ)問題,解答的方法和思路靈活多變,需要學(xué)生掌握并熟練運用.本文主要介紹求解圓錐曲線相關(guān)軌跡方程問題的三種不同方法,并結(jié)合具體例題分析各種方法的解題思路與步驟,以便于學(xué)生學(xué)習(xí)與思考.

1 定義法

定義法是常見的一種方法,具體是指分析軌跡運動特點,推斷滿足特點的曲線類型,再設(shè)出曲線的標準方程并結(jié)合條件求解基本量.運用該方法求解圓錐曲線的軌跡問題的一般步驟如下.

1)分析題意,根據(jù)幾何性質(zhì)找出運動軌跡具備的幾何數(shù)量關(guān)系;

2)憑借幾何數(shù)量關(guān)系推斷曲線類型,如橢圓上的動點到兩個焦點的距離之和是定值;

3)設(shè)出曲線的標準方程式,代入所給條件求出基本參數(shù),從而得到具體的軌跡方程.

2 相關(guān)點法

相關(guān)點法本質(zhì)上是建立動點坐標與其他已知點坐標之間的關(guān)系式,將動點的坐標代入已知點所在的具體方程式中,得到軌跡方程.相關(guān)點法也是解題過程中較為常見的方法,一般解題的步驟如下.

1)假設(shè)所求點的坐標為(x,y),結(jié)合問題所給條件,找出動點(x,y)與其他點坐標(x0,y0)之間的數(shù)量關(guān)系式;

2)將(x,y)代入點(x0,y0)對應(yīng)的方程式中,得到與x,y有關(guān)的方程,從而得到問題所求的軌跡方程.

3 參數(shù)法

參數(shù)法主要是對未知參數(shù)進行假設(shè),用假設(shè)的參數(shù)表示所求的動點坐標x,y,根據(jù)給出的條件列出與參數(shù)相關(guān)的等式,消去參數(shù)得到x與y之間的關(guān)系式即為問題所求的軌跡方程.運用參數(shù)法求解圓錐曲線相關(guān)的軌跡方程問題,一般解題步驟如下.

1)分析問題,選擇合適的參數(shù)進行假設(shè);

2)結(jié)合所給條件,分別求出x,y對應(yīng)的參數(shù)表達式,用假設(shè)的參數(shù)表示動點(x,y);

3)消去參數(shù),運算得到x,y之間的關(guān)系式,即問題所求的具體軌跡方程.

通過上述例題分別對定義法、相關(guān)點法以及參數(shù)法求軌跡方程進行了具體分析,不同解法對應(yīng)不同的求解思路與步驟,面對不同情形的設(shè)問應(yīng)采取合適的解題方法.盡管方法不同,但求解圓錐曲線的軌跡方程問題都是幾何性質(zhì)與代數(shù)運算的綜合運用,同時也提醒學(xué)生熟悉并掌握常見的幾何性質(zhì)、曲線定義、向量坐標運算等知識.只有熟悉基礎(chǔ)知識和基本方法,才能正確高效地求解圓錐曲線相關(guān)的軌跡問題.

鏈接練習(xí)

1.已知點A(0,7),B(0,－7),C(12,2),以點C為一個焦點,作過A,B的橢圓,求橢圓的另一個焦點F的軌跡方程.

2.在平面直角坐標系xOy中,拋物線y＝x2上異于坐標原點O的兩不同動點A,B滿足AO⊥BO,求△AOB的重心G的軌跡方程.