王遠(yuǎn)征

(廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)南校區(qū))

高等院校強(qiáng)基計(jì)劃承載著選拔優(yōu)秀人才的重任,所以強(qiáng)基校測(cè)試題關(guān)注對(duì)考生數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查.這些試題通常短小精悍、入口寬,給了考生放飛思維的空間,試題往往能用多種方法解答,能客觀地評(píng)價(jià)考生思維的靈活性、深刻性和創(chuàng)造性,通過(guò)對(duì)試題的解答能很好地考查學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力.本文以2022年南京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃校測(cè)第2題為例,進(jìn)行多角度探究,介紹當(dāng)我們面對(duì)一道陌生的問題時(shí),根據(jù)問題特征展開聯(lián)想,從而找到解題突破口、解決問題的思維過(guò)程.

1 分析與探究

因?yàn)?sinα－sinβ)2≥0,(cosα＋cosβ－1)2≥0,所以由非負(fù)性得

此處逆向思考,有意識(shí)地將“常數(shù)3”表示成式②的形式,目的是為用配方法將原方程轉(zhuǎn)化為2個(gè)非負(fù)數(shù)和的形式,創(chuàng)造條件,為建立二元方程組解題鋪平道路,把陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題來(lái)解決.

解法2 利用和差化積、半角公式、配方法和非負(fù)數(shù)性質(zhì)求解.由題意可得

解法3 當(dāng)我們從該方程的幾何意義來(lái)思考,可以用如下數(shù)形結(jié)合的方法解答本題.

由題意可得

因數(shù)思形是一種常用的化歸思想,即通過(guò)觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,聯(lián)想它的幾何意義,然后借助幾何圖形的直觀性求解.

此題的解答遠(yuǎn)不止以上三種方法,有興趣的讀者可以進(jìn)一步深入地觀察、廣泛地聯(lián)想,調(diào)動(dòng)所學(xué)知識(shí)來(lái)解答,這對(duì)訓(xùn)練思維的靈活性、深刻性、創(chuàng)造性大有裨益.此題反映出高校強(qiáng)基計(jì)劃試題在很大程度上體現(xiàn)和落實(shí)對(duì)核心素養(yǎng)的考查,這些核心素養(yǎng)包括直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)抽象.只有在平時(shí)注重深度的學(xué)習(xí)與思考,強(qiáng)化感悟與內(nèi)化,才能形成這些能力,積淀良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2 變式

數(shù)學(xué)問題的表現(xiàn)形式雖然千姿百態(tài),但本質(zhì)都是數(shù)與數(shù)、數(shù)與形、形與形之間的和諧關(guān)系.解題者只有在仔細(xì)觀察、深入思考的前提下,在數(shù)與數(shù)、數(shù)與形、形與形這些數(shù)學(xué)對(duì)象之間建立合理的聯(lián)系,即實(shí)現(xiàn)有效的相互轉(zhuǎn)化,才能使陌生問題熟悉化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、抽象問題具體化.對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行多角度深入的思考是提升我們思維品質(zhì)、形成良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效途徑.如下變式練習(xí),供讀者練習(xí).

變式1 已知α,β是方程x2＋(2m－1)x＋4－2m＝0的兩個(gè)根,且α＜2＜β,求m的取值范圍.

解法1 依題意,因?yàn)橛筛c系數(shù)的關(guān)系可得α＋β＝－2m＋1,αβ＝4－2m,又α＜2＜β,所以α－2＜0,且β－2＞0,于是(α－2)(β－2)＜0,即αβ－2α－2β＋4＜0,即4－2m＋2(2m－1)＋4＜0,解得m＜－3.

解法2 記f(x)＝x2＋(2m－1)x＋4－2m,依題意知該拋物線與橫坐標(biāo)軸有2 個(gè)不同的交點(diǎn)(α,0),(β,0),且拋物線開口向上.又α＜2＜β,所以f(2)＜0,即4＋2(2m－1)＋4－2m＜0,解得m＜－3.

圖1

由于對(duì)同一問題觀察的角度不同,聯(lián)想的方向不同,因此就出現(xiàn)了多種不同的解題方法,但都能考查考生的觀察能力、聯(lián)想能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).