賀鳳梅
(新疆維吾爾自治區(qū)伊犁州鞏留縣高級中學 835400)
高考和模考都經(jīng)常針對圓錐曲線的對稱性命題,既有大題也有小題,理論是相近的,但運算卻有明顯差異.我們可以利用角平分線性質、二倍角、到角等知識來解答,只有比較才能發(fā)現(xiàn)自己喜歡的簡捷解法.下面以一道2022年??碱}為例,展示解法,并推廣出一般情形.
(1)求C的方程;
(2)已知點F(1,0),直線l:x=4與x軸交于點D,直線AM與l交于點N.是否存在常數(shù)λ,使得∠MFD=λ∠NFD?若存在,求λ的值;若不存在,說明理由.
解析幾何中有關角度問題有很多解決策略,可以轉化為斜率來求解;如果涉及到求參數(shù)的值,突破策略是由特殊情況求解,求出參數(shù)的值,一般情況驗證成立即可;如果是2倍角關系,可以采用角平分線的性質、到角公式或正切的二倍角公式來求解;在具體的求解過程中,可以直接設直線的斜率,也可以借助于設其中一個點的坐標,聯(lián)合直線和曲線方程來求解;還可以借助于圓錐曲線上的點,采用設而不求的方法解決.此類題入口寬,多視角、多方法均可完成解答.
第(2)問,由(1)可知,F(xiàn)1(1,0)為其右焦點.
根據(jù)對稱性,不妨設點M在x軸上方,則點N也在x軸上方.
故∠MFD=2∠NFD,因此存在實數(shù)λ=2,使得∠MFD=λ∠NFD.
據(jù)此,可以猜測實數(shù)λ=2.以下進行具體論證.
視角1 直接設AM的斜率求解.
(4k2+3)x2+16k2x+16k2-12=0.
在y=k(x+2)中,令x=4,得
y=6k,即N(4,6k).
所以直線MF:4kx+(4k2-1)y-4k=0.
點N(4,6k)到MF的距離
而點N到DF(即x軸)的距離為6k,
所以NF是∠MFD的角平分線.
即∠MFD=2∠NFD.
因此存在實數(shù)λ=2,使得∠MFD=λ∠NFD.
評注此解法屬于常規(guī)解法,根據(jù)特殊位置的求解,猜測是二倍關系,所以考慮點N在∠MFD的角平分線上,通過上面的計算得到了驗證.
解法2(借助正切二倍角公式)
由正切二倍角公式,得
所以tan∠MFD=tan2∠NFD.
結合圖形知,∠MFD,∠NFD均為銳角,
所以∠MFD=2∠NFD.
因此,存在實數(shù)λ=2,使得∠MFD=λ∠NFD.
評注由數(shù)形結合可知,兩角的其中一邊均為x軸的正半軸,所以滿足tan∠MFD=kMF,tan∠NFD=kNF,因此要找兩角的關系,可通過兩角的正切關系來判斷,進一步通過對應的斜率關系來判斷,找到了解決的思路和關鍵點,問題也就迎刃而解了.
而tan∠NFD=2k,
所以tan∠MFN=tan∠NFD.
結合圖形知,∠MFN,∠NFD均為銳角,
所以∠MFN=∠NFD.
因此NF是∠MFD的角平分線.
即∠MFD=2∠NFD.
故存在實數(shù)λ=2,使得∠MFD=λ∠NFD.
評注解法3中用到了到角公式,現(xiàn)行教材已經(jīng)不涉及,不過老師們還是可以適當了解,針對程度好的學生,也可以適時介紹,拓寬學生的解題思路.
視角2借助于點N的坐標及正切的二倍角公式求解.
(t2+27)x2+4t2x+4t2-108=0.
由斜率公式,得
即∠MFD=2∠NFD.
因此存在實數(shù)λ=2,使得∠MFD=λ∠NFD.
視角3 借助于點M的坐標求解.
由正切的二倍角公式,得
①
即∠MFD=2∠NFD.
因此存在實數(shù)λ=2,使得∠MFD=λ∠NFD.
評注此解法是設點M的坐標,表示直線AM的方程,將點N的坐標求出,同時借助于點M在曲線C上,滿足曲線方程,不需要聯(lián)立而將兩角的正切值用點M的坐標巧妙表示,成功求解,值得借鑒和運用到解題中去.
文中多視角、多方法解答了此題,但如果止步于此,也只是解答了一道題.進一步思考,此題能不能推及一般呢?在橢圓中成立,雙曲線中是否也有相同或相似的結論呢?以下通過推導來進行驗證.
利用解法1推導與證明一般情形如下:
AM:y=k(x+a),M(x1,y1),
(a2k2+b2)x2+2a3k2x+a2(a2k2-b2)=0.
利用斜率公式求得
由正切的二倍角公式,得
即∠MFD=2∠NFD.
因此存在實數(shù)λ=2,使得∠MFD=λ∠NFD.
利用解法1推導與證明一般情形如下:
AM:y=k(x+a),M(x1,y1),
(b2-a2k2)x2-2a3k2x-a2(a2k2+b2)=0.
利用斜率公式求得
由正切的二倍角公式,得
即∠MFD=2∠NFD.
因此存在實數(shù)λ=2,使得∠MFD=λ∠NFD.
在高中數(shù)學新課改全面推行的形勢下,高中數(shù)學學科教學內容、模式和方法也是當代教育研究的熱點.為了實現(xiàn)數(shù)學教學的時效性,教師必須做到全方位思索,多角度為學生提供解題思路.而一題多解是目前高中數(shù)學教學所研究的方向之一,且一題多解思維屬于創(chuàng)建“變式教學”體系,在該過程中,學生的數(shù)學思維也被發(fā)散、開放,思維得到了有效地鍛煉和提高.
另外,對于一些具體問題,我們可以通過推廣拓展至一般情形,從而深入地分析和解決問題,能很好地將知識系統(tǒng)化.