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        一道不等式證明題的多角度探究

        2022-12-19 07:58:02強(qiáng)
        數(shù)理化解題研究 2022年34期
        關(guān)鍵詞:變形素養(yǎng)數(shù)學(xué)

        岳 強(qiáng)

        (廣東省深圳市華僑城中學(xué) 518053)

        現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升,數(shù)學(xué)解題能力在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升方面至關(guān)重要.“一題多解”作為問題解法變式,是長(zhǎng)期存活于中國(guó)本土文化土壤的中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的小策略,效果真實(shí)有效.下面我們通過探究一道不等式的多種證明方法,去感受百川到海、殊途同歸的美妙.

        1 試題呈現(xiàn)

        設(shè)函數(shù)f(x)=ex,g(x)=lnx.

        (1)若f(x)≥ax+1,求a的值;(a=1,解法略)

        (2)證明:f(x)+x·g(x)>x(1+x).

        2 解法探究

        解法1(構(gòu)造函數(shù)找最值)構(gòu)造函數(shù)

        g(x)=ex+xlnx-x(1+x),

        則g′(x)=ex+lnx-2x.

        再令h(x)=ex+lnx-2x,

        所以g′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

        由g′(1)=e-2>0,

        設(shè)其為x0,則有ex0+lnx0-2x0=0.

        顯然函數(shù)g(x)在x0取得最小值.

        即g(x)≥g(x0)=ex0+x0lnx0-x0(1+x0)

        =(1-x0)(x0-lnx0).

        即ex+xlnx>x(1+x),不等式得證.

        評(píng)注這種方法思路常規(guī),但最不“省力”.直接構(gòu)造函數(shù),但是構(gòu)造的函數(shù)g(x)極值點(diǎn)不易求得,要得到最值就要用到“設(shè)而不求”的思想,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到原函數(shù)的最值表達(dá),此策略通常被稱為“零點(diǎn)虛設(shè)”,這是解決不等式的一種重要方法.

        解法2 (“對(duì)數(shù)單身狗”分離對(duì)數(shù))將原不等式兩邊同時(shí)除以x,只需證

        由ex≥x+1>x知,函數(shù)f(x)在x=1處取得最小值且f(1)=e-2>0.

        所以f(x)>0.

        即ex+xlnx>x(1+x),不等式得證.

        評(píng)注在證明含對(duì)數(shù)函數(shù)的不等式時(shí),將對(duì)數(shù)型的函數(shù)“獨(dú)立分離”出來,這樣再對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)時(shí),就不含對(duì)數(shù)了,只需一次求導(dǎo)就可以求出它的極值點(diǎn),從而避免了多次求導(dǎo).這種相當(dāng)于讓對(duì)數(shù)函數(shù)“孤軍奮戰(zhàn)”的變形過程,我們形象地稱之為“對(duì)數(shù)單身狗”.

        解法3(“指數(shù)找朋友”結(jié)合指數(shù))原不等式變形為ex>x(1+x)-xlnx,只需證

        所以f(x)<1,不等式得證.

        評(píng)注在證明含指數(shù)函數(shù)的不等式時(shí),將指數(shù)型的函數(shù)“結(jié)合”起來,即讓指數(shù)型的函數(shù)乘以或除以一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù),這樣再對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)時(shí),只需一次求導(dǎo)就可以求出它的極值點(diǎn),從而避免了多次求導(dǎo).這種相當(dāng)于讓指數(shù)函數(shù)尋找“合作伙伴”的變形過程,我們形象地稱之為“指數(shù)找朋友”.

        即ex>x2-xlnx+x,不等式得證.

        A. (-∞,1-e] B. (-∞,-3]

        C. (-∞,-2] D.(-∞,2-e2]

        即證ex-x2-1>0.

        令g(x)=ex-x2-1(x≥0),

        g′(x)=ex-2x,

        再令h(x)=ex-2x,

        則h′(x)=ex-2,令h′(x)=0,

        解得g′(x)在x=ln2處取極(最)小值.

        即g′(x)≥g′(ln2)=2-2ln2>0.

        所以函數(shù)g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增.

        則當(dāng)x>0時(shí),g(x)=ex-x2-1>g(0)=0.

        所以ex+xlnx>x(1+x),不等式得征.

        評(píng)注對(duì)于“切線不等式”及其變式的運(yùn)用,可以給我們證明不等式提供一些有效的思路,尤其是含有l(wèi)nx或ex的超越函數(shù)不等式證明,在解決具體問題時(shí)應(yīng)根據(jù)這兩類函數(shù)的特點(diǎn)及結(jié)構(gòu)特征,對(duì)不等式實(shí)施靈活變形,找到突破口.

        拓展2(2021年深圳市南山區(qū)高二期末質(zhì)檢)已知定義在R上的函數(shù)f(x)=ex-ax(a∈R).(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

        (1)求f(x)的極值;(解答略)

        利用“指數(shù)找朋友”,構(gòu)造函數(shù)

        故g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減.

        所以當(dāng)x>0時(shí),g(x)

        不等式得證.

        通過近幾年的高考試題分析,不等式與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合的綜合問題既是考查的熱點(diǎn),也是重點(diǎn).此類問題綜合性較強(qiáng),融合了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)為一體,能有效考查綜合解題能力.除了涉及函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想之外,還有“設(shè)而不求”“以直代曲無限逼近”等重要方法,對(duì)學(xué)生的綜合素養(yǎng)要求較高,本文介紹的幾種通法,可以為學(xué)生在證明不等式選擇解題方向時(shí)提供一定的借鑒與參考.

        探求一道優(yōu)質(zhì)問題的一題多解,不僅可以有效鞏固學(xué)生在同一知識(shí)體系中學(xué)到的基礎(chǔ)知識(shí),訓(xùn)練基本技能,而且還能幫助學(xué)生跳出這一知識(shí)體系,到其他知識(shí)體系中尋求相關(guān)性.學(xué)生在一題多解的過程中將知識(shí)靈活運(yùn)用,觸類旁通,從不同角度探尋解決問題的思路,能夠拓寬學(xué)生的視野,鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力.除了提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,還發(fā)展了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),有利于提高學(xué)生的綜合素質(zhì).教師在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)從解法出發(fā),倡導(dǎo)一題多解的策略,拓寬學(xué)生的知識(shí)面,讓學(xué)生核心素養(yǎng)真正落地.

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