薛 瀟 張君華, 孫 瑩 權鐵漢

* (北京信息科技大學機電工程學院,北京 100192)

? (北京信息科技大學理學院,北京 100192)

引言

蜂窩是一種有序棱柱狀胞元組成的多孔材料,具有制造所需耗材少、結構穩(wěn)定性好的優(yōu)勢.通過對蜂窩胞元進行設計,蜂窩可以實現(xiàn)負泊松比[1]、負剛度[2]等力學性能,并且可以實現(xiàn)隔熱[3]、隔聲[4]和隔振[5]等功能.蜂窩夾層板的力學特性很大程度上取決于蜂窩胞元的形狀和相對密度,國內外學者對于蜂窩夾層板芯層的研究成果已經非常豐富.Gbison 等[6]對正六邊形蜂窩夾層板進行系統(tǒng)的研究,提出了計算蜂窩結構芯層彈性模量的經典等效理論.富明慧等[7]系統(tǒng)地對蜂窩芯等效參數(shù)進行了綜述.楊穩(wěn)等[8]從理論公式推導、均勻化法及有限元法等方面對蜂窩芯層等效參數(shù)的研究進行分類論述.樂京霞等[9]給出線彈性范圍內蜂窩芯層的箭型負泊松比蜂窩夾層板等效力學參數(shù)理論公式,并通過拉伸試驗驗證了公式的準確性.Liu 等[10]設計并制備一種新型的Y 型芯全復合材料夾層結構,并研究了相對密度對力學性能的影響.Ru 等[11]設計了一種具有混凝土狀增強層的蜂窩復合材料,具有比蜂窩更高的峰值載荷和更好的能量吸收能力.Albert 等[12]研究了具有不同相對密度的13 種二維蜂窩芯胞元的力學性能和變形模式.Zwab 等[13]提出一種可定制有效彈性模量的混合分層方形蜂窩,分析了結構參數(shù)和相對密度對有效彈性模量的影響.

傳統(tǒng)正六邊形蜂窩在面內變形的力學行為主要是直壁和斜壁的拉壓和彎曲變形,直壁間的節(jié)點受力很容易出現(xiàn)應力集中的問題,將直壁換成曲壁后能在一定程度上改善這個問題.Lee 等[14]發(fā)現(xiàn)啄木鳥的喙在微觀結構上是由波浪形曲線拼接而成的多孔結構,這種彎曲的邊界能保護啄木鳥頭部.Yang等[15]將正六角形蜂窩等幾種蜂窩的直壁替換成波浪形的曲壁,發(fā)現(xiàn)替換后的蜂窩具有更好的耐撞性.Deng 等[16]提出一種負泊松比正弦彎曲蜂窩結構,并分析其力學性能.發(fā)現(xiàn)正弦彎曲蜂窩在面內沖擊下具有較好的耐撞性能.

曲壁蜂窩不僅能緩解直壁的應力集中問題,還有負剛度特性,將蜂窩的直壁替換為正弦屈曲梁的負剛度蜂窩在近年來受到廣大學者的關注,這種蜂窩可以經受壓縮加載和卸載的多次重復循環(huán),并且具有很高的能量吸收性能和隔振性能.Qiu 等[17]發(fā)現(xiàn)了負剛度蜂窩的可重用性,并可以提供可定制的、近乎理想的沖擊隔離.Restrepo 等[18]發(fā)現(xiàn)通過參數(shù)設計,負剛度蜂窩可以達到和正六邊形蜂窩相同的比吸收能和平臺應力值.Debeau 等[19]通過試驗發(fā)現(xiàn)負剛度蜂窩可以提供近理想的加速度沖擊隔離,并且受沖擊后變形可完全恢復.Chen 等[20]設計了一種梯度負剛度GNS 蜂窩結構,通過隔振試驗發(fā)現(xiàn)GNS 蜂窩比普通負剛度蜂窩具有更好的減振性能.

蜂窩夾層板因其優(yōu)異的力學特性,通常用于對材料要求苛刻的航空航天領域中.結構的振動是飛行器飛行過程中不可避免的,對振動問題的忽視往往會造成災難性的后果,因此研究蜂窩結構的非線性振動問題具有重要意義.Di 等[21]研究了蜂窩單元的不同幾何參數(shù)對負泊松比夾層板自由振動響應的影響.Li 等[22]比較了泡沫鋁夾芯圓柱殼、傳統(tǒng)蜂窩夾芯圓柱殼和負泊松比六角形蜂窩夾芯圓柱殼在爆炸荷載作用下的動力學響應.Wu 等[23]對鋁蜂窩夾層板在冰楔沖擊下的動態(tài)響應和能量吸收特性進行了數(shù)值和實驗研究.Ma 等[24]在隨機振動載荷下對復合蜂窩夾芯板進行了疲勞試驗,并提出一種預測復合蜂窩夾層結構在隨機振動載荷下的疲勞壽命的方法.Zhang 等[25]建立了旋轉整體葉盤的非線性運動控制方程.研究了調諧和失諧整體葉盤的自由振動和模態(tài)局部化現(xiàn)象.陳永清等[26]運用Hoff 理論對類蜂窩夾層結構進行振動特性分析,計算類蜂窩夾層結構在四邊簡支邊界條件下的振動固有頻率方程解.對于蜂窩夾層板振動特性的研究,大多都集中于理論推導并運用有限元方法進行驗證.進行振動試驗的較少.Arunkumar 等[27]對蜂窩夾層結構自由振動和受迫振動進行了數(shù)值和實驗研究,數(shù)值得到的結果與實驗結果吻合良好.閆昭臣等[28]利用振動臺測定了具有3 種泊松比的蜂窩夾層板的固有頻率,并對夾層板進行了沖擊試驗.何貴勤等[29]對撓性航天器太陽翼進行了振動試驗,經試驗測定的振動特性與理論模型相一致,楊雨恒等[30]利用錘擊法測定了自由邊界的鋁制蜂窩夾層板的固有頻率.

本文基于以上的研究,采取力學等效方法推導曲壁蜂窩芯的等效力學參數(shù),建立曲壁蜂窩夾層板的動力學模型,計算得出板的固有頻率,并應用有限元軟件對動力學模型進行驗證.通過3D 打印曲壁蜂窩夾層板,對蜂窩夾層板進行脈沖激勵試驗,定頻駐波試驗和沖擊試驗,試驗結果驗證理論模型,并研究了曲壁蜂窩的抗沖擊性能.

1 曲壁蜂窩夾層板動力學模型建立及求解

本文提出一種新型曲壁蜂窩芯夾層板,夾層板結構如圖1 所示,蜂窩芯胞元由可變弧長、弧度的圓弧和支撐圓弧的直壁組成.

圖1 曲壁蜂窩夾層板Fig.1 Curved-wall honeycomb sandwich plate

1.1 曲壁蜂窩芯的等效彈性參數(shù)計算

本節(jié)推導曲壁蜂窩胞元的面內等效彈性參數(shù),曲壁蜂窩胞元形狀如圖2 所示,θ 為圓弧所對應弧度,R為圓弧半徑,b為單胞厚度,單胞直壁長度為 2h,單胞在x方向長度為L x,單胞在y方向長度為 2Ly.

圖2 曲壁蜂窩單胞Fig.2 Cell of curved-wall honeycomb

從單胞中選取曲梁為研究對象如圖3 所示,曲梁材料楊氏模量為Es,梁截面慣性矩為I,可計算得不受外力時單胞在x方向的長度為

圖3 曲壁蜂窩的曲梁Fig.3 Curved beam of curved-wall honeycomb

在y方向的長度為

彎矩是導致曲梁變形的主要因素,正應力和切應力導致的曲梁變形在本文中忽略不計.當曲梁受到y(tǒng)方向加載時,曲梁的受力情況如圖4(a)所示.假設曲梁B點受到 由直梁 作用的y方向的 力F,則A和D兩點受到大小為F/2 的剪力,受力后A,B,D點轉角為0,弧BD受力關于中點C對稱,故C點所受彎矩為0.A和D所受彎矩

圖4 蜂窩曲梁受力分析Fig.4 Force analysis of honeycomb curved beam

選取弧B CD為研究對象,弧B C和弧C D上的彎矩是關于弧度 φ 和? 的函數(shù)M BCy(φ) 和MCDy(?)

利用單位載荷法計算在y方向加載時Ly的位移變化 ?yy和L x的位移變化 ?yx

當曲梁受x方向的載荷時,受力情況如圖4(b)所示.可求出曲梁在x方向加載時Ly的位移變化 ?xy和L x的位移變化 ?xx

曲壁蜂窩芯在y方向上的應力和應變分別為

蜂窩芯在z方向上的深度為t,可計算出蜂窩芯在y方向上的等效彈性模量

同理可求出蜂窩芯在x方向上的等效彈性模量

曲壁蜂窩芯在y方向和x方向上的等效泊松比分別為

曲梁在y方向加載后,最大剪切應力發(fā)生在曲梁中心點B,剪應力大小可表示為

剪應變用y方向位 移?yy和z方向的深度t表示為

可得到y(tǒng)方向的剪切模量

曲壁蜂窩芯作為輕質多孔材料,相對密度是多孔材料的一項重要參數(shù),其相對密度表示為

1.2 懸臂曲壁蜂窩夾層板的模型及固有頻率求解

蜂窩夾層板這類輕質材料結構通常用于航空航天等領域,工作環(huán)境經常為懸臂邊界,故本文選擇懸臂邊界下的曲壁蜂窩夾層板,研究其振動特性,懸臂邊界條件下曲壁蜂窩夾層矩形板的模型如圖5 所示,固定端為夾層板的ob邊,其余三邊均為自由邊界.在曲壁蜂窩夾層板的中面內建立平面直角坐標系xOy,z軸通過坐標原點垂直于中面豎直向上.曲壁蜂窩夾層矩形板x方向長度為a,y方向長度為b.曲壁蜂窩夾層板由上下兩層厚度為hf的蒙皮和厚度為hc的芯層組成,板受到z方向的均布載荷p0,假設上下蒙皮和芯層緊密黏結.

圖5 懸臂邊界條件下曲壁蜂窩夾層板Fig.5 Cantilever curved-wall honeycomb sandwich plate

選取曲壁蜂窩夾層板的基體材料為聚乳酸(PLA),其彈性模量為Es,密度為 ρs,泊松比為 νs,剪切模量為Gs.曲壁蜂窩夾層板發(fā)生自由振動時動能可以表示為

勢能表示為

其中u,ν,w分別為板材中面(即z=0)上任意一點沿x,y,z方向上的位移,?x和 ?y分別為曲壁夾層板中面的法線相對于x軸和y軸的轉角.根據(jù)經典板理論,位移場中各函數(shù)的表達式為

曲壁蜂窩夾層板的應變分量可表示為[31]

曲壁蜂窩夾層板為各向異性,其本構方程可表示為如下形式[31]

式中,上角標k=1,3 表示曲壁蜂窩夾層板的上下蒙皮,k=2 表示曲壁蜂窩夾層板的曲壁蜂窩芯,剛度系數(shù)具體表達形式為

利用Chebyshev-Ritz 法求解懸臂板的固有頻率,假設夾層板的橫向振動位移和轉角位移函數(shù)表達式為[32]

式中,U(x,y),V(x,y),W(x,y),Φx(x,y),Φy(x,y) 均表示振型函數(shù),這些振型函數(shù)可以用Chebyshev 函數(shù)展開為

式中,U mn,Vmn,Wmn,Φxmn,Φymn為待定系數(shù),其中

l階的第一類Chebyshev 多項式可寫為

將式(28)～式(31)代入動能和勢能表達式(25)和式(26)中,在積分域中積分,可得到曲壁蜂窩夾層板的最大動能Tmax和最大勢能Umax.函數(shù) Π=Umax?Tmax,令

式(32)可轉為以下矩陣形式

式中,ω 為固有頻率,K和M分別表示剛度矩陣和質量矩陣.d表示特征向量,可寫為

Chebyshev 法是一種截斷法,為了權衡收斂性和運算效率,利用該方法求解曲壁蜂窩夾層板的固有頻率時需要找到一個合適的截斷階數(shù).通過計算不同截斷階數(shù)下系統(tǒng)的第一階固有頻率,發(fā)現(xiàn)在截斷階數(shù)為7 時,曲壁蜂窩夾層板第一階固有頻率基本收斂 (圖6).

圖6 不同截斷數(shù)下夾層板的第一階固有頻率Fig.6 The first natural frequency of the sandwich plate with different truncation orders

2 曲壁蜂窩夾層結構振動試驗

搭建如圖7 所示的懸臂板振動試驗平臺.測量曲壁蜂窩夾層板各點在掃頻過程的激勵隨頻率的變化,計算出頻響曲線,并與理論模型和有限元模型得到的結果做對比.

圖7 振動試驗平臺Fig.7 Vibration test platform

采用極光爾沃公司的A8S 型3D 打印機打印試驗用的曲壁蜂窩夾層板,材料選取聚乳酸PLA.3D 打印機精度的限制導致打印誤差,制備試件的微觀組織存在材料不均勻的問題,因此打印后材料的力學特性與基材存在一定差異.針對這一問題,利用3D 打印機制作了拉伸試樣,并利用萬能試驗機進行拉伸試驗,萬能試驗機和拉伸試件如圖8 所示.試驗獲得了材料應力?應變曲線如圖9 所示,經計算得到3D 打印后材料的楊氏模量約為1660 MPa,PLA的泊松比為0.2[31],密度為12.5 g/mm3.制備的試件曲壁半徑R=20 mm,直壁高h=5 mm,曲壁弧度θ=π/6,蒙皮厚度hf=1.5 mm,芯層厚度hc=12 mm,單胞在x軸方向長度Lx=40 mm 在y軸方向長度Ly=17.36 mm,壁厚b=2 mm,制備的夾層板長320 mm,寬173.58 mm,厚15 mm.

圖8 準靜態(tài)拉伸試驗及試樣Fig.8 Quasi-static tensile test and test specimens

圖9 試驗測得的試樣的應力?應變曲線Fig.9 Stress-strain curves from test

搭建的振動測試平臺主要由杭州億恒振動控制公司的MP102 型功率放大器、INV3062 T 型信號采集儀和航天希爾公司的L620 M 型振動臺組成,加速度傳感器采用奇石樂公司的INV-9828 型加速度傳感器.試驗工況如圖10 所示,應用夾具和螺栓螺母將蜂窩夾層板固定到振動臺上.在曲壁蜂窩夾層板的激勵端、中間端、自由端、角端和側端放置加速度傳感器,分別測量曲壁蜂窩夾層板面外和面內橫向方向的響應.

圖10 振動試驗工況及測點位置Fig.10 Vibration test condition and position of test points

為了測量曲壁蜂窩芯的隔振性能,利用3D 打印機制備如下曲壁蜂窩結構試件: 曲壁半徑R=40 mm,直壁高h=5 mm,曲壁弧度 θ=π/6,芯層厚度hc=12 mm,壁厚b=2 mm 的曲壁蜂窩芯,隔振試驗工況如圖11 所示,在激勵端和曲壁蜂窩芯頂端放置了加速度傳感器以測量沖擊激勵信號和響應信號.

圖11 蜂窩芯振動試驗工況及測點位置Fig.11 Conditions of honeycomb core vibration test and position of test points

3 有限元模型的建立

為了模擬曲壁蜂窩結構在振動臺上的動力學響應,使用有限元法求解器ABAQUS 進行了模擬.在有限元模型中,選取的網(wǎng)格為1 0 節(jié)點六面體C3D10 單元,建立了如圖12 所示的有限元模型,在有限元軟件劃分網(wǎng)格過程中考慮的網(wǎng)格收斂性問題,經過多網(wǎng)格尺寸模型的仿真結果,發(fā)現(xiàn)當網(wǎng)格尺寸大小為0.5 mm 時夾層板的第一階固有頻率已經收斂,如圖13 所示.故本文中有限元模型的網(wǎng)格尺寸選擇為0.5 mm.設定PLA 材料的力學參數(shù),包括楊氏模量E=1660 MPa、泊松比v=0.2,模擬加速度為0.2g的振動臺掃頻過程,見圖3.

圖12 曲壁蜂窩夾層板有限元模型Fig.12 Finite element model of honeycomb sandwich plate with curved wall

圖13 有限元模型網(wǎng)格收斂性分析Fig.13 Analysis of mesh convergence of finite element model

4 結果與討論

4.1 曲壁蜂窩夾層板掃頻試驗與仿真結果

通過信號采集儀獲得的激勵端、中端、自由端和角端的掃頻頻響曲線如圖14 所示.試驗發(fā)現(xiàn)安裝在側端的傳感器沒有響應,原因可能為夾層板面內振動幅度較小,傳感器量程不足導致漏測.

圖14 0～1000 Hz 掃頻過程中測點響應Fig.14 Response of test point during 0～1000 Hz

從頻響曲線中可獲得可能的曲壁蜂窩夾層板前幾階固有頻率,對蜂窩夾層板進行頻率為1 階和3 階固有頻率的定頻諧波駐留實驗,作用時間10 s,限制位移峰值2 mm.激勵頻率為31.25 Hz 和254 Hz時,定頻激勵下曲壁蜂窩夾層板的幅頻響應特性如圖15 所示.由圖15(a)可知,當激勵頻率為31.25 Hz時,曲壁蜂窩夾層板除了在31.25 Hz 處的主共振外,還激發(fā)了多個超諧共振;而當激勵頻率為254 Hz 時,只有主共振.在激勵頻率為1 階固有頻率時,曲壁蜂窩夾層板的振動產生的位移較大.

圖15 曲壁蜂窩夾層板在定頻駐波試驗中的響應Fig.15 Responses of honeycomb sandwich plate in constant frequencies standing wave test

對所建立的有限元模型進行模態(tài)分析,可得曲壁蜂窩夾層板的前5 階固有頻率及振型.理論模型、有限元模型和試驗得到的前5 階固有頻率如圖16 所示,表1 為夾層板理論解與有限元模型求解和試驗得到的前5 階固有頻率對比.根據(jù)有限元模型得出的振型發(fā)現(xiàn)懸臂邊界下的第4 階振型模態(tài)為板在x方向的往復擺動,由于試驗中側端未測量到有效的響應,故無法從試驗中得出曲壁蜂窩夾層板的第4 階固有頻率.從數(shù)值上可以發(fā)現(xiàn)理論模型與有限元模型求到的前5 階固有頻率最大誤差為4.93%,最小誤差為0.57%,理論模型與試驗所得結果的誤差也在可以接受的范圍內,這些在一定程度上都可以說明理論模型的正確性.

表1 前5 階固有頻率結果對比Table 1 Comparison of the first 5 order natural frequencies results

圖16 曲壁蜂窩夾層板的前5 階固有頻率Fig.16 The first 5 order natural frequencies of curved-wall honeycomb sandwich plate

圖17 為試驗和有限元模型的掃頻頻響曲線對比,可以發(fā)現(xiàn)兩者規(guī)律大體一致,曲線走勢大致相同.這說明在相同頻率激勵下,試驗與有限元模型的響應相同,即同階固有頻率下的振型相同.理論模型和有限元模型計算出的曲壁蜂窩夾層板的前3 階振型如圖18 所示,曲壁蜂窩夾層板的1 階振型為彎曲模態(tài),2 階為扭轉模態(tài),3 階為拉彎耦合模態(tài).由1 階模態(tài)可以發(fā)現(xiàn)模態(tài)最大位移出現(xiàn)在結構的自由端.

圖17 試驗和有限元模型的掃頻頻響曲線對比Fig.17 Comparison of sweep frequency curves between test and finite element model

圖18 曲壁蜂窩夾層板的前3 階振型對比Fig.18 Comparison of the first three modes of honeycomb sandwich plate

通過對比理論模型和實驗求出的前5 階固有頻率,發(fā)現(xiàn)最大誤差達15.2%,理論模型與試驗結果出現(xiàn)較大誤差的原因可能有以下幾點: (1) 3D 打印機的最小打印精度為0.02 mm,打印出的曲壁蜂窩夾層板材質不夠均勻,無法完全滿足設計要求;(2)在試驗過程中夾具夾緊曲壁蜂窩夾層板的邊緣時,會對夾層板產生預緊力的作用,并且這個產生的預緊力在振動試驗中會發(fā)生動態(tài)的變化;(3)理論模型應用的是試驗測得PLA 材料的楊氏模量,只考慮了材料在線彈性階段的變形,并未考慮結構在響應足夠大的時候會產生大變形,同時也未考慮材料的黏彈性和阻尼等對試驗結果的影響;(4)未考慮加速度傳感器對試驗結果的影響,金屬傳感器使蜂窩夾層板在試驗過程中質量分布變得不均勻,并且增大了板的質量.

4.2 曲壁蜂窩夾層板的參數(shù)研究

基于已建立的曲壁蜂窩夾層板動力學模型,研究單胞的幾何參數(shù)對蜂窩夾層板的前5 階固有頻率的影響.選取的材料參數(shù)與第3 節(jié)中一致.壁厚、曲壁半徑和曲壁弧度對前5 階固有頻率的影響分別如表2～表4 所示.從表中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)隨著蜂窩胞元壁厚的增加,蜂窩夾層板的前5 階固有頻率整體呈現(xiàn)減小趨勢.隨著單胞曲壁半徑的增大,蜂窩夾層板的固有頻率逐漸增大.當曲壁弧度在30°～75°的范圍內,夾層板的固有頻率隨著曲壁弧度的增大而增大.

表2 不同壁厚夾層板的固有頻率Table 2 Natural frequencies of sandwich plate with different wall thicknesses

表3 不同曲壁半徑夾層板的固有頻率Table 3 Natural frequencies of sandwich plate with different curved radius

表4 不同曲壁弧度夾層板的固有頻率Table 4 Natural frequencies of sandwich plate with different curvature radian

4.3 曲壁蜂窩芯的隔振與抗沖擊試驗

本節(jié)隔振試驗測試曲壁蜂窩芯的響應加速度以表征結構的隔振性能.振動臺設置的激勵范圍為15～1000 Hz.振動加速度為0.1 m/s2.定義加速度傳遞率為輸出加速度與輸入加速度的比值,作為頻率的函數(shù),可表示為

圖19 顯示了曲壁蜂窩芯在指定頻率范圍內的傳遞率變化曲線.從傳遞率曲線可知曲壁蜂窩芯在505.25～645.75 Hz 的頻率范圍內有一定的隔振能力,以及在674.5 Hz 以上的高頻范圍內有顯著的隔振作用.試驗出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因為結構選用的材料PLA 是一種脆性材料,由PLA 制作的蜂窩芯具有很高的初始剛度,所以在低頻階段的隔振能力并不顯著.但是試驗發(fā)現(xiàn)這種脆性材料制造的結構在高頻范圍內有一定的隔振能力.

圖19 曲壁蜂窩芯的傳遞率Fig.19 Transmissibility of curved-wall honeycomb core

試驗測得的曲壁蜂窩芯的沖擊響應如圖20 所示,選取的波形為正弦波,脈沖峰值為8g,脈沖寬度為11 ms.從沖擊加速度響應可以得出曲壁蜂窩芯具有較強的抗沖擊能力,響應的最大峰值為5g較激勵有了顯著的降低,證實了曲壁蜂窩夾層板具有較強的抗沖擊能力.

圖20 夾層板在8g 正弦波激勵下的響應Fig.20 Response of honeycomb sandwich plate excited by 8g sine wave

5 結論

本文推導了曲壁蜂窩的等效彈性參數(shù),給出懸臂邊界下曲壁蜂窩夾層板的動力學模型,利用Chebyshev-Ritz 方法研究夾層板的固有頻率,并與有限元所得結果進行對比.利用增材制造的方法制作了曲壁蜂窩夾層板試件,利用振動臺對試件進行了正弦掃頻試驗、諧波駐留試驗和沖擊實驗,得出結論如下.

(1) 利用Chebyshev-Ritz 方法研究曲壁蜂窩夾層板是可行的,理論模型與有限元模型所求得的前5 階固有頻率誤差在5%以內,在誤差允許范圍內,試驗結果也驗證了理論模型的正確性.

(2) 通過對曲壁蜂窩夾層板進行參數(shù)研究,發(fā)現(xiàn)隨著蜂窩胞元壁厚的增加,蜂窩夾層板的前5 階固有頻率整體呈現(xiàn)減小趨勢.隨著單胞曲壁半徑的增大,蜂窩夾層板的固有頻率逐漸增大.當曲壁弧度在30°～75°的范圍內,夾層板的固有頻率隨著曲壁弧度的增大而增大.

(3) 通過對曲壁蜂窩芯的隔振和沖擊試驗,可以發(fā)現(xiàn)曲壁蜂窩芯具有一定的高頻的隔振能力,并且有較高的抵抗沖擊性能,這將為蜂窩夾層結構在隔振和抗沖擊方面的應用提供新的啟示.