萬洪林 * 李向紅 * 2) 申永軍 ** 王艷麗

* (石家莊鐵道大學數(shù)理系,石家莊 050043)

? (石家莊鐵道大學機械工程學院,石家莊 050043)

** (石家莊鐵道大學省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學行為與系統(tǒng)安全國家重點實驗室,石家莊 050043)

引言

破壞性的振動往往會導致機器本身性能、可靠性降低和產(chǎn)生噪聲污染等問題,振動系統(tǒng)附加動力吸振器是常見的減振方式之一.動力吸振器(dynamic vibration absorber,DVA)是一種通過與系統(tǒng)耦合進而吸收主系統(tǒng)振動能量,抑制其大幅振動的裝置[1].1909 年由Frahm[2]提出了無阻尼動力吸振器,其特點是只針對窄帶頻率有效.基于此,Ormondroyd 等[3]提出加入阻尼元件設(shè)計了經(jīng)典的Voigt 式動力吸振器,相較無阻尼動力吸振器其減振效果更好,適用范圍更大.Ren[4]設(shè)計了一種新型的接地式動力吸振器,進一步提高了吸振器的減振效果.隨后,一些學者又對動力吸振器展開了一系列的改進與提高.徐振邦等[5]研制了一種隨外部激勵頻率變化調(diào)節(jié)吸振器幾何參數(shù)進而改變其固有頻率的機械式頻率可調(diào)吸振器.作者團隊在Voigt 型動力吸振器的基礎(chǔ)上進行了部分改進,如彭海波等[6]設(shè)計了一種附加接地負剛度的新型動力吸振器模型;隋鵬等[7]設(shè)計了一種含慣容和接地剛度的新模型.相較于傳統(tǒng)模型的減振效果,新型吸振器的減振效果更好,同時還拓寬了減振頻帶.

參數(shù)激勵存在于許多工程領(lǐng)域中,其非線性動力學和振動控制問題受到很多學者的關(guān)注.丁虎[8]分別通過兩種數(shù)值方法研究了兩種經(jīng)典邊界條件下軸向變速黏彈性梁參激振動的穩(wěn)定性問題.顧偉等[9]研究了預變形變轉(zhuǎn)速葉片在參數(shù)激勵下的非線性動力學特性.馬磊等[10]研究了船舶受參數(shù)激勵導致的大幅度橫搖運動問題,提出加入減搖鰭控制器來降低參數(shù)激勵對系統(tǒng)的危害.路一鳴[11]研究了受參數(shù)激勵的超長斜拉索振動特性及耦合黏滯阻尼器后的控制效果.Yang 等[12]提出調(diào)整旋轉(zhuǎn)柔性盤系統(tǒng)所受參數(shù)激勵位置相位角來抑制其橫向振動的方法.

作為一個經(jīng)典的非線性模型,Duffing 型振子的振動控制問題被廣泛研究.Wang 等[13]研究了將動力吸振器應用到經(jīng)典Duffing 型旋翼與甲板耦合系統(tǒng)中,并得出吸振器的最優(yōu)放置位置.Taghipour 等[14]研究了Duffing 型Jeffcott 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)耦合動力吸振器減振問題.Bronkhorst 等[15]將含有黏彈性元件的動力吸振器耦合到Duffing 系統(tǒng)來抑制系統(tǒng)振動.劉彬等[16]向軋機輥系的Duffing 型模型中加入吸振器,可以有效抑制軋機輥系垂直振動.Yabuno[17]提出向受參數(shù)激勵的Duffing 系統(tǒng)中加入線性反饋和非線性反饋來抑制系統(tǒng)主共振影響.Li 等[18]向固有頻率與參數(shù)激勵頻率為1:1 的混沌Duffing 系統(tǒng)中加入高斯白噪聲相位來抑制系統(tǒng)混沌.

目前各領(lǐng)域研究的大多是共振情形下的振動控制問題.事實上,實際工程系統(tǒng)常常會受到不同頻率干擾的外界因素影響.當激勵頻率與系統(tǒng)固有頻率存在量級差異時,系統(tǒng)變?yōu)榱硕喑叨认到y(tǒng),此類系統(tǒng)存在復雜的振動,比如一直處于激發(fā)態(tài)的大幅高頻振動、也有激發(fā)態(tài)和沉寂態(tài)共存的簇發(fā)振動(也稱為混合模式振動)[19].例如,Simo 等[20]研究了受正弦低頻激勵的Duffing 振子與剛性梁耦合的機電設(shè)備中不同參數(shù)下表現(xiàn)出的簇發(fā)現(xiàn)象.文獻[21-22]研究了周期激勵下多尺度水輪機系統(tǒng)表現(xiàn)出的簇發(fā)特性.Zhang 等[23]研究了低頻外部激勵下準零剛度隔振器系統(tǒng)表現(xiàn)出的簇發(fā)振動現(xiàn)象.針對系統(tǒng)表現(xiàn)出的復雜簇發(fā)振動模式,早期的研究方法主要側(cè)重于實驗、數(shù)值模擬等方法.直到Rinze 等[24]將快慢動力學分析方法引入簇發(fā)現(xiàn)象的分析中.Izhikevich[25]將分岔理論引入簇發(fā)現(xiàn)象產(chǎn)生的機理研究中,相關(guān)學者才對一系列不同尺度系統(tǒng)的簇發(fā)現(xiàn)象與機理展開研究.陸啟韶等[26-27]利用快慢分析法對多尺度神經(jīng)元系統(tǒng)表現(xiàn)出的同步簇放電振蕩進行研究,并揭示其轉(zhuǎn)遷機制.文獻[28-30]分別對具有多頻、高維、非線性等特點的多尺度模型進行分析,結(jié)合快慢分析法對其表現(xiàn)出的簇發(fā)現(xiàn)象及其產(chǎn)生機理展開了一系列研究.Li 等 [31]研究帶有慢參數(shù)激勵的單自由度Duffing 系統(tǒng),發(fā)現(xiàn)了一種新型的周期混沌運動,此類運動具有明顯大幅張弛振動行為.Birkoben等[32]研究了原混沌蔡氏電路加入憶阻器的簇發(fā)現(xiàn)象,這種振動模式是軌線經(jīng)過慢流形上的Hopf 分岔點發(fā)生大幅振蕩組成的.

目前,針對具有多尺度耦合系統(tǒng)的研究大多集中在簇發(fā)振動現(xiàn)象與機理分析.然而,此類系統(tǒng)中存在的振動往往不僅有大幅振動,而且也存在高頻振動,這些振動對系統(tǒng)的破壞作用不容忽視,因而深入研究多尺度耦合系統(tǒng)的振動控制問題是非常必要的.本文將考慮低頻參數(shù)激勵下Duffing 系統(tǒng)耦合吸振器的減振問題,基于快慢分析法和數(shù)值計算方法,重點探討耦合吸振器后整個系統(tǒng)的分岔機制、減振效果與機理、快慢效應與減振的密切關(guān)系等.

1 系統(tǒng)方程與穩(wěn)定性分析

1.1 系統(tǒng)方程

具有參數(shù)周期激勵的Duffing 系統(tǒng)為

耦合吸振器后的動力學模型為

當參激頻率較小即 ω1? 1 時(1 為系統(tǒng)參數(shù)取值的最大量級),參數(shù)激勵量級相較于其他參數(shù)量級取值很小時,參數(shù)激勵為系統(tǒng)的慢過程,系統(tǒng)(3)和系統(tǒng)(4)為兩尺度耦合非自治系統(tǒng).

為了深入研究參數(shù)激勵部分對系統(tǒng)的影響規(guī)律,依據(jù)參考文獻[30],令F=k1cos(ω1t).在固有頻率振動周期 ψ 內(nèi),取t在[t0,t0+ψ] 內(nèi)變化,則F在內(nèi)變化,由于 ω1很小導致F t0與非常接近,因此在時間段 ψ內(nèi),F可以近似看作常數(shù),相應的非自治系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為自治系統(tǒng).

式(3)和式(4)變?yōu)槿缦率?5)與式(6)

其中,x1和x2是主系統(tǒng)位移和速度

其中,x1和x2是主系統(tǒng)位移和速度,x3和x4是吸振器位移和速度.

顯然系統(tǒng)(5)和系統(tǒng)(6)形式上為典型的自治系統(tǒng),同時與非自治系統(tǒng)(3)與系統(tǒng)(4)的振動密切相關(guān).這是因為系統(tǒng)(3) 與系統(tǒng)(4) 的參數(shù)激勵項k1cos(ω1t)在[ ?k1,k1] 內(nèi)周期性變化,對應其自治系統(tǒng)(5)和系統(tǒng)(6)中,表示F有參數(shù)范圍 [ ?k1,k1].F的變化將可能導致自治系統(tǒng)(5)與系統(tǒng)(6)的穩(wěn)定性發(fā)生變化或者產(chǎn)生分岔行為,而自治系統(tǒng)穩(wěn)定性變化和分岔行為,將對非自治系統(tǒng)(3)與系統(tǒng)(4)的振動行為產(chǎn)生較大影響.具體的說如果自治系統(tǒng)(5) 與系統(tǒng)(6) 在以上參數(shù)范圍內(nèi)具有穩(wěn)定(不穩(wěn)定)平衡點,則非自治系統(tǒng)(3)與系統(tǒng)(4)的振動具有明顯的收斂(發(fā)散)趨勢.如果自治系統(tǒng)中的F在[?k1,k1]上有分岔行為,往往導致非自治系統(tǒng)(3)與系統(tǒng)(4)的振動軌線發(fā)生改變.另一方面,激勵頻率ω1的大小決定參數(shù)F的變化速度.該變化過程越慢,自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔影響非自治系統(tǒng)的振動行為越明顯.另外F周期性的變化,會使得自治系統(tǒng)對非自治系統(tǒng)的影響周而復始的發(fā)生.因此研究自治系統(tǒng)中F為分岔參數(shù)時系統(tǒng)的動力學,對深入研究整個非自治系統(tǒng)的振動行為具有重要意義.

1.2 穩(wěn)定性與分岔分析

下面考慮平衡點穩(wěn)定性,其派生線性系統(tǒng)的特征值方程為

在點 (0,0) 的特征系數(shù)為

在不同平衡點處的特征值如下

其中

雖然平衡點不同,但影響特征值實部的均為參數(shù)b和F.當a1≥0,?1<0,?2<0 時,兩個平衡點的特征值為一對實部非正的共軛復數(shù),平衡點穩(wěn)定.a1<0,平衡點不穩(wěn)定.

取定參數(shù)b=0 時,系統(tǒng)(5)分岔圖如圖2 所示,其中F=0 時,系統(tǒng)產(chǎn)生叉形分岔,實線為穩(wěn)定平衡點,虛線是不穩(wěn)定平衡點.

圖1 耦合線性吸振器的Duffing 系統(tǒng)Fig.1 Duffing system coupled with linear vibration absorber

圖2 系統(tǒng)(5)關(guān)于 F 的分岔圖Fig.2 The bifurcation diagram of system (5) with respect to F

其派生線性系統(tǒng)的特征方程為

在 (0,0,0,0) 的特征方程系數(shù)為

在平衡點特征值實部的表達式形式為

其中,r0取值見附錄1.

由特征值實部的表達式可以發(fā)現(xiàn),特征值實部與系統(tǒng)(5)的參數(shù)b,F和系統(tǒng)(6)的參數(shù)c,k2和 ε有關(guān).當參數(shù)滿足 α1≥0,α2≥0,?1<0,?2<0 時,平衡點的特征值實部均小于0 時,平衡點穩(wěn)定.當參數(shù)滿足 α1<0 或 α2<0 時,平衡點不穩(wěn)定.

取定 參數(shù)c=0.4,k1=1,k2=1.5,k3=1,ε=0.1,ω1=0.01,b=0,給出系統(tǒng)(6)分岔圖如圖3 所示,其中F=0 時,系統(tǒng)產(chǎn)生叉形分岔,實線為穩(wěn)定平衡點,虛線是不穩(wěn)定平衡點.雖然叉形分岔與未加吸振器的自治系統(tǒng)一樣,但是平衡點的穩(wěn)定性具有明顯不同,并在下文中詳細闡述.

圖3 系統(tǒng)(6)關(guān)于 F 的分岔圖Fig.3 The bifurcation diagram of system (6) with respect to F.

2 減振效果與機理分析

下面研究在相同參數(shù)c=0.4,k1=1,k2=1.5,k3=1,ε=0.1,ω1=0.01,b=0下,系統(tǒng)(3) 和系統(tǒng)(4)不同的動力學行為,從而得到耦合吸振器后的減振效果,并給出系統(tǒng)減振機理解釋.

2.1 減振效果

圖4(a)為系統(tǒng)(3)位移時間歷程圖,此時系統(tǒng)處于大幅高頻振動的發(fā)散狀態(tài),即系統(tǒng)一直呈激發(fā)態(tài)振動,并且軌線振幅趨于增大.圖4(b)是耦合吸振器后系統(tǒng)(4)的位移時間歷程圖,發(fā)現(xiàn)加入吸振器之后,系統(tǒng)的高頻振動大幅降低,出現(xiàn)小幅高頻的激發(fā)態(tài)與沉寂態(tài)相結(jié)合的混合振動模式,即簇發(fā)振動.圖5(a)為系統(tǒng)(3)相圖,圖5(b)為耦合吸振器后系統(tǒng)(4)的相圖.從相圖中很明顯看出,加入吸振器后,主系統(tǒng)位移振幅降低近50%,速度振幅大幅降低,由2 衰減到0.1.

圖4 位移時間歷程圖Fig.4 Displacement time history diagram

圖5 相圖Fig.5 Phase diagram

圖5 相圖(續(xù))Fig.5 Phase diagram (continued)

2.2 減振機理分析

事實上,自治系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性對相應非自治系統(tǒng)振動模式的影響是非常明顯的.耦合吸振器之后,系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性變化,是減振的重要原因.下面給出系統(tǒng)(5)與系統(tǒng)(6)平衡點穩(wěn)定的變化,導致系統(tǒng)(3)與系統(tǒng)(4)振動的變化,從而達到減振效果的機理分析.平衡點特征值實部最大值隨F的變化如下圖6 和圖7 所示.紅色虛線代表原始系統(tǒng)特征值實部,黑色虛線代表耦合吸振器系統(tǒng)的特征值實部.

圖6 (0,0) 與 (0,0,0,0) 特征值實部最大值Fig.6 The maximum real part of the eigenvalues of (0,0) and (0,0,0,0)

當F<0 時,(0,0) 平衡點特 征值為一對實部為0 的共軛純虛根,平衡點類型為中心.加入吸振器之后,(0,0,0,0) 平衡點特征值為兩對共軛復根,特征值實部最大值小于0,平衡點類型為漸進穩(wěn)定的焦點,這使得系統(tǒng)(4)的軌線明顯的被平衡點吸引,因而振動幅值降低.

F>0時,平衡點特征值為一對實部為0 的共軛虛根,平衡點類型為中心.加入吸振器之后,平衡點特征值為兩對共軛復數(shù),特征值實部最大值小于0,為漸進穩(wěn)定的焦點,如圖7所示.耦合吸振器后的系統(tǒng)(6)特征值絕對值遠遠大于耦合前系統(tǒng)(5),導致系統(tǒng)(4)軌線被平衡點強烈吸引,從而振動幅值大大低于原系統(tǒng)(3).

圖7 與 特征值實部最大值Fig.7 The maximum real part of the eigenvalues of and

總之,耦合吸振器后,中心平衡點演變?yōu)闈u進穩(wěn)定的焦點.導致系統(tǒng)(3)的發(fā)散運動變?yōu)橄到y(tǒng)(4)的周期運動,同時位移振動幅度和速度大小都有顯著減小,從而主系統(tǒng)大幅高頻的發(fā)散振動得到抑制.這一機理將在后面的分析中詳細展示.

2.3 焦點式簇發(fā)產(chǎn)生機理

為了深入理解上述減振機理,并清楚展示自治系統(tǒng)(6)穩(wěn)定性與分岔是如何影響非自治系統(tǒng)(4)的振動行為,采用快慢分析和轉(zhuǎn)換相圖進行詳細闡述.轉(zhuǎn)換相圖指的是系統(tǒng)(3)與系統(tǒng)(4)狀態(tài)變量隨慢變參激過程量變化而變化的過程,如圖8 所示,狀態(tài)變量x1隨慢變過程F=cos(0.01t) 變化的相圖.隨著時間的增加,F在 [ ?1,1] 之間緩慢周期性變化進而調(diào)控變量x1的運動.

快慢分析,即將慢變量F作為自治系統(tǒng)的調(diào)節(jié)參數(shù),并給出自治系統(tǒng)的單參數(shù)分岔圖,即圖3 所示的x1與F的分岔圖.將狀態(tài)變量x1與慢變量F的轉(zhuǎn)換相圖圖8 和分岔圖圖3 疊加得到圖9(a).下面將圖9(a)分成兩部分,一部分是如圖9(b)所示的隨F增加,狀態(tài)變量x1的變化情況;另一部分是圖9(c)中隨F減小狀態(tài)變量x1的變化情況,圖中的箭頭表示軌線運動的方向.通過觀察疊加圖中的現(xiàn)象,來揭示系統(tǒng)中振蕩產(chǎn)生的動力學機理.

圖8 系統(tǒng)(4)轉(zhuǎn)換相圖Fig.8 Transformed phase portrait of system (4)

圖9 簇發(fā)現(xiàn)象的產(chǎn)生機理Fig.9 Generation mechanism of bursting phenomenon.

現(xiàn)在詳細描述一個周期的運動情況,假設(shè)軌線從P點出發(fā),加入吸振器后的系統(tǒng)(4)軌線受到其相應自治系統(tǒng)(6)穩(wěn)定平衡線的吸引,將沿著穩(wěn)定的平衡線SE1向右平穩(wěn)運動,當軌線經(jīng)過點O時系統(tǒng)(6)發(fā)生叉形分岔,系統(tǒng)(4)軌線受到穩(wěn)定平衡線的吸引后跳躍到平衡線SE2上的點C1.因為SE2上的點是穩(wěn)定焦點,所以軌線將圍繞SE2產(chǎn)生較大幅值的振動形成激發(fā)態(tài).在持續(xù)受到穩(wěn)定平衡點的吸引下,振幅逐漸減小直到在D1點時與平衡線近似重合,激發(fā)態(tài)消失.當慢變量F=cos(0.01t) 到最大值E1(F=1)后向左折返,然后沿著穩(wěn)定平衡線向左運動,系統(tǒng)一直處于沉寂態(tài).軌線運動到G1點時由于叉形分岔臨界點點O,又由于穩(wěn)定平衡線SE1的吸引,使得軌線到達點Q,表現(xiàn)為圍繞SE1振蕩的激發(fā)態(tài)且振幅逐漸減小,當慢變量F=cos(0.01t) 達到最小值(F=?1)后向右運動,并逐漸與平衡線重合進入沉寂態(tài),運動到點P后完成一個周期的運動,下一個周期將沿著平衡線SE3做類似的運動.因為激發(fā)態(tài)和沉寂態(tài)與平衡線上的穩(wěn)定焦點密切相關(guān),所以這個過程也稱為點-點型簇發(fā).

下面給出未加入吸振器時的振動分析.圖10 是系統(tǒng)(3)轉(zhuǎn)換相圖與平衡線的疊加圖,圖10(a)是F增大方向,圖10(b)是F減小方向.可以看出,系統(tǒng)(3)軌線在圍繞SE1-SE2-SE3振蕩的過程中,由于系統(tǒng)(5)的SE1-SE2-SE3平衡線上的點都是中心,對軌線的吸引力很弱,導致整個系統(tǒng)(3)處在高頻大幅振動的激發(fā)振動狀態(tài).

圖10 系統(tǒng)(3)轉(zhuǎn)換相圖與分岔圖疊加Fig.10 The overlap of transformed phase portrait and bifurcation diagram of system (3)

加入吸振器自治系統(tǒng)平衡線類型發(fā)生改變,漸進穩(wěn)定的平衡線SE1-SE2-SE3吸引性明顯增強,導致非自治系統(tǒng)軌線的運動發(fā)生變化,進而系統(tǒng)振動幅值得到抑制.另一方面,叉形分岔使得自治系統(tǒng)多個穩(wěn)定吸引子共存,導致非自治系統(tǒng)軌線在不同穩(wěn)定吸引子之間跳躍.由此可見,當參數(shù)激勵項為緩慢過程時,其自治系統(tǒng)的動力學行為,對激勵系統(tǒng)的振動具有明顯的控制調(diào)節(jié)作用.

3 參數(shù)激勵對吸振器減振的影響

當參數(shù)激勵在一定范圍內(nèi)發(fā)生變化后,加入的線性吸振器能否對系統(tǒng)(3)仍有減振效果需要進一步探討.因此,本節(jié)分析了當參數(shù)激勵幅值k1和頻率ω1發(fā)生變化后,加入的吸振器對系統(tǒng)(3)的減振效果.

3.1 參數(shù)激勵幅值 k1

參數(shù)c,k2,k3,ε,ω1和b與第2 節(jié)取值相同.改變激勵幅值k1,討論當系統(tǒng)(3)受到幅值逐漸增大的參數(shù)激勵時,吸振器對系統(tǒng)(3)振動的抑制效果.

圖11 和圖12 分別為參數(shù)激勵幅值k1取0.1 和10 時,系統(tǒng)加吸振器前后的位移時間歷程.圖11(a)展示了系統(tǒng)(3)以大幅高頻的形式振動,并且有緩慢的發(fā)散趨勢.圖11(b)為耦合吸振器后主系統(tǒng)位移的振動,系統(tǒng)的大幅高頻振動逐漸演變?yōu)檎穹照恼駝?主系統(tǒng)振幅下降20%左右,主系統(tǒng)發(fā)散振動得到抑制.當激勵幅值取為10,從圖12(a)中可以看出系統(tǒng)以大幅高頻模式振動,處于明顯的發(fā)散狀態(tài).圖12(b)可以看出,加入吸振器后系統(tǒng)呈現(xiàn)微幅高頻和大幅低頻的混合模式振動,發(fā)散狀態(tài)得到明顯抑制,振幅下降60%左右,此時吸振器的減振效果非常明顯.從以上發(fā)現(xiàn)吸振器可以很好的抑制隨著參數(shù)激勵幅值增大導致的大幅振動.

圖11 參數(shù)激勵幅值 k1=0.1 位移時間歷程圖Fig.11 Displacement time history diagram for parameter excitation amplitude k1=0.1

圖12 參數(shù)激勵幅值 k1=10 位移時間歷程圖Fig.12 Displacement time history diagram for parameter excitation amplitude k1=10

另一方面,從圖4(a)與圖12(a)對比可以看出,未加入吸振器的系統(tǒng)振動處于高頻大幅振動狀態(tài),此時整個系統(tǒng)一直處于激發(fā)態(tài),沒有沉寂態(tài).加入吸振器后系統(tǒng)呈現(xiàn)小幅激發(fā)態(tài)與沉寂態(tài)交替出現(xiàn)的張弛振動(簇發(fā)振動),從而達到減振效果.由此可見由單一振動模式向混合振動模式轉(zhuǎn)變是減振的一種表現(xiàn)形式.

自治系統(tǒng)的穩(wěn)定吸引子對非自治系統(tǒng)軌線的調(diào)控范圍 [ ?k1,k1] 顯然與參數(shù)激勵幅值k1有關(guān).圖13(a)和圖13(b)分別為參數(shù)激勵幅值k1取0.1 和10 時,非自治系統(tǒng)(4)轉(zhuǎn)換相圖與自治系統(tǒng)(6)分岔圖的疊加.盡管紅色平衡線上的點均為漸進穩(wěn)定的焦點,但對軌線的收斂效果卻有很大的差異.其原因是當激勵幅值k1取0.1 時,非自治系統(tǒng)(4)軌線受自治系統(tǒng)(6) 的平衡線上漸進穩(wěn)定焦點的吸引范圍在[?0.1,0.1] 之間;當激勵幅值k1取10 時吸引范圍增大為 [ ?10,10].非自治系統(tǒng)(4)軌線受自治系統(tǒng)(6)穩(wěn)定平衡線吸引的調(diào)控范圍增大,導致其大幅振動的軌線有足夠的范圍收斂到漸進穩(wěn)定的平衡線上,因而響應幅值明顯降低,吸振器的減振效果也更加明顯.

圖13 系統(tǒng)(4)轉(zhuǎn)換相圖與分岔圖疊加Fig.13 The overlap of transformed phase portrait and bifurcation diagram of system (4)

3.2 參數(shù)激勵頻率 ω1

參數(shù)c,k2,ε,k1,k3和b與第2 節(jié)取值相同.改變參數(shù)激勵頻率 ω1,討論系統(tǒng)(3)受到不同頻率的參數(shù)激勵時,吸振器對系統(tǒng)(3)的減振效果.

給出 ω1分別取0.02 和0.1 時加入吸振器前后系統(tǒng)(3)與系統(tǒng)(4)時間歷程圖的疊加圖,如圖14(a)和圖14(b) 所示.可以發(fā)現(xiàn),當參數(shù)激勵頻率 ω1從0.02 增大到0.1 時,系統(tǒng)(3)的軌線均呈發(fā)散的趨勢,但是系統(tǒng)(4)的軌線均呈周期性簇發(fā)振動,且幅值明顯小于系統(tǒng)(3)的幅值.說明在較大的參激頻率范圍內(nèi),線性吸振器都可以有效的抑制主系統(tǒng)的振動.

圖14 系統(tǒng)(3)與系統(tǒng)(4)時間歷程圖疊加Fig.14 The overlap of time history diagrams of system (3) and system (4)

圖14 系統(tǒng)(3)與系統(tǒng)(4)時間歷程圖疊加(續(xù))Fig.14 The overlap of time history diagrams of system (3) and system (4) (continued)

4 結(jié)論

本文研究了線性吸振器對低頻參激下兩尺度耦合Duffing 系統(tǒng)的振動控制.發(fā)現(xiàn)主系統(tǒng)的大幅高頻發(fā)散振動,在耦合吸振器后出現(xiàn)了典型的激發(fā)態(tài)和沉寂態(tài)耦合的混合簇發(fā)振動(混合振動),且振動幅值明顯降低.因而得出單一高頻振動模式向混合振動模式轉(zhuǎn)變,是系統(tǒng)振動抑制的一種表現(xiàn)形式.基于自治系統(tǒng)與非自治系統(tǒng)動力學行為的相關(guān)性,結(jié)合快慢分析給出了減振機理解釋.通過比較耦合吸振器前后系統(tǒng)的穩(wěn)定性、時間歷程圖、相圖和特征值實部情況發(fā)現(xiàn)主系統(tǒng)響應呈現(xiàn)出圍繞中心大幅高頻的發(fā)散振動,在耦合線性吸振器后,轉(zhuǎn)變?yōu)閲@漸進穩(wěn)定的焦點的張弛振動,主系統(tǒng)的振動在很大程度上得到抑制.其中自治系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定性增強是非自治系統(tǒng)減振的重要原因之一.另一方面,雖然耦合吸振器前后系統(tǒng)均發(fā)生叉形分岔,自治系統(tǒng)多個吸引子共存,但由于吸振器的加入,自治系統(tǒng)平衡線對非自治系統(tǒng)軌線的吸引性增強,軌線在不同吸引子之間的跳躍次數(shù)減少,是減振的另一個重要原因.研究還發(fā)現(xiàn),參數(shù)激勵幅值越大,吸振器的減振效果越好.在較大的參數(shù)激勵頻率范圍內(nèi),線性吸振器對系統(tǒng)振動都有明顯抑制效果.

附錄

根據(jù)費拉里公式,系統(tǒng)(6)的特征方程(11)等價于