文明 王棟

(西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院,西安 710072)

引言

拓?fù)鋬?yōu)化的目的是在給定的設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi),尋求結(jié)構(gòu)最佳的材料分布與傳力路徑,使結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能及響應(yīng)指標(biāo)在設(shè)定的靜、動(dòng)力載荷作用下達(dá)到最優(yōu)[1-4].當(dāng)結(jié)構(gòu)的初始構(gòu)型設(shè)計(jì)無(wú)法借助于設(shè)計(jì)者以往的經(jīng)驗(yàn)確定時(shí),拓?fù)鋬?yōu)化能夠在給定的載荷和一定的約束條件下搜尋出創(chuàng)新性的結(jié)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì),充分發(fā)揮材料性能潛力,進(jìn)而顯著提高工程設(shè)計(jì)的效率和質(zhì)量[5-8].因此,拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)是目前工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域非常重視的課題.然而傳統(tǒng)的與結(jié)構(gòu)拓?fù)浠蛐螤钕嚓P(guān)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題通常只是對(duì)單個(gè)承力構(gòu)件或部件進(jìn)行的[9-12].

實(shí)際工程結(jié)構(gòu),如火箭、衛(wèi)星、太陽(yáng)能帆板等結(jié)構(gòu),都是由許多零部件,通過(guò)各種方式連接組合而成[13-17].而結(jié)構(gòu)的各部件(或子結(jié)構(gòu))之間,以及結(jié)構(gòu)與周圍基礎(chǔ)環(huán)境的連接狀況,如連接形式、位置、約束性能等,都會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的整體性能產(chǎn)生很大的影響,因而也是結(jié)構(gòu)完整性設(shè)計(jì)不可或缺的重要組成部分[18-20].連接構(gòu)件將各承力構(gòu)件緊密聯(lián)系在一起,使其能夠很好地發(fā)揮各自的作用.連接構(gòu)件的約束狀況及性能,對(duì)各部件之間載荷或振動(dòng)能量的傳遞方式與路徑,都有非常重要的影響,進(jìn)而又影響整個(gè)結(jié)構(gòu)的靜、動(dòng)態(tài)特性及其對(duì)外載荷的響應(yīng).僅僅追求結(jié)構(gòu)中某個(gè)局部件性能的最優(yōu),并不能使系統(tǒng)整體性能達(dá)到最優(yōu),而組合結(jié)構(gòu)的整體最佳性能需要各組成部分特性的相互匹配與協(xié)調(diào).對(duì)于組合結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),不同的連接構(gòu)件布局及約束性能對(duì)應(yīng)著完全不同的最優(yōu)材料分布.若僅對(duì)單一承力構(gòu)件進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),忽略了連接約束對(duì)傳力路徑的影響,則所得到的拓?fù)錁?gòu)型將無(wú)法有效地傳遞外載荷和振動(dòng)能量.因此在結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中應(yīng)將連接約束與承力構(gòu)件作為一個(gè)整體進(jìn)行設(shè)計(jì),在優(yōu)化承力構(gòu)件拓?fù)錁?gòu)型的同時(shí)優(yōu)化連接構(gòu)件的布局設(shè)計(jì),以便獲得連接組合結(jié)構(gòu)整體意義上的最優(yōu)材料布局.

目前已有相關(guān)學(xué)者對(duì)連接約束的型式、數(shù)量、位置和剛度與結(jié)構(gòu)整體性能之間的關(guān)系做了一些分析和設(shè)計(jì)優(yōu)化研究.Zhu 等[21]在對(duì)結(jié)構(gòu)的拓?fù)溥M(jìn)行優(yōu)化時(shí),將連接構(gòu)件傳遞的載荷也作為一種約束條件.優(yōu)化結(jié)果表明,只有當(dāng)連接約束性能分布均衡時(shí),組合結(jié)構(gòu)內(nèi)的應(yīng)力水平才能得到有效控制.喬赫廷等[22]研究了結(jié)構(gòu)的構(gòu)型與連接方式協(xié)同靜力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題.結(jié)果表明結(jié)構(gòu)的拓?fù)錁?gòu)型設(shè)計(jì)與連接構(gòu)件的布局密切相關(guān),兩者協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)對(duì)改善結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分布至關(guān)重要.馬振云等[23]研究了連接剛度和位置變化對(duì)外力傳遞性能的影響.通過(guò)調(diào)整連接構(gòu)件的約束剛度和位置,可使傳遞的載荷在各連接構(gòu)件上得到均衡配置,并導(dǎo)致結(jié)構(gòu)內(nèi)的應(yīng)力水平趨于均勻.田瑞等[24]研究了梁結(jié)構(gòu)支承約束反力的均衡設(shè)計(jì)問(wèn)題.通過(guò)調(diào)整支承連接構(gòu)件的約束剛度,可使梁結(jié)構(gòu)各支承反力達(dá)到一致或按剛度大小分配,從而避免了某些連接構(gòu)件由于約束力過(guò)大而提前破壞或失效等問(wèn)題.當(dāng)前人們對(duì)連接約束條件的分析與優(yōu)化設(shè)計(jì),主要集中于改善連接約束構(gòu)件載荷分布或連接組合結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)性能.對(duì)連接組合結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),并通過(guò)改變連接約束構(gòu)件的分布以改善結(jié)構(gòu)的整體動(dòng)力學(xué)性能,降低組合結(jié)構(gòu)動(dòng)響應(yīng)的研究還相對(duì)較少.

本文開(kāi)展具有連接約束構(gòu)件的組合結(jié)構(gòu)協(xié)同動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究.首先以彈簧連接單元模擬工程中承力構(gòu)件之間的連接約束與承載狀況[25],基于材料屬性的有理近似方法(rational approximation of material properties,RAMP)[26],建立了連續(xù)體結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的協(xié)同拓?fù)鋬?yōu)化模型.隨后以組合結(jié)構(gòu)整體動(dòng)柔順度最小(即動(dòng)剛度最大)為設(shè)計(jì)目標(biāo)[27],以承力構(gòu)件材料用量和彈簧連接單元數(shù)量為約束條件,采用移動(dòng)漸近法(method of moving asymptotes,MMA)[28],對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)的拓?fù)錁?gòu)型與彈簧連接單元布局進(jìn)行協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì).最后通過(guò)兩個(gè)典型算例驗(yàn)證了本文所提協(xié)同動(dòng)力學(xué)優(yōu)化模型的有效性和優(yōu)化算法的可行性,并與傳統(tǒng)的單體式結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,充分展示了連接約束構(gòu)件的存在與布局設(shè)計(jì)對(duì)組合結(jié)構(gòu)材料分布以及動(dòng)力性能的影響.

1 連接組合結(jié)構(gòu)協(xié)同拓?fù)鋬?yōu)化模型

1.1 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)響應(yīng)

首先采用有限元法對(duì)連續(xù)體結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化處理,則系統(tǒng)受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為

式中,K,M,C分別是N × N階的結(jié)構(gòu)剛度、質(zhì)量和阻尼矩陣,N表示結(jié)構(gòu)的自由度數(shù).u(t)和f(t)均為N維列陣,分別表示結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)與外激勵(lì).假設(shè)結(jié)構(gòu)受到簡(jiǎn)諧外激勵(lì)的作用

其中,F是外激勵(lì)幅值N維列陣.ω是外激勵(lì)圓頻率(弧度/秒).在簡(jiǎn)諧載荷的作用下,線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也是同一頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

式中,U是結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)幅值列陣.由于要考慮結(jié)構(gòu)內(nèi)的阻尼,U是復(fù)數(shù).將式(2)和式(3)代入振動(dòng)方程(1),消去時(shí)間項(xiàng),得到頻域內(nèi)振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)的特征方程

式中,Kd=K?ω2M+jωC是系統(tǒng)的動(dòng)剛度矩陣,是激振頻率的函數(shù).求解方程(4)可得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的幅值列陣U,進(jìn)而由式(3)可以得到時(shí)域內(nèi)結(jié)構(gòu)的動(dòng)響應(yīng)u(t).

1.2 拓?fù)鋯?wèn)題描述與協(xié)同優(yōu)化模型

假設(shè)一個(gè)組合結(jié)構(gòu)由兩個(gè)承力構(gòu)件組成,如圖1所示,連接構(gòu)件將構(gòu)件1 的節(jié)點(diǎn)i與構(gòu)件2 的節(jié)點(diǎn)j緊密聯(lián)系在一起.以彈簧連接單元模擬連接構(gòu)件在i與j兩節(jié)點(diǎn)之間的約束作用,該連接單元由能夠同時(shí)約束相對(duì)拉伸變形和剪切變形的復(fù)合彈簧組成.于是,連接單元的節(jié)點(diǎn)位移列陣可表示為

圖1 連接約束力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of a linkage member

假設(shè)傳遞拉伸力的剛度系數(shù)為kt,傳遞剪切力的剛度系數(shù)為ks.剪切約束剛度與拉伸約束剛度相互獨(dú)立,彼此間沒(méi)有耦合效應(yīng),也不考慮連接約束彈簧的質(zhì)量和阻尼.則彈簧連接單元的等效剛度矩陣可表示為

為了求解組合結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題,首先需建立結(jié)構(gòu)的協(xié)同優(yōu)化數(shù)學(xué)模型.與以往不同的是,此時(shí)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)域是不連通的,各承力構(gòu)件僅通過(guò)連接構(gòu)件相互耦合,且連接構(gòu)件的最優(yōu)位置分布亦將采用拓?fù)鋬?yōu)化的方式確定.以結(jié)構(gòu)動(dòng)柔順度Cd(動(dòng)剛度的倒數(shù))最小為設(shè)計(jì)目標(biāo),以承力結(jié)構(gòu)材料體積與彈簧連接單元數(shù)量作為約束條件,其拓?fù)鋬?yōu)化列式為

式中,τ是拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量列陣,其中ρi表示承力構(gòu)件中單元的相對(duì)密度,ηi表示彈簧連接單元的相對(duì)剛度,NE代表承力構(gòu)件的單元總數(shù),n代表彈簧連接單元的總數(shù).V是優(yōu)化后承力結(jié)構(gòu)的體積,fv是承力構(gòu)件區(qū)域的總體分比,則fvV0即為優(yōu)化結(jié)束后剩余的承力構(gòu)件材料體積上限值.Πmax代表彈簧連接單元的數(shù)量上限值.ηmin是彈簧連接單元相對(duì)剛度ηi的下限,ρmin是承力構(gòu)件單元的相對(duì)密度ρi的下限,采用它們是為了避免結(jié)構(gòu)剛度矩陣出現(xiàn)奇異性,本文取ηmin=ρmin=0.001.通過(guò)承力構(gòu)件中單元的相對(duì)密度和彈簧連接單元相對(duì)剛度來(lái)描述承力構(gòu)件的拓?fù)錁?gòu)型與連接構(gòu)件的布局.

本文以變密度法中有理近似材料(RAMP)模型統(tǒng)一對(duì)承力構(gòu)件的單元?jiǎng)偠染仃嚭蛷椈蛇B接單元的剛度矩陣進(jìn)行插值[25]

2 靈敏度分析

假設(shè)外激勵(lì)不依賴于結(jié)構(gòu)的拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量.由動(dòng)柔順度的定義式(8),其對(duì)承力構(gòu)件每個(gè)單元設(shè)計(jì)變量的一階導(dǎo)數(shù)可由如下公式計(jì)算[9]

式中,(FTU)*是(FTU)的共軛復(fù)數(shù),Re(·)表示對(duì)括號(hào)里的值取實(shí)部.可見(jiàn)結(jié)構(gòu)動(dòng)柔順度對(duì)設(shè)計(jì)變量的一階導(dǎo)數(shù)歸結(jié)為結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移對(duì)設(shè)計(jì)變量的一階導(dǎo)數(shù).由方程(4)兩側(cè)同時(shí)對(duì)設(shè)計(jì)變量ρi求導(dǎo),經(jīng)過(guò)移項(xiàng)后可得

將式(14) 代入式(13) 可得結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔順度Cd對(duì)承力構(gòu)件單元拓?fù)渥兞康囊浑A導(dǎo)數(shù)表達(dá)式

此外,還要在各承力構(gòu)件區(qū)域內(nèi)運(yùn)用啟發(fā)式靈敏度過(guò)濾技術(shù)[29],對(duì)動(dòng)柔順度靈敏度分別進(jìn)行再分配處理,以避免各構(gòu)件相互之間的干擾并消除優(yōu)化過(guò)程中的棋盤(pán)格現(xiàn)象,保證優(yōu)化結(jié)果的數(shù)值穩(wěn)定性.

3 算例分析

本節(jié)用兩個(gè)二維平板結(jié)構(gòu)算例驗(yàn)證本文所提方法的可行性,展示連接組合結(jié)構(gòu)協(xié)同優(yōu)化效果、結(jié)構(gòu)的拓?fù)錁?gòu)型與彈簧連接單元分布規(guī)律.假設(shè)板的厚度均是10 mm,材料的彈性模量E=200 GPa,泊松比0.3,密度7800 kg/m3.僅考慮承力結(jié)構(gòu)的阻尼,采用比例阻尼模型:C=αMp+βKp,其中α=150,β=10?5,Mp和Kp分別是平板結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度矩陣.彈簧連接單元的拉伸剛度系數(shù)kt與剪切剛度系數(shù)ks均為500 MN/m,簡(jiǎn)諧激勵(lì)幅值F=10 kN.優(yōu)化過(guò)濾半徑為單元尺寸的1.5 倍,優(yōu)化過(guò)程收斂條件設(shè)置為相鄰兩次迭代各設(shè)計(jì)變量的最大改變量小于0.01.

3.1 雙板彈簧連接結(jié)構(gòu)

圖2 所示的雙板組合結(jié)構(gòu),左側(cè)邊界固支,在兩板之間要求最多設(shè)置4 個(gè)連接約束構(gòu)件.將兩個(gè)承力板分別劃分成 50 × 50 的四結(jié)點(diǎn)平面應(yīng)力單元網(wǎng)格,材料體分比f(wàn)v=0.35.初始設(shè)計(jì)時(shí)彈簧連接單元布滿整個(gè)連接區(qū)域,共有51 個(gè)連接構(gòu)件位于承力構(gòu)件的相關(guān)節(jié)點(diǎn)之間.初始設(shè)計(jì)變量均給定為0.35.簡(jiǎn)諧激勵(lì)頻率ω/(2π)=100 Hz.

圖2 雙板彈簧連接組合結(jié)構(gòu)Fig.2 A combined structure of two panels with spring linkage members

圖3(a)示出了按照以上介紹的協(xié)同拓?fù)鋬?yōu)化方法得到的連接組合結(jié)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì),其中黑色水平線表示彈簧連接單元的最優(yōu)位置.彈簧連接單元分別位于上下兩側(cè),其中上側(cè)兩個(gè)連接單元之間有3 個(gè)單元尺寸的間隔距離,而下側(cè)的兩個(gè)連接單元平行相連(即分別位于同一組承力單元的上下節(jié)點(diǎn)處).由于兩個(gè)承力構(gòu)件間只在上下處連接,因此外側(cè)承力構(gòu)件先將外載荷分別傳至上下彈簧連接處,通過(guò)連接構(gòu)件傳遞到內(nèi)側(cè)承力構(gòu)件,然后再傳至固支邊界上.內(nèi)側(cè)構(gòu)件的材料分布上下基本對(duì)稱,而外側(cè)構(gòu)件的構(gòu)型可以視為是由兩個(gè)穩(wěn)固的三角形構(gòu)件組成.

圖3 連接組合結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型對(duì)比Fig.3 Comparison of topology configurations between the combined structure and the integral one

圖4 繪出了協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)的動(dòng)柔順度和彈簧連接單元數(shù)量的迭代收斂過(guò)程.初始設(shè)計(jì)時(shí),彈簧連接單元的數(shù)量并不滿足約束條件(0.35 × 51=17.85 >4).隨著優(yōu)化過(guò)程的持續(xù),連接單元的數(shù)量約束很快就得到滿足,而且目標(biāo)設(shè)計(jì)函數(shù)也穩(wěn)步地收斂到最小值.

圖4 協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)迭代過(guò)程Fig.4 Iterative histories of the design objective and linkage member number of the collaborative topology optimization

作為對(duì)比,若人為地將4 個(gè)彈簧連接單元平行分布于承力構(gòu)件上下緣最外側(cè)單元的兩組節(jié)點(diǎn)之間.這時(shí)只對(duì)承力構(gòu)件的拓?fù)錁?gòu)型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),所得結(jié)果如圖3(b)所示.此時(shí)組合結(jié)構(gòu)的拓?fù)錁?gòu)型與圖3(a)基本相同,只是由于上側(cè)的兩個(gè)彈簧連接單元平行相連,使外側(cè)構(gòu)件的斜撐桿上端也向上移動(dòng)了一定的距離.從而使外側(cè)承力構(gòu)件連接處沒(méi)了那一段連接平臺(tái),如圖中的藍(lán)圈所示,導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔順度也會(huì)有一定的改變.

而傳統(tǒng)的單體式結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化所得構(gòu)型如圖3(c)所示.此時(shí)的材料布局相對(duì)更簡(jiǎn)潔一些,外力傳遞到固定邊界更加直接.特別是垂直外激勵(lì)的一部分將沿著上緣構(gòu)件直接傳遞到固定邊界上,不會(huì)出現(xiàn)傳遞分散的現(xiàn)象.雖然單體結(jié)構(gòu)的框架式構(gòu)型也會(huì)通過(guò)上下連接構(gòu)件所在的位置,但外側(cè)區(qū)域構(gòu)型僅有一個(gè)三角形.即若從單體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型圖3(c)出發(fā),在指定的位置用連接構(gòu)件替換原來(lái)的材料,卻無(wú)法獲得組合結(jié)構(gòu)協(xié)同優(yōu)化的拓?fù)錁?gòu)型.

表1 列出了以上三種情形的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值結(jié)果.可以發(fā)現(xiàn)組合結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔順度均大于單體式結(jié)構(gòu)的相應(yīng)值,即連接組合結(jié)構(gòu)的動(dòng)剛度略小一點(diǎn).這首先是由于組合結(jié)構(gòu)構(gòu)型變化所致,導(dǎo)致組合結(jié)構(gòu)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的動(dòng)響應(yīng)有所增大.其次,由于連接彈簧的數(shù)量較少,連接構(gòu)件的使用斷開(kāi)了沿上下緣分布的主承力結(jié)構(gòu)件,不可避免地削弱了結(jié)構(gòu)的局部剛度,使組合結(jié)構(gòu)的整體剛度有一些損失.

表1 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔順度以及前二階固有頻率對(duì)比Table 1 Comparison of the optimal dynamic compliance and the first two natural frequencies

由表1 還可以發(fā)現(xiàn),人為布置連接構(gòu)件所得到的組合結(jié)構(gòu)動(dòng)柔順度相比于協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)所得結(jié)果要稍大一些(增加了5.7%).由此可知: 雖然兩者的拓?fù)錁?gòu)型基本一致,但組合結(jié)構(gòu)的協(xié)同優(yōu)化構(gòu)型設(shè)計(jì)整體動(dòng)剛度更大.這充分體現(xiàn)了連接組合結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型與連接構(gòu)件布局的協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)的益處,同時(shí)也表明了連接構(gòu)件的布局設(shè)計(jì)對(duì)結(jié)構(gòu)整體性能會(huì)有一定的影響.

作為進(jìn)一步的研究,若將連接彈簧單元數(shù)量上限增至8 個(gè),其余參數(shù)均保持不變.則協(xié)同拓?fù)鋬?yōu)化后結(jié)構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計(jì)相比于4 個(gè)彈簧連接單元時(shí)所得的構(gòu)型基本一致,見(jiàn)圖5 所示.彈簧連接單元最優(yōu)布局為下側(cè)連續(xù)分布4 個(gè)彈簧連接單元,上側(cè)靠?jī)?nèi)部的一個(gè)彈簧連接單元與外部連續(xù)分布的三個(gè)彈簧連接單元相隔兩個(gè)單元的距離.雖然組合結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔順度較只有4 個(gè)彈簧連接單元所得構(gòu)型的動(dòng)柔順度有所減小(5.143 5 J),但仍然大于單體結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔順度,這也從另一個(gè)方面表明組合結(jié)構(gòu)的構(gòu)型變化對(duì)其整體剛度的影響更大一些.

圖5 連接組合結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型(8 彈簧連接單元)Fig.5 Configuration of the combined structure of two panels with eight spring linkage members

深入研究發(fā)現(xiàn)連接組合結(jié)構(gòu)的前二階固有頻率均比單體式結(jié)構(gòu)相應(yīng)的固有頻率要大一些,如表1所示,而且協(xié)同優(yōu)化構(gòu)型設(shè)計(jì)的第一階固有頻率最大.圖6 分別示出了兩種結(jié)構(gòu)的前二階固有振型.可以看到,單體式結(jié)構(gòu)的前二階固有振型主要是上緣水平桿件的局部彎曲變形[30].而協(xié)同優(yōu)化所得組合結(jié)構(gòu)的第一階固有振型是結(jié)構(gòu)的整體變形.第二階固有振型雖也是局部變形,但主要發(fā)生在結(jié)構(gòu)外側(cè)構(gòu)件的三角支撐區(qū)域,其局部剛度明顯比單體式結(jié)構(gòu)的上緣水平構(gòu)件更大.這就導(dǎo)致了連接組合結(jié)構(gòu)的前二階固有頻率,明顯大于單體結(jié)構(gòu)固有頻率的現(xiàn)象出現(xiàn).由此可見(jiàn),在連接組合結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中考慮連接構(gòu)件的存在,由于所得構(gòu)型的不同,對(duì)提高結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性也會(huì)有一定的幫助作用.

圖6 結(jié)構(gòu)前二階固有振型對(duì)比Fig.6 Comparison of the first two natural modes between the combined and integral structures

3.2 固支深梁連接結(jié)構(gòu)

圖7 所示的組合深梁結(jié)構(gòu),左、右兩端固定.假設(shè)在各承力構(gòu)件之間均設(shè)置4 個(gè)彈性連接構(gòu)件,但其位置暫時(shí)無(wú)法確定.分別將每一段梁劃分成50 ×30 的網(wǎng)格.加載點(diǎn)位于組合結(jié)構(gòu)的中心處,激勵(lì)頻率ω/(2π)=200 Hz.材料體分比f(wàn)v=0.4.

圖7 連接組合深梁結(jié)構(gòu)Fig.7 Combined deep beam with spring linkage members

組合深梁結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型與連接約束單元布局的協(xié)同優(yōu)化結(jié)果如圖8(a)所示.同時(shí),圖8(b)示出了各將4 個(gè)彈簧連接單元分別布置于靠近上、下緣單元的兩組節(jié)點(diǎn)處得到的組合結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型.作為對(duì)比,傳統(tǒng)單體式結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型設(shè)計(jì)如圖8(c)所示

圖8 連接組合結(jié)構(gòu)與單體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型對(duì)比Fig.8 Comparison of topology configurations between the combined deep beam structure and integral one

可以看到三種情形下所得結(jié)構(gòu)的拓?fù)錁?gòu)型優(yōu)化結(jié)果各不相同.協(xié)同優(yōu)化所得組合深梁結(jié)構(gòu)的構(gòu)型(圖8(a))與單體式結(jié)構(gòu)的材料分布(圖8(c))較為相似,外激勵(lì)先通過(guò)中間的X 形構(gòu)件傳遞到外框,然后再通過(guò)斜的外框傳遞到固定邊界.外框較粗為主要承力結(jié)構(gòu)件,中部形成了一個(gè)穩(wěn)定的六邊形構(gòu)型.但協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)將彈簧連接單元置于主承力構(gòu)件上,使得中部連續(xù)的六邊形出現(xiàn)斷開(kāi)現(xiàn)象.從而導(dǎo)致其中部X 形狀承力構(gòu)件相比于單體式結(jié)構(gòu)中部的X 承力構(gòu)件尺寸更大,且各傳力路徑之間保持相互正交[3].

而指定連接構(gòu)件位置所得到的組合深梁結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型(圖8(b)),由于彈簧連接單元位于梁的上、下外側(cè),使得中間承力構(gòu)件形成了比較復(fù)雜的傳力路徑.框架式構(gòu)件組合體將外激勵(lì)先傳遞到連接約束處,再通過(guò)斜外框傳遞到結(jié)構(gòu)的固定邊界.

表2 列出了三種情形結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值結(jié)果.與前例一樣,單體式結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔順度最小.連接組合結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔順度Cd比單體結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果分別大了12.4%和19.4%,而且人為布置連接構(gòu)件所得拓?fù)錁?gòu)型的動(dòng)柔順度增加較多.表明組合結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型與連接約束布局協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)能更有效地抵抗外激勵(lì)的作用,避免了人為布置連接構(gòu)件位置對(duì)連接組合結(jié)構(gòu)整體剛度可能造成的損失.

表2 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔順度以及前二階固有頻率對(duì)比Table 2 Comparison of the optimal dynamic compliance and the first two natural frequencies

與前例不同的是,經(jīng)過(guò)拓?fù)鋬?yōu)化后,雖然三種構(gòu)型的第一階固有頻率都有了很大的提高,使得外激勵(lì)頻率遠(yuǎn)離結(jié)構(gòu)的共振區(qū).但連接組合結(jié)構(gòu)的前二階固有頻率均明顯小于單體式深梁結(jié)構(gòu)的結(jié)果,這顯然是結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型變化所致.因?yàn)閮?yōu)化后所得構(gòu)型的前二階振型均為整體變形,單體式結(jié)構(gòu)比連接組合結(jié)構(gòu)的動(dòng)剛度更大,最終使得連接組合結(jié)構(gòu)的前二階固有頻率低于單體結(jié)構(gòu)的相應(yīng)值.

圖9 分別示出了拓?fù)鋬?yōu)化后結(jié)構(gòu)振動(dòng)的變形幅值圖.可以看到三種結(jié)構(gòu)的最大位移響應(yīng)均出現(xiàn)在外激勵(lì)作用點(diǎn)處.協(xié)同拓?fù)鋬?yōu)化所得構(gòu)型與單體式拓?fù)鋬?yōu)化所得構(gòu)型的變形類似,而指定了連接構(gòu)件位置的組合結(jié)構(gòu)的中間段彎曲變形比較顯著,這與中部承力結(jié)構(gòu)件比較纖細(xì)有一定的關(guān)系.相反,協(xié)同優(yōu)化組合結(jié)構(gòu)與單體式結(jié)構(gòu)均沒(méi)有非常明顯的變形段.

圖9 連接組合結(jié)構(gòu)與單體式結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)變形對(duì)比Fig.9 Comparison of the structural dynamic deformations between the combined and integral deep beams

4 結(jié)論

本文研究了連接組合結(jié)構(gòu)協(xié)同動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題,在設(shè)計(jì)承力構(gòu)件拓?fù)錁?gòu)型的同時(shí),也確定了連接構(gòu)件的最優(yōu)布局.以彈簧連接單元模擬工程結(jié)構(gòu)中的連接約束構(gòu)件,建立了分別以承力構(gòu)件材料體積和彈簧連接單元數(shù)量為約束,在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下以連接組合結(jié)構(gòu)動(dòng)柔順度最小為目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化模型.利用兩個(gè)典型平面結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)算例,驗(yàn)證了所提優(yōu)化模型的有效性和優(yōu)化算法的可行性.分析了連接約束構(gòu)件的存在及其布局設(shè)計(jì)對(duì)結(jié)構(gòu)優(yōu)化構(gòu)型設(shè)計(jì)的影響,并比較了兩種結(jié)構(gòu)的優(yōu)化數(shù)值結(jié)果.研究結(jié)果如下.

(1) 連接約束的存在對(duì)優(yōu)化結(jié)構(gòu)的構(gòu)型以及傳力路徑有較大的影響.由于承力構(gòu)件之間僅靠連接約束構(gòu)件連接,施加的外激勵(lì)必須通過(guò)連接約束構(gòu)件才能最終傳遞至結(jié)構(gòu)的固定邊界.

(2) 在相同承力構(gòu)件體積約束的情況下,不論是最優(yōu)連接構(gòu)件布局對(duì)應(yīng)的拓?fù)錁?gòu)型還是指定連接構(gòu)件位置對(duì)應(yīng)的構(gòu)型,連接組合結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔順度總是大于相應(yīng)單體式結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果.這是由于原本連續(xù)的設(shè)計(jì)域被人為斷開(kāi)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的整體剛度有所下降.而增大連接約束的剛度或數(shù)量,對(duì)提高結(jié)構(gòu)的性能會(huì)有一定的彌補(bǔ)效果.

(3) 在相同連接構(gòu)件數(shù)量約束的情況下,連接組合結(jié)構(gòu)協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)所得的動(dòng)柔順度總是小于人為布置連接構(gòu)件所得結(jié)果.充分說(shuō)明連接構(gòu)件位置設(shè)計(jì)對(duì)結(jié)構(gòu)構(gòu)型的影響,最優(yōu)的連接構(gòu)件位置設(shè)計(jì)使結(jié)構(gòu)抵御外激勵(lì)的能力更強(qiáng),所得結(jié)構(gòu)的響應(yīng)會(huì)進(jìn)一步降低.體現(xiàn)了協(xié)同動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn).

(4) 連接約束構(gòu)件的存在,在改變優(yōu)化結(jié)構(gòu)構(gòu)型的同時(shí),也會(huì)改變結(jié)構(gòu)的固有振型.合理的連接約束布局,能避免結(jié)構(gòu)局部模態(tài)的出現(xiàn),從而顯著提高結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性,亦為后續(xù)組合結(jié)構(gòu)的詳細(xì)設(shè)計(jì)過(guò)程提供了更加優(yōu)異的構(gòu)型設(shè)計(jì)參考.