李銀山 * 丁 千 李子瑞 * 郭春霞 ** 孫永濤 ,2) 柳占立 ,3)

* (河北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院工程力學(xué)系,天津 300401)

? (天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院力學(xué)系,天津 300350)

** (西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院力學(xué)系,西安 710055)

?? (清華大學(xué)航天學(xué)院工程力學(xué)系,北京 100084)

引言

超靜定梁?柱因其剛度大、強(qiáng)度高等優(yōu)勢(shì)在土建、水利和機(jī)械工程中較為常見[1-5].作用在梁?柱上的軸向壓力對(duì)梁的彎曲特性有較大的影響,此時(shí),梁?柱的內(nèi)力、應(yīng)力及變形并不與軸向壓力的大小成正比[6-7],梁?柱的彎曲問題本質(zhì)上是一個(gè)非線性問題[8].計(jì)算超靜定梁?柱時(shí),既要考慮梁的超靜定特性又要考慮軸向力的非線性特性,因而其力學(xué)分析就更加復(fù)雜,準(zhǔn)確快速地計(jì)算出超靜定梁?柱的內(nèi)力和變形對(duì)其安全設(shè)計(jì)具有重要意義.

工程設(shè)計(jì)人員在設(shè)計(jì)超靜定梁?柱時(shí),需要計(jì)算其最大變形和最大內(nèi)力,很多學(xué)者圍繞這一問題展開研究,并涉及到了方方面面.其中,早期主要偏重于對(duì)二階非齊次常微分控制方程的精確求解,相關(guān)教材中的理論研究表明[1,9-11],超靜定梁?柱的精確解較為復(fù)雜,若采用精確解來分析實(shí)際問題,計(jì)算過程較為繁瑣且計(jì)算量大.而后,隨著研究的逐步深入,學(xué)者們開始聚焦于分析超靜定梁?柱的新的方法.陳連[12]采用奇異函數(shù)法推導(dǎo)出超靜定梁?柱彎曲變形的普遍表達(dá)式,利用邊界條件確定約束反力并求出了變形,其解答是由奇異函數(shù)表示的.Girhammar等[13-14]利用變分法從理論上分析了任意邊界條件下梁?柱的求解方法,僅得到簡支梁?柱的求解結(jié)果,對(duì)于其他邊界條件復(fù)雜繁瑣.Aristizabal-Ochoa 等[15-17]研究了具有半剛性連接的超靜定Timoshenko 梁?柱的大撓度和后屈曲行為.Liew 等[18]利用連續(xù)強(qiáng)度法預(yù)測(cè)了軸向力和彎曲載荷聯(lián)合作用下工字形截面和箱形截面的極限截面抗力.

隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展,出現(xiàn)了一系列求解工程中超靜定梁?柱問題的新方法.蔣純志[19]利用分布傳遞函數(shù)方法研究了任意邊界條件和復(fù)雜外力作用下的梁?柱的彎曲問題,與MATLAB 軟件相結(jié)合,計(jì)算得到了解析解.Arboleda-Monsalve 等[20]采用矩陣法研究了軸向力對(duì)雙參數(shù)彈性地基上廣義端部條件下梁?柱變形的影響.Untaroiu 等[21-22]開發(fā)了股骨的特定對(duì)象有限元模型,對(duì)交通事故引起的軸向和彎曲載荷共同作用下的股骨的耐受性進(jìn)行了數(shù)值研究.Russell[23]利用有限差分法和矩陣遞歸關(guān)系求解了廣義梁?柱的彎曲問題.文獻(xiàn)[24-28] 通過試驗(yàn)研究和數(shù)值分析,探討了同時(shí)承受軸向力和彎曲載荷的鋼柱或混凝土柱的承載力的設(shè)計(jì)方法.

從現(xiàn)有文獻(xiàn)來看,軸向壓力對(duì)超靜定梁?柱變形的影響的精確解結(jié)果較為復(fù)雜,不便于工程應(yīng)用.有限單元法只能得到數(shù)值解,無法得到解析式.連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法是李銀山等[29-32]提出的一種求解力學(xué)中有關(guān)微分方程問題的有效方法,與計(jì)算機(jī)軟件相結(jié)合,具有求解精度高、速度快的特點(diǎn).本文在連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法的基礎(chǔ)上,采用漸進(jìn)積分法研究超靜定梁?柱的彎曲問題,得出了超靜定梁?柱在各種載荷作用下的最大彎矩和最大撓度、最大轉(zhuǎn)角關(guān)于軸向力放大系數(shù)的表達(dá)式,所得解答為簡單的多項(xiàng)式,便于理解和計(jì)算.并將漸進(jìn)積分法的計(jì)算結(jié)果與經(jīng)典的精確解進(jìn)行比較驗(yàn)證,在迭代僅6 次的情況下即可達(dá)到滿足工程需要的精度,大大提高了計(jì)算速度.且發(fā)現(xiàn)對(duì)非對(duì)稱梁?柱,不僅其最大位移和最大剪力的大小隨軸向力的增大而增大,而且其最大位移和最大剪力的位置也隨軸向力的增大而發(fā)生遷移,這一發(fā)現(xiàn)填補(bǔ)了現(xiàn)有研究的空白.

1 分布力作用下的鉸支?固支梁?柱

1.1 精確解

設(shè)長為l、抗彎剛度為EI的梁,僅承受分布載荷q(x).軸向坐標(biāo)為x,撓度為v.梁的小撓度四階微分方程為

設(shè)長為l、抗彎剛度為EI的壓桿,僅承受軸向壓力F.軸向壓力作用下桿的小撓度四階微分方程為

歐拉臨界力公式為

其中,Fcr為臨界壓力,α為與桿端約束有關(guān)的軸向壓力臨界力系數(shù).

同時(shí)承受橫向載荷和軸向壓力F作用下梁?柱的微分方程為

令

其中,κ為軸向壓力比.將式(5)代入式(4)得,梁?柱的無量綱微分方程

現(xiàn)研究同時(shí)承受均布橫向力(此時(shí)q(x)=?q)和軸向力F作用下的鉸支?固支梁,如圖1 所示.由式(6)可知無量綱微分方程為

圖1 軸向壓力與橫向分布力共同作用的鉸支?固支梁?柱Fig.1 Hinge-fixed beam-column acted by axial force and transverse load

其中

邊界條件為

用連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法得到撓度函數(shù)

轉(zhuǎn)角函數(shù)

彎矩函數(shù)

剪力函數(shù)

根據(jù)式(10)可以繪制出橫向分布力作用下鉸支?固支梁?柱的變形圖和內(nèi)力圖,如圖2 所示.最大轉(zhuǎn)角和最大彎矩的精確解為

圖2 不同軸向力下,橫向分布力作用的鉸支?固支梁?柱的變形圖和內(nèi)力圖Fig.2 Deformation and internal diagram of hinge-fixed beam-column under different axial forces

1.2 最大撓度和最大剪力位置遷移

從圖2(a)和圖2(d)中的撓度圖、剪力圖可以看出,隨著軸向力的增加,最大撓度、最大剪力的位置發(fā)生了遷移,這是新發(fā)現(xiàn)的一種現(xiàn)象,稱為最大位移和最大內(nèi)力遷移現(xiàn)象.利用最小二乘回歸法可以得到最大撓度和最大剪力的表達(dá)式如下.

最大撓度位置

最大撓度和最大剪力位置遷移關(guān)系如圖3 所示.最大撓度和最大剪力放大系數(shù)的位置遷移對(duì)照如表1 所示.

圖3 最大撓度、最大剪力位置隨軸向力系數(shù)κ 的遷移Fig.3 Migration of maximum deflection and maximum shear force position with axial force coefficient κ

表1 最大撓度和最大剪力放大系數(shù)的位置遷移對(duì)照表Table 1 Location transfer comparison table of maximum deflection and maximum shear force amplification factor

1.3 漸進(jìn)積分法

為了求解微分方程式(7),構(gòu)造迭代方程如下

選取無軸向力作用的梁撓度為初始曲線V[0](X).基本方程為

邊界條件為

由連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法解得

由式(17b)知,基本方程為

邊界條件

由連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法解得

繼續(xù)迭代就可以得到更精確的撓度表達(dá)式.

1.4 彎矩和變形的最大值

由式(23)可求出迭代一次(在x=X0L處) 撓度的最大值為

依次類推,一直迭代到第六次,可得最大撓度、最大轉(zhuǎn)角和最大彎矩的軸向力放大系數(shù)

根據(jù)本文的方法,軸向壓力與橫向分布力共同作用時(shí)鉸支?固支梁的內(nèi)力和變形均可表示為類似于式(28)的簡單多項(xiàng)式.

迭代六次后,每次迭代的最大撓度、最大轉(zhuǎn)角和最大彎矩與精確解的對(duì)比如圖4 所示.利用漸進(jìn)積分法求解,迭代六次時(shí)最大撓度βv、最大轉(zhuǎn)角放大系數(shù)βθ和最大彎矩放大系數(shù)βM的計(jì)算結(jié)果與精確解的對(duì)比如表2 所示.

圖4 橫向分布力作用下鉸支?固支梁?柱前六次迭代最大變形和最大彎矩與精確解的對(duì)比Fig.4 Comparison between the maximum deflection,maximum angle and maximum bending moment in the first six iterations and the exact solution

從圖4 可以看出,橫向均布載荷作用下的鉸支?固支梁?柱迭代計(jì)算出的最大撓度、最大轉(zhuǎn)角和最大彎矩隨迭代次數(shù)的增加而逐漸趨近于精確解.

從表2 可以看出,當(dāng)κ∈[0,0.5]時(shí),即當(dāng)梁?柱所受的軸向力是歐拉臨界力的1/2 以內(nèi)時(shí),誤差在1%以內(nèi),此時(shí),梁?柱的最大變形和最大彎矩約是沒有軸向力時(shí)的2 倍.

表2 橫向分布力作用的鉸支?固支梁?柱放大系數(shù)對(duì)比Table 2 Comparison of hinged-fixed beam-column amplification coefficients under continuous transverse load

2 分布力作用下的固支?固支梁?柱

2.1 精確解

本節(jié)研究同時(shí)承受連續(xù)橫向分布力 (此時(shí)q(x)=?q)和軸向集中力F作用下固支?固支梁?柱,如圖5所示.

圖5 軸向力與橫向分布力作用的固支?固支梁?柱Fig.5 Fixed-fixed beam-column acted by axial force and transverse load

由式(6)可知無量綱微分方程為

其中

邊界條件為

用連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法可得

根據(jù)式(32),可以繪制出橫向分布力作用下固支?固支梁的變形圖和內(nèi)力圖,如圖6 所示.

圖6 不同軸向力下,橫向分布力作用的固支?固支梁的變形圖和內(nèi)力圖Fig.6 Deformation and internal diagram of fixed-fixed beam-column under different axial forces

最大撓度,最大彎矩的精確解為

2.2 最大轉(zhuǎn)角和最大剪力位置遷移

從圖6(b)和圖6(d)中的轉(zhuǎn)角圖和剪力圖可以看出,隨著軸向力的增加,最大轉(zhuǎn)角和最大剪力的位置發(fā)生遷移,這是新發(fā)現(xiàn)的一種現(xiàn)象,稱為最大位移和最大內(nèi)力遷移現(xiàn)象.利用最小二乘回歸法可以得到最大轉(zhuǎn)角和最大剪力表達(dá)式如下.

最大轉(zhuǎn)角位置

最大剪力位置遷移圖如圖7 所示.

圖7 最大轉(zhuǎn)角和最大剪力位置隨軸向力系數(shù) κ 的遷移Fig.7 Migration of maximum angle and maximum shear force position with axial force coefficient κ

最大轉(zhuǎn)角和最大剪力放大系數(shù)的位置遷移對(duì)照如表3 所示.

表3 最大轉(zhuǎn)角和最大剪力放大系數(shù)的位置遷移對(duì)照表Table 3 Comparison of position migration of maximum angle and maximum shear amplification coefficient

2.3 漸進(jìn)積分法

構(gòu)造迭代方程如下

選取無軸向力作用的梁撓度為初始曲線V[0](X).基本方程

邊界條件

由連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法解得

由式(39b)求第一次近似變形曲線,基本方程為

邊界條件

由連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法解得

2.4 彎矩和變形的最大值

由式(45)可知,最大撓度出現(xiàn)在跨中截面,為

依次迭代到第六次,得到的最大撓度、最大轉(zhuǎn)角和最大彎矩的放大系數(shù)分別為

迭代六次后,每次迭代的最大撓度、最大轉(zhuǎn)角和最大彎矩與精確解的對(duì)比情況如圖8 所示.利用漸進(jìn)積分法求解,迭代六次時(shí)最大撓度放大系數(shù)βv和最大彎矩放大系數(shù)βM的計(jì)算結(jié)果如表4 所示,并與精確解進(jìn)行了對(duì)比.

圖8 梁?柱前六次迭代時(shí)最大變形和最大彎矩與精確解的對(duì)比Fig.8 Comparison between the maximum deflection,maximum angle and maximum bending moment in the first six iterations and the exact solution

表4 分布力作用的固支?固支梁?柱放大系數(shù)對(duì)比Table 4 Comparison of the fixed-fixed beam-column amplification coefficient under continuous transverse loading

從圖5 和表2 可以看出,當(dāng)κ∈[0,0.5]時(shí),本文的解答與精確解的誤差在1%以內(nèi).

3 結(jié)論

本文從力學(xué)模型研究入手,建立了鉸支?固支、固支?固支兩種邊界條件下的超靜定梁?柱在軸向力和分布載荷共同作用下彎曲問題求解的通用模型,推導(dǎo)出超靜定梁?柱彎曲變形的迭代微分方程和程序化求解內(nèi)力和變形的通用程序,用Maple 語言開發(fā)出相應(yīng)的求解程序.

采用連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法求解了橫向分布力作用下鉸支?固支、固支?固支兩種邊界條件下超靜定梁?柱的彎曲問題,得到了撓度函數(shù)、轉(zhuǎn)角函數(shù)、剪力函數(shù)和彎矩函數(shù)的精確解析解,繪制了不同軸向力 (κ=0,0.2,0.4,0.6,0.8)時(shí)的撓度圖、轉(zhuǎn)角圖、彎矩圖和剪力圖.進(jìn)一步得到了兩種邊界條件下超靜定梁?柱最大位移和最大內(nèi)力的解析表達(dá)式，式(13)、式(15)、式(35)和式(37)給出了最大位移和最大內(nèi)力的位置遷移解析表達(dá)式,圖3 和圖7 繪制了最大位移和最大內(nèi)力的位置遷移圖.本文新發(fā)現(xiàn)了梁?柱最大位移和最大內(nèi)力的位置隨軸力變化的遷移現(xiàn)象.

由于精確解析解是復(fù)雜函數(shù),本文為了滿足工程設(shè)計(jì)需要,構(gòu)造了求解超靜定梁?柱的四階撓度微分迭代方程,利用漸進(jìn)積分法求解得到了最大撓度、最大轉(zhuǎn)角和最大彎矩等用軸向力放大系數(shù)表示的多項(xiàng)式解析函數(shù)解.圖4 和圖8 繪制出了六次迭代的最大撓度、最大轉(zhuǎn)角和最大彎矩與精確解的對(duì)比圖;表2 和表4 列出了迭代六次時(shí)最大撓度、最大轉(zhuǎn)角和最大彎矩放大系數(shù)的多項(xiàng)式解與精確解的誤差對(duì)比表.結(jié)果表明在迭代僅6 次的情況下,當(dāng)超靜定梁?柱所受的軸向力約為歐拉臨界力的 1/2 以內(nèi)時(shí),可將誤差控制在1% 以內(nèi),滿足工程精度要求.

由于采用計(jì)算機(jī)積分求解計(jì)算速度快,載荷和剛度不需要簡化,求解過程簡潔方便、快速準(zhǔn)確,本文提出的漸進(jìn)積分法是一種可靠又快速的方法,具有重要的理論意義和工程實(shí)用價(jià)值.