顧海燕，于芊竹，藍(lán)飛宏

(東北林業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，哈爾濱 150040)

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》是各大高校普遍設(shè)置的一門公共基礎(chǔ)課程，對培養(yǎng)學(xué)生的或然性思維的過程中占有重要作用，同時也是統(tǒng)計分析的一門基礎(chǔ)課程，在數(shù)學(xué)、大數(shù)據(jù)、自動化等方面的研究作用顯著，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程的開設(shè)旨在培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用數(shù)據(jù)分析的方法解決實際問題的能力，對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析具有核心作用，而該課程由于其自身的抽象性特點以及與確定性量化分析方法具有本質(zhì)的區(qū)別，所以導(dǎo)致學(xué)生們往往在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生較多的困難，使得最后的考試成績參差不齊，難盡人意.從成績的角度倒推學(xué)生們學(xué)習(xí)該門課程的影響因素，并在實際教學(xué)中加以適當(dāng)處理，對于改善目前該門課程的教與學(xué)的活動無疑會有重要意義.

因子分析方法在對于成績的分析過程中應(yīng)用及其普遍，付政慶,郭蘭蘭,趙文才等人在職業(yè)教育培養(yǎng)中利用因子分析方法完成了各科成績的評價并得到相關(guān)聯(lián)的專業(yè)課程成績彼此間的影響強弱[1]；俞群俊,楊慶婷,李雅琳借助因子分析法研究了昆明醫(yī)科大學(xué)2017級勞動與社會保障專業(yè)53名同學(xué)的18門課程期末考試成績[2]；廖羽祥,王海洋,王帥等采用因子分析對體育課平時成績評價指標(biāo)進(jìn)行分層,確定了5個公共因子并對其命名釋義,最終建立評價指標(biāo)體系[3]；黃嘉文,陳丹婷,溫永仙利用因子分析對學(xué)生綜合素質(zhì)與能力進(jìn)行客觀評價的綜合分析方法對具有相同學(xué)習(xí)特征的學(xué)生進(jìn)行分組和聚類,得出本科學(xué)生存在各科類課程不均衡發(fā)展,缺乏創(chuàng)新實踐能力等問題的結(jié)論[4]；王小麗,曹雅妮,簡太敏利用因子分析方法提取出五個影響學(xué)生成績的潛在因子,并構(gòu)建學(xué)生綜合成績的數(shù)學(xué)模型,在此基礎(chǔ)上利用系統(tǒng)聚類分析法對學(xué)生成績進(jìn)行分類,客觀地評價了各類學(xué)生的課程成績,進(jìn)而提出該校GIS專業(yè)建設(shè)的具體措施[5]; 雷玲,劉昭君結(jié)合疫情期間線上教學(xué)質(zhì)量現(xiàn)存問題,以某高等院校為例,從四個層面設(shè)計了多個影響因素變量以及線上教學(xué)質(zhì)量滿意度變量,并利用障礙度診斷分析模型,實證分析了新冠肺炎疫情期間線上教學(xué)質(zhì)量影響因素與障礙因子[6]; 目的分析預(yù)防醫(yī)學(xué)專業(yè)學(xué)生課程成績,綜合評價不同學(xué)生的能力差異.許小琴,陳禮彬采用因子分析法和聚類分析法對福建醫(yī)科大學(xué)2015級預(yù)防醫(yī)學(xué)專業(yè)175名學(xué)生的47門課程成績進(jìn)行研究[7]; 武秋月在因子分析模型的基礎(chǔ)上,提出了計算自驅(qū)力指數(shù)α的因子分析改進(jìn)模型[8]; 錢芳斌,丁海洋提出了多維度、多階段的在線開放課程效能評價指標(biāo)和影響因素,并嘗試構(gòu)建了在線開放課程的效能評價體系模型,以保障在線開放課程的可持續(xù)性健康發(fā)展[9].由此可見，在高校課程成績分析及教學(xué)質(zhì)量的提升中，因子分析方法是一有力工具.

1 模型介紹

因子分析最早由英國心理學(xué)家C·E·斯皮爾曼提出，本質(zhì)上是一種降維過程，而降維得到的公共因子稱為“潛變量”，通常用于心理學(xué)、社會學(xué)和行為科學(xué)等領(lǐng)域的研究[10-12].用少數(shù)幾個公共因子去描述許多指標(biāo)或因素之間的聯(lián)系，就可以相對運用較少的因子反應(yīng)大部分的原數(shù)據(jù)所包含的信息.運用該項技術(shù)可以幫助我們應(yīng)用于生活中的實際問題的分析.

1.1 因子模型

假設(shè)可觀測隨機向量y=[Y1,Y2,…,Yp]′的均值為μ，假定y線性依賴于m個不可觀測的公共因子f=[F1…Fm]′和p個不可觀測的特殊因子ε=[ε1…εp]′，通常m

其中：ljk為第j個變量在第k個因子上的載荷，體現(xiàn)了公共因子對此變量的解釋能力[13].ljk表示公共因子對原始變量的解釋能力，當(dāng)因子載荷矩陣各列上的元素的絕對值越分散，說明該公共因子更易于解釋.

1.2 最大方差的正交旋轉(zhuǎn)

因子分析的目的不僅是得到公共因子，更重要的是知道各個公共因子的實際意義，即突出各個公共因子的典型代表原始變量，為此可以對因子載荷矩陣施行正交旋轉(zhuǎn)變換，使得因子載荷矩陣各列元素的平方兩極分化，要么接近0，要么接近1，該方法稱為最大方差正交旋轉(zhuǎn).

設(shè)T是一個正交矩陣，延用上面的因子載荷矩陣Lp×m，則最大方差正交旋轉(zhuǎn)的因子載荷矩陣為[14]

B=Lp×m×T.

1.3 因子得分

有時需要把公共因子表示成原始變量的線性組合，或?qū)γ總€樣品計算公共因子的估計值，即因子得分.因子得分用于模型診斷，或進(jìn)一步分析原始數(shù)據(jù)，比如排序、分類等.可表示為

Fi=si1y1+si2y2+…+sipyp,i=1,2,…，m

可以利用不同方法估計出sij的值，最后計算出Fi的值，稱之為公共因子Fi的得分[15].

2 模型建立

2.1 數(shù)據(jù)來源及數(shù)據(jù)處理

本次分析數(shù)據(jù)來源某高校《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》階段一二和期末成績.數(shù)據(jù)經(jīng)過了簡單處理，剔除了缺考學(xué)生成績，包括階段一4道主觀題分?jǐn)?shù)、階段二4道主觀題分?jǐn)?shù)和期末5道主觀題分?jǐn)?shù)，去掉了選擇題和填空題分?jǐn)?shù)，公選用13道題的分?jǐn)?shù)作為原始變量，樣本容量為3 206人.

如表1所示，利用處理過的所有數(shù)據(jù)采用主成分分析法得到的KMO檢驗值為0.942,較大，巴特球度檢驗顯著性水平小于0.001，結(jié)果說明這組數(shù)據(jù)適合進(jìn)行因子分析.

表1 KMO檢驗和巴特利特球度檢驗結(jié)果

2.2 不分學(xué)院的因子模型

采用處理過的3 206個數(shù)據(jù)進(jìn)行因子分析，選取了前4個公共因子，因為這4個公共因子有鮮明的實際意義，且反映原始變量的信息已占總信息的67%以上，雖然所占總信息的百分比不是那么高，但前4個公共因子已充分反映了學(xué)生答題的情況，對教師的后續(xù)教學(xué)已起到啟示作用.見表2.

表2 公共因子貢獻(xiàn)率及累積貢獻(xiàn)率

由于利用主成分法得到的公共因子不利于解釋，因此對因子載荷矩陣進(jìn)行了最大方差因子旋轉(zhuǎn).見表3，第一個公共因子對t9～t13的載荷較大，t9～t13是期末試題的所有主觀題，主要考察的知識點為：假設(shè)檢驗、區(qū)間估計、點估計、連續(xù)型二維隨機變量等.第二個公共因子對t5～t8的載荷較大，t5～t8是階段二試題的所有主觀題，主要考察的知識點為：離散型二維隨機變量、連續(xù)型二維隨機變量、中心極限定理等.第三個公共因子對t2～t4的載荷較大，t2～t4是階段一試題的除了第一道主觀題的所有主觀題，主要考察的知識為一維隨機變量.第四個公共因子對t1的載荷要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他的原始變量，這道題考察全概率公式和貝葉斯公式.

表3 最大方差正交旋轉(zhuǎn)后的因子載荷矩陣

將13道題利用四個因子的概括，實現(xiàn)了降維的效果，使其可以在低維度上對考試成績進(jìn)行研究，分析學(xué)生的知識掌握情況、邏輯思維能力、記憶能力等方面的信息.教師可以利用這些信息針對學(xué)生欠缺部分進(jìn)行專門的訓(xùn)練，來達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量的效果.

2.3 各個學(xué)院的因子模型

把處理過的數(shù)據(jù)按學(xué)院(分別為理學(xué)院、林學(xué)院、土木工程學(xué)院、經(jīng)濟管理學(xué)院、交通學(xué)院、工程技術(shù)學(xué)院、信息與計算機科學(xué)學(xué)院、機電工程學(xué)院)分成8組數(shù)據(jù)，對這8組數(shù)據(jù)分別建立因子模型.

圖1～8為8個學(xué)院的可視化因子載荷圖，這8個學(xué)院的因子模型均選取前4個公共因子，橫坐標(biāo)表示題目標(biāo)號，表示公共因子對各道題的因子載荷.

從圖1～8可以看出，各個學(xué)院的因子模型的第一個公共因子都是對期末試題的載荷較大，其中t9、t10的因子載荷明顯比其他的變量要大，不分學(xué)院的因子模型的第一個公共因子反映的信息是一致的.工程技術(shù)學(xué)院、經(jīng)濟管理學(xué)院、林學(xué)院、信息與計算機科學(xué)學(xué)院的因子模型的第二個公共因子對t5～t8的載荷較大，與不分學(xué)院的因子模型的第二個公共因子反映的信息是一致的，但是其他學(xué)院的因子模型的第二個公共因子沒有反映此信息，如對于機電工程學(xué)院和土木工程學(xué)院，第二個公共因子主要解釋原始變量t2和t3，由此可見不同學(xué)院的學(xué)生對本課程的掌握具有明顯的差異性，因此教師應(yīng)該結(jié)合學(xué)院專業(yè)不同調(diào)整上課進(jìn)度、方式、著重哪些的知識點講解等.第三個公共因子只對交通學(xué)院的試題t7和t9分?jǐn)?shù)有負(fù)向的影響，說明第三個公共因子得分越低學(xué)生成績越高.8個學(xué)院的因子模型的第四個公共因子出現(xiàn)了負(fù)數(shù)的載荷，且多數(shù)學(xué)院的因子模型的第四個公共因子對t1的因子載荷很大，這與部分學(xué)院的因子模型一致.

工程技術(shù)學(xué)院、機電工程學(xué)院和信息與計算機科學(xué)學(xué)院的因子模型的前四個公共因子對原始變量的解釋較為相似，可見這三個學(xué)院對本課程的學(xué)習(xí)有一定的共通性，這3個學(xué)院都是工科學(xué)院，因此學(xué)生邏輯思維能力較強，體現(xiàn)了工科學(xué)生的特點.

圖1 可視化因子載荷(工程技術(shù)學(xué)院)

圖2 可視化因子載荷(機電工程學(xué)院)

圖3 可視化因子載荷(交通學(xué)院)

圖4 可視化因子載荷(經(jīng)濟管理學(xué)院)

圖5 可視化因子載荷(理學(xué)院)

圖6 可視化因子載荷(林學(xué)院)

圖7 可視化因子載荷(土木工程學(xué)院)

圖8 可視化因子載荷(信息與計算及工程學(xué)院)

3 結(jié) 語

針對全校本課程的各道主觀題分值建立的因子模型，用前4個公共因子反映出學(xué)生學(xué)習(xí)本課程的各方面能力，以此調(diào)整教學(xué)方法.

針對8個學(xué)院學(xué)生的本課程的各道主觀題分值建立的8個因子模型，也選取前4個公共因子，不同學(xué)院表現(xiàn)出不同的結(jié)果，因此提示教師在教學(xué)中應(yīng)該結(jié)合專業(yè)進(jìn)行講解.