薛加付

(江蘇省灌云高級中學(xué)城西分校 222200)

初中數(shù)學(xué)的動點(diǎn)問題有著較強(qiáng)的靈活性，出題形式各異，解題方法也不盡相同.在做動點(diǎn)問題的時候需要掌握一定的思路，把握住題干的關(guān)鍵之處，將題干分解成一系列小的問題，再進(jìn)行逐一分析，逐一突破.動點(diǎn)問題中主要包含圖形轉(zhuǎn)換、三角函數(shù)等問題，對學(xué)生的解題思路與技巧要求較高，因此此類題型也比較困難.在教學(xué)過程中，教師要對這些類型的題目重視起來，進(jìn)行有針對性地指導(dǎo)，促使學(xué)生對動點(diǎn)問題的分析與思考，掌握解題策略,培養(yǎng)解題思維，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

1 動點(diǎn)問題的現(xiàn)狀

1.1 數(shù)量關(guān)系混亂

解決動點(diǎn)問題的關(guān)鍵之處在于學(xué)生是否能夠理清楚其中的數(shù)量關(guān)系，然而在現(xiàn)實(shí)的做題過程中，學(xué)生對于這一部分的分析能力偏弱.由于動點(diǎn)問題在幾何中的運(yùn)用使得數(shù)形結(jié)合，題目中還會出現(xiàn)一定的變量與常量，這也就導(dǎo)致了學(xué)生在做題的時候常常理不清楚各種數(shù)量關(guān)系以及它們之間的關(guān)系，這就需要學(xué)生在解答的過程中格外細(xì)心.

1.2 空間感的缺失

動點(diǎn)問題中最大的一個特點(diǎn)就是它有一個或者若干個點(diǎn)是運(yùn)動的，在這種情況下，學(xué)生必須要具有一定的空間感能力，展開合理的想象并且根據(jù)題意進(jìn)行圖形繪制，這種動態(tài)的空間感想象，對于一部缺失空間感或者空間感差的學(xué)生來講，還是有較大的難度的，這也就導(dǎo)致他們在做題時，無法把握題目中的運(yùn)動情形.

1.3 找不準(zhǔn)切入點(diǎn)

動點(diǎn)問題在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用內(nèi)容比較多，部分學(xué)生在做題時，對問題的類型不太明了，分不清類別.在處理這類問題時，要找準(zhǔn)解題的切入點(diǎn).具體來看，動點(diǎn)問題與圖形的結(jié)合中主要包含三角形、四邊形、多邊形等，此外還有一些與直線和函數(shù)的問題等.不同類別的動點(diǎn)問題，解題方法也是不同的.對于那些類似的圖形結(jié)合的動點(diǎn)問題，在一定程度上是存在相似的解題思路的.因此，在做動點(diǎn)問題的時候，學(xué)生要學(xué)會找準(zhǔn)切入點(diǎn)，判斷題目類型，結(jié)合自身知識對題目進(jìn)行分析與解決，同時也要多下功夫提高自己的解題能力.

2 動點(diǎn)問題的解題策略

2.1 動靜結(jié)合，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系

動點(diǎn)問題的實(shí)質(zhì)是在運(yùn)動場景下的問題.動點(diǎn)問題在實(shí)際的解題過程中是具有一定技巧的，動靜結(jié)合的同時，必然存在著動中有靜、靜中有動的規(guī)律特點(diǎn).這些問題，除了教師要在課堂上進(jìn)行動點(diǎn)問題的演示與指導(dǎo)，還需要提高學(xué)生在這方面的理解.其中最主要的是，學(xué)生要搞清楚題目中的變量與常量以及它們之間的關(guān)系，運(yùn)用動靜結(jié)合的方法,找到解題的思路.如題:在正方形ABCD中，P是BC上的一個動點(diǎn)，其中，∠APE是直角，正方形的外角∠DCF的角平分線CE與PE相交于點(diǎn)E，證明:AP=FP.在解這道題時，首先需要畫圖，然后再根據(jù)教師的指導(dǎo)，利用全等三角形的相關(guān)知識進(jìn)行證明，P是一個動點(diǎn)，所以其所在的線段不能直接作為解題的條件，這就需要老師引導(dǎo)學(xué)生思考點(diǎn)P運(yùn)動到哪里才能夠出現(xiàn)適合證明全等三角形的對應(yīng)條件呢?經(jīng)過引導(dǎo)，學(xué)生很快可以想到，P點(diǎn)到達(dá)BC的中點(diǎn)時，可以轉(zhuǎn)化成為一個靜態(tài)的點(diǎn)，這時問題就可以迎刃而解了.

2.2 學(xué)會畫圖

在動點(diǎn)問題的解答過程中，輔助性解題畫圖是必不可少的.很大一部分同學(xué)解決不好此類題目一個重要的原因就是不會畫圖.而不會畫圖又分很多種情況，具體包括繪制錯誤、找不到繪圖信息甚至不會畫圖等等.這些情況的出現(xiàn)都與學(xué)生空間感的差異有一定的關(guān)系.另外，對于題目理解得不透徹，也是畫圖畫不清晰的一個原因.動點(diǎn)問題的“動態(tài)”特質(zhì)，決定了它是運(yùn)動著的場景，而運(yùn)動體現(xiàn)在數(shù)學(xué)題目中又是一個十分抽象的狀態(tài)，這就要求學(xué)生必須要學(xué)會輔助性畫圖解題的技能.如何鍛煉自己的這方面能力呢？首先，對于所給題干，一定要將已知條件羅列清晰，根據(jù)所有的已知條件，將簡單的幾何圖形勾勒出來，并且將已知條件進(jìn)行標(biāo)注；再者，整理好已知條件后，要將題干隱形的已知條件挖掘出來.例如：正方形就說明它的邊長長度是一樣的；等腰三角形就說明這個三角形的兩條邊是相等的；而直角三角形，說明是滿足勾股定理的等等.這些隱形的已知條件也就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)性知識，需要學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中有一定的積累；最后，根據(jù)所有整理的已知條件，將問題代入，完善圖形，進(jìn)行題目的解答.繪圖輔助解答會大大降低動點(diǎn)問題的難度，是學(xué)生對于解答動點(diǎn)問題一個非常便捷且有效的學(xué)習(xí)方法.除此之外，培養(yǎng)學(xué)生的空間感也可以從日常的教學(xué)中入手，教師應(yīng)當(dāng)有意識地對于空間圖形進(jìn)行演示教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生一起積極思考，有意識地構(gòu)建出適合自己的空間想象體，為解答問題提供便利.

2.3 找準(zhǔn)解題切入點(diǎn)

對于不同類型的動點(diǎn)問題，解題的方法也存在著一定的差異.但對于相似類型的題目而言，在解答時候也是存在著相似之處.所以，分類學(xué)習(xí)、歸納學(xué)習(xí)對于初中生來講也是非常重要的.只有弄清楚大的類別，才能夠找準(zhǔn)題目的切入點(diǎn)，結(jié)合自己所學(xué)的知識，對動點(diǎn)題目進(jìn)行思考與分析.動點(diǎn)問題所涉及到的類型多種多樣，學(xué)生在解答題目的時候也要分門別類，了解不同類型的解題思路.比如說，在做題時候，要明白這些問題是三角形和多邊形中的動點(diǎn)，還是在線段上的動點(diǎn)；是多種圖形結(jié)合起來的動點(diǎn)還是單一的動點(diǎn)；是線段和的動點(diǎn)還是線段差的動點(diǎn)；是求動點(diǎn)所組成的圖形面積還是證明組成圖形的一些條件等等.通過對題干進(jìn)行透徹的分析，找準(zhǔn)解題切入點(diǎn).學(xué)生對于這些類別有所分辨之后，解題就會容易很多.例如,在線段動點(diǎn)的解答過程中，學(xué)生可以利用兩點(diǎn)之間垂線的距離最短進(jìn)行輔助性解題，突破一些最值的問題；如果是在圖形類的動點(diǎn)問題，可以嘗試引導(dǎo)學(xué)生通過將動點(diǎn)與圖形的一些定值以及比值作為突破口進(jìn)行解答等.這種解題的方法需要教師有耐心地引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生對于切入點(diǎn)有著很強(qiáng)的敏感度，看到什么圖形就可以想到對應(yīng)的解題切入點(diǎn)，當(dāng)學(xué)生對于切入點(diǎn)可以準(zhǔn)確地把握時，解題的技巧也就得到了提升，解題的難度也就會隨之下降，動點(diǎn)問題的難度就會有了明顯的降低.

2.4 建立變量的函數(shù)關(guān)系

依據(jù)前面動靜結(jié)合的思路，學(xué)生在做題的過程中接觸的做題方法主要是利用函數(shù)圖象來展現(xiàn)動點(diǎn)的變化行跡，以此來建立變量之間的函數(shù)關(guān)系，通過圖形表現(xiàn)出來.這里對變量的研究我們可以采用發(fā)展的觀點(diǎn)去看待，使得問題解決起來更加順利.例如：一只小老鼠從A點(diǎn)出發(fā)，沿著扇形APE(圖1所示)的邊緣部分勻速的移動一周，設(shè)小老鼠移動的時間為t，小老鼠到A點(diǎn)的距離為S.試求S關(guān)于t的函數(shù)圖像.

圖1

分析小老鼠從A→P的移動過程中，小老鼠到A點(diǎn)的距離會隨著它的移動時間t的增大而增大，小老鼠從P→E的移動過程中，它到A點(diǎn)的距離S基本保持不變，小老鼠從E→A的運(yùn)動過程中，小老鼠到A點(diǎn)的距離S會隨著時間t的增大而減小，因此S關(guān)于t的函數(shù)圖象就可以展現(xiàn)出來.通過對這個問題思考與分析，在解決相似類型的題目時，學(xué)生就會有了一定的解題思路，不再手足無措.

3 函數(shù)動點(diǎn)問題典例分析

動點(diǎn)在函數(shù)中的運(yùn)用屬于比較困難的一類問題，并且在近些年的中考中出現(xiàn)的頻率也有所提高，這無疑提高了解題的難度，所以在教學(xué)活動中，教師與學(xué)生也要將此類問題重視起來，下面通過一道例題進(jìn)行淺析.

如圖2(a)，拋物線y=-x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A(-3, 0)和點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C(0, 3).

圖2

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)若點(diǎn)P在拋物線上，且S△AOP=4S△BOC, 求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)如圖2(b),設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的一動點(diǎn)，作DQ⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)D,求線段DQ長度的最大值.

解答思路：(1) 把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式,得出關(guān)于系數(shù)的方程組，通過解方程組獲得系數(shù)的數(shù)值.

(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，-x2-2x+3)，根據(jù)S△AOP=4S△BOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+3,再設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x+3) ，則D點(diǎn)坐標(biāo)為(x,-x2-2x+3)，然后用含x的代數(shù)式表示QD,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長度的最大值.

關(guān)于函數(shù)中的動點(diǎn)問題，學(xué)生要打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，老師再進(jìn)行有針對的指導(dǎo)，共同攻克這一難題，提升學(xué)生對于動點(diǎn)函數(shù)問題的解答能力.

總之，初中階段的動點(diǎn)問題是難度較大的，并且在初中階段所占的比例也比較大.想要突破性的解決動點(diǎn)問題，學(xué)生必須要學(xué)會相對應(yīng)的學(xué)習(xí)技巧與解題思路，學(xué)會將動態(tài)問題化作靜態(tài)問題進(jìn)行解答，降低問題的難度.教師在教學(xué)過程中也要有意識地培養(yǎng)學(xué)生解答動點(diǎn)問題的解題思維，準(zhǔn)備大量的練習(xí)題，讓同學(xué)們在總結(jié)中成長，在實(shí)踐中鍛煉自己的解題能力，從而在應(yīng)對動點(diǎn)問題時可以做到“手到擒來”.