王 璞，王樹國(guó)，趙振華，司道林

（中國(guó)鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司鐵道建筑研究所，北京 100081）

60 kg/m鋼軌是目前我國(guó)鐵路使用最為普遍的一種鋼軌，而在普速鐵路尤其是重載鐵路運(yùn)營(yíng)過程中，鋼軌傷損問題較為普遍，這與輪軌接觸關(guān)系及動(dòng)力相互作用直接相關(guān).而車輪與鋼軌廓形對(duì)于輪軌接觸關(guān)系具有直接影響，良好的輪軌廓形匹配關(guān)系可有效地改善輪軌動(dòng)力相互作用，進(jìn)而減緩鋼軌傷損的出現(xiàn)和發(fā)展[1-3].

因此，針對(duì)鋼軌廓形的優(yōu)化設(shè)計(jì)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開展了較多的研究工作.早期鋼軌廓形的優(yōu)化設(shè)計(jì)是從模仿磨損后的鋼軌形狀開始的，主要設(shè)計(jì)依據(jù)為：無論鋼軌初始形狀是什么樣，在經(jīng)過了一定時(shí)間的運(yùn)營(yíng)后，它們均趨向一種相對(duì)穩(wěn)定的形狀，宜將這種磨損后的形狀用作初始形狀，這就是磨耗形鋼軌廓形.后來，周清躍等[4-5]針對(duì)中國(guó)鐵路輪軌匹配存在的問題，研發(fā)了鋼軌打磨設(shè)計(jì)廓形60D和新軌頭廓形鋼軌60N.優(yōu)化后的軌頭廓形與LM、S1002CN和LMA廓形車輪接觸時(shí)的光帶基本居中，可有效提高車輛運(yùn)行穩(wěn)定性.陳迪夾等[6]針對(duì)道岔轉(zhuǎn)轍器區(qū)鋼軌容易出現(xiàn)傷損及壽命短等問題，提出了以滾動(dòng)圓半徑差函數(shù)和輪軌間接觸點(diǎn)均勻分布為主要的設(shè)計(jì)目標(biāo)，以輪軌接觸點(diǎn)的位置為邊界條件，利用歐拉積分方法求解微分方程，提出了鋼軌打磨目標(biāo)廓形.Xu等[7]對(duì)鋼軌打磨對(duì)高速動(dòng)車組運(yùn)行平穩(wěn)性和磨耗發(fā)展的影響進(jìn)行了綜合研究，充分考慮與特定線路上運(yùn)行的所有類型車輛車輪的匹配關(guān)系，設(shè)計(jì)了一種新的鋼軌打磨廓形.林鳳濤等[8-9]基于NURBS （nonuniform rational B-splines）曲線理論建立鋼軌廓形曲線的重構(gòu)方法，以減少打磨去除材料和減小脫軌系數(shù)為目標(biāo)，以鋼軌廓形幾何特性和降低磨耗為約束條件，提出了貨運(yùn)鐵路鋼軌經(jīng)濟(jì)性打磨廓形.

通過對(duì)比分析既有研究，結(jié)合我國(guó)普速及重載鐵路60 kg/m鋼軌的使用現(xiàn)狀，本文從減緩輪軌磨耗發(fā)展的角度出發(fā)，針對(duì)60 kg/m鋼軌廓形進(jìn)行優(yōu)化研究，以不同接觸條件下輪軌廓形共形度最優(yōu)為原則設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)及約束條件，建立鋼軌廓形非線性優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，基于序列二次規(guī)劃算法進(jìn)行求解.研究提出普速及重載鐵路60 kg/m鋼軌廓形的優(yōu)化方案，并從輪軌接觸關(guān)系、動(dòng)力學(xué)、磨耗的角度進(jìn)行理論驗(yàn)證.

1 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

基于前期研究基礎(chǔ)[10-11]，通過數(shù)值優(yōu)化算法提供一種60 kg/m鋼軌優(yōu)化廓形.將60 kg/m鋼軌廓形進(jìn)行參數(shù)化處理，以各種可能的輪對(duì)橫移條件下輪軌接觸點(diǎn)附近的輪軌廓形共形度最高為原則設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)，將鋼軌廓形優(yōu)化轉(zhuǎn)變?yōu)閱文繕?biāo)、多變量、多約束非線性數(shù)學(xué)優(yōu)化問題.

1.1 60 kg/m鋼軌廓形參數(shù)化處理

選擇60 kg/m鋼軌廓形曲線可能與車輪接觸的范圍作為優(yōu)化區(qū)域，離散化為一系列可上下移動(dòng)的點(diǎn)，通過點(diǎn)的上下移動(dòng)來調(diào)整鋼軌廓形.取優(yōu)化區(qū)域各點(diǎn)的y坐標(biāo)變化量 ?y1,?y2,···,?yJ為獨(dú)立變量，設(shè)定一組 ?y1,?y2,···,?yJ時(shí)，可得離散點(diǎn)的新位置，然后通過樣條曲線擬合，即可得到一個(gè)新的鋼軌廓形曲線.?y1,?y2,···,?yJ與鋼軌廓形是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.鋼軌廓形參數(shù)化處理方法如圖1所示.圖中：x為鋼軌廓形水平位置坐標(biāo)；點(diǎn)（xj，yj）為第j個(gè)離散點(diǎn)，j= 1,2,···,J.本文計(jì)算中，離散點(diǎn)數(shù)J= 15.

圖1 60 kg/m鋼軌廓形參數(shù)化處理Fig.1 Parameterization of 60 kg/m rail profile

1.2 目標(biāo)函數(shù)

提升輪軌共形度可減小輪軌接觸應(yīng)力，此理念適用于客貨共線鐵路和重載鐵路的運(yùn)營(yíng)條件.因此，以各種可能的輪對(duì)橫移條件下輪軌接觸點(diǎn)附近的輪軌廓形共形度最高為原則，設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)，首先引入“接觸點(diǎn)輪軌間隙”的概念，如圖2所示.實(shí)際列車運(yùn)行過程中，輪對(duì)相對(duì)于鋼軌會(huì)發(fā)生橫向移動(dòng)（垂直于車輛運(yùn)行方向），當(dāng)輪對(duì)橫移量確定時(shí)，可唯一確定輪軌接觸點(diǎn)的位置.輪軌接觸點(diǎn)位置確定后，選取接觸點(diǎn)周圍區(qū)域計(jì)算輪軌間的平均距離，即為接觸點(diǎn)輪軌間隙.

圖2 接觸點(diǎn)輪軌間隙Fig.2 Wheel-rail clearance around contact points

接觸點(diǎn)周圍區(qū)域范圍為 [r1，r2]，在該區(qū)間平均選取K個(gè)點(diǎn)，各點(diǎn)位置輪軌廓形垂向距離的平均值即為接觸點(diǎn)輪軌間隙值D，如式（1）所示.計(jì)算中，r1取接觸點(diǎn)坐標(biāo) ? 5 mm，r2取接觸點(diǎn)坐標(biāo) + 5 mm，K取為100.

式中：dk為第k點(diǎn)位置輪軌廓形的垂向距離.

對(duì)于不同的輪對(duì)橫移量可得到不同的接觸點(diǎn)輪軌間隙值，通過改變輪對(duì)橫移量，可得到接觸點(diǎn)輪軌間隙的變化曲線.接觸點(diǎn)輪軌間隙越大，輪軌廓形共形程度越差，輪軌接觸應(yīng)力越大.因此，接觸點(diǎn)輪軌間隙越小越好，選擇不同輪對(duì)橫移量下接觸點(diǎn)輪軌間隙變化曲線的面積作為目標(biāo)函數(shù)，可較好地反映各種接觸狀態(tài)下的輪軌廓形的共形度水平.

由目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造過程可知，當(dāng)給定 ?y1,?y2,···,?yJ，即給定一個(gè)新的鋼軌廓形時(shí)，可唯一確定出目標(biāo)函數(shù)接觸點(diǎn)輪軌間隙變化曲線的面積SD為

式中：f(?)為目標(biāo)函數(shù)符號(hào).

令目標(biāo)函數(shù)值最小，得到最優(yōu)解 ?y?1,?y?2,···,?y?J，對(duì)應(yīng)的廓形即為最優(yōu)廓形.

1.3 約束條件

主要施加以下兩方面約束條件：

1）各自變量設(shè)置有限變化區(qū)間；

2）鋼軌優(yōu)化廓形基本特征保持不變.

對(duì)應(yīng)形成的約束方程為

式中：Δyj,min、Δyj,max分別為Δyj的變化區(qū)間下限、上限.

約束方程可統(tǒng)一表達(dá)為

式中：Ci(?)為約束函數(shù)符號(hào)；I為約束方程數(shù).

本文計(jì)算中有15個(gè)自變量，即J= 15，對(duì)應(yīng)I= 29.可在確保計(jì)算精度的同時(shí)，控制計(jì)算量不至于過大.

基于上述方法，將60 kg/m鋼軌廓形優(yōu)化問題抽象為單目標(biāo)、多變量、多約束非線性數(shù)學(xué)優(yōu)化模型：

基于所建立的優(yōu)化模型，采用MATLAB軟件編制了優(yōu)化程序.

2 優(yōu)化求解及結(jié)果

采用序列二次規(guī)劃法對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解，具有較好的計(jì)算效率和準(zhǔn)確度，得到最優(yōu)解 ?y?1,?y?2,···,?y?J，使用B樣條函數(shù)重構(gòu)出鋼軌優(yōu)化廓形，如圖3所示.

圖3 60 kg/m鋼軌優(yōu)化廓形Fig.3 Optimization of 60 kg/m rail profile

原始廓形和優(yōu)化廓形對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值接觸點(diǎn)輪軌間隙變化曲線面積分別為4.12 × 10?7m2和2.02 × 10?7m2，優(yōu)化后減小了約50%.接觸點(diǎn)輪軌間隙變化曲線如圖4所示.可以看出：在大部分輪對(duì)橫移范圍內(nèi)，優(yōu)化廓形所對(duì)應(yīng)的接觸點(diǎn)輪軌間隙值更小，因此，與車輪廓形具有更高的共形度水平.

圖4 接觸點(diǎn)輪軌間隙變化Fig.4 Variation of wheel-rail clearance around contact points

3 優(yōu)化效果分析

分別從輪軌接觸幾何關(guān)系、車輛-軌道系統(tǒng)動(dòng)力相互作用、磨耗的角度對(duì)優(yōu)化廓形的優(yōu)化效果進(jìn)行對(duì)比分析.

3.1 輪軌接觸幾何關(guān)系

客貨共線鐵路及重載鐵路車輛車輪主要為L(zhǎng)M廓形，因此，對(duì)原始廓形及優(yōu)化廓形與LM車輪廓形的接觸幾何關(guān)系進(jìn)行對(duì)比分析.輪軌接觸點(diǎn)分布規(guī)律如圖5所示，對(duì)應(yīng)的輪徑差曲線及等效錐度曲線如圖6、圖7所示.

圖5 輪軌接觸位置分布Fig.5 Distribution of wheel–rail contact positions

圖6 輪徑差曲線Fig.6 Curves of rolling radius difference

圖7 等效錐度曲線Fig.7 Equivalent conicity curves

總體來看，優(yōu)化廓形和原始廓形所對(duì)應(yīng)的接觸點(diǎn)分布及輪徑差曲線差異較小，相比較而言，當(dāng)采用優(yōu)化廓形時(shí)，接觸點(diǎn)在車輪和鋼軌廓形上的分布更為均勻，分布范圍也略寬，有助于減小車輪和鋼軌廓形上某些特定位置的接觸頻率，從而減少滾動(dòng)接觸疲勞傷損.另外，在較小的輪對(duì)橫移范圍內(nèi)，優(yōu)化廓形對(duì)應(yīng)的輪徑差略小，當(dāng)輪對(duì)橫移較大時(shí)，優(yōu)化廓形對(duì)應(yīng)的輪徑差略大.在不同輪對(duì)橫移幅值條件下，優(yōu)化廓形所對(duì)應(yīng)的等效錐度均較小.

3.2 車輛-軌道系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)作用特征

基于多體動(dòng)力學(xué)理論建立車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)計(jì)算模型，對(duì)采用原始廓形和優(yōu)化廓形時(shí)輪軌動(dòng)力作用特征進(jìn)行對(duì)比分析.

建立三大件式轉(zhuǎn)向架貨車車輛模型，對(duì)車體及轉(zhuǎn)向架結(jié)構(gòu)部件（搖枕、側(cè)架、軸箱、輪對(duì)等）采用6自由度剛體模擬，對(duì)車體與心盤、旁承，楔塊減振器與搖枕、側(cè)架，以及側(cè)架與軸箱間的接觸摩擦作用采用點(diǎn)-面接觸單元組合進(jìn)行模擬，考慮部件實(shí)際間隙，中央懸掛枕簧采用雙線性剛度阻尼力學(xué)單元模擬.通過精細(xì)化建模確保模型盡可能與實(shí)際情況相符，建立的車輛模型如圖8所示.

圖8 車輛動(dòng)力學(xué)模型Fig.8 Vehicle dynamic model

輪軌接觸計(jì)算基于Hertz接觸理論及FASTSIM算法[12-13]進(jìn)行，主要分為接觸點(diǎn)位置探測(cè)、整體接觸力學(xué)量計(jì)算（接觸力、蠕滑率等）以及接觸斑局部接觸力學(xué)量計(jì)算（接觸應(yīng)力、蠕滑應(yīng)力、滑動(dòng)速度等），如圖9所示，圖中：a、b為接觸橢圓半長(zhǎng)軸和半短軸；(xm,yn)為接觸斑內(nèi)第n行第m個(gè)離散塊的位置坐標(biāo)；dy、dx（yn）為離散塊的尺寸；(xm?1,yn)為接觸斑內(nèi)第n行第m?1個(gè)離散塊的位置坐標(biāo).

圖9 輪軌接觸模型Fig.9 Wheel-rail contact model

輪軌接觸作用與下部軌道結(jié)構(gòu)密不可分，充分考慮軌道的彈性和阻尼特性，剛度阻尼參數(shù)取值基于實(shí)測(cè)結(jié)果，軌道力學(xué)模型如圖10所示，圖中：T1（T2）、N1（N2）分別為接觸點(diǎn)1 （接觸點(diǎn)2）的輪軌切向力和法向力；δy、δz分別為鋼軌的橫向和垂向位移；Gy、Gz分別為扣件橫向和垂向支承反力；Cy、Cz分別為扣件橫向和垂向剛度；Dy、Dz分別為扣件橫向和垂向阻尼.

圖10 軌道力學(xué)模型Fig.10 Track mechanical model

在直線軌道區(qū)段進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，車輛模型采用C80貨車車輛參數(shù)[14]，鋼軌軌底坡為1/40，運(yùn)行速度80 km/h.分別采用原始廓形和優(yōu)化廓形時(shí)，各動(dòng)力學(xué)指標(biāo)時(shí)程曲線及峰值響應(yīng)分別見圖11和表1.

表1 動(dòng)力學(xué)計(jì)算結(jié)果Tab.1 Results of dynamics computation

圖11 動(dòng)力學(xué)指標(biāo)時(shí)程曲線Fig.11 Time history curves of dynamics indexes

可以看出：分別采用原始廓形和優(yōu)化廓形時(shí)，車輛運(yùn)行過程中脫軌系數(shù)和車體加速度計(jì)算結(jié)果差別較小，并且均滿足相關(guān)規(guī)范要求[15-16].脫軌系數(shù)指標(biāo)偏差0.71%，車體加速度偏差1.33%.廓形變化對(duì)于車輛運(yùn)行安全性和平穩(wěn)性不會(huì)產(chǎn)生顯著影響.

但是，采用原始廓形和優(yōu)化廓形時(shí)輪軌接觸斑面積和接觸應(yīng)力存在明顯差異.采用優(yōu)化廓形時(shí)，輪軌接觸斑面積顯著增大，增幅達(dá)到11.24%，輪軌接觸應(yīng)力顯著減小，減幅達(dá)到20.42%.因此，優(yōu)化廓形通過提升輪軌廓形共形度，有效增大了輪軌接觸面積、降低了接觸應(yīng)力，有利于減緩輪軌磨耗和接觸疲勞傷損、提升車輪與鋼軌的服役壽命.

由磨耗功率計(jì)算結(jié)果也可知，采用優(yōu)化廓形后，輪軌磨耗功率明顯降低，減幅達(dá)到12.43%，因此，廓形的改變確實(shí)起到了減緩磨耗的作用.

4 結(jié)束語

針對(duì)客貨共線及重載鐵路的運(yùn)營(yíng)條件，從減緩輪軌磨耗發(fā)展的角度出發(fā)，對(duì)60 kg/m鋼軌廓形進(jìn)行優(yōu)化研究，以不同接觸條件下輪軌廓形共形度最優(yōu)為原則設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)及約束條件，建立鋼軌廓形非線性優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，基于序列二次規(guī)劃法進(jìn)行求解，提出60 kg/m鋼軌廓形的優(yōu)化方案.然后從輪軌接觸幾何關(guān)系、車輛-軌道系統(tǒng)動(dòng)力作用、磨耗的角度對(duì)優(yōu)化廓形的優(yōu)化效果進(jìn)行了對(duì)比分析和驗(yàn)證.

所提出的60 kg/m鋼軌優(yōu)化廓形與LM車輪廓形具有更高的共形度水平，輪軌接觸點(diǎn)分布也更為均勻，在對(duì)車輛運(yùn)行安全性和平穩(wěn)性無顯著影響的前提下，可有效增大輪軌接觸面積、降低接觸應(yīng)力，減緩輪軌磨耗的發(fā)生發(fā)展速率.

進(jìn)一步擬開展優(yōu)化廓形的試驗(yàn)驗(yàn)證工作，通過廓形打磨技術(shù)在現(xiàn)場(chǎng)設(shè)置試驗(yàn)段，進(jìn)行動(dòng)力學(xué)試驗(yàn)和軌道服役狀態(tài)監(jiān)測(cè)，對(duì)車輛通過試驗(yàn)段時(shí)的系統(tǒng)動(dòng)力特性和長(zhǎng)期運(yùn)營(yíng)條件下鋼軌磨耗和疲勞傷損的發(fā)展情況進(jìn)行測(cè)試和記錄，在此基礎(chǔ)上對(duì)優(yōu)化廓形進(jìn)行進(jìn)一步的驗(yàn)證和修正.