張繼紅,欒舒含,梁波
(大連交通大學(xué) 理學(xué)院,遼寧 大連 116028)
本文考慮如下帶有初邊值條件的具非線性對流項主部為熱傳導(dǎo)算子的對流擴(kuò)散方程:
(1)
式中:x∈(a,b);t∈(0,T);指數(shù)p是參數(shù).
許多物理現(xiàn)象,比如液體薄片在重力作用下的運動情況,流體在多孔介質(zhì)中流動等都與方程(1)有關(guān).Kamin[1]證明了不帶對流項的標(biāo)準(zhǔn)滲流方程源型解的存在唯一性;Brezis等[2]給出了具有吸收項的熱傳導(dǎo)方程測度初值問題解的存在性;盧國富證明了具非線性對流項主部為熱傳導(dǎo)算子的對流擴(kuò)散方程的源型解[3].
近年來,對這類非線性偏微分方程的數(shù)值求解[4]也取得了很大進(jìn)展,尤其是與Matlab軟件相結(jié)合,借助Matlab的數(shù)值計算和圖形處理技術(shù)[5],使得非線性偏微分方程解的意義更好理解.
本文主要研究具非線性對流項熱傳導(dǎo)方程的有限差分法實現(xiàn),重點研究當(dāng)參數(shù)p變化時,對方程的數(shù)值解會產(chǎn)生怎樣的影響.
考慮內(nèi)網(wǎng)點(xk,tn)處,原方程成立:
ut(xj,tn)-uxx(xj,tn)+|ux(xj,tn)|p=f(xj,tn)
整理可得
(2)
與初邊值條件相應(yīng)的差分方程為:
(3)
方程(2)與(3)聯(lián)立,即為與方程(1)相對應(yīng)的差分方程.
對具非線性對流項熱傳導(dǎo)方程(1),用差分格式(2)、(3)進(jìn)行數(shù)值計算,區(qū)間設(shè)為[0,π],空間步長、時間步長分別取h=π/30、τ=0.001.
下面針對具體例子給出相應(yīng)的數(shù)值實驗,重點研究參數(shù)p對差分解的影響情況.
當(dāng)參數(shù)p=1,時刻T=1時,可以得到相應(yīng)的差分解,并與方程(1)的真實解u(x,t)=t2+sinx進(jìn)行比較,得到的圖像分別如圖1~圖3所示.圖1為p=1,T=1時相應(yīng)的數(shù)值解與真實解的對比圖,圖中可以看出數(shù)值解完全落在真實解的曲線上.圖2為p=1,時間t在[0,1]變化時的三維動態(tài)數(shù)值解模擬圖.圖3為p=1,時間t在[0,1]變化時的數(shù)值解與真實解絕對誤差圖.圖中可以看到絕對誤差不超過0.012,也就是說局部截斷誤差可以達(dá)到O(h2).
圖1 數(shù)值解與真實解對比圖
圖2 數(shù)值解三維圖像
圖3 數(shù)值解與真實解絕對誤差三維圖
表1、表2分別給出了取不同參數(shù)p時,不同時刻T相應(yīng)的誤差范數(shù)對比表.表1給出了p>1時,不同時刻T相應(yīng)的誤差范數(shù)情況;表2給出了p<1時,不同時刻T相應(yīng)的誤差范數(shù)情況.由表1可以看出,當(dāng)p>1,L∞,L2數(shù)量級基本穩(wěn)定在O(h2)時,當(dāng)p發(fā)生變化,誤差并沒有明顯增長,且隨著時刻T的增加,誤差也沒有明顯增長,數(shù)值結(jié)果保持穩(wěn)定.由表2可以看出,當(dāng)p<1,L∞,L2數(shù)量級也基本穩(wěn)定在O(h2)時,當(dāng)p發(fā)生變化,誤差數(shù)量級沒有明顯增長,但是隨著參數(shù)p的變小,尤其是p=0.1時,誤差范數(shù)隨時間變化較大,兩種誤差范數(shù)都明顯增大,不能保持?jǐn)?shù)值結(jié)果的穩(wěn)定性.
表1 p>1時在不同時刻T相應(yīng)的誤差范數(shù)對比表
表2 p<1時在不同時刻T相應(yīng)的誤差范數(shù)對比表
具非線性對流項熱傳導(dǎo)方程具有一定的研究意義,對其進(jìn)行數(shù)值計算可以更加方便地研究和解決實際問題.本文引入了具非線性對流項熱傳導(dǎo)方程的有限差分法,通過具體算例,探討了當(dāng)參數(shù)p發(fā)生變化時,相應(yīng)的差分解是否會發(fā)生改變的情況.當(dāng)p>1時,對差分解的影響不大,并且當(dāng)計算過程長時間進(jìn)行時,數(shù)值結(jié)果依然能保持穩(wěn)定;當(dāng)p<1,計算結(jié)果也沒有發(fā)生明顯變化,但是參數(shù)p取得過小,可能會使數(shù)值結(jié)果不穩(wěn)定.