張繼紅,欒舒含,梁波
(大連交通大學(xué) 理學(xué)院,遼寧 大連 116028)
本文考慮如下帶有初邊值條件的具非線性對(duì)流項(xiàng)主部為熱傳導(dǎo)算子的對(duì)流擴(kuò)散方程:
(1)
式中:x∈(a,b);t∈(0,T);指數(shù)p是參數(shù).
許多物理現(xiàn)象,比如液體薄片在重力作用下的運(yùn)動(dòng)情況,流體在多孔介質(zhì)中流動(dòng)等都與方程(1)有關(guān).Kamin[1]證明了不帶對(duì)流項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)滲流方程源型解的存在唯一性;Brezis等[2]給出了具有吸收項(xiàng)的熱傳導(dǎo)方程測(cè)度初值問(wèn)題解的存在性;盧國(guó)富證明了具非線性對(duì)流項(xiàng)主部為熱傳導(dǎo)算子的對(duì)流擴(kuò)散方程的源型解[3].
近年來(lái),對(duì)這類(lèi)非線性偏微分方程的數(shù)值求解[4]也取得了很大進(jìn)展,尤其是與Matlab軟件相結(jié)合,借助Matlab的數(shù)值計(jì)算和圖形處理技術(shù)[5],使得非線性偏微分方程解的意義更好理解.
本文主要研究具非線性對(duì)流項(xiàng)熱傳導(dǎo)方程的有限差分法實(shí)現(xiàn),重點(diǎn)研究當(dāng)參數(shù)p變化時(shí),對(duì)方程的數(shù)值解會(huì)產(chǎn)生怎樣的影響.
考慮內(nèi)網(wǎng)點(diǎn)(xk,tn)處,原方程成立:
ut(xj,tn)-uxx(xj,tn)+|ux(xj,tn)|p=f(xj,tn)
整理可得
(2)
與初邊值條件相應(yīng)的差分方程為:
(3)
方程(2)與(3)聯(lián)立,即為與方程(1)相對(duì)應(yīng)的差分方程.
對(duì)具非線性對(duì)流項(xiàng)熱傳導(dǎo)方程(1),用差分格式(2)、(3)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,區(qū)間設(shè)為[0,π],空間步長(zhǎng)、時(shí)間步長(zhǎng)分別取h=π/30、τ=0.001.
下面針對(duì)具體例子給出相應(yīng)的數(shù)值實(shí)驗(yàn),重點(diǎn)研究參數(shù)p對(duì)差分解的影響情況.
當(dāng)參數(shù)p=1,時(shí)刻T=1時(shí),可以得到相應(yīng)的差分解,并與方程(1)的真實(shí)解u(x,t)=t2+sinx進(jìn)行比較,得到的圖像分別如圖1~圖3所示.圖1為p=1,T=1時(shí)相應(yīng)的數(shù)值解與真實(shí)解的對(duì)比圖,圖中可以看出數(shù)值解完全落在真實(shí)解的曲線上.圖2為p=1,時(shí)間t在[0,1]變化時(shí)的三維動(dòng)態(tài)數(shù)值解模擬圖.圖3為p=1,時(shí)間t在[0,1]變化時(shí)的數(shù)值解與真實(shí)解絕對(duì)誤差圖.圖中可以看到絕對(duì)誤差不超過(guò)0.012,也就是說(shuō)局部截?cái)嗾`差可以達(dá)到O(h2).
圖1 數(shù)值解與真實(shí)解對(duì)比圖
圖2 數(shù)值解三維圖像
圖3 數(shù)值解與真實(shí)解絕對(duì)誤差三維圖
表1、表2分別給出了取不同參數(shù)p時(shí),不同時(shí)刻T相應(yīng)的誤差范數(shù)對(duì)比表.表1給出了p>1時(shí),不同時(shí)刻T相應(yīng)的誤差范數(shù)情況;表2給出了p<1時(shí),不同時(shí)刻T相應(yīng)的誤差范數(shù)情況.由表1可以看出,當(dāng)p>1,L∞,L2數(shù)量級(jí)基本穩(wěn)定在O(h2)時(shí),當(dāng)p發(fā)生變化,誤差并沒(méi)有明顯增長(zhǎng),且隨著時(shí)刻T的增加,誤差也沒(méi)有明顯增長(zhǎng),數(shù)值結(jié)果保持穩(wěn)定.由表2可以看出,當(dāng)p<1,L∞,L2數(shù)量級(jí)也基本穩(wěn)定在O(h2)時(shí),當(dāng)p發(fā)生變化,誤差數(shù)量級(jí)沒(méi)有明顯增長(zhǎng),但是隨著參數(shù)p的變小,尤其是p=0.1時(shí),誤差范數(shù)隨時(shí)間變化較大,兩種誤差范數(shù)都明顯增大,不能保持?jǐn)?shù)值結(jié)果的穩(wěn)定性.
表1 p>1時(shí)在不同時(shí)刻T相應(yīng)的誤差范數(shù)對(duì)比表
表2 p<1時(shí)在不同時(shí)刻T相應(yīng)的誤差范數(shù)對(duì)比表
具非線性對(duì)流項(xiàng)熱傳導(dǎo)方程具有一定的研究意義,對(duì)其進(jìn)行數(shù)值計(jì)算可以更加方便地研究和解決實(shí)際問(wèn)題.本文引入了具非線性對(duì)流項(xiàng)熱傳導(dǎo)方程的有限差分法,通過(guò)具體算例,探討了當(dāng)參數(shù)p發(fā)生變化時(shí),相應(yīng)的差分解是否會(huì)發(fā)生改變的情況.當(dāng)p>1時(shí),對(duì)差分解的影響不大,并且當(dāng)計(jì)算過(guò)程長(zhǎng)時(shí)間進(jìn)行時(shí),數(shù)值結(jié)果依然能保持穩(wěn)定;當(dāng)p<1,計(jì)算結(jié)果也沒(méi)有發(fā)生明顯變化,但是參數(shù)p取得過(guò)小,可能會(huì)使數(shù)值結(jié)果不穩(wěn)定.